বীজগণিত

x³ + 1 = 0
⇒ (x + 1)(x² - x + 1) = 0
∴ x = -1, যা বাস্তব
আবার,
ax²+ bx + c = 0 সমীকরণের মূল
x = {-b ± √(b² - 4ac)}/2a
⇒ x = 1 ± √(1 - 4.1.1)/2
⇒ x = {1 ± √(-3)}/2 = 1 ± √(3i)/2
যা দুইটি অবাস্তব সংখ্যা

∴ উক্ত সমীকরণের বাস্তব মূলের সংখ্যা ১ টি। 

প্রশ্ন: x²+ x - 20 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
 x² + x - 20 > 0
⇒ x² + 5x - 4x - 20 > 0
⇒ x(x + 5) - 4(x + 5) > 0
⇒ (x + 5)(x - 4) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = -5 এবং x = 4।

(x + 5)(x - 4) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন:

উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 4) অথবা
উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < -5)

অর্থাৎ, x < -5 অথবা x > 4।

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (-∞, -5) ∪ (4, ∞)

প্রশ্ন: 10 থেকে 20 পর্যন্ত সংখ্যা থেকে যে কোন একটিকে ইচ্ছেমত নিলে সে সংখ্যাটি মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
10 থেকে 20 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
= 11 টি।
10 থেকে 20 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 11, 13, 17, 19
আবার, 10 থেকে 20 পর্যন্ত 5 এর গুণিতক সংখ্যা = 10, 15, 20

মৌলিক সংখ্যা অথবা 5 এর গুণিতক মোট সংখ্যা = (4 + 3) টি
= 7টি

∴ নির্ণেয় সম্ভাবনা = 7/11 

প্রশ্ন: x + y = 8 এবং x - y = 4 হলে, xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 8 
x - y = 4

আমরা জানি, 
xy  = {(x + y)² - (x - y)²}/4
⇒ xy = {(8)² - (4)²}/4
⇒ xy = (64 - 16)/4
⇒ xy = 48/4
∴ xy = 12

প্রশ্ন: x² - 11x + 30 এবং x² + x - 30 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
 ১ম রাশি = x² - 11x + 30
              = x² - 5x - 6x + 30
              = x(x - 5) - 6(x - 5)
              = (x - 5)(x - 6)
২য় রাশি =  x² + x - 30           
             =  x² - 5x + 6x - 30
             = x(x - 5) + 6 (x - 5) 
             =  (x - 5) (x + 6)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 5) (x + 6)(x - 6) 

প্রশ্ন: জসীম একটি কারখানাতে প্রথম দিনে 7টি পণ্য, দ্বিতীয় দিনে 14টি পণ্য, তৃতীয় দিনে 28টি পণ্য তৈরি করে। এভাবে সে প্রথম এক সপ্তাহে মোট কতটি পণ্য তৈরি করবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পণ্য তৈরি করার অনুক্রম: 7, 14, 28, . . . ., n

এখানে,
অনুক্রমটির মোট পদ, n = 7
১ম পদ, a = 7
অনুপাত, r = 14/7 = 2

∴ 7টি পদের সমষ্টি = a × {(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 7 × {(2⁷ - 1)/(2 - 1)}
= 7 × 127
= 889

∴ জসীম 7 দিনে মোট 889 টি পণ্য তৈরি করবে।

[8-10(8-10)^-1]^-1 এর মান 
=[8-10(-2)^-1]^-1
=[8+10/2]^-1
=[13]^-1
=1/13

প্রশ্ন: যদি (a/b)^a/b = a^{(a/b) - 1} এবং a = 2b হয়, তবে b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = 2b
এবং,
⇒ (a/b)^a/b = a^{(a/b) - 1}
⇒ (2b/b)^(2b/b) = (2b)^{(2b/b) - 1}
⇒ 2² = (2b)^{(2 - 1)}
⇒ 4 = 2b
∴ b = 2

x = 2y = 3z
∴ y = x/2
এবং
z = x/3

xyz = 36
বা, x.x/2.x/3 = 36
বা, x³ = 2 × 3 × 36
বা, x³ = 216
∴ x = 6

প্রশ্ন: যদি P(x) = x³ + kx² + 6x - 12 হয়, তাহলে k-এর কোন মানের জন্য P(2) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, P(x) = x³ + kx² + 6x - 12
বা, P(2) = (2)³ + k(2)² + 6(2) - 12
বা, P(2) = 8 + 4k + 12 - 12
বা, P(2) = 4k + 8

যেহেতু, P(2) = 0
∴ 4k + 8 = 0
বা, 4k = -8
বা, k = -8/4
∴ k = - 2

∴ k এর মান - 2 হলে P(2) = 0 হবে।

³√x⁴ = 4
বা, (³√x⁴)³ = (4)³ [উভয় পক্ষকে ঘন করে]
বা, x⁴ = 64
∴ x² = √64 = 8

আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 18-তম মাসে সঞ্চয় = a + (18 - 1)d
= 1200 + (17 × 100) = 2900 টাকা
 
আবার, প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি 
= n/2 {2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 18 মাসের সঞ্চয় = 18/2 {2 × 1200 + (18 - 1)100}
= 9(2400 + 1700)
= 36900 টাকা 

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে, ছক্কার উপরে থাকা সংখ্যাগুলোর গুণফল 6 পাওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
লুডুর দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা = 6²
= 36

ছক্কার উপরে থাকা সংখ্যাগুলোর গুণফল ৬ পাওয়ার অনুকূল ঘটনা = {(1, 6), (3, 2), (2, 3), (6, 1)} = 4 টি

∴ গুণফল 6 পাওয়ার সম্ভাব্যতা = 4/36
= 1/9

প্রশ্ন: 7 জন ব্যাক্তিকে একটি গোল টেবিলে কতভাবে বসানো যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তিকে একটি গোল টেবিলে বসানো যাবে = (n - 1)!
7 জনকে গোল টেবিলে বসানো যাবে = (7 - 1)!
= 6!
= 720 উপায়ে

প্রশ্ন: একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করা হলো। কমপক্ষে ২ টি H (Head) আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মুদ্রা তিনবার নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফলগুলো হবে:
= HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ৮ টি 

এর মধ্যে কমপক্ষে ২ টি Head আসলে অনুকূল ফলাফল হয় = HHH, HHT,HTH THH অর্থাৎ ৪ টি 

∴ মুদ্রাকে ৩ বার নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে ২ টি Head আসার সম্ভাবনা = ৪/৮ = ১/২

log₂[ log₃ ( log₂x)] = 1
⇒ log₃(log₂x) = 2¹ = 2
⇒ log₂x = 3² = 9
⇒ x = 2⁹ = 512

প্রথম পদ = ২
সাধারণ অন্তর = ৪
সুতরাং, ২০২ তম পদ = ২ + (২০২-১)*৪ = ৮০৬

প্রশ্ন: 3a³ + 2a² - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = 3a³ + 2a² - 21a - 20
∴ ‍f(- 1) = 3.(- 1)³ + 2.(- 1)² - 21.(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 23 - 23
= 0

∴ ‍(a + 1), f(a) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: P = x² - 16, Q = x² + 7x + 12, R = 4x + 16 হলে, P, Q ও R এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x² - 16
Q = x² + 7x + 12
R = 4x + 16

∴ P = x² - 16
= x² - 4²
= (x + 4) (x - 4)

∴ Q = x² + 7x + 12
= x² + 4x + 3x + 12
= x(x + 4) + 3(x + 4)
= (x + 4) (x + 3)

∴ R = 4x + 16
= 4(x + 4)

∴ P, Q ও R এর গ.সা.গু = (x + 4)

প্রশ্ন:  এর মান কত?

সমাধান:

নেকলেসে পাথর লাগানোর উপায় = (7 - 1)!/2 [(a - 1)!/2]
= 720/2
= 360

মোট লটারি ৫৭০টি। সাইফুলের ক্রয়কৃত টিকেট ১৫টি। সাইফুলের প্রথম পুরস্কার পাওয়ার সম্ভাবনা = ১৫/৫৭০
= ১/৩৮.

এখানে দুটি ধারা বিদ্যমানঃ
৩, ৪, ৫, ৬, ৭; যেখানে প্রতি পদে ১ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে
এবং, ৭, ১৪, ২১, ২৮, ৩৫; যেখানে প্রতি পদে ৭ করে বৃদ্ধি পাচ্ছে
অর্থাৎ, ধারাটির দশম পদ হবে ৩৫

a² + a + 1/a + 1/a²
= a² + 1/a² + a + 1/a
= (a + 1/a)² - 2.a.1/a + (a + 1/a)
= 2² - 2 + 2
= 4

প্রশ্ন: x³ - 3x² + ax - 6 বহুপদীর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, a এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x³ - 3x² + ax - 6
যেহেতু (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক, সেহেতু x = 2 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন, f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = 2³ - 3(2²) + a(2) - 6
⇒ f(2) = 8 - 12 + 2a - 6
⇒ f(2) = 2a - 10

শর্তমতে, f(2) = 0
⇒ 2a - 10 = 0
⇒ 2a = 10
⇒ a = 5

প্রশ্ন: x³ - 4x² + 6x - k বহুপদীর একটি উৎপাদক x = 3 হলে, k এর মান কত?

সমাধান:
একটি উৎপাদক x = 3 হলে f(3) = 0 হবে। সুতরাং,
f(x) = x³ - 4x² + 6x - k
f(3) = 3³ - 4 × 3² + 6 × 3 - k = 0
⇒ 27 - 36 + 18 - k = 0
⇒ 9 - k = 0
⇒ k = 9

∴ k এর মান 9.

1/a < 1/b
∴ a > b
কোন ভগ্নাংশকে বিপরীতকরণ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তন হয়।

প্রশ্ন: সমাধান করুন: |2x + 1| ≥ 5

সমাধান:
নিয়ম অনুযায়ী, এই অসমতাকে দুটি আলাদা অংশে ভাগ করতে হবে: 2x + 1 ≤ - 5 এবং 2x + 1 ≥ 5
প্রতিটি অংশ আলাদাভাবে সমাধান করে পাই, 

বাম অংশ:
2x + 1 ≤ - 5
⇒ 2x ≤ - 5 - 1 
⇒ 2x ≤ - 6
∴ x ≤ - 3

ডান অংশ:
2x + 1 ≥ 5
⇒ 2x ≥ 5 - 1
⇒ 2x ≥ 4
∴ x ≥ 2

অসমতাটির সমাধান হলো x ≤ - 3 অথবা x ≥ 2 বা (- ∞, -3] ∪ [2, + ∞)