বীজগণিত

প্রশ্ন: y⁶ - 64 এর উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
y⁶ - 64
= (y³)² - 8²
= (y³ + 8)(y³ - 8)
= (y³ + 2³)(y³ - 2³)
= (y + 2)(y² - 2y + 4)(y - 2)(y² + 2y + 4)
= (y + 2)(y - 2)(y² + 2y + 4)(y² - 2y + 4)

প্রশ্ন: x² - √5x + 1 = 0 হলে, x⁶ + 1/x⁶ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x² - √5x + 1 = 0
⇒ x - √5 + 1/x = 0 [x দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]
⇒ x + 1/x = √5

∴ x⁶ + 1/x⁶
= (x³)² + (1/x³)²
= (x³ + 1/x³)² - 2.x³.1/x³
= {(x + 1/x)³ - 3. x .1/x (x + 1/x)}² - 2
= {(√5)³ - 3.√5}² - 2
= (5√5 - 3√5)² -2
= (2√5)² - 2
= 20 - 2
= 18

 ১ম পদ a = ২২
২য় পদ ২৭
সাধারণ অন্তর d = ২৭- ২২ =৫
১৫তম পদ = a + (১৫ -১) d
= ২২ + (১৪×৫)
= ২২ + ৭০
= ৯২

প্রশ্ন: {(3x - 2)/4} + 1 = (x + 3)/2 সমীকরণটিতে x এর মান কত?

সমাধান:
 {(3x - 2)/4} + 1 = (x + 3)/2
⇒ (3x - 2 + 4)/4 = (x + 3)/2
⇒ (3x + 2)/4 = (x + 3)/2
⇒ 2(3x + 2) = 4(x + 3)
⇒ 6x + 4 = 4x + 12
⇒ 6x - 4x = 12 - 4
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
∴ x = 4

(4 - x²) ≤ 0
বা, x² - 4 ≥ 0
বা, (x + 2)(x - 2) ≥ 0



চিত্র অনুসারে,
নির্ণেয় সমাধান = x ≤ -2 অথবা x ≥ 2

প্রশ্ন: 4x⁴ - 25x² + 36 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
4x⁴ - 25x² + 36
= (2x²)² - 2·2x²·6 + 6² - x²
= (2x² - 6)² - x²
= (2x² - 6 + x)(2x² - 6 - x)
= (2x² + x - 6)(2x² - x - 6)
= (2x² + 4x - 3x - 6)(2x² - 4x + 3x - 6)
= {2x(x + 2) - 3(x + 2)}{2x(x - 2) + 3(x - 2)}
= (x + 2)(2x - 3)(x - 2)(2x + 3)
= (x² - 4)(2x + 3)(2x - 3)

সঠিক উত্তর: গ) (x² - 4)(2x + 3)(2x - 3)

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লােক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারবে। যদি করমর্দনের সংখ্যা 190 হয়, তাহলে ঐ অনুষ্ঠানে কতজন লােক ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
ঐ অনুষ্ঠানে n সংখ্যক লোক উপস্থিত ছিল।
প্রশ্নানুসারে, 
ⁿC₂ = 190
⇒ n!/{2!(n - 2)!} = 190
⇒ {n(n - 1)(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 190
⇒ n(n - 1)/2 = 190
⇒ n(n - 1) = 380
⇒ n² - n - 380 = 0
⇒ n² - 20n + 19n - 380 = 0
⇒ n(n - 20) + 19(n - 20) = 0
⇒ (n + 19)(n - 20) = 0
হয়, (n + 19) = 0
∴ n = - 19  ; [ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]

অথবা,
n - 20 = 0
∴ n = 20

সুতরাং ঐ অনুষ্ঠানে 20 জন লোক ছিল।

প্রশ্ন: যদি a + 3b = 6 এবং ab = 3 হয়, তাহলে a এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + 3b = 6 ....... (1)
এবং, ab = 3
⇒ b = 3/a ......... (2)

(1) নং সমীকরণে b এর মান বসিয়ে পাই,
a + 3 × (3/a) = 6
⇒ a + (9/a) = 6
⇒ (a² + 9)/a = 6
⇒ a² + 9 = 6a
⇒ a² - 6a + 9 =0
⇒ a² - 2 · a · 3 + 3² = 0
⇒ (a - 3)² = 0
⇒ a - 3 = 0
∴ a = 3

(z - 2)/(z-1) = 2 -1/(z-1)
⇒ (z - 2)/(z -1) + 1/(z - 1) =2
⇒ (z - 1)/(z - 1) =2
⇒ 1 = 2 [ যা অসম্ভব]
সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণের কোনো সমাধান নেই
নির্ণেয় সমাধান সেট S =∅

প্রশ্ন: যদি a = - 3 এবং b = 2 হয়, তাহলে 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a = - 3
এবং b = 2 

প্রদত্ত রাশি = 8a³ + 36a²b + 54ab² + 27b³
=(2a)³ + 3·(2a)²·3b + 3·2a·(3b)² + (3b)³
= (2a + 3b)³
= {2 × (- 3) + 3 × (2)}³
= (- 6 + 6)³
=(0)³
= 0

x^-3 - 0.001 = 0
⇒ x^-3 = 0.001
⇒ (1/x)³ = 1/1000
⇒ (1/x)³ = (1/10)³
⇒ x³ = 10³
∴ x = 10
∴ x² = 10² = 100

প্রশ্ন: 12 - 3x ≥ 2x + 17 অসমতার সমাধান কোনটি?

সমাধান:
12 - 3x ≥ 2x + 17
⇒ - 3x - 2x ≥ 17 - 12
⇒ - 5x ≥ 5
⇒ x ≤ -1 [কোনো ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়]

∴ সমাধান হলো x ≤ -1.

স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের ধারাঃ ১^২+৩^৩+৫^২+ ………. + n^২
ধারাটির সমষ্টি = [n(n+১)(২n+১)]/৬
এখন, প্রশ্নোক্ত ধারাটি,
১^২+৩^৩+৫^২+ ………. +৩১^২
= (১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ + ৫^২ + ......... + ৩১^২) - (২^২ + ৪^২ + ৬^২ + ...... + ৩০^২)
= (১^২ + ২^২ + ৩^২ + ৪^২ + ৫^২ + ......... + ৩১^২) - ২^২ (১^২ + ২^২ + ৩^২ + ......... + ১৫^২)
= [৩১(৩১ + ১)(২ X ৩১ + ১)]/৬ - ৪ X [১৫(১৫+১)(২X১৫ + ১)]/৬
= ১০৪১৬ - ৪৯৬০
= ৫৪৫৬

প্রশ্ন: 2x + 3y = 10 এবং 2x - 3y = 8 হলে, x, y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + 3y = 10
2x - 3y = 8

(i) হতে (ii) বিয়োগ করে পাই,
(2x + 3y) - (2x - 3y) = 10 - 8
⇒ 2x + 3y - 2x + 3y = 2 
⇒ 6y = 2 
⇒ y = 2/6
⇒y = 1/3

(i) হতে (ii) যোগ করে পাই,
(2x + 3y) + (2x - 3y) = 10 + 8 
⇒ 2x + 3y + 2x - 3y = 18 
⇒ 4x = 18 
⇒ x = 18/4
⇒ x = 9/2

আমরা জানি, ( a - b + c )² = a² + b² + c² - 2ab - 2bc + 2ac
∴ a² + b² + c² - 2ac - 2bc রাশির সাথে 2ac যোগ করলে আমরা ( a - b + c )² রাশি পাব যা একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা হবে 2³= 8টি।

নমুনা বিন্দুগুলো হলো: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার অনুকূল ঘটনাগুলো হলো: {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH}

∴ অনুকূল ঘটনার সংখ্যা = 7টি।

∴ কমপক্ষে একটি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনার সংখ্যা/মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা
= 7/8

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 22 এবং শেষ পদ - 11। যদি পদগুলোর সমষ্টি 66 হয়, তবে ধারাটিতে কতটি পদ আছে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 22
শেষ পদ, l = - 11
এবং সমষ্টি, S_n = 66

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার সমষ্টি, S_n = (n/2)(a + l)

প্রশ্নমতে, 
(n/2)(a + l) = 66
⇒ (n/2){22 + (- 11)} = 66
⇒ (n/2)(22 - 11) = 66
⇒ 11n/2 = 66
⇒ n = (66 × 2)/11
⇒ n = 6 × 2
∴ n = 12

সুতরাং, ধারাটিতে পদ সংখ্যা 12টি।

x/3 + 4/(x + 1) = 2
বা, (x² + x + 12)/{3(x + 1)} = 2
বা, x² + x + 12 = 6x + 6
বা, x² - 5x + 6 = 0
বা, x² - 3x - 2x + 6 = 0
বা, x(x - 3) - 2(x - 3) = 0
বা, (x - 3)(x - 2) = 0
∴ x = 2, 3

ছেদ সেটের সংজ্ঞানুসারে,
x ∈ A ∩ B হলে x ∈ A এবং x ∈ B

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 10 তম পদ 45 হলে, তার প্রথম 19 পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনেকরি,
ধারাটির প্রথম পদ a
সাধারণ অন্তর d

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 10 তম পদ = a + (10 - 1)d
= a + 9d

প্রশ্নমতে,
a + 9d = 45

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি, Sn = (n/2){2a + (n - 1)d}
∴ প্রথম 19টি পদের সমষ্টি, S19 = (19/2){2a + (19 - 1)d}
= (19/2)(2a + 18d)
= (19/2) × 2(a + 9d)
= 19 × (a + 9d)
= 19 × 45
= 855

প্রশ্ন: a + b = 3 এবং ab = 2 হলে, a³ + b³ =  কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b = 3, ab = 2.  

আমরা জানি, 
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (3)³ - 3 × 2 × 3
= 27 - 18
= 9

অতএব, a³ + b³ = 9

a²/b² + b²/a² = 7
বা, (a/b + b/a)² - 2.a/b.b/a = 7
বা, (a/b + b/a)² = 7 + 2 = 9
a/b + b/a = 3
(a/b + b/a)³ = 27
বা, a³/b³ + b³/a³ + 3.a/b.b/a(a/b + b/a) = 27
∴ a³/b³ + b³/a³
= 27 - 3.3
= 18

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 20 এবং বর্গের যোগফল 41। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত? 

সমাধান:
ধরি ,
সংখ্যা দুইটি = x ও y
দেয়া আছে,
xy = 20
x² + y² = 41

আমরা জানি,
(x + y)²
= x² + y² + 2xy
= 41 + (2 × 20)
= 41 + 40
= 81
⇒ x + y = √81
∴ x + y = 9

প্রশ্ন: যদি x - (1/x) = 11 এবং x > 0 হয় তবে x² - (1/x)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - (1/x) = 11

আমরা জানি,
{x + (1/x)}² = {x - (1/x)}² + 4 . x . (1/x)
⇒ {x + (1/x)}² = (11)² + 4
⇒ {x + (1/x)}² = 121 + 4 = 125
∴ x + (1/x) = √125 = 5√5

আমরা জানি,
x² - (1/x)² = {x + (1/x)}{x - (1/x)} = 11 × 5√5
∴ x² - (1/x)² = 55√5

প্রশ্ন: 4a² - 12ab + 9b² - 4c² এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান: 
4a² - 12ab + 9b² - 4c²
= (4a² - 12ab + 9b²) - 4c²
= {(2a)² - 2. 2a . 3b + (3b)²} - (2c)²
= (2a - 3b)² - (2c)²
= (2a - 3b + 2c)(2a - 3b - 2c) 

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 9 এবং ab + bc + ca = 26 হয়, তবে a² + b² + c² =  কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b + c = 9 এবং ab + bc + ca = 26

আমরা জানি,
a² + b² + c² =  (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
= (9)² - 2 × 26
= 81 - 52
= 29

১ম পদ (a) = ১,
সাধারন অনুপাত (r) = ০.০১
∴ n পদের সমষ্টি (s) = a × {(১ - rⁿ)/(১ - r)} [যেহেতু, r < 1]
= ১ × {(১ - (০.০১)ⁿ)/(১ - ০.০১)}
= {১ - (১/১০০)ⁿ}/০.৯৯
= (১/০.৯৯){১ - (১/(১০০)ⁿ)}
∴ n অসীম হলে,
s = (১/০.৯৯)(১ - (১/∞))
= (১০০/৯৯)(১-০)
= ১০০/৯৯

প্রশ্ন: x³ - 8 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x³ - 8
= (x)³ - (2)³
= (x - 2) {(x)² + x. 2 + (2)²}
= (x - 2) (x² + 2x + 4)

প্রশ্ন: p⁴ + 6p² - 7 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি? 

সমাধান:
p⁴ + 6p² - 7
= (p²)² + 2.p².3 + 3² - 9 - 7
= (p² + 3)² - 4²
= (p² + 3 + 4)(p² + 3 - 4)
= (p² + 7)(p² - 1)
= (p² + 7) (p² - 1²)
= (p² + 7)(p + 1)(p  - 1)

প্রশ্ন: যদি a + b = 3 এবং ab = 2 হয়, তবে a³+ b³ + 4(a - b)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a + b = 3
 এবং ab = 2

∴ প্রদত্ত রাশি = a³ + b³ + 4(a - b)²
= (a + b)³ - 3ab (a + b) + 4{(a + b)² - 4ab}
= (3)³ – 3 × 3 × 2 + 4 (3² - 4.2) [মান বসিয়ে]
=27 - 18 + 4(9 - 8)
= 27 - 18 + 4 × 1
= 27 - 18 + 4
= 13 

:. নির্ণেয় মান 13

প্রশ্ন: x² - y² - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= {x + (y + 1)}{x - (y + 1)}
= (x + y + 1)(x - y - 1)

সুতরাং, অপর উৎপাদকটি হলো (x + y + 1) অথবা (x - y - 1) ।

f(-1) = (-1)³ + 2(-1) + 8
= -1 - 2 + 8
= 5

সমষ্টি = গড় x পদ সংখ্যা
= (81+1)/2 × {( 81-1)/4} +1
= 82/2 × 80/4 +1
= 41 × 21
= 861

প্রশ্ন: x² - 6x + 9 এর উৎপাদক কোনটি?
সমাধান: 
x² - 6x + 9
= x² - 2.x.3 + 3²
= (x - 3)²

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - 3)² = (x - 3) (x - 3)

প্রশ্ন: x² - 4x + 3 এবং x² - 5x + 6 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

২য় রশি = x² - 5x + 6
= x² - 2x - 3x + 6
= x(x - 2) - 3(x - 2)
= (x - 2)(x - 3)

নির্ণেয় ল.সা.গু = (x - 1)(x - 2)(x - 3)

প্রশ্ন: a = 3, b = 2, c = 4 এবং d = 1 হলে, a - (- b) + (- c) - (- d) = কত?

সমাধান:
a - (- b) + (- c) - (- d)
= a + b - c + d
= 3 + 2 - 4 + 1
= 2

প্রশ্ন: যদি 1/5 (2x + 3) ≥ 3 হয়, তবে x এর ক্ষুদ্রতম মান কত হবে? 

সমাধান: 
1/5 (2x + 3) ≥ 3
⇒ (2x + 3)/5 ≥ 3 
⇒ 2x + 3 ≥ 15 
⇒ 2x ≥  12 
∴ x ≥ 6 

∴ x এর ক্ষুদ্রতম মান হবে = 6 

30, 40 এর গড় = (30 + 40)/2
= 35
∴ গড় ব্যবধান = {।30 - 35। + ।40 - 35।}/2
= (5 + 5)/2
=10/2
= 5

x³ - x = (x - a)(x - b)(x - c)
বা, x(x² - 1) = (x - a)(x - b)(x -c)
বা, (x - 0)(x + 1)(x - 1) = (x - a)(x - b)(x - c)
বা, (x - 1)(x - 0)(x + 1) = (x - a)(x - b)(x - c)
∴ a > b > c
∴ x - 1 = x - a,
x - 0 = x - b,
x + 1 = x - c
∴ a = 1
∴ b = 0
∴ c = -1

p^m × pⁿ × p^-r 
= p^m+n-r

625(√5)^2x = 1
বা, (√5)^2x = 1/625
বা, (√5)^2x = 1/(5 × 5 × 5 × 5)
বা, (√5)^2x = 1/(√5)⁸
বা, (√5)^2x = (√5)^-8
বা, 2x = -8
বা, x = -4

Hints:
x²-√5x+1=0
x+1/x = √5
x-1/x = 1 

So, x²-(1/x)²=(x+1/x) (x-1/x) = √5