বীজগণিত

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীর প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ২ টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ৮ জন ছাত্রের দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
বেঞ্চ সংখ্যা = “ক” টি

শ্রেণির প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে ছাত্র বসলে ২ টি বেঞ্চ খালি থাকে
∴ ছাত্রসংখ্যা = {(ক - ২) × ৫} জন

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসালে ৮ জন ছাত্রকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৪ক + ৮ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ২) × ৫ = ৪ক + ৮
⇒ ৫ক - ১০ = ৪ক + ৮
∴ ক = ১৮

অতএব,
বেঞ্চ আছে ১৮ টি

∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ২) × ৫ জন
= (১৮ - ২) × ৫ জন
= ১৬ × ৫ জন
= ৮০ জন

log_√5625 = log_√5(√5)⁸
= 8log_√5√5
= 8.1
= 8

x²-8x-8y+16+y²
= x²+y²+(-4)²+2xy+2y(-4)+2(-4)x-2xy
= (x+y-4)²-2xy

প্রশ্ন: a + b = 5 এবং ab = 6 হলে, a³ + b³ + 4(a - b)² এর মান নির্ণয় করুন-

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a + b = 5 এবং ab = 6

আমরা জানি, 
(a - b)² = (a + b)² - 4ab = 52 - 4 × 6 = 25 - 24 = 1
∴ (a - b)² = 1

এবং, 
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= 5³ - 3 × 6 × 5 = 125 - 90 = 35
∴ a³ + b³ = 35

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + b³ + 4(a - b)2
= 35 + 4 × 1
= 39

( √5 + √( 5 - x ))/( √5 - √( 5 - x )) = 5 
[ যোজন-বিয়োজন করে পায় ]
⇒√5/√(5 - x ) = 6/4
উভয় পাশে বর্গ করে পায়,
⇒ 5/( 5- x ) = 36/16
⇒ 5/( 5 - x ) = 9/4
⇒ x = 25/9

x² + 4y² + 8x - 16y + 16
= x² + (2y)² + (4)² - 2.x.2y + 2.x.4 - 2.2y.4 + 4xy
=(x - 2y + 4)² + 4xy

প্রশ্ন: নিচের কোনটি সমান্তর ধারা?

সমাধান:
সমান্তর ধারা: সমান্তর বলতে 'সমান অন্তর' বোঝায়। যে ধারার পাশাপাশি দুইটি পদের বিয়োগফল একই সংখ্যা বা রাশি থাকে, তাকে সমান্তর ধারা বলা হয়। ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে ধারার সাধারণ অন্তর বলে। সাধারণ অন্তর ধনাত্মক বা ঋণাত্মক উভয়ই হতে পারে।
যেমন: 2 + 5 + 8 + 11 +......+ 20, একটি সমান্তর ধারা।

অপশন (খ) তে,
- 4 - 7 - 10 .... একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অন্তর, d = - 7 + 4 = - 3 
আবার, - 10 - (-7) = - 3

প্রশ্ন: আবহাওয়া দপ্তর থেকে পাওয়া রিপোর্ট অনুযায়ী ২০২৫ সালের মে মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে ৪ দিন। ঐ সপ্তাহে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩য় সপ্তাহে মোট = ৭ দিন
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে = ৪ দিন
৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়নি = ৭ - ৪ = ৩ দিন

∴ বৃষ্টি না হবার সম্ভাবনা = ৩/৭

প্রশ্ন: log₉(3/243) এর মান কত?

সমাধান:
log₉(3/243)
= log₉(1/81)
= log₉(1/3⁴)
= log₉(3^-4)
= - 4 . log₉3  [log_aMⁿ = n.log_aM]
= - 4 . log₉(√9)
= - 4 . log₉9^(1/2)
= - 4 . 1/2 . log₉9
= - 2 . 1  [log_aa = 1]
= - 2

(a^p+q ÷ a^2r) × (a^q+r ÷ a^2p) × (a^r+p ÷ a^2q)
= a^{(p+q - 2r)} × a^{(q+r - 2p)} × a^{(r+p - 2q)}
= a⁰
= 1

প্রশ্ন: যদি x + 3y = 56 এবং y = 2x হয়, তবে y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x + 3y = 56....(i)
এবং y = 2x
এখন y = 2x মানটি (i) নং সমীকরণে বসাই,
x + 3(2x) = 56
⇒ x + 6x = 56
⇒ 7x = 56
⇒ x = 8

এখন,
y = 2x
⇒ y = 2 × 8 = 16

(x^x)⁰+(y^y)⁰ 
=1+1
=2

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: 1 থেকে 30 পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যার টিকিটগুলো মিশিয়ে একটি টিকিট দৈবচয়নে তোলা হলো। তোলা টিকিটটির সংখ্যা যদি 4 অথবা 6-এর গুণিতক হয়, তবে সেই টিকিট তোলার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
4-এর গুণিতক = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28} (7টি সংখ্যা)
6-এর গুণিতক = {6, 12, 18, 24, 30} (5টি সংখ্যা)
কমন সংখ্যা = {12, 24} (2টি সংখ্যা)
∴ n(E) = 7 + 5 - 2 = 10

আমরা জানি,
P(E) = n(E)/n(S)
= 10/30
= 1/3

প্রশ্ন: 'GOOGLE' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'GOOGLE' শব্দে বর্ণ আছে 6 টি।
এর মধ্যে G ও O বর্ণ আছে 2 বার করে । 

∴ মোট সাজানো যাবে = 6!/(2! × 2!)
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2)/4
= 180

৪ + ৪ = ৮
৮+ ৫ = ১৩
১৩ + ৬ = ১৯
১৯ + ৭ = ২৬
২৬ + ৮ = ৩৪
৩৪ + ৯ = ৪৩
৪৩ + ১০ = ৫৩
অর্থাৎ প্রতিটি পদের ব্যবধান পূর্ববর্তী ব্যবধান থেকে ১ করে বৃদ্ধি পেয়েছে।
∴ ৮ম পদ = ৫৩

প্রশ্ন: একজন ছাত্র 5 টাকার দরে x টি পেনসিল এবং 4 টাকার দরে (x + 4) টি খাতা কিনেছে। মোট মূল্য অনূর্ধ্ব 97 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি পেনসিল কিনেছে?

সমাধান:
x টি পেনসিলের দাম = 5x টাকা
(x + 4) টি খাতার দাম = 4(x + 4) টাকা
প্রশ্নমতে,
5x + 4(x + 4) ≤ 97
⇒ 5x + 4x + 16 ≤ 97
⇒ 9x + 16 ≤ 97
⇒ 9x ≤ 81
⇒ x ≤ 9

∴ ছাত্রটি সর্বাধিক 9 টি পেনসিল কিনেছে।

সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ১/৪ + ১/২ + ৩/৪
= (১+২+৩)/৪
= ৬/৪
= ৩/২
সুতরাং সংখ্যাগুলোর গড় = ৩/২ ÷ ৩
= ৩/২ × ১/৩
= ১/২

(x² - x)² + 3(x² - x) - 40

ধরি,
(x² - x) = a

তাহলে প্রদত্ত রাশি,
a² + 3a - 40
= a² + 8a - 5a - 40
= a (a+8) - 5 (a+8)
= (a+8) (a-5)

a এর মান বসিয়ে,
 (x² - x + 8) (x² - x - 5)

মনে করি, সংখ্যাটি 'ক'
শর্তমতে, 2ক/3 = ক - 65
বা, ক - 2ক/3 = 65
বা, (3ক - 2ক)/3 = 65
∴ ক = 195

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গুণফল 48 এবং বর্গের যোগফল 100। সংখ্যা দুইটির যোগফল কত?

সমাধান:
ধরি ,
সংখ্যা দুইটি = x ও y

দেয়া আছে,
xy = 48
x² + y² = 100

আমরা জানি,
(x + y)²
= x² + y² + 2xy
= 100 + (2 × 48)
= 100 + 96
= 196
⇒ x + y = √196
∴ x + y = 14

প্রশ্ন: প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি 441 হলে n এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = 441

শর্তমতে, 
{n(n + 1)/2}² = 441 
⇒ {n(n + 1)/2}² = (21)²
⇒ n(n + 1)/2 = 21 
⇒ n(n + 1) = 42 
⇒ n² + n - 42 = 0 
⇒ n² + 7n - 6n - 42 = 0 
⇒ n(n + 7) - 6(n + 7) = 0 
⇒ (n + 7) (n - 6) = 0 
হয়, 
⇒ n + 7 = 0 
∴ n = - 7 [n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না] 

অথবা, n - 6 = 0 
∴ n = 6

প্রশ্ন: যদি a + b = 5 এবং a² + b² = 13 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a + b = 5
বা, (a + b)² = 5²  [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]
বা, a² + 2ab + b² = 25 
বা, 13 + 2ab = 25 [∴ a² + b² = 13] 
বা, 2ab = 25 - 13
বা, 2ab = 12
∴ ab = 6

এখন,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (5)³ - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35  ।

সমাধান:

এখানে, ১ম পদ a = 2
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
ধারাটির চতুর্থ পদ = ar⁴⁻¹ = 2r³
প্রশ্নমতে,
2r³ = 54
⇒ r³ = 27
⇒ r = 3
∴ তৃতীয় পদ c = ar³⁻¹
= 2 × 3³⁻¹
= 2 × 3²
= 2 × 9
= 18

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: |2x - 3| ≤ 1 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত? 

সমাধান:
|2x - 3| ≤ 1
⇒ - 1 ≤ 2x - 3 ≤ 1
⇒ - 1 + 3 ≤ 2x - 3 + 3 ≤ 1 + 3 [উভয় পক্ষে 3 যোগ করে]
⇒ 2 ≤ 2x ≤ 4
⇒ 1 ≤ x ≤ 2 [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

∴ x এর সর্বনিম্ন মান 1

প্রশ্ন: x² - 7x + 12 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x² - 7x + 12 < 0
⇒ x² - 3x - 4x + 12 < 0
⇒ x(x - 3) - 4(x - 3) < 0
⇒ (x - 3)(x - 4) < 0

দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক (শূন্যের চেয়ে ছোট) হওয়ার জন্য একটি রাশি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হতে হবে।

ক্ষেত্র ১: (x - 3) > 0 এবং (x - 4) < 0
⇒ x > 3 এবং x < 4
⇒ 3 < x < 4

ক্ষেত্র ২: (x - 3) < 0 এবং (x - 4) > 0
⇒ x < 3 এবং x > 4
এই সম্পর্কটি একসাথে সত্য হতে পারে না।

সুতরাং, সঠিক সমাধান হলো 3 < x < 4

প্রশ্নমতে,
50⁷ × 20⁷ = 10⁸ × 10^x
বা, (50×20)⁷ = 10^x+8
বা, (1000)⁷ = 10^x+8
বা, (10³)⁷ = 10^x+8
বা, 10²¹ = 10^x+8
বা, x + 8 = 21
∴ x = 13

প্রশ্ন: 200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর 65। এদের মধ্যে 120 জন ছাত্রীর গড় নম্বর 70 হলে, ছাত্রদের গড় নম্বর কত?

সমাধান:
200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে গড় নম্বর = 65
∴ 200 জন শিক্ষার্থীর পরিসংখ্যানে মোট নম্বর = (65 × 200)
= 13000

আবার, 120 জন ছাত্রীর গড় নম্বর = 70
∴ 120 জন ছাত্রীর মোট নম্বর = (70 × 120) = 8400

এখন, ছাত্রের সংখ্যা = (200 - 120) = 80 জন।
∴ ছাত্রের মোট নম্বর = (13000 - 8400)
= 4600
∴ ছাত্রদের গড় নম্বর = 4600/80
= 57.5

প্রশ্ন: 4x² - 12x + 9 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কী?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
4x² - 12x + 9 = 0
এখানে,
a = x² এর সহগ = 4
b = x এর সহগ = - 12
c = ধ্রুবক = 9

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 12)² - 4 × 4 × 9
= 144 - 144
= 0

নিশ্চায়ক = 0 হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।

∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ
b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ
b² - 4ac = 0 হলে ⇒ মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান
b² - 4ac < 0 হলে ⇒ বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)

প্রশ্ন: 2a² - 9a - 35 এর একটি উৎপাদক (2a + 5) হলে অপর উৎপাদকটি কত?

সমাধান:
2a² - 9a - 35 
= 2a²  - 14a + 5a - 35
= 2a(a - 7) + 5(a - 7)
= (a - 7)(2a + 5)

যেহেতু AMERICA শব্দটিতে 7 টি বর্ণ রয়েছে, যার মধ্যে দুইটি A.
একটি A বাদ দিয়ে 6টি ভিন্ন বর্ণ থেকে প্রতিবারে 3টি বর্ণ নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = ⁶P₃ = 120
দুইটি A কে ভিন্ন ভিন্ন পাঁচটি বর্ণের প্রতিটির সাথে নিলে 3 বর্ণ শব্দ সংখ্যা = 5 × ³P₂ = 15
∴ মোট শব্দ সংখ্যা = 120 + 15 = 135

প্রশ্ন: a² + b² = 8 এবং a = - 4/b হলে, (a - b)² এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 8
এবং, a = - 4/b
⇒ ab = - 4

এখন, (a - b)² = a² - 2 · a · b + b²
= a² + b² - 2ab
= 8 - {2 × (- 4)}
= 8 + 8
= 16

প্রশ্ন: 2x + 3y = 13 এবং xy = 6 হলে, 8x³ + 27y³ এর মান নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2x + 3y = 13 এবং xy = 6 

প্রদত্ত রাশি, 
8x³ + 27y³
= (2x)³ + (3y)³
= (2x + 3y)³ - 3 . 2x . 3y(2x + 3y)
= (13)³ - 18 . 6 . 13
= 2197 - 1404
= 793

প্রশ্ন: 3x - 4y - 3 = 0 রেখার ঢাল কত?  

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3x - 4y - 3 = 0
রেখার সমীকরণকে প্রথমে y = mx + c আকারে লিখতে হবে।
এখানে m = ঢাল (slope)

এখন, 
3x - 4y - 3 = 0
⇒ - 4y = - 3x + 3
⇒ 4y = 3x - 3
⇒ y = (3/4)x - (3/4)

অতএব, ঢাল, m = 3/4

সুতরাং, রেখাটির ঢাল 3/4

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 2/3; A ও B স্বাধীন হলে P(B/A) = কত?

সমাধান:
P(A) = 1/3, P(B) = 2/3 

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/3) × (2/3)
= 2/9

∴ P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (2/9)/(1/3)
= 2/3