বীজগণিত

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 5x + 3 ≥ 18 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5x + 3 ≥ 18 
⇒ 5x + 3 - 3 ≥ 18 - 3 ; [উভয়পাশে 3 বিয়োগ করে পাই] 
⇒ 5x ≥ 15
⇒ 5x/5 ≥ 15/5 ; [উভয়পাশে 5 দ্বারা ভাগ করে পাই] 
∴ x ≥ 3

xy > 0 এবং yz < 0 হওয়ায় দুটির গুনফল ঋনাত্নক হবে তাই xy × yz = xy²z ঋণাত্মক

প্রশ্ন: x + 2y = 4 এবং xy = 2 হয়, তবে x = কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
xy = 2
বা, y = 2/x

এখন,
x + 2y = 4
বা, x + 2 × 2/x = 4
বা, x + 4/x = 4
বা, x² + 4 = 4x
বা, x² - 4x + 4 = 0
বা, (x)² - 2. x. 2 + (2)² = 0
বা, (x - 2)² = 0
বা, x - 2 = 0
বা, x = 2
∴ x = 2

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে দুইটিই ছয় উঠার সম্ভাভনা কত?

সমাধান:
যখন দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হয়, তখন মোট 36টি সম্ভাব্য ফলাফল থাকে, কারণ প্রথম ছক্কার জন্য 6 টি (1 থেকে 6) এবং দ্বিতীয় ছক্কার জন্যও 6 টি (1 থেকে 6) সম্ভাবনা রয়েছে। তাই, মোট সম্ভব ফলাফল হবে = 6 × 6 = 36
এখন, দুটি ছক্কায় দুইটি ছয় (6, 6) ওঠার একমাত্র একটি ফলাফল রয়েছে।

এখানে,
A = ১ম বার ৬
B = ২য় বার ৬

তাই,
P(দুইবারই ৬) = (১/৬) × (১/৬) = ১/৩৬

প্রশ্ন: যদি x + y = √13 এবং x - y = √5 হয়, তবে xy এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x + y = √13
x - y = √5

আমরা জানি,
xy = {(x + y)/2}² - {(x - y)/2}²
= (√13/2)² - (√5/2)²
= (13/4) - (5/4)
= (13 - 5)/4
= 8/4
= 2

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষে ২৫ জন ছাত্র ক্রিকেট খেলে, ২৫ জন ছাত্র ফুটবল খেলে এবং ১০ জন ছাত্র উভয় খেলাই খেলে। ১০ জন ছাত্র কোনো খেলাই খেলে না। ঐ শ্রেণিকক্ষে মোট ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ক্রিকেট খেলে = ২৫ জন 
ফুটবল খেলে = ২৫ জন
উভয় খেলা খেলে = ১০ জন
কোনো খেলাই খেলে না = ১০ জন

শুধু ক্রিকেট খেলে = (২৫ - ১০) জন = ১৫ জন
শুধু ফুটবল খেলে = (২৫ - ১০) জন = ১৫ জন

∴ মোট ছাত্রসংখ্যা = শুধু ক্রিকেট খেলে + শুধু ফুটবল খেলে + উভয় খেলা খেলে + কোনো খেলা খেলে না 
= ১৫ + ১৫ + ১০ + ১০ 
= ৫০ জন 

QURBANI শব্দটিতে 7টি বর্ণ রয়েছে যাদের 3টি স্বরবর্ণ এবং 4টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
স্বরবর্ণ 3টি একত্রে রাখলে 5টি বর্ণ হয় যাদেরকে 5! উপায়ে সাজানো যায় আবার,
স্বরবর্ণ 3টি নিজেদের মধ্যে 3! উপায়ে সাজানো যায়।
সুতরাং শর্তসাপেক্ষে বর্ণগুলো সাজানোর মোট উপায় = 5! × 3!
= 120 × 6
= 720

প্রশ্ন: ঈদগাহে ঈদের নামাজ শেষে একে অপরের সাথে শুভেচ্ছা সংখ্যা 45 হলে ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, 
নামাজীর সংখ্যা = n

যদি প্রত্যেকে একে অপরের সাথে একবার শুভেচ্ছা জানায়, তবে মোট শুভেচ্ছার সংখ্যা হবে = ⁿC_r = ⁿC₂ = n!/2!(n - 2)!
= n(n - 1)(n - 2)!/2!(n - 2)! = n(n - 1)/2

প্রশ্নমতে, 
n(n - 1)/2 = 45 
⇒ n² - n - 90 = 0
⇒ n² - 10n + 9n - 90 = 0
⇒ n(n - 10) + 9(n - 10) = 0
⇒ (n - 10)(n + 9) = 0
হয়, 
n - 10 = 0
∴ n = 10

অথবা, 
n + 9 = 0
∴ n = - 9   ; [যা গ্রহণযোগ্য নয়]

সুতরাং, ঈদগাহে নামাজীর সংখ্যা 10 জন। 

প্রশ্ন: ০.৫ + ০.০৫ + ০.০০৫ + ...... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = ০.৫ 
= ৫/১০ = ১/২

ধারাটির সাধারণ অনুপাত r = ০.০৫/০.৫ = ১/১০

∴ সমষ্টি, S = a/(1 - r) 
= (১/২)/(১ - ১/১০)
= (১/২)/(৯/১০)
= ৫/৯

প্রশ্ন: যদি x² + (1/x)² = 10 হয়, তাহলে x + (1/x) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² + (1/x)² = 10

∴ {x + (1/x)}² = x² + (1/x)² + 2 × x × (1/x)
= 10 + 2
= 12

∴ x + (1/x) = √12

প্রশ্ন: a²b³/c²d কে a³b²/cd³ দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত? 

সমাধান: 
(a²b³/c²d) ÷ (a³b²/cd³)
= (a²b³/c²d) × (cd³/a³b²)
= bd²/ca 

Given, a - (1/a) = 2
∴ a + (1/a) = √[{(a - (1/a)}² + 4.a.(1/a)}]
= √{(2)² + 4}
= √8
= 2√2 

∴ a⁴ + (1/a⁴) = (a²)² + (1/a²)²
= {a² + (1/a²)}² - 2.a².(1/a²)
= {a² + (1/a²)}² - 2
= {(a + 1/a)² - 2.a.(1/a)}² - 2
= {(2√2)² - 2}² - 2
= 36 - 2
= 34

2(x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²
= 3² + 1²
= 9 + 1
2(x² + y²) = 10
∴ x² + y² = 10/2
=5

2+(6/x) = 5
⇒ 6/x = 5 - 2
⇒ 6/x = 3
⇒ 3x = 6
∴ x = 2
∴ 2x + 8 = 2 X 2 + 8 = 12

L = প্রচুরক শ্রেণীর নিম্নসীমা = 48
f₁ = 25 - 18
= 7
f₂ = 25 - 8
= 17
d = শ্রেণী ব্যবধান = 6
প্রচুরক = L + f₁/(f₁ + f₂)× d
= 48 + 7/(7 + 17) × 6
= 48 + 7/24 × 6 
= 48 + 42/24
= 48 + 1.75
= 49.75

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + ........... + 81 = ?

সমাধান: 
সমষ্টি = গড় × পদ সংখ্যা
= {(81 + 1)/2} × [{(81 - 1)/4} + 1]
= (82/2) × {(80/4) + 1}
= (82/2) × (20 + 1)
= 41 × 21
= 861

প্রশ্ন: যদি x = √6 এবং y = √3 হয়, তবে (x - y)² + 2xy এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x = √6 এবং y = √3

প্রদত্ত রাশি, 
(x - y)² + 2xy
= x² - 2xy + y² + 2xy
= x² + y²
= (√6)² + (√3)²
= 6 + 3
= 9

প্রশ্ন: log_x1/256 = - 8 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x1/256 = - 8
বা, x^{- 8} = 1/256
বা, 1/x⁸ = 1/256
বা, x⁸ = 256
বা, x⁸ = 2⁸
∴ x = 2

প্রশ্ন:  ১৩ থেকে ২৭ পর্যন্ত উপাত্তগুলোর গড় কত?

সমাধান:
১৩ থেকে ২৭ পর্যন্ত অর্থাৎ:
১৩, ১৪, ১৫, ১৬, ১৭, ১৮, ১৯, ২০, ২১, ২২, ২৩, ২৪, ২৫, ২৬, ২৭

মোট সংখ্যা = ২৭ - ১৩ + ১ = ১৫টি সংখ্যা

ক্রমিক সংখ্যা গড় = (প্রথম সংখ্যা + শেষে সংখ্যা)/২
= (১৩ + ২৭)/২
= ৪০/২
= ২০

∴ক্রমিক সংখ্যা গড় = ২০  

একজন লোকের ঢাকা হতে খুলনায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা 5/7 এবং খুলনা হতে রাজশাহী ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা 3/5
∴ খুলনা হতে রাজশাহী ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা (1 - 3/5) = 2/5
∴ লোকটি খুলনায় বাসে ও রাজশাহী ট্রেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা = 5/7 × 2/5 = 2/7

প্রশ্ন: 2x² + 5x + 3 < 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
2x² + 5x + 3 < 0
⇒ 2x² + 2x + 3x + 3 < 0
⇒ 2x(x + 1) + 3 (x + 1) < 0
⇒ (x + 1)(2x + 3) < 0

2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি (x + 1) < 0 এবং (2x + 3) > 0 হয়।
এখন, x + 1 < 0 এবং 2x + 3 > 0
x < - 1 এবং x > - 3/2

- 1 এর চেয়ে ছোট এবং- 3/2 এর চেয়ে বড়
সুতরাং অসমতাটির সমাধান পাওয়া যাবে.
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান: - 3/2 < x < - 1

আবার,
2x² + 5x + 3 < 0 সত্য হবে যদি x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0 হয়।
এখন, x + 1 > 0 এবং 2x + 3 < 0
x > - 1 এবং x < - 3/2
x এর মান - 1 এর চেয়ে বড় এবং - 3/2 এর চেয়ে ছোট x এর কোন মান নাই।
এক্ষেত্রে অসমতাটির কোন সমাধান পাওয়া যাবে না।

∴ নির্ণেয় সমাধান = - 3/2 < x < - 1

প্রশ্ন: 5^{(2x - 3)} = 125^{(x + 1)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5^{(2x - 3)} = 125^{(x + 1)} 
⇒ 5^{(2x - 3)} = 5^{3(x + 1)}
⇒ 5^{(2x - 3)} = 5^{(3x + 3)}
⇒ 2x - 3 = 3x + 3
⇒ 2x - 3x = 3 + 3
⇒ - x = 6
∴ x = - 6

প্রশ্ন: 5 ≤ 3p + 1 < 16 অসমতাটির সমাধান হচ্ছে:

সমাধান:
5 ≤ 3p + 1 < 16
= 5 - 1 ≤ 3p + 1 - 1 < 16 - 1
= 4 ≤ 3p < 15
= 4/3 ≤ p < 15/3
= 4/3 ≤ p < 5

∴ অসমতাটির সমাধান [4/3, 5)

প্রশ্ন: x² - 2x - 15 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x² - 2x - 15 > 0
⇒ x² - 5x + 3x - 15 > 0
⇒ x(x - 5) + 3(x - 5) > 0
⇒ (x - 5)(x + 3) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু (Critical points) দুটি হলো x = 5 এবং x = - 3

(x - 5)(x + 3) > 0 এর গুণফল ধনাত্মক হয়, যখন:
উভয় উৎপাদকই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 5) অথবা
উভয় উৎপাদকই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < - 3)

অর্থাৎ, x < - 3 অথবা x > 5
ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 3) ∪ (5, ∞)

প্রশ্ন: 9√3 এর 3 ভিত্তিক লগ কত?

সমাধান:
9√3 এর 3 ভিত্তিক লগ
log₃(9√3)
= log₃(9 × √3)
= log₃(9) + log₃(√3) [log_b(mn) = log_bm + log_bn]
= log₃(3²) + log₃(3^1/2)
= 2 × log₃(3) + (1/2) × log₃(3)
= 2 × 1 + (1/2) × 1
= 2 + 1/2
= 5/2

প্রশ্ন: ৩, ৭, ৯, ১৫ ও ২১ এর গাণিতিক গড়, ৩, ৮, ১০ ও ১৪ এবং নিচের কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(৩ + ৭ + ৯ + ১৫ + ২১)/৫ = (৩ + ৮ + ১০ + ১৪ + ক)/৫ 
⇒ ৫৫/৫ = (৩৫ + ক)/৫ 
⇒ ৫৫ = ৩৫ + ক
⇒ ক = ৫৫ - ৩৫
∴ ক = ২০ 

∴ ৩, ৭, ৯, ১৫ ও ২১ এর গাণিতিক গড় = ৩, ৮, ১০, ১৪ ও ২০ এর গাণিতিক গড়।

মোট নমুনা ক্ষেত্র ১২ টি
মুদ্রার হেড ও ছক্কার জোড় সংখ্যা এর নমুনা ক্ষেত্র = {২H, ৪H, ৬H} = ৩ টি
∴মুদ্রার হেড ও ছক্কার জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা = ৩/১২ = ১/৪

প্রশ্ন: মকবুল ছয়টি কলম ও তিনটি খাতা এবং বুলবুল চারটি কলম ও পাঁচটি খাতা ক্রয় করে। একটি কলমের মূল্য x টাকা এবং একটি খাতার মূল্য y টাকা হলে মকবুলের মোট খরচ বীজগণিতীয় রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করুন?

সমাধান: 
1 টি কলমের দাম = x টাকা
∴ 6 টি কলমের দাম = 6x টাকা

আবার,
1 টি খাতার দাম = y টাকা
∴ 3 টি খাতার দাম = 3y টাকা 

∴ মকবুলের মোট খরচের বীজগণিতীয় রাশি = 6x + 3y 

প্রশ্ন: x² + px + 8 = 0 এর দুইটি মূল সমান হলে এবং p > 0 হয়, তবে p এর মান কত? 

সমাধান: 
দুইটি মূল সমান হলে নিশ্চায়ক শূন্য হবে। 
∴ b² - 4ac = 0 
⇒ p² - 4 × 1 × 8 = 0 
⇒ p² = 32 
⇒ p = √32
∴ p = 4√2