বীজগণিত

৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৩১, ৩৭
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত ৫ এর গুণিতক = ৩০, ৩৫, ৪০
৩০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ১১ টি
মৌলিক সংখ্যা অথবা ৫ এর গুণিতক = ২ + ৩ = ৫টি
তাহলে সম্ভাবনা = ৫/১১

ধরি, সংখ্যাটি x
প্রশ্নমতে,
x এর 40%+42 = x
⇒ 40x/100 + 42 = x
⇒ (40x+4200)/100 = x
⇒ 40x+4200 = 100x
⇒ 100x - 40x = 4200
⇒ 60x = 4200
∴ x = 70

প্রশ্ন: 3/(y + 1) = 4/(y - 2) সমীকরণের সমাধান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3/(y + 1) = 4/(y - 2)
⇒ 4(y + 1) = 3(y - 2)
⇒ 4y + 4 = 3y - 6
⇒ 4y - 3y = - 6 - 4
∴ y = - 10

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

প্রশ্ন: x² - 4x - 12 > 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
x² - 4x - 12 > 0
⇒ x² - 6x + 2x - 12 > 0
⇒ x(x - 6) + 2(x - 6) > 0
⇒ (x + 2)(x - 6) > 0

এই অসমতার সমাধান বিন্দু দুটি হলো x = - 2 এবং x = 6।

(x + 2)(x - 6) > 0 এর গুণফল ধনাত্নক হয়,
যখন দুইটি বিন্দু উভয়েই ধনাত্মক (অর্থাৎ x > 6), অথবা
যখন দুইটি বিন্দু উভয়েই ঋণাত্মক (অর্থাৎ x < -2)।

অর্থাৎ, x < - 2 অথবা x > 6।

ব্যবধি আকারে লিখলে হয়: (- ∞, - 2) ∪ (6, ∞)

$(-\infty ,\; -2)\cup (6,\infty )$ বলতে বোঝায় যে, - $2$এর চেয়ে ছোট অথবা 6 এর চেয়ে বড় সব বাস্তব সংখ্যা এই সমাধানের অন্তর্ভুক্ত।

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. 6টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 1 
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2  
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড়। 

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/r - 1 
= 1 × (2⁶ - 1)/2 - 1 
= (64 - 1)/1 
= 63 

∴ 6টি পদের সমষ্টি = 63 ।

প্রশ্ন: 5 log3 - log9 = ?

সমাধান:
5 log3 - log9
= 5 log3 - log3²
= 5 log3 - 2 log3
= (5 - 2) log3
= 3 log3
= log3³
= log27

প্রশ্ন: 9^{x + 2} = 81 হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
9^{x + 2} = 81
বা, (3²)^{x + 2} = 3⁴
বা, 3^{2x + 4} = 3⁴
বা, 2x + 4 = 4
বা, 2x = 4 - 4
বা, 2x = 0
বা, x = 0/2
∴ x = 0

প্রশ্ন: যদি a + b = 7 এবং a² + b² = 25 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
a² + b² = 25

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
বা, 7² = 25 + 2ab
বা, 49 = 25 + 2ab
বা, 2ab = 49 - 25
বা, 2ab = 24
∴ ab = 12

আমরা জানি,
a³ + b³
= (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (7)³ - (3 × 12 × 7)
= 343 - 252
= 91

{1 - √(x-1)} / {1 + √(x-1)} = 1/5
⇒ {1 - √(x-1) + 1 + √(x-1)} / {1 - √(x-1) - 1 - √(x-1)} = (1+5)/(1-5) [যোজন ও বিয়োজন করে]
⇒ 2 / {-2√(x-1)} = 6/(-4)
⇒ 2 / √(x-1) = 3
⇒ 3√(x-1) = 2
⇒ 9(x-1) = 4 [বর্গ করে]
⇒ 9x - 9 = 4
⇒ 9x = 4 + 9
⇒ x = 13/9

প্রশ্ন: 4x - 3 = 2x + 7 হলে (x + 1)² এর মান কত?
সমাধান: 
4x - 3 = 2x + 7
⇒ 2x = 10
⇒ x = 5

∴ (x + 1)² = (5 + 1)² = 36

625(√5)^7x = 1
(√5)^7x = 1/625
5^7x/2 = 5^-4
7x/2 = -4
X = -8/7

প্রশ্ন: x = 7 এবং y = 6 হলে 16x² - 40xy + 25y² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 7 এবং y = 6

প্রদত্ত রাশি: 16x² - 40xy + 25y²
= (4x)² - 2 × 4x × 5y + (5y)²
= (4x - 5y)²
= (4 × 7 - 5 × 6)²
= (28 - 30)²
= (-2)²
= 4

∴ 16x² - 40xy + 25y² এর মান 4

এখানে, ২ + ৬ + ১৮ + ..... ধারাটির‌
প্রথম পদ, a = ২
সাধারণ অনুপাত, r = ৬/২ = ৩
এবং পদ সংখ্যা, n = ৫
সুতরাং সমষ্টি = a (rⁿ - 1)/(r-1)
= ২ × (৩^৫ - ১)/(৩-১)
= ২ × (২৪৩-১)/২
= ২৪২

a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) + 3abc
= 0 X (a²+b²+c²-ab-bc-ca) + 3abc
= 3abc

M = (প্রথম পদ + শেষ পদ)⁄২
এখানে, (২+৫০)⁄২ = ২৬
সুতরাং, যোগফল = ২৬ (২৬-১) = ৬৫০

প্রশ্ন: A = {21, 22, 23, 24, 25} হলে, এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
এখানে, 
A সেটের মোট উপাদান = 5 
A সেটের সর্বমোট উপসেট = 2⁵ = 32 

∴ প্রকৃত উপসেট = 32 - 1 
= 31 

মোট বল = 10 + 15 = 25 টি
নীল বল তোলার সম্ভাবনা = (10/25) × (9/24) = 3/20
লাল বল তোলার সম্ভাবনা = (15/25) × (14/24) =7/20
মোট সম্ভাবনা = 3/20 + 7/20 = 1/2.

১৯ + ১০ = ২৯
২৯ + ১৪ = ৪৩
৪৩ + ১৮ = ৬১
৬১ + ২২ = ৮৩

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ......... ধারাটির 10তম পদ কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a × r^{n - 1}
∴ 10তম পদ = 3 × 2^{10 - 1}
= 3 × 2⁹
= 3 × 512
= 1536

প্রশ্ন: a > b এবং ab < 0 হলে, নিচের কোনটি ঋণাত্মক?

সমাধান:
ab < 0 হলে a এবং b এর যে কোনো একটি ঋণাত্মক হবে।

যেহেতু a > b 
সেহেতু b অবশ্যই ঋণাত্মক হবে।

নিশ্চায়ক = ০ (কারণ, মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান)
বা, p² - 4.4.9 = 0
বা, p² = 144
∴ p = 12

(a/b)^{x - 3} = (b/a)^{x - 5}
(a/b)^{x - 3} = (a/b)^{5 - x}
x - 3 = 5 - x
2x = 8
x = 4

প্রশ্ন: a < b এবং c < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a < b
c < 0 (অর্থাৎ c একটি ঋণাত্মক সংখ্যা)।

একটি অসমতার উভয় পক্ষকে যখন একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, তখন অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়।

a < b
উভয় পক্ষকে c দ্বারা গুণ করে পাই,
⇒ a × c > b × c

∴ প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী সঠিক অসমতাটি হলো,
ac > bc

প্রশ্ন: 4x² - 12x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4x² - 12x
= (2x)² - 2 . 2x . 3 + 3² - 3²
= (2x - 3)² - 9

∴ 4x² - 12x এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে মোট ৭ দিনে বৃষ্টি হয়েছিল ৫ দিন
বুধবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ৫/৭
বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ৫/৭ = ২/৭

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ২০টি বৈদ্যুতিক বাল্ব আছে, যার মধ্যে ৪টি ত্রুটিপূর্ণ। এই বাক্স থেকে এলোমেলোভাবে দুটি বাল্ব নেওয়া হলো। অন্তত একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট বাল্ব = ২০টি
ত্রুটিপূর্ণ বাল্ব = ৪টি
ত্রুটিহীন বাল্ব = ২০ - ৪ = ১৬টি
দুটি বাল্ব এলোমেলোভাবে নেওয়া হচ্ছে(পুনর্বিন্যাস ছাড়া)। 
এখন,
দুটিই ত্রুটিহীন হওয়ার সম্ভাবনা = (১৬/২০) × (১৫/১৯)
= (৪/৫) × (১৫/১৯)
= ১২/১৯ 

অতএব, অন্তত একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (দুটিই ত্রুটিহীন হওয়ার সম্ভাবনা)
= ১ - (১২/১৯) 
= (১৯ - ১২)/১৯
= ৭/১৯

সুতরাং, অন্তত একটি ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা ৭/১৯

প্রশ্ন: x² - 4x + 1 = 0 হলে, x² - (1/x²) = ?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x² - 4x + 1 = 0
⇒ x - 4 + (1/x) = 0 [উভয় পাশে x দিয়ে ভাগ করে]
∴ x + (1/x) = 4

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . 1/x
= 4² - 4
= 16 - 4
⇒ (x - 1/x)² = 12
⇒ x - 1/x = √12
∴ x - (1/x) = 2√3

সুতরাং,
x² - (1/x²)
= (x + 1/x)(x - 1/x)
= 4 × (2√3)
= 8√3

প্রশ্ন: 16 সদস্যবিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
16 জন থেকে 1 জন অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁶C₁ = 16 উপায়ে
15 জন থেকে 1 জন সহ অধিনায়ক বাছাই করা যায় = ¹⁵C₁ = 15 উপায়ে

∴ বাছাই সংখ্যা = 16 × 15 = 240

x³ - 1/x³ = (x - 1/x)³ + 3.x.1/x(x - 1/x)
= 2³ + 3.2
= 14

'DEGREE' শব্দটিতে মোট বর্ণ আছে 6টি যার মধ্যে 3টি E আছে। 3টি E কে একটি ধরে বর্ণ সংখ্যা হয় 4টি।

(1) সবগুলো ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = ⁴C₄
= 1

(2) দুটি অভিন্ন এবং দুটি ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = ²C₂ × ³C₂
= 1 × 3
= 3

(3) তিনটি অভিন্ন এবং একটি ভিন্ন হলে সমাবেশ সংখ্যা = ³C₃ × ³C₁
= 1 × 3
=3

সুতরাং মোট শব্দ তৈরি করা যাবে = 1 + 3 + 3
= 7

x > y তাই , 1/x < 1/y
∴ 1/x এর চেয়ে 1/y বড়

প্রশ্ন: যদি 5x - y = 9 এবং x = 2y হয়, তবে y এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
5x - y = 9 এবং x = 2y ......(1) 
⇒ 5(2y) - y = 9
⇒ 10y - y = 9
⇒ 9y = 9
⇒ y = 9/9
∴ y = 1

থলিতে মোট বল আছে = (১২+১৬+২০) = ৪৮ টি।
বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা = নীল বলের অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল
= ১২/৪৮
= ১/৪