বীজগণিত

ধরি,
প্রথম পদ a এবং
সাধারন অন্তর d
a+3d+a+11d = 20
2a + 14d = 20
S₁₅=15/2{2a+(15-1)d}
= 15/2{2a+14d}
= 15×20/2
= 150

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং সাধারণ অন্তর 3। 10টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 3
পদ সংখ্যা, n = 10

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n টি পদের যোগফল,
S₁₀= (10/2) [2 × 5 + (10 - 1) × 3]
= 5 [10 + 9 × 3]
= 5 [10 + 27]
= 5 × 37
= 185

∴ 10টি পদের যোগফল 185

x + 2y = 6.......(1)
এবং x/y = 4
বা, x/y = 4,
বা, x = 4y
বা, x - 4y = 0.....(2)
(1)নং - (2)নং হতে পাই
6y = 6
∴ y = 1
∴ (2) নং হতে পাই,
x - 4.1 = 0
বা, x = 4

প্রশ্ন: ৪ + ৬ + ৮ + ...... + ৬০ ধারাটির পদসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ধারার প্রথম পদ, a = ৪ 
শেষ পদ = ৬০ 
সাধারণ অন্তর, d = (৬ - ৪) = ২

আমরা জানি, 
পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১ 
= {(৬০ - ৪)/ ২} + ১ 
= (৫৬/২) + ১ 
= ২৮ + ১ 
= ২৯ । 

প্রশ্ন: যদি (2/3)^{2x - 1} × (3/2)^{x + 2} = (2/3)^{- 3} হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(2/3)^{2x - 1} × (3/2)^{x + 2} = (2/3)^{- 3}
⇒ (2/3)^{2x - 1} × (2/3) ^{- (x + 2)} = (2/3)^{- 3}
⇒ 2x - 1 - x - 2 = - 3
⇒ x - 3 = - 3
⇒ x = 0

FREEDOM শব্দটিতে 7টি বর্ণ আছে যাদের 2টি E.
∴ সবগুলো বর্ণ নিয়ে গঠিত বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2! = 2520
∴ পুনর্বিন্যাস সংখ্যা = 2520 - 1 = 2519

প্রশ্ন: যদি 5xy + 28x - 2 = 0 এবং y = - 4 হয়, তাহলে 4x - y = কত?

সমাধান:
5xy + 28x - 2 = 0
বা, 5x(- 4) + 28x - 2 = 0   [ y = - 4 ]
বা, - 20x + 28x - 2 = 0
বা, 8x - 2 = 0
বা, 8x = 2
বা, x = 2/8
∴ x = 1/4

∴ 4x - y = 4(1/4) - (- 4)
= 1 + 4
= 5

প্রশ্ন: ⁸P_r = 336 হলে, r এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⁸P_r = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 6 × 7 × 8
⇒ (8 - r)! × 6 × 7 × 8 = 8!
⇒ (8 - r)! = (8 × 7 × 6 × 5!)/(6 × 7 × 8)
⇒ (8 - r)! = 5!
⇒ (8 - r) = 5
⇒ r = 8 - 5
∴ r = 3

প্রশ্ন: ৫ + ১১ + ১৭ + ২৩ +................... ধারাটির প্রথম ২২ টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ৫
সাধারন অন্তর, d = ৬
n = ২২ 

∴ ধারাটির প্রথম ২২ পদের সমষ্টি = (n/২){২a + (n - ১)d}
= (২২/২){২ × ৫ + (২২ - ১)৬}
= ১১ × (১০ + ২১ × ৬)
= ১১ × (১০ + ১২৬)
= ১১ × ১৩৬
= ১৪৯৬ 

সুতরাং, ধারাটির প্রথম ২২ টি পদের সমষ্টি ১৪৯৬

মনে করি, সংখ্যাটি x
অর্থাৎ, x + 1/x = 2
এখানে, অংক সহজে করার জন্য, অপশন থেকে x এর মান বসিয়ে দেখা যেতে পারে।
x = -1 হলে x + 1/x ≠ 2
x = 1 হলে x + 1/x = 2
x = 2 হলে x + 1/x ≠ 2
x = -1/2 হলে x + 1/x ≠ 2
সুতরাং, সঠিক উত্তর হবে 1

প্রশ্ন: a⁴ - 2a² + 1 = 0 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
a⁴ - 2a² + 1 = 0
⇒ (a²)² - 2.a².1 + 1² = 0
⇒ (a² - 1)² = 0
⇒ a² - 1 = 0
⇒ a² = 1
∴ a = 1

125(√5)^2x = 1
বা, (√5)^2x = 1/125
বা, (√5)^2x = 1/(5×5×5)
বা, (√5)^2x = 1/(√5)⁶
বা, (√5)^2x = (√5)^-6
বা, 2x = -6
বা, x = -3

প্রশ্ন: 12 + 17 + 22 + 27 + …...+ 207 = কত? 

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার, 
প্রথম পদ, a = 12
সাধারণ অন্তর, d = 17 - 12 = 5

আমরা জানি,
n-তম পদ, an = a + (n - 1)d 
⇒ 12 + (n - 1)5 = 207
⇒ (n - 1)5 = 207 - 12
⇒ (n - 1)5 = 195
⇒ n - 1 = 195/5
⇒ n - 1 = 39
⇒ n = 39 + 1
∴ n = 40

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার সমষ্টি, S_n = (n/2) × (প্রথম পদ + শেষ পদ)
S₄₀ = (40/2) × (12 + 207)
= 20 × 219
= 4380

মোট অক্ষর 6 টি যাদের মধ্যে 2 টি O অর্থাৎ স্বরবর্ন বাকী 4 টি ব্যাঞ্জনবর্ণ
∴ সাজানোর উপায় 5! = 120

প্রশ্ন: X = {a, b, c}, Y = {c, d} এবং Z = X ∩ Y হলে, Z × Y = কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
X = {a, b, c}
Y = {c, d}

Z = X ∩ Y = {a, b, c} ∩ {c, d}
∴ Z = {c}

এখন,
Z × Y = {c} × {c, d}
∴ Z × Y = {(c, c), (c, d)}

এখানে, x + 1/x = √5 ও x - 1/x = √3

∴ 2(x² + 1/x²) 
= (x + 1/x)² + (x - 1/x)² [যেহেতু 2(a² + b²) = (a + b)² + (a - b)²]
= (√5)² + (√3)²
= 5 + 3
= 8
অর্থাৎ, (x² + 1/x²) = 4

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার দশকের অঙ্কের সাথে ৩ যোগ করলে এবং এককের অঙ্ক থেকে ২ বিয়োগ করলে প্রাপ্ত সংখ্যাটি মূল সংখ্যার তিন গুণ হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার এককের অঙ্ক = x এবং 
দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যার দশকের অঙ্ক = y 
∴ সংখ্যাটি = x + ১০y 

আবার, 
নতুন সংখ্যাটির এককের অঙ্ক = x - ২ 
নতুন সংখ্যাটির দশকের অঙ্ক = y + ৩ 

∴ নতুন সংখ্যাটি = x - ২ + ১০ (y + ৩) 
= x - ২ + ১০y + ৩০ 
= x + ১০y + ২৮

প্রশ্নমতে, 
৩ (x + ১০y) = x + ১০y + ২৮ 
বা, ৩x + ৩০y = x + ১০y + ২৮
বা, ৩x - x +৩০y - ১০y = ২৮ 
বা, ২x + ২০y = ২৮ 
বা, ২ (x + ১০y) = ২৮ 
বা, (x + ১০y) = ২৮/২ 
∴ (x + ১০y) = ১৪

∴ সংখ্যাটি = ১৪ ।

0.3x = √0.009
বা, 0.09x² = 0.009
বা, 0.09x² = 0.009
বা, 90x² = 9 [1000 দ্বারা গুণ করে]
বা, x² = 9/90 = 1/10
বা, x = 1/√10
∴ 1/x = √10

x² + y²
= (x - y)² + 2xy
= 12 + 2 x 1
=14

মোট মার্বেল ২৫ টি
২টি মার্বেলই কালো হবার সম্ভাবনা ¹⁰C₂/²⁵C₂ = 3/20
২টি মার্বেলই লাল হবার সম্ভাবনা ¹⁵C₂/²⁵C₂ = 7/20
তাহলে মার্বেল দুটি একই রং হবার সম্ভাবনা 3/20 + 7/20 = 1/2

প্রশ্ন: ৫ + ৯ + ১৩ + ১৭ + ............ + ৮৫ ধারাটির পদসংখ্যা কত? 

সমাধান: 
২য় পদ - ১ম পদ = ৯ - ৪ = ৪
৩য় পদ - ২য় পদ = ১৩ - ৯ = ৪
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা। 

এখানে, 
প্রথম পদ, a = ৫
সাধারণ অন্তর, d = ৪ 
শেষপদ  = ৮৫

আমরা জানি, 
সমান্তর ধারার n তম পদ = 

প্রশ্নমতে, 
a + (n - 1)d = ৮৫ 
বা, ৫ + (n - ১) × ৪ = ৮৫
বা, (n - ১) × ৪ = ৮৫ - ৫ 
বা, (n - ১) × ৪ = ৮০ 
বা, n - ১ = ৮০/৪ 
বা, n - ১ = ২০
বা, n = ২০ + ১ 
∴ n = ২১

∴ ধারাটির পদসংখ্যা = ২১ টি । 

প্রশ্ন: যদি ⁸P_r = 336 হয়, তাহলে r এর মান কত?

সমাধান:
⁸P_r = 336
⇒ 8!/(8 - r)! = 336 [আমরা জানি, ⁿP_r = n!/(n - r)!]
⇒ 40320/(8 - r)! = 336
⇒ (8 - r)! = 40320/336 
⇒ (8 - r)! = 120
⇒ (8 - r)! = 5!  [5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120]
⇒ 8 - r = 5
⇒ r = 8 - 5 
∴ r = 3

প্রশ্ন: যদি (m/n)^{5x - 8} = (n/m)^{2x + 1} হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(m/n)^{5x - 8} = (n/m)^{2x + 1}
⇒ (m/n)^{5x - 8} = (m/n)^{- (2x + 1)} 
⇒ 5x - 8 = - (2x + 1) 
⇒ 5x - 8 = -2x - 1
⇒ 5x + 2x = -1 + 8
⇒ 7x = 7
∴ x = 7/7 = 1

একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র গুলো
(1H), (1T), (2H), (2T), (3H), (3T), (4H), (4T), (5H), (5T), (6H), (6T)
ছক্কায় ৫ এবং মুদ্রায় হেড পাবার সম্ভাব্যতা ১/১২

ধরি, হাটার গতিবেগ x মি/সে
এবং দৌড়ের গতিবেগ y মি/সে
১ম শর্তমতে, 10x + 9y = 85
২য় শর্তমতে, 30x + 2y = 130
সমীকরন দুইটি সমাধান করে পাই,
X = 4
Y = 5
হরিণটির হাটার এবং দৌড়ের গতিবেগ যথাক্রমে ৪ মি/সে এবং ৫মি/সে

ধারাটির ১৫ তম পদ = a + (n - 1) d
= 1 + (15 - 1) X 4
= 1 + 14 X 4
= 57

প্রশ্ন: একজন ছাত্রের পরীক্ষায় পাস করার সম্ভাবনা ৪/৫ এবং বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা ৩/১০। ছাত্রটি ফেল করার এবং বৃষ্টি না হওয়ার যৌথ সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
পাস করার সম্ভাবনা = ৪/৫
∴ ফেল করার সম্ভাবনা = ১ - (৪/৫) = ১/৫

আবার, 
বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৩/১০
∴ বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৩/১০) = ৭/১০

এই দুটি ঘটনা স্বাধীন, তাই যৌথ সম্ভাবনা = গুণফল
= (১/৫) × (৭/১০)
= ৭/৫০

সুতরাং, ছাত্রটি ফেল করার এবং বৃষ্টি না হওয়ার যৌথ সম্ভাবনা ৭/৫০। 

প্রশ্ন: কিছু সংখ্যক লোকের মধ্যে 60 জন বাংলা, 30 জন ইংরেজী এবং 15 জন বাংলা ও ইংরেজী উভয় ভাষায় কথা বলতে পারে। দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে কত জন? 

সমাধান: 

মনে করি,
দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে এমন লোকের সেট = S 
তাদের মধ্যে বাংলায় কথা বলতে পারে তাদের সেট  = A
এবং ইংরেজীতে কথা বলতে পারে তাদের সেট = B 

প্রশ্নানুসারে,
n(A) = 60, n(B) = 30, n(A ∩ B) = 15 

এখন,
n(S) = n(A ∪ B) 
= n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
= 60 + 30 - 15 
= 90 - 15 
= 75 

∴ দুইটি ভাষার অন্তত একটি ভাষায় কথা বলতে পারে = 75 জন।

প্রশ্ন: যদি a + 2b = 8 এবং ab = 8 হয়, তাহলে a এর মান কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a + 2b = 8 ......... (1)
এবং, ab = 8 ⇒ b = 8/a ......... (2)

এখন, (1) নং সমীকরণে b এর মান বসিয়ে পাই,
a + 2(8/a) = 8
⇒ a + (16/a) = 8
⇒ (a² + 16)/a = 8
⇒ a² + 16 = 8a
⇒ a² - 8a + 16 = 0
⇒ a² - 2 . a . 4 + 4² = 0
⇒ (a - 4)² = 0
⇒ a - 4 = 0
∴ a = 4

∴নির্ণেয় ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹⁷C₃ = 680

একটি সংখ্যা = x
অপর সংখ্যা = 2x/5
x + 2x/5 = 98
⇒ 5x + 2x = 98 × 5
⇒ 7x = 490
⇒ x = 70
∴একটি সংখ্যা = 70; অপর সংখ্যা = 28

প্রশ্ন: 5 + 8 + 11 + 14 +.......... ধারাটির 100 তম পদ কত?

সমাধান: 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = 8 - 5 = 3
ধারাটির পদ সংখ্যা, n = 100 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 100 তম পদ = 5 + {(100 - 1) × (3)} 
= 5 + (99 × 3) 
= 5 + 297 
= 302

প্রশ্ন: 4, 3, 2, 14, 8, 1, 11, 5, 9, 18, 7, 6, 8, 12, 17, 19, 16, 8, 13, 15  উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
প্রথমে উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19

∴ সবচেয়ে বেশি বার এসেছে 8 মোট 3 বার
∴ প্রচুরক (Mode) = 8

প্রশ্ন: নিচের কোনটি x² - y² + 2y - 1 -এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= (x)² - (y - 1)²
= (x + y - 1)(x - y + 1)