বীজগণিত

2³ + 3³ + 4³ +.....+ 10³ = (1³ + 2³ + 3³ + 4³ +.....+ 10³) - 1
= {10(10 + 1)/2}² - 1
= 55² - 1
= 3025 - 1
= 3024 

প্রশ্ন: 1, 4, 9, 16, ........., n পদ পর্যন্ত গাণিতিক গড় কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি হলো প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের ধারা:
1², 2², 3², 4², …, n²

এখানে, পদসংখ্যা = n

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সমষ্টি:
S_n = 1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

∴ গাণিতিক গড় = পদগুলোর সমষ্টি/পদসংখ্যা
= S_n/n
= {n(n + 1)(2n + 1)/6}/ n
= n(n + 1)(2n + 1)/6n
= (n + 1)(2n + 1)/6

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 + ...... গুণোত্তর ধারাটির দশম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 128
সাধারণ অন্তর, d = 64/128 = 1/2

আমরা জানি, 
n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ দশম পদ = 128 × (1/2)^{10 - 1}
= 128 × (1/2)⁹
= 128 × (1/512)
= 1/4

এখানে নমুনাক্ষেত্র S = {১০,১১,১২,১৩,১৪,------,২৮,২৯,৩০}
অতএব, n(S) = ২১
মৌলিক সংখ্যার সেট, A = {১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯}
অতএব, n(A) = ৬
৫ এর গুণিতক সংখ্যার সেট, B = {১০,১৫,২০,২৫,৩০}
অতএব n(B) = ৫
ঘটনা দুটির অনুকূল সেট = A≈B, কারণ, A≈B সেটের যে কোন উপাদান A সেটে থাকবে, B সেটে থাকবে অথবা উভয় সেটে থাকবে।
n(A≈B) = n(A) + n(B) = ১১

সুতরাং, নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = ১১/২১

প্রশ্ন: log₂(8/32) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(8/32)
= log₂(1/4)
= log₂(1/2²)
= log₂(2^{- 2})
= - 2 × log₂2   [log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= - 2 × 1   [log_aa = 1]
= - 2

প্রশ্ন:
 

সমাধান: 
log₃∛3
= log₃3^1/3
= 1/3 log₃3
= 1/3 × 1 [∴ log_aa = 1]
= 1/3

শুধু বাংলায় পাস করেছে = (৯৪ - ৭৫) জন।
= ১৯ জন।
শুধু গণিতে পাস করেছে = (৮০ - ৭৫) জন।
= ৫ জন।
উভয় বিষয় ফেল করেছে = ১০০ - (৭৫ + ১৯ + ৫) জন।
= (১০০ - ৯৯) জন।
= ১ জন।

(a + b)x² + 2bxy - (a-b)y²
= (a + b)x² + {(a+b) - (a-b)}xy - (a-b)y² 
= (a + b)x² + (a+b)xy - (a-b)xy - (a-b)y² 
= x (a + b) (x + y) - y (a - b) (x + y)
= (x + y) (ax + bx - ay + by)

প্রশ্ন: 4x² + 16y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে? 

সমাধান: 
মনে করি, 
প্রদত্ত রাশির সাথে a যোগ করতে হবে
∴ 4x² + 16y² + a
= (2x)² + (4y)² + 2.2x.4y
= (2x)² + (4y)² + 16xy 
= (2x + 4y)²
∴ a = 16xy 

∴ প্রদত্ত রাশির সাথে 16xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

আমরা জানি,
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (6)² - 4 × 8
= 36 - 32
= 4

প্রশ্ন: ২০২৫ সালের জুন মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট ৫ দিন। ঐ সপ্তাহে শুক্রবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এক সপ্তাহে আছে = ৭ দিন
বৃষ্টি হয়েছে = ৫ দিন

∴ যেকোনো একদিন (যেমন শুক্রবার) বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৭
∴ শুক্রবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/৭)
= (৭ - ৫)/৭
= ২/৭

প্রশ্ন: x² - 7x + 10 < 0 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
x² - 7x + 10 < 0
⇒ x² - 5x - 2x + 10 < 0
⇒ x(x - 5) - 2(x - 5) < 0
⇒ (x - 2)(x - 5) < 0

দুটি রাশির গুণফল ঋণাত্মক (শূন্যের চেয়ে ছোট) হওয়ার জন্য একটি রাশি ধনাত্মক এবং অন্যটি ঋণাত্মক হতে হবে।

ক্ষেত্র ১: (x - 2) > 0 এবং (x - 5) < 0
⇒ x > 2 এবং x < 5
⇒ 2 < x < 5

ক্ষেত্র ২: (x - 2) < 0 এবং (x - 5) > 0
⇒ x < 2 এবং x > 5

এই সম্পর্কটি একসাথে সত্য হতে পারে না।

সুতরাং, সঠিক সমাধান হলো 2 < x < 5

x³ - 9x + 10 = 0
বা, x³ - 0.x² - 9x + 10 = 0
সমীকরণে মূলগুলোর সমষ্টি = 0/1
= 0

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

(z - 1)(z + 2) = (z + 4)(z - 2)
⇒ z² - z + 2z - 2 = z² + 4z - 2z - 8
⇒ z - 2z = -8 + 2
⇒ z = 6

প্রশ্ন: যদি R = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 ও 6 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 72} হয়, তবে P(R) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
R = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 4 ও 6 দ্বারা বিভাজ্য এবং x ≤ 72}

4 ও 6 এর ল.সা.গু নির্ণয় করি:
4 = 2²
6 = 2 × 3
∴ ল.সা.গু = 2² × 3 = 12

72 অপেক্ষা ছোট বা সমান, 4 ও 6 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো:
12, 24, 36, 48, 60, 72 = 6 টি

∴ R সেটের সদস্য সংখ্যা = 6

আমরা জানি,
n(R) = 6 হলে, P(R) এর সদস্য সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁶
∴ P(R) এর সদস্য সংখ্যা = 2⁶ = 64 টি

অতএব, P(R) এর সদস্য সংখ্যা = 64 টি

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপর একটি সংখ্যার 2/5 গুণ। সংখ্যা দুইটির সমষ্টি 98 হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যা = x
ছোট সংখ্যা = y
প্রদত্ত শর্তমতে,
x + y = 98 .....(1)

এবং, 
ছোট সংখ্যা বড় সংখ্যার 2/5 গুণ। অর্থাৎ, y = 2x/5 

এখন, y এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 
x + (2x/5) = 98
⇒ (5x + 2x)/5 = 98
⇒ 7x = 98 × 5
⇒ x = (98 × 5)/5
∴ x = 70

সুতরাং, বড় সংখ্যাটি = 70

ধারাটিতে, পরপর দুটি পদের সমষ্টি তাদের পরবর্তী পদ নির্দেশ করে।
১ + ১ = ২
২ + ১ = ৩
৩ + ২ = ৫
৫ + ৩ = ৮
৮ + ৫ = ১৩
১৩ + ৮ = ২১
২১ + ১৩ = ৩৪
৩৪ + ২১ = ৫৫
সুতরাং কাঙ্ক্ষিত পদটি = ৫৫।

প্রশ্ন: 5 + (5/3) + (5/9) + ........  ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ = 5
ধারাটির ২য় পদ = 5/3

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ
= (5/3)/5
= (5/3) × (1/5)
= 1/3 

∴ সাধারণ অনুপাত = 1/3 ।

x² - √5 x + 1
বা, x² + 1 = √5 x
বা, (x² +1)/x = √5
বা, x + 1/x = √5

প্রশ্ন: 7x + 3y = 27 এবং 2x - y = 4 হলে y এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া সমীকরণ দুটি, 
7x + 3y = 27 ..........(1)
এবং
2x - y = 4
∴ y = 2x − 4 ……(2)

এখন y-এর মান (1) নং সমীকরণে বসাই, 
7x + 3(2x - 4) = 27
⇒ 7x + 6x - 12 = 27
⇒ 13x - 12 = 27
⇒ 13x = 27 + 12
⇒ 13x = 39
⇒ x = 39/13
∴ x = 3
এখন x = 3 কে (2) নং সমীকরণে বসাই, 
⇒ y = 2(3) - 4
⇒ y = 6 - 4
∴ y = 2

সুতরাং, y এর মান 2

চিত্রে,
A = {1, 2, 6, 7},
B = {1, 4, 5, 6},
C = {1, 2, 3, 4}

∴ A∪B = {1, 2, 4, 5, 6, 7} 
∴ (A∪B)∩C = {1, 2, 4, 5, 6, 7}∩{1, 2, 3, 4}
                = {1, 2, 4}

প্রশ্ন: log₁₀p = - 3 হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₁₀p = - 3
⇒ p = 10^{- 3}
⇒ p = 1/10³
⇒ p = 1/1000
∴ p = 0.001

ধরি,
প্রথম পদ = a
এখানে সাধারণ অন্তর, d = 10
∴ ষষ্ঠ পদ = a + (6 - 1) × 10
⇒ 65 = a + 50
∴ a = 15

প্রশ্ন: যদি a + b + c = 0, তবে a³ + b³ + c³ - 3abc = ?

সমাধান:
আমরা জানি, 
a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)
যেহেতু,
a + b + c = 0

∴ a³ + b³ + c³ - 3abc = 0

 a² = 3a−1
⇒ a² + 1= 3a
⇒ (a² + 1)/a = 3
⇒ a + 1/a = 3
⇒(a + 1/a)² = 3²
⇒ a² + 2.a.1/a + 1/a² = 9
⇒ a² + 1/a² = 9 - 2
⇒ (a² + 1/a²)² = 7²
⇒ a⁴ + 2.a².1/a² + 1/a⁴ = 49
⇒ a⁴ + 1/a⁴ = 49 - 2
⇒ a⁴ + 1/a⁴ = 47