বীজগণিত

log2 + log4 + log 8+.....  
= log2 + log 2² + log 2³+.....
= log2 + 2log 2+ 3log 2 +......
= (1+2+3 +......) log 2
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
সাধারণ অন্তর d= (2-1) log 2 = log 2

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির অষ্টম পদ কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = 8

∴ অনুপাত, r = 8/16
= 1/2

∴ অষ্টম পদ = ar^{8 - 1} = ar⁷
= 16 × (1/2)⁷
= 16/128
= 1/8

ধরি, বইয়ের মূল্য x টাকা। তাহলে কলমের মূল্য x-17 টাকা।
প্রশ্নমতে,
x + x - 17 = 103
⇒ 2x = 120
∴ x = 60

প্রশ্ন:
 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x পূর্ণসংখ্যা এবং
⇒ - 1 ≤ (3x - 4)/7 ≤ 5 
⇒ - 7 ≤ (3x - 4) ≤ 35  ; [7 দ্বারা গুণ করে]
⇒ - 7 + 4 ≤ 3x ≤ 35 + 4 ; [4 যোগ করে]
⇒ - 3 ≤ 3x ≤ 39
⇒ - 1 ≤ x ≤ 13  ; [3 দ্বারা ভাগ করে]

যেহেতু x পূর্ণসংখ্যা,x = - 1, 0, 1, 2, …,13 

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম মান = - 1 এবং বৃহত্তম মান = 13​

প্রশ্ন: একজন শিক্ষক প্রতিদিন ক্লাস নিলে ৮০০ টাকা পান। যদি কোনো দিন অনুপস্থিত থাকেন তবে সেই দিনের জন্য ২০০ টাকা করে মোট বেতন থেকে কেটে নেওয়া হয়। ২০২৫ সালের আগস্ট মাসে তিনি মোট ২০,৮০০ টাকা বেতন পেলেন। তিনি কতদিন ক্লাস নিয়েছিলেন?

সমাধান:
মনে করি,
উপস্থিত ছিলেন = ক দিন
অনুপস্থিত ছিলেন = (৩১ - ক) দিন [আগস্ট মাস = ৩১ দিন]

প্রশ্নমতে,
৮০০ক - ২০০(৩১ - ক) = ২০৮০০
⇒ ৮০০ক - ৬২০০ + ২০০ক = ২০৮০০
⇒ ১০০০ক = ২০৮০০ + ৬২০০
⇒ ১০০০ক = ২৭০০০
⇒ ক = ২৭০০০/১০০০
⇒ ক = ২৭

অর্থাৎ তিনি ঐ মাসে ২৭ দিন উপস্থিত ছিলেন। 

প্রশ্ন: একটা থলেতে 5 টি লাল, 6 টি সাদা ও 7 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটা বল নেয়া হলো। বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
থলেতে লাল বলের সংখ্যা = 5 টি
থলেতে সাদা বলের সংখ্যা = 6 টি
থলেতে কালো বলের সংখ্যা = 7 টি

∴ থলেতে মোট বলের সংখ্যা (5 + 6 + 7) = 18 টি।
দৈবভাবে একটা বল নেয়া হলে 18 টি বলের যেকোনো একটি আসতে পারে।
সুতরাং মোট সম্ভাব্য ফলাফল = 18।

∴ দৈবভাবে নেয়া বলটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = 7/18 

∴ দৈবভাবে নেয়া বলটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (7/18) = (18 - 7)/18
= 11/18

প্রশ্ন: |x + 7| ≤ 8 হলে, x এর সর্বনিম্ন মান কত?

সমাধান:
|x + 7| ≤ 8
⇒ - 8 ≤ x + 7 ≤ 8
⇒ - 8 - 7 ≤ x + 7 - 7 ≤ 8 - 7
⇒ - 15 ≤ x ≤ 1

∴ x এর সর্বনিম্ন মান = - 15

14x + x² = 0
বা, x² = -14x
∴ x = -14

n তম পদ
= a+(n-1)d
91 = 1+(n-1)3
বা, 91 = 1 + 3n - 3
বা, 3n = 91 + 2
n = 31
আবার n তম পদের যোগফল
= n/2{2a + (n - 1)d}
= 31/2{2.1 + (31 - 1)3}
= 15.5 × (2 + 90)
= 1426

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + …………… এই ধারাটির কোন পদের মান 768?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

∴ n তম পদ = a r^{n - 1}

⇒ 3 × 2^{n -1} = 768
⇒ 2^{n -1} = 768/3
⇒ 2^{n -1}  = 256
⇒ 2^{n - 1}  = 2⁸
⇒ n - 1 = 8
∴ n = 9

∴ ধারাটির ৯ম পদের মান 768

মধ্যমার সংজ্ঞানুসারে।

প্রশ্ন: p³ + ap + 5 = 0 এর একটি সমাধান যদি 1 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, p³ + ap + 5 = 0
যেহেতু সমীকরণটির একটি সমাধান 1, সেহেতু p = 1 দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।

এখন, p = 1 বসিয়ে পাই,
(1)³ + a(1) + 5 = 0
⇒ 1 + a + 5 = 0
⇒ a + 6 = 0
∴ a = - 6
অতএব, a এর মান - 6

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে মোট ঘটনা সংখ্যা কয়টি?
​
​​সমাধান:
​একটি মুদ্রা ফলাফল ২টি (H বা T)

একটি ছক্কা ফলাফল ৬টি (1, 2, 3, 4, 5, 6)
​
∴ ​মোট ঘটনা সংখ্যা = মুদ্রা × ছক্কা = 2 × 6 = 12

প্রশ্ন: দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার বর্গের অন্তর 36 হলে, সংখ্যাদ্বয় কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম জোড় সংখ্যা = x
∴ পরবর্তী জোড় সংখ্যা = x + 2

প্রশ্নমতে,
(x + 2)² − x² = 36
⇒ x² + 4x + 4 − x² = 36
⇒ 4x + 4 = 36
⇒ 4x = 32
⇒ x = 8

∴ সংখ্যাদ্বয় = 8 এবং 10

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 3, শেষ পদ 243 এবং সাধারণ অনুপাত 3 হলে ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির দ্বিতীয় পদ = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 3
প্রথম পদ, a = 3/3 = 1
n তম পদ = ar^{n - 1} 
⇒ 243 = 1 × 3^{n - 1}
⇒ 3⁵ = 3^{n - 1}
⇒ n - 1 = 5
⇒ n = 5 + 1 = 6

গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) [যেখানে, r > 1]

∴ ধারাটির 6 টি পদের সমষ্টি = 1 × {(3⁶ - 1)/(3 -1)}
= (729 - 1)/2
= 728/2
= 364

প্রশ্ন: x + (1/x) = 2 হলে, x⁴⁹⁹⁹ + x⁵⁰⁰⁰ এর মান কত ?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + (1/x) = 2
⇒ (x² + 1)/x = 2
⇒ x² + 1 = 2x
⇒ x² - 2x + 1 = 0
⇒ (x - 1)² = 0 
⇒ x - 1 = 0
∴ x = 1

এখন, x⁴⁹⁹⁹ + x⁵⁰⁰⁰
= 1⁴⁹⁹⁹ + 1⁵⁰⁰⁰
= 1 + 1
= 2

x² -11x - 126 = x² -18x + 7x - 126 = x(x - 18) + 7(x - 18) = (x - 18)(x + 7)
x² -11x - 126 > 0 অসমতাটি সত্য হবে যদি (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হয় বা উভয়ই ঋনাত্মক হয়।
(x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হলে, (x - 18) > 0 বা, x > 18 এবং (x + 7) > 0 বা, x > - 7
সুতরাং, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হলে, x > 18 এবং x > - 7
x > 18 হলে, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হবে কিন্তু x > - 7 হলে, উভয়ই ধনাত্মক হবে না।
আবার, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ঋনাত্মক হলে, (x - 18) < 0 বা, x < 18 এবং (x + 7) < 0 বা, x < -7
সুতরাং, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ঋনাত্মক হলে, x < 18 এবং x < - 7
x < 18 হলে, (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হবে না কিন্তু x < - 7 হলে, উভয়ই ধনাত্মক হবে।
সুতরাং (x - 18) ও (x + 7) উভয়ই ধনাত্মক হবে যদি ও কেবল যদি x > 18 ও x < - 7 হয়।
অর্থাৎ (- ∞, -7)∪(18, ∞) হয়।

যেহেতু x²+7x+p যদি x-5 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তবে x = 5 বসালে x²+7x+p = 0 হবে।
এখন,
5² + 7 X 5 + p = 0
⇒ 25 + 35 + p = 0
∴ p = -60

প্রশ্ন: 2x³ + 3x² - 11x - 6 রাশিটির উৎপাদক বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x³ + 3x² - 11x - 6
f(2) নির্ণয় করি,
f(2) = 2(2)³ + 3(2)² - 11(2) - 6
= 16 + 12 - 22 - 6
= 0
∴ (x - 2) হলো f(x) এর একটি উৎপাদক।

3x – 7y + 10 = 0 ………….. (1)
y – 2x – 3 = 0 …………….. (2)
(1) × 1 এবং (2) × 7 করে যোগ করে পাই,
অতএব, x = -1
এখন, x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
y = 1
(x, y) = (-1, 1)

প্রশ্ন: log_√381 এর মান কত? 

সমাধান: 
log_√381
= log_√33⁴
= log_√3(√3)^{2 × 4}
= log_√3(√3)⁸
= 8log_√3√3
= 8 . 1
= 8

এখানে ১ম পদ a = 2000
সাধারণ অন্তর d =100
আমরা জানি, n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2a + (n - 1)d} × n/2
∴18 সংখ্যক পদের সমষ্টি = {2 × 2000 + (18 - 1) × 100} × 18/2 = 51300
∴তিনি প্রথম 18 মাসে মোট জমা করেন = 51300 টাকা

প্রশ্ন: যদি P(A) = 2/5, P(B) = 3/8 এবং A ও B স্বাধীন হয়, তাহলে P(B|A) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 2/5
P(B) = 3/8
A ও B স্বাধীন ঘটনা।

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (2/5) × (3/8)
= 3/20

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (3/20)/(2/5)
= (3/20) × (5/2)
= 3/8
∴ P(B|A) এর মান = 3/8

Shortcut:
যেহেতু A ও B স্বাধীন ঘটনা, তাই একটি ঘটনার সম্ভাবনা অন্যটি ঘটার উপর নির্ভরশীল নয়।
তাই, A ঘটনা ঘটার সাপেক্ষে B ঘটনার সম্ভাবনা P(B|A) হলো শুধুমাত্র P(B) এর সমান।
∴ P(B|A) = P(B) = 3/8

x⁶ + 4x³ − 1
= (x²)³ + x³ + (-1)³ - 3x².x(-1)
= (x² + x - 1){(x²)² + x² + (-1)² - x²x - x(-1) - (-1)x²} [As, x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)]
= (x² + x - 1)(x⁴ - x³ + 2x² +x + 1)

x² > 8; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {3, 4, 5 .......}
x³ < 30; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2, 3}

উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {3, 4, 5 .......} ∩ {1, 2, 3}
= {3}

২m সংখ্যক জিনিস সমান দুই ভাগে বিভক্ত করলে সমাবেশ সংখ্যা = (২m)!/২!(m!)^২ ।
৮ বা (২X৪) জন খেলোয়াড়কে সমান সংখ্যক দুইটি দলে বিভক্ত করার উপায়= ৮!/ [২!(৪!)^২] = ৩৫ ।

বিকল্প সমাধানঃ

প্রতি দলে ৪ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৮ জন থেকে ৪ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ^৮C_৪ = (৮)!/(৪!(৮-৪)!) = ৭০ ।
সমান সংখ্যক বা ৪ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ৭০/২ = ৩৫ ।

log₁₀(1/70)
= log₁₀1 − log₁₀70
= − log₁₀(7×10) [যেহেতু, log₁₀1 = 0]
= − (log₁₀7 + log₁₀10)
= − (a + 1) [যেহেতু, log₁₀7 = a]

∴ log₁₀(1/70) = - (a + 1)

প্রশ্ন: যদি a = √5 + 2 এবং b = √5 - 2 হয়, তাহলে a³ + b³ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a = √5 + 2 এবং b = √5 - 2

এখন,
a + b = √5 + 2 + √5 - 2 = 2√5
ab = (√5 + 2)(√5 - 2)
= (√5)² - (2)²
= 5 - 4
= 1

আমরা জানি,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (2√5)³ - 3 × 1 × 2√5
= 8 × (√5)³ - 6√5
= 8 × 5√5 - 6√5
= 40√5 - 6√5
= 34√5

4 → 2²×1
18 → 3²×2
48 → 4²×3
100 → 5²×4
180 → 6²×5
294 → 7²×6

প্রশ্ন: P(X) = 2/5 এবং P(Y) = 1/3; X ও Y দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে P(Y/X) = কত?

সমাধান:
X ও Y স্বাধীন ঘটনা,
∴ P(X ∩ Y) = P(X) × P(Y)
= (2/5) × (1/3)
= 2/15

∴ P(Y/X) = P(X ∩ Y)/P(X)
= (2/15)/(2/5)
= (2/15) × (5/2)
= 1/3

প্রশ্ন: a + b = 9 এবং ab = 20 হলে, a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 9
এবং ab = 20

আমরা জানি,
a³ + b³
= (a + b)³ - 3ab(a + b)
= (9)³ - 3 × 20 × 9
= 729 - 540
= 189

সুতরাং, a³ + b³ এর মান হলো 189 ।

প্রশ্ন: C = {x : x ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x² < 18} হলে, সেটের উপাদানগুলো হবে?

সমাধান:
x এর মান ঋণাত্মক হতে হবে এবং বর্গ করলে যেন উহা 18 এর ছোট হয়। এরূপ সংখ্যা-

(- 1)² = 1 < 18; যা 18 এর চেয়ে ছোট
(- 2)² = 4 < 18; যা 18 এর চেয়ে ছোট
(- 3)² = 9 < 18; যা 18 এর চেয়ে ছোট
(- 4)² = 16 < 18; যা 18 এর চেয়ে ছোট

∴ C = {- 1, - 2, - 3, - 4}

প্রশ্ন: 4 + 12 + 36 + ....... এই ধারার প্রথম ৭টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
এই ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
দেওয়া আছে, 
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 3
এবং পদ সংখ্যা n = 7

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার প্রথম n টি পদের সমষ্টি, 
Sn = a × [(rⁿ - 1)/(r - 1)]
S₇ = 4 × [(3⁷ - 1)/(3 - 1)]
= 4 × [(3⁷ - 1)/2]
= 4 × [(2187 - 1)/2]
= 4 × [2186/2]
= 4 × 1093
= 4372

∴ 7 টি পদের যোগফল 4372

3x + 2y = 7
বা, 3x + 2.2x = 7
বা, 7x = 7
∴ x = 1
∴ y = 2x = 2.1
∴ y = 2