বীজগণিত

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে 5^{x + 2} = 1/125 হবে?

সমাধান:
5^{x + 2} = 1/125
⇒ 5^{x + 2} = 1/(5³)
⇒ 5^{x + 2} = 5^{- 3}
⇒ x + 2 = - 3
⇒ x = - 3 - 2
∴ x = - 5

যেহেতু, xyz < 0, z > 0
∴ xy < 0 অর্থাৎ xy ঋণাত্মক।

প্রশ্ন: 25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x এর মান কোনটি?

সমাধান:
25^x + 25^x + 25^x + 25^x + 25^x
= 25^x(1 + 1 + 1 + 1 + 1)
= 25^x × 5
= (5²)^x × 5¹
= 5^2x × 5¹
= 5^{(2x + 1)}

প্রশ্ন: একটি ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো এবং প্রাপ্ত সংখ্যাদ্বয়ের সমষ্টি 10। 5 সংখ্যাটি অন্তত একবার পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হলো
প্রাপ্ত সংখ্যাদ্বয়ের যোগফল = 10
এখন,
সমষ্টি 10 হওয়ার সম্ভাব্য জোড়াসমূহ (প্রথম ছক্কা, দ্বিতীয় ছক্কা), (4, 6), (5, 5), (6, 4)
∴ মোট ফলাফল = 3টি
এবং, অন্তত একবার 5 প্রকাশ পাওয়ার ফলাফল, 
উপরের জোড়াসমূহ থেকে শুধুমাত্র (5, 5) জোড়ায় অন্তত একটি 5 আছে।
∴ অনুকূল ফলাফল = 1টি
∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল = 1/3

²ⁿC_r = ²ⁿC_r+2
⇒ 2n!/{r!(2n-r)!} = 2n!/{(r+2)! (2n-r-2)!}
⇒ 1/(2n-r)(2n-r-1) = 1/(r+2)(r+1)
⇒ r² + 2r + r + 2 = 4n² -2nr – 2nr + r² - 2n + r
⇒ 2r + 4nr = 4n² - 2n – 2
⇒ r(2n + 1) = 2n² - n -1
⇒ r(2n + 1) = 2n² - 2n + n -1
⇒ r(2n + 1) = (2n+1) (n-1)
∴ r = (n-1)

১ম মুদ্রাটি 5 টি দান বাক্সের যেকোনটিতে ফেলা যায় যা 5 উপায়ে হয়।
অনুরুপে ২য়, ৩য়, ৪র্থ, ৫ম, ৬ষ্ঠ প্রতিটি মুদ্রা 5 উপায়ে ফেলা যায়
∴ মুদ্রা দান বাক্সে ফেলার মোট উপায় = 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5
= 5⁶

প্রশ্ন: 6a² + 3ab, 2a³ + 5a² - 12a এবং a⁴ - 8a এর গ.সা.গু. নির্ণয় করুন-

সমাধান: 
প্রথম রাশি, 
 6a² + 3ab
= 3a(2a + b)

দ্বিতীয় রাশি,
2a³ + 5a² - 12a
= a(2a² + 5a - 12)

তৃতীয় রাশি,
a⁴ - 8a
= a(a³ - 8)
= a(a³ - 2³)
= a(a - 2)(a² + 2a + 4)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. = a

প্রশ্ন: একটি শ্রেণীতে প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে ছাত্র বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন ছাত্র দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণীর ছাত্রসংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চ সংখ্যা = কটি

প্রতি বেঞ্চে ৪ জন করে বসলে ২টি বেঞ্চ ফাঁকা থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = (ক - ২) × ৪

প্রতি বেঞ্চে ৩ জন করে বসলে ৬ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ ছাত্রসংখ্যা = ৩ক + ৬

প্রশ্নমতে,
(ক - ২) × ৪ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৮ = ৩ক + ৬
⇒ ৪ক - ৩ক = ৬ + ৮
∴ ক = ১৪

∴ বেঞ্চ সংখ্যা = ১৪
∴ ছাত্রসংখ্যা = (১৪ - ২) × ৪ জন
= ১২ × ৪ = ৪৮ জন

প্রশ্ন: ''APPLE'' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
''APPLE'' শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা ৫ টি
এর মধ্যে p = ২ টি
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = ৫!/২!
= (৫ × ৪ × ৩ ×  ২ × ১)/২
= ৬০

প্রশ্ন: ab + bc + ca = 26, a² + b² + c² = 29 হলে  a + b + c এর মান কত? 

সমাধান:
আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b²+ c² + 2(ab + bc + ca)
⇒ (a + b + c)² = 29 + (2 × 26)
⇒ (a + b + c)² = 81
∴ a + b + c = 9

52 জনকে 4 টি সমান সংখ্যক দলে ভাগ করা যায় = 52!/(13!)⁴ উপায়ে

ax - by = 0
বা, ax = by
∴ x = (b/a)y
আবার,
ay - bx = a² - b²
বা, ay - b.(b/a)y = a² - b²
বা, y(a - b²/a) = a² - b²
y × (a² - b²)/a = a² - b²
বা, y/a = 1
∴ y = a

প্রশ্ন: ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০ সংখ্যাগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
সংখ্যাগুলো ঊর্ধ্বক্রমে সাজানো আছে।
এখানে মোট সংখ্যা = ৭টি (বিজোড় সংখ্যা)।
বিজোড় সংখ্যক ক্ষেত্রে মধ্যক = (৭+১)/২-তম সংখ্যা
= ৪র্থ সংখ্যা।
৪র্থ সংখ্যা = ১৪

∴ সঠিক উত্তর খ) ১৪

প্রশ্ন: প্রদত্ত উপাত্তগুলো মধ্যক কোনটি? 
১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ৮, ২৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১ 

সমাধান: 
প্রদত্ত উপাত্তগুলো,
১২, ৯, ১৫, ৫, ২০, ৮, ২৫, ১৭, ২১, ২৩, ১১  

প্রদত্ত উপাত্তগুলোকে ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজিয়ে পাই,
৫, ৮, ৯, ১১, ১২, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫ = ১১টি (বিজোড় সংখ্যক)  

আমরা জানি, 
উপাত্ত বিজোড় সংখ্যক হলে মধ্যক,
মধ্যক = (n + ১)/২ তম পদ
= (১১ + ১)/২
= ৬ তম পদ   

∴ ৬ তম পদটি হলো ১৫ 

প্রশ্ন: যদি দুইটি সেটের মধ্যে কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে তবে সেট দুইটি পরস্পর-

সমাধান: 
যদি দুইটি সেটের মধ্যে যদি কোনো সাধারণ উপাদান না থাকে তবে সেট দুইটিকে পরস্পর নিশ্ছেদ সেট বলে। 
মনে করি,
A ও B দুইটি সেট।
A ∩ B = Ø হলে A ও B পরস্পর নিশ্ছেদ সেট হবে।

আমরা জানি, লগের ভিত্তি পরিবর্তন log_aM=log_bM×log_ab; অনুরূপ ভাবে log₁₀√2=log₂√2×log₁₀2

 (2x + 3y)³
= (2x)³ + 3(2x)²3y + 3.2x(3y)² + (3y)³
= 8x³ + 36x²y + 54xy² + 27y³

প্রশ্ন: 3x² - 5x + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 3x² - 5x + 4 = 0।
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 3
b = - 5
c = 4

এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (-5)² - 4 × 3 × 4
= 25 - 48
= - 23 < 0

যেহেতু, নিশ্চায়ক (D) এর মান ঋণাত্মক (D < 0), তাই বাস্তব মূল নাই।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো কাল্পনিক।

• ধরি a, b, c মূলদ সংখ্যা। তাহলে-
1) b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
2) b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ না হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ হবে।
3) b² - 4ac = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
4) b² - 4ac < 0 হলে সমীকরণটির বাস্তব মূল নাই।

প্রশ্ন: একটি দোকানের ৪২ টি পণ্য রয়েছে। প্রতিটি পণ্য বিক্রয় হলে ৫০০ টাকা কমিশন এবং প্রতিটি পণ্য বিক্রয় না হলে ২০০ টাকা বেতন কাটা যাবে এমন শর্তে যদি একজন সেলসম্যান একটি নির্দিষ্ট মাসে ১২৬০০ টাকা বেতন পান তবে তিনি কতটি পণ্য বিক্রয় করেছিলেন?

সমাধান:
ধরি,
বিক্রিত পণ্যসংখ্যা = ক টি 

প্রশ্নমতে,
৫০০ক - ২০০(৪২ - ক) = ১২৬০০
⇒ ৫০০ক - ৮৪০০ + ২০০ক = ১২৬০০
⇒ ৭০০ক = ১২৬০০ + ৮৪০০
⇒ ৭০০ক = ২১০০০
⇒ ক = ২১০০০/৭০০
⇒ ক = ৩০

∴ সেলসম্যানের বিক্রিত পণ্য = ৩০ টি 

প্রশ্ন: 36√6 এর 6 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান:
log₆36√6 = x
⇒ 6^x = 36√6
⇒ 6^x = 6² . 6^1/2
⇒ 6^x = 6^{2 + (1/2)}
⇒ 6^x = 6^5/2
⇒ x = 5/2

প্রশ্ন: x² - 7x + 12 এবং x³ - 6x² + 11x - 6 এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
প্রথম রাশি:
x² - 7x + 12
= x² - 4x - 3x + 12
= x(x - 4) - 3(x - 4)
= (x - 4)(x - 3)

দ্বিতীয় রাশি:
ধরি, f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
f(3) = 3³ - 6(3)² + 11(3) - 6
= 27 - 54 + 33 - 6
= 0

যেহেতু f(3) = 0, তাই (x - 3) হবে f(x)-এর একটি উৎপাদক।

এখন,
f(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
= x³ - 3x² + 2x - 3x² + 9x - 6
= (x - 3)(x² - 3x + 2)
= (x - 3)(x - 2)(x - 1)

প্রথম রাশি = (x - 4)(x - 3)
এবং দ্বিতীয় রাশি = (x - 3)(x - 2)(x - 1)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু. হলো উভয় রাশির সাধারণ উৎপাদক, যা হলো (x - 3)।

প্রশ্ন: 4x² - 12x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
4x² - 12x
= (2x)² - 2.2x.3 + 3² - 3²
= (2x - 2)² - 9
∴  4x² - 12x এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: যদি x - y = 3 হয়, তবে x³ - y³ - 9xy এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
x - y = 3

প্রদত্ত রাশি = x³ - y³ - 9xy
= (x - y)³ + 3xy(x - y) - 9xy
= (3)³ + (3xy × 3) - 9xy
= 27 + 9xy - 9xy
= 27

প্রশ্ন: যদি 3x³ + 4x² - 5x + k = 0 এর একটি উৎপাদক (x - 2) হয়, তাহলে k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 3x³ + 4x² - 5x + k
∴ f(2) = 3(2)³ + 4(2)² - 5(2) + k
= 3 × 8 + 4 × 4 - 10 + k
= 24 + 16 - 10 + k
= 30 + k

এখন,
3x³ + 4x² - 5x + k এর একটি উৎপাদক x - 2 হলে, f(2) = 0 হবে।
∴ f(2) = 0
⇒ 30 + k = 0
⇒ k = - 30

সুতরাং, k এর মান - 30

2y/x - x/y
= (2y² - x²) / xy

মোট কলম = ৬ + ৮ + ১০ = ২৪,
কলো নয় এমন কলম = ৮ + ১০ = ১৮টি
∴ সম্ভাবনা = ১৮/২৪ = ৩/৪

প্রশ্ন: ৩ - [৮ - {৫ + (- ৪ + ৭ - ৬)}]-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
৩ - [৮ - {৫ + (- ৪ + ৭ - ৬)}]
= ৩ - [৮ - {৫ + (- ৩)}]
= ৩ - [৮ - {২}]
= ৩ - [৬]
= - ৩

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হতে ইচ্ছেমত ১টি সংখ্যা নির্বাচন করা হলে সংখ্যাটি মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = (৪০ - ২০) + ১ = ২১ টি
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭
∴ মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/২১

∴ মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা = {১ - (৪/২১)}
= {(২১ - ৪)/২১}
= ১৭/২১ 

প্রশ্ন: ০.৪ + ০.০৪ + ০.০০৪ + ...... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির প্রথম পদ, a = ০.৪ 
= ৪/১০ = ২/৫

ধারাটির সাধারণ অনুপাত r = ০.০৪/০.৪ = ১/১০

∴ সমষ্টি, S = a/(1 - r) 
= ০.৪/(১ - ১/১০)
= ০.৪/(৯/১০)
= ৪/৯

১ম সমীকরণটির উভয়পক্ষে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
4x + 2y = 24
২য় সমীকরণটি,
4x + 2y = 5
বিয়োগ করে পাই,
0 = 19, যা অসম্ভব।
কাজেই এরূপ সমীকরণ জোটের কোন সমাধান নেই।