বীজগণিত

n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n(n + 1)/2
∴ 105টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = 105(105 + 1)/2
= (105 × 106)/2
= 5565

x² + y² + z², x² - y² + z², -x² + y² - z² তিনটি বীজগণিতীয় রাশি।
এখন, প্রথম দুইটি রাশির যোগফল = 2x² + 2z² 
∴ প্রথম দুইটি রাশির যোগফল থেকে তৃতীয় রাশি বিয়োগ করলে বিয়োগফল = 3x² - y² + 3z²

প্রশ্ন: 2.8 + (5.2 ÷ 1.3 × 2) - 6 × 4 ÷ 8 + 2 = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
2.8 + (5.2 ÷ 1.3 × 2) - 6 × 4 ÷ 8 + 2
= 2.8 + (4 × 2) - 6 × 0.5 + 2
= 2.8 + 8 - 3 + 2
= 12.8 - 3
= 9.8

x² - 5x + 6 < 0
⇒ x² - 3x - 2x + 6 < 0
⇒ x (x - 3) - 2 (x - 3) < 0
⇒ (x - 3) (x - 2) < 0
অর্থাৎ, (x - 3) ও (x - 2) এর মধ্যে একটি ধনাত্মক ও একটি ঋণাত্মক হবে।
2 < x < 3 হলে, x - 3 < 0, এবং x - 2 > 0
∴ নির্ণেয় অসমতা = 2 < x < 3

(x - y)²
= (x + y)² - 4xy
= 10² - 4.24
= 4 
∴ x - y = 2

∴ (x + y) + (x - y) = 10 + 2
বা, 2x = 12 
∴ x = 6

দেওয়া আছে, x - y = 2, xy = 3
∴ x + y = √{(x - y)² + 4xy}
= √{(2)² + 4.3}
= √16
= ±4

প্রশ্ন: x² - 10xy - 11y² এর উৎপাদক -

সমাধান: 
= x² - 10xy - 11y2
= x² - 11xy + xy - 11y²
= x(x - 11y) + y(x - 11y)
= (x - 11y)(x + y)

x² + y² = 185 ---------- (1)
⇒ (x - y)² + 2xy = 185
⇒ 2xy = 185 - (3)²
⇒ 2xy = 176 -------- (2)
আবার,
x² + y² = (x + y)² - 2xy
⇒ 185 = (x + y)² - 176 [1 ও 2 থেকে মান বসিয়ে]
⇒ (x + y)²= 361
⇒ x + y = 19 ---------- (3)
এখন,
(x + y) + (x - y) = 19 + 3
⇒ 2x = 22
⇒ x = 11
এবং,
(x + y) - (x - y) = 19 - 3
⇒ 2y = 16
⇒ y = 8
∴ (x, y) = (11, 8)

প্রশ্ন: ARRANGE শব্দটিকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
ARRANGE শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৭টি যেখানে A আছে ২টি, R আছে ২টি বাকিগুলো ভিন্ন।
∴ মোট সাজানোর উপায় = ৭!/(২! × ২!)
= ১২৬০

প্রশ্ন: log_a√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান: 
log_a√216 = 3/2
⇒ a^(3/2) = √216
⇒ (a^3/2)² = (√216)²
⇒ a³ = 216
⇒ a³ = 6³
∴ a = 6

ধরি, সংখ্যাটি x
শর্তমতে, √x + ১০ = ৪^২
বা, √x = ১৬ - ১০ = ৬
বা, (√x)২ = ৬^২ = ৩৬
∴ x = ৩৬

১ম পদ (a) = ১,
সাধারণ অন্তর (d) = ৫ - ১ = ৪
শেষ পদ = a + (n - ১)d = ৮১
বা, ১ + (n - ১)৪ = ৮১
বা, (n - ১)৪ = ৮০
বা, n - ১ = ২০
∴ n = ২১

∴ সমষ্টি (s) = n/২ {২a + (n - 1)d}
= (২১/২){(২ × ১) + (২১ - ১)৪}
= (২১/২)(২ + ৮০)
= ২১ × ৪১

∴ গড় = (২১ × ৪১)/২১
= ৪১

⁴√x³ = 8
বা, x³ = (8)⁴ = (2⁴)³
বা, x = 2⁴
= 16

প্রশ্ন: (2x^{- 1})² ÷ x^{- 5} = কত?

সমাধান:
(2x^{- 1})² ÷ x^{- 5}
= 2² × x^{- 2} ÷ x^{- 5}
= 4 × x^{- 2 - (- 5)}
= 4 × x^{- 2 + 5}
= 4 × x³
= 4x³

প্রশ্ন: 'CALCULUS' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'CALCULUS' শব্দটির মোট অক্ষর = 8টি

এদের মধ্যে,
C অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি
L অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি
U অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = 2টি

∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = 8!/(2! × 2! × 2!)
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)/{(2 × 1) × (2 × 1) × (2 × 1)}
= 40320/(2 × 2 × 2)
= 40320/8
= 5040

∴ 'CALCULUS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে 5040 উপায়ে সাজানো যায়।

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: a/b এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল 2b/a হবে? 

সমাধান: 
ধরি,
(a/b) এর সাথে x যোগ করলে যোগফল (2b/a) হবে 

প্রশ্নমতে, 
(a/b) + x = (2b/a)
⇒ x = (2b/a) - (a/b)
⇒ x = (2b² - a²)/ab
∴ x = (2b² - a²)/ab

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + 15 + ................ ধারাটির প্রথম 13টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রথম পদ a = 3
সাধারণ অন্তর d = 7 - 3 = 4
পদ সংখ্যা n = 13

S_n = (n/2)[2a + (n - 1)d]
⇒ S₁₃ = (13/2)[2 × 3 + (13 - 1) × 4]
⇒ S₁₃ = (13/2) [6 + 12 × 4]
⇒ S₁₃ = (13/2) [6 + 48]
⇒ S₁₃ = (13/2) × 54
⇒ S₁₃ = 13 × 27
⇒ S₁₃ = 351

∴ প্রথম 13টি পদের সমষ্টি 351 

x² + (a + b)x + ab = 0
বা, x² + ax + bx + ab = 0
বা, x(x + a) + b(x + a) = 0
বা, (x + a)(x + b) = 0
∴ x = -a, -b
∴ সমাধান সেট = {-a, -b}

প্রশ্ন: 16^{n - (1/2)} = 64 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
16^{n - (1/2)} = 64
⇒ (2⁴)^{n - (1/2)} = 2⁶
⇒ 2^{4n - 2} = 2⁶
⇒ 4n - 2 = 6
⇒ 4n = 6 + 2
⇒ 4n = 8
⇒ n = 8/4
∴ n = 2

মনে করি,
১০ বছর পূর্বে পিতার বয়স ছিল ৫x বছর এবং পুত্রের বয়স ছিল ৩x বছর।
∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫x + ১০) বছর এবং পুত্রের বর্তমান বয়স (৩x +১০) বছর।

প্রশ্নমতে,
(৫x + ১০) + (৩x +১০) = ৮৪
⇒ ৮x + ২০ = ৮৪
⇒ ৮x = ৬৪
∴ x = ৮

∴ পিতার বর্তমান বয়স (৫ × ৮ + ১০) = ৫০ বছর
এবং পুত্রের বর্তমান বয়স (৩ × ৮ +১০) = ৩৪ বছর

∴ ১০ বছর পর পিতা ও পুত্রের বয়সের অনুপাত হবে
(৫০+১০) : (৩৪+১০)
= ৬০ : ৪৪
= ১৫ : ১১

প্রশ্ন: 256 এর √2 ভিত্তিক লগারিদম কত?

সমাধান: 
256 এর √2 ভিত্তিক লগারিদম = log_√2256
= log_√22⁸
= 8 × log_√22
= 8 × log_√2(√2)²
= 2 × 8 × log_√2√2
= 2 × 8 × 1
= 16

-ax² + ax + 1
= 4x² - 4x + 1 [যখন a = -4]
= (2x - 1)²
∴ a = -4

a^{3x2 - 27} = b^{3x2 - 27}
বা, a^{3x2 - 27}/b^{3x2 - 27} = 1
বা, (a/b)^{3x2 - 27} = (a/b)⁰
বা, 3x² - 27 = 0
বা, 3x² = 27
বা, x² = 9
∴ x = ±3

প্রশ্ন:    হলে, x = কত?

সমাধান: 

১ম পদ (a) = ৪,
সাধারণ অন্তর (d) = ৭ - ৪ = ৩
পদসংখ্যা (n) = ২৮
∴ ২৮-তম পদ = a + (২৮ - ১)d
= ৪ + ২৭ × ৩
= ৮৫