বীজগণিত

PrepBank · পাতা ৪২ / ২০১ · ৪,১০১–৪,২০০ / ২০,২০৭

৪,১০১.

(6x - y, - 6x + 5y) = (1, 7) হলে x এর মান কত?

ক
1/2
খ
2
গ
1/3
ঘ
3

সঠিক উত্তর: ক

1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

1/2

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (6x - y, - 6x + 5y) = (1, 7) হলে x এর মান কত?

সমাধান:
6x - y = 1 ..................... (1)
- 6x + 5y = 7 ................ (2)

(1) + (2) হতে পাই,
6x - y - 6x + 5y = 1 + 7
⇒ 4y = 8
⇒ y = 8/4
∴ y = 2

এখন, 6x = 1 + 2
⇒ x = 3/6
∴ x = 1/2

৪,১০২.

যদি 56 - x এবং 38 - x এর জ্যামিতিক গড় 46 - x হয়, তাহলে x এর মান কত?

ক
4
খ
5
গ
6
ঘ
8

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 56 - x এবং 38 - x এর জ্যামিতিক গড় 46 - x হয়, তাহলে x এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার জ্যামিতিক গড়

∴ √{(56 - x).(38 - x)} = 46 - x
⇒ (38 - x)(56 - x) = (46 - x)²
⇒ 2128 - 38x - 56x + x² = 2116 - 92x + x²
⇒ 2128 - 94x = 2116 - 92x
⇒ 2128 - 2116 = 94x - 92x
⇒ 2x = 12
∴ x = 6

৪,১০৩.

x > y এবং z < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
ক) z/x < z/y
খ
খ) xz < yz
গ
গ) xz > yz
ঘ
ঘ) x/z > y/z

সঠিক উত্তর: খ

খ) xz < yz

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) xz < yz

খ

ব্যাখ্যা

x > y...….....(1)
z < 0............(2)

(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা
(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz.

৪,১০৪.

(x - y)(y + 3) কোন রাশির উৎপাদক?

ক
x² - 3y + 3
খ
xy - 3y + y²
গ
xy - y² - 3y + 3x
ঘ
xy - 3y + y² + 3x

সঠিক উত্তর: গ

xy - y² - 3y + 3x

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

xy - y² - 3y + 3x

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (x - y)(y + 3) কোন রাশির উৎপাদক?

সমাধান:
(x - y)(y + 3
= x(y + 3) - y(y + 3)
= xy + 3x - y² - 3y
= xy - y² - 3y + 3x

xy - y² - 3y + 3x এর উৎপাদক হচ্ছে (x - y)(y + 3)

৪,১০৫.

x - y = 3 এবং xy = 10 হলে, (x + y)² এর মান কত?

ক
49
খ
30
গ
90
ঘ
39

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x - y = 3 এবং xy = 10 হলে, (x + y)²এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x - y = 3
xy = 10

এখন
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
(x + y)² = 3² + 4 × 10
(x + y)² = 9 + 40
(x + y)² = 49

৪,১০৬.

1 + 5 + 9 + 13 + ...... ধারাটির 21তম পদ কত?

ক
73
খ
77
গ
81
ঘ
85

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + 13 + ...... ধারাটির 21তম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 1 = 4

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
সমান্তর ধারার 21 তম পদ = 1 + (21 - 1) × 4
= 1 + 20 × 4
= 81

৪,১০৭.

ARGENTINA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা ও AMERICA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

ক
ক) 36
খ
খ) 18
গ
গ) 72
ঘ
ঘ) 8

সঠিক উত্তর: ক

ক) 36

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 36

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ARGENTINA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা ও AMERICA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
ARGENTINA শব্দটিতে মোট বর্ণ 9টি, যার মধ্যে 2টি A এবং ২টি N বিদ্যমান।
ARGENTINA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা ‍a = 9!/(2! × 2!)

আবার,
AMERICA শব্দটিতে মোট বর্ণ 7 টি, যার মধ্যে 2টি A বিদ্যমান।
AMERICA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা b = 7!/2!

∴ a/b = {9!/(2! × 2!)} / (7!/2!)
= {9!/(2! × 2!)} × (2!/7!)
= {(9 × 8 ×7!)/(2! × 2!)} × (2!/7!)
= 72/2!
= 36

∴ ARGENTINA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা ও AMERICA শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 36 গুণ।

৪,১০৮.

১১, ৯, ১০, ১২, ১১, ১২, ১৪, ১১, ১০, ২০, ২১, ১১, ৯, ১৮ উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

ক
২১
খ
১১
গ
১৪
ঘ
১৮

সঠিক উত্তর: খ

১১

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

১১

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১১, ৯, ১০, ১২, ১১, ১২, ১৪, ১১, ১০, ২০, ২১, ১১, ৯, ১৮ উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
এখানে,
১১ সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার (৪ বার) আছে।
তাই, প্রচুরক = ১১

৪,১০৯.

X = {x : x³ - 3x² + 3x - 1 = 0} এবং Y = {x : x ∈ R x, 3 দ্বারা বিভাজ্য} তবে (X ∩ Y) = কত?

ক
ক) {1, 3}
খ
খ) {3}
গ
গ) ∅
ঘ
ঘ) {1}

সঠিক উত্তর: গ

গ) ∅

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) ∅

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: X = {x : x³ - 3x² + 3x - 1 = 0} এবং Y = {x : x ∈ R x, 3 দ্বারা বিভাজ্য} তবে (X ∩ Y) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
X = {x : x³ - 3x² + 3x - 1 = 0}
এখন, x³ - 3x² + 3x - 1 = 0
বা, (x - 1)³ = 0
∴ x = 1
∴ x = {1}

আবার,
Y = {x : x ∈ R x, 3 দ্বারা বিভাজ্য}
x হলো 3 দ্বারা বিভাজ্য সকল সংখ্যা।
∴ Y = {3, 6, 9, 12, ..........}

এখন,
(X ∩ Y) = {1} ∩ {3, 6, 9, 12, ..........}
= ∅

৪,১১০.

যদি Q/P = 1/4 হয়, তবে (P + Q)/(P - Q) এর মান কত?

ক
ক) 3/5
খ
খ) 2/3
গ
গ) 5/3
ঘ
ঘ) 5/7

সঠিক উত্তর: গ

গ) 5/3

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 5/3

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি Q/P = 1/4 হয়, তবে (P + Q)/(P - Q) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
Q/P = 1/4
বা, P/Q = 4/1
বা, (P + Q)/(P - Q) = (4 + 1)/(4 -1) [যোজন বিয়োজন করে]
বা, (P + Q)/(P - Q) = 5/3

∴ (P + Q)/(P - Q) = 5/3

৪,১১১.

(3x + 4y) = 23 এবং (4x - 3y) = 14 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

ক
(5, 2)
খ
(3, 4)
গ
(4, 3)
ঘ
(2, 5)

সঠিক উত্তর: ক

(5, 2)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

(5, 2)

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (3x + 4y) = 23 এবং (4x - 3y) = 14 সরলরেখা দুটি কোন বিন্দুতে ছেদ করে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x + 4y = 23 ........ (1)
4x - 3y = 14 ........ (2)

{(1) নং × 3} + {(2) নং × 4} ⇒
(9x + 12y) + (16x - 12y) = 69 + 56
⇒ 25x = 125
⇒ x = 125/25
∴ x = 5

এবার, x এর এই মানটি (1) নং এ বসিয়ে পাই,
3(5) + 4y = 23
⇒ 15 + 4y = 23
⇒ 4y = 23 - 15
⇒ 4y = 8
∴ y = 2

সুতরাং, সরলরেখা দুটি (5, 2) বিন্দুতে ছেদ করে।

৪,১১২.

3x - 2y = 5, 2x + 3y = 12 সমীকরণদ্বয়ে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (5, 3)
খ
খ) (1, 2)
গ
গ) (3, 3)
ঘ
ঘ) (3, 2)

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) (3, 2)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) (3, 2)

ঘ

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
3x - 2y = 5.............(1)
2x + 3y = 12 .............(2)

(1)নং × 3 + (2)নং × 2 ⇒
3(3x - 2y) + 2(2x + 3y) = 15 + 24
9x - 6y + 4x + 6y = 39
13x = 39
x = 39/13
x = 3

(2)নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই
2x + 3y = 12
2×3 + 3y = 12
6 + 3y = 12
3y = 12 - 6
3y = 6
y = 2

নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (3, 2)

৪,১১৩.

3 জন মহিলা ও 5 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট মহিলা সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

ক
21
খ
35
গ
56
ঘ
84

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 জন মহিলা ও 5 জন পুরুষের মধ্য থেকে 4 সদস্যবিশিষ্ট একটি উপ-কমিটি গঠন করতে হবে যাতে 1 জন নির্দিষ্ট মহিলা সর্বদাই উপস্থিত থাকেন। কত প্রকারে ঐ কমিটি গঠন করা যেতে পারে?

সমাধান:
যেহেতু, 1 জন মহিলা সর্বদাই উপস্থিত থাকবে
তাই, (3 - 1) + 5 = 2 + 5 = 7 জন থেকে বাকি 3 সদস্য বাছাই করা যাবে = ⁷C₃ উপায়ে
= 35 উপায়ে

৪,১১৪.

মামুন 240 টাকায় একই রকম কতগুলি কলম কিনে দেখল যে, যদি সে একটি কলম বেশি পেত তাহলে প্রতিটি কলমের মূল্য 1 টাকা কম পড়ত। সে কতগুলো কলম কিনেছিল?

ক
ক) 13টি
খ
খ) 14টি
গ
গ) 15টি
ঘ
ঘ) 16টি

সঠিক উত্তর: গ

গ) 15টি

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 15টি

গ

ব্যাখ্যা

ধরি,
সে কলম কিনেছিলো x টি
প্রতিটি কলমের দাম= 240/x টাকা
আবার,
১ টি কলম বেশি পেলে কলমের দাম= 240/(x+1) টাকা

প্রশ্নমতে,
240/x-240/(x+1) = 1
⇒ (240x+240-240x)/x(x+1) = 1
⇒ x²+x = 240
⇒ x²+16x-15x-240 = 0
⇒ x(x+16)-15(x+16) = 0
⇒ (x-15)(x+16) = 0
Either, x-15 = 0 or, x+16 = 0
∴ x=15 | ∴ x=-16(Which is not acceptable)
∴ সে 15টি কলম কিনেছিলো।

৪,১১৫.

যদি x² + 1/x² = 1 হয়, তাহলে x³ + 1/x³ এর মান কত?

ক
0
খ
1
গ
3
ঘ
8

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x² + 1/x² = 1 হয়, তাহলে x³ + 1/x³ এর মান কত?

সমাধান:
x² + 1/x² = 1
⇒ (x + 1/x)² - 2.x.(1/x) = 1
⇒ (x + 1/x)² = 3
∴ x + 1/x = √3

x³ + 1/x³
= (x + 1/x)³ - 3.x.(1/x)(x + 1/x)
= (√3)³ - 3 × √3
= 3√3 - 3√3
= 0

৪,১১৬.

'PERMUTATION' শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে কত রকমে পুনরায় সাজানো যেতে পারে?

ক
475 ভাবে
খ
295 ভাবে
গ
359 ভাবে
ঘ
কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: গ

359 ভাবে

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

359 ভাবে

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 'PERMUTATION' শব্দটির বর্ণগুলির মধ্যে স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বর্ণগুলিকে কত রকমে পুনরায় সাজানো যেতে পারে?

সমাধান:
PERMUTATION শব্দটিতে মোট 11 টি বর্ণ আছে, যার মধ্যে 5 টি স্বরবর্ণ এবং 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে।
যেহেতু স্বরবর্ণগুলি এদের অবস্থান পরিবর্তন করবে না, কাজেই এদের স্থান নির্দিষ্ট করে 6 টি ব্যঞ্জনবর্ণ দ্বারা সাজানোর সংখ্যা বের করতে হবে যার মধ্যে t দুই বার থাকবে।

সুতরাং সাজানোর সংখ্যা = 6!/2!
= 360 টি
এবং
PERMUTATION শব্দটি নিজেই একটি সাজানো সংখ্যা।
∴ পুনরায় সাজানো যেতে পারে = 360 - 1 = 359 ভাবে।

উল্লেখ্য যে, পুনরায় সাজানো কথাটি না বলে যদি বলা হতো মোট কতভাবে সাজানো যেতে পারে, তাহলে সঠিক উত্তর হতো 360 উপায়ে।

৪,১১৭.

3^{(x - 3)} = 9^{(x - 5)} হলে, x এর মান কত?

ক
0
খ
7
গ
3
ঘ
1

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3^{(x - 3)} = 9^{(x - 5)} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
3^{(x - 3)} = 9^{(x - 5)}
⇒ 3^{(x - 3)} = 3^{2(x - 5)}
⇒ x - 3 = 2x - 10
⇒ 2x - x = 10 - 3
∴ x = 7

৪,১১৮.

যদি 2x + 3y = 13 এবং xy = 6 হয়, তাহলে 8x³ + 27y³ এর মান কত?

ক
797
খ
795
গ
793
ঘ
791

সঠিক উত্তর: গ

793

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

793

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 2x + 3y = 13 এবং xy = 6 হয়, তাহলে 8x³ + 27y³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x + 3y = 13
xy = 6

∴ 8x³ + 27y³
= (2x)³ + (3y)³
= (2x + 3y)³ - 3.2x.3y(2x + 3y)
= (13)³ - 18 × 6 × 13
= 2197 - 1404
= 793

৪,১১৯.

p^-2 - 0.01 = 0 হলে, p এর মান কত?

ক
100
খ
10
গ
1/10
ঘ
1/100

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p^-2 - 0.01 = 0 হলে, p² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p^-2 - 0.01 = 0
⇒ 1/p² = 1/100
⇒ p² = 100
∴ p = 10

৪,১২০.

একটি ক্লাসে ৮০% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করল। যদি ৬০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

ক
১০%
খ
১৫%
গ
২০%
ঘ
১২%

সঠিক উত্তর: ক

১০%

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

১০%

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে ৮০% শিক্ষার্থী ইংরেজিতে এবং ৭০% শিক্ষার্থী বাংলায় পাশ করল। যদি ৬০% শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে পাশ করে থাকে, তাহলে শতকরা কতজন শিক্ষার্থী উভয় বিষয়ে ফেল করেছে?

সমাধান:
ইংরেজিতে পাশ করেছে = ৮০%
বাংলায় পাশ করেছে = ৭০%
উভয় বিষয়ে পাশ করেছে = ৬০%

কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ (বাংলা বা ইংরেজি) = (ইংরেজিতে পাশ) + (বাংলায় পাশ) - (উভয় বিষয়ে পাশ)
= (৮০ + ৭০ - ৬০)%
= (১৫০ - ৬০)%
= ৯০%

উভয় বিষয়ে ফেল করেছে = (মোট শিক্ষার্থী) - (কমপক্ষে একটি বিষয়ে পাশ)
= (১০০ - ৯০)%
= ১০%

∴ উভয় বিষয়ে শতকরা ১০ জন শিক্ষার্থী ফেল করেছে।

৪,১২১.

যদি x²- 2√2 x + 1 = 0 হয়, তাহলে x²+ (1/x²) এর মান কত?

ক
6√2
খ
6
গ
8√2
ঘ
8

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x²- 2√2 x + 1 = 0 হয়, তাহলে x²+ (1/x² ) এর মান কত?

সমাধান:

৪,১২২.

প্রশ্ন:

ক
- 2log
খ
log2
গ
2
ঘ
- 1

সঠিক উত্তর: খ

log2

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

log2

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৪,১২৩.

2(x - 4) ≥ 3x - 5 অসমতাটির সমাধান কত?

ক
x ≥ 4
খ
x ≤ - 3
গ
x ≥ - 2
ঘ
x ≤ - 6
ঙ
x ≥ 3

সঠিক উত্তর: খ

x ≤ - 3

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

x ≤ - 3

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2(x - 4) ≥ 3x - 5 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2(x - 4) ≥ 3x - 5
⇒ 2x - 8 ≥ 3x - 5
⇒ 2x - 3x ≥ -5 + 8
⇒ - x ≥ 3
⇒ x ≤ - 3 [অসমতার উভয়পক্ষে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুন করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হয় ]

৪,১২৪.

একটি ভগ্নাংশের লব ও হর উভয়ের সাথে 1 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হয়। যদি লব ও হর থেকে 5 বিয়োগ করা হয়, তবে ভগ্নাংশটি 1/2 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

ক
7/9
খ
3/2
গ
5/7
ঘ
5/4

সঠিক উত্তর: ক

7/9

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

7/9

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব ও হর উভয়ের সাথে 1 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 4/5 হয়। যদি লব ও হর থেকে 5 বিয়োগ করা হয়, তবে ভগ্নাংশটি 1/2 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
ভগ্নাংশটি = x/y

প্রশ্নমতে,
(x+1)/(y+1) = 4/5 --- (১)
(x-5)/(y-5) = 1/2 --- (২)

(১) থেকে পাই, 5x + 5 = 4y + 4 বা, 5x - 4y = -1........... (৩)
(২) থেকে পাই, 2x - 10 = y - 5 বা, 2x - y = 5............. (৪)

(৪) সমীকরণকে 4 দ্বারা গুণ করি:
8x - 4y = 20..........(৫)

এখন, (৫) - (৩) করে পাই,
⇒ 8x - 4y - (5x - 4y) = 20 - (- 1)
⇒ 3x = 21
⇒ x = 7

x এর মান (৪) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ 14 - y = 5
⇒ - y = 5 - 14
⇒ - y = - 9
⇒ y = 9

সুতরাং, ভগ্নাংশটি 7/9

৪,১২৫.

16x² + 49y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

ক
25xy
খ
36xy
গ
45xy
ঘ
56xy

সঠিক উত্তর: ঘ

56xy

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

56xy

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 16x² + 49y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 16x² + 49y²
= (4x)² + (7y)²

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + 2xy + y²

∴ (4x)² + 2.(4x).(7y) + (7y)²
= (4x + 7y)²

অর্থাৎ (4x)² + (7y)² এর সাথে যদি 2.4x.7y = 56xy যোগ করি তাহলে পূর্ণবর্গ হবে।

∴ 16x² + 49y² এর সাথে 56xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ রাশি হবে।

৪,১২৬.

1 + 3 + 5 + 7 + .......... ধারাটির n - 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) n² + 1
খ
খ) n²
গ
গ) (n + 1)²
ঘ
ঘ) (n - 1)²

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) (n - 1)²

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) (n - 1)²

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 3 + 5 + 7 + .......... ধারাটির n - 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে ধারাটির প্রথম পদ a = 1
সাধারণ অন্তর d = 2
এবং পদসংখ্য = n - 1
আমরা জানি, সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি
= (n/2){2.a + (n - 1)d}

∴ ধারার n - 1 সংখ্যক পদের সমষ্টি
= {(n - 1)/2}{2 × 1 + (n - 1 -1)2}
= {(n - 1)/2}{2 + 2n - 4}
= {(n - 1)/2}{2n - 2}
= {(n - 1)/2} × 2(n - 1)
= (n - 1) × (n - 1)
= (n - 1)²

৪,১২৭.

1 + 6 + 11 + 16 + ...... ধারাটির 15তম পদ কত?

ক
81
খ
66
গ
71
ঘ
76

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 6 + 11 + 16 + ...... ধারাটির 15তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1

২য় পদ - ১ম পদ = 6 - 1 = 5
৩য় পদ - ১ম পদ = 11 - 6 = 5
সাধারণ অন্তর, d = 5
∴ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - 1)d
সমান্তর ধারার 15 তম পদ = 1 + (15 - 1) × 5
= 1 + 14 × 5
= 1 + 70
= 71

৪,১২৮.

যদি Q/P = 1/4 হয়, তবে (P + Q)/(P - Q) এর মান কত?

ক
5/3
খ
2/3
গ
3/5
ঘ
- 5/7

সঠিক উত্তর: ক

5/3

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

5/3

ক

ব্যাখ্যা

যদি Q/P = 1/4 হয়, তবে (P + Q)/(P - Q) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
Q/P = 1/4
বা, P/Q = 4/1
বা, (P + Q)/(P - Q) = (4 + 1)/(4 - 1) [যোজন বিয়োজন করে]
বা, (P + Q)/(P - Q) = 5/3

∴ (P + Q)/(P - Q) = 5/3

৪,১২৯.

2 + 4 + 6 + --- --- --- + 50 = ?

ক
ক) 625
খ
খ) 650
গ
গ) 675
ঘ
ঘ) 1225

সঠিক উত্তর: খ

খ) 650

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 650

খ

ব্যাখ্যা

এখানে, ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অন্তর, d = 2
n তম পদ = a + (n - 1)d
50 = 2 + (n - 1)2
2n - 2 + 2 = 50
2n = 50
n = 25
n সংখ্যক পদের সমষ্টি
= (n/2) {2a + (n - 1)d}
= (25/2) {2.2 + (25 - 1)2}
= (25/2) {4 + 24.2}
= (25/2) {4 + 24.2}
= 25 × 26 = 650
--------------------------------------------
সংক্ষেপে,
পদ সংখ্যা = (50 - 2)/2 + 1 = 24 + 1 = 25
সমষ্টি = 25² + 25 = 650
[ প্রথম n সংখ্যক জোড় স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = n² + n ]

৪,১৩০.

g(x, y) = 3x² - y² + x - 3 হলে, g(1, - 1) এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) - 3

সঠিক উত্তর: ক

ক) 0

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 0

ক

ব্যাখ্যা

g(x, y) = 3x² - y² + x - 3
g(1, - 1) = 3 × 1² - ( - 1)² + 1 - 3
= 3 - 1 + 1 - 3
= 0

৪,১৩১.

a > b > 1 হলে কোনটি সত্য?

ক
ক) a² > b²
খ
খ) a² < b²
গ
গ) a+b < 2
ঘ
ঘ) a-b < 0

সঠিক উত্তর: ক

ক) a² > b²

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) a² > b²

ক

ব্যাখ্যা

যেহেতু a > b
∴ a² > b² হবে।
যেমনঃ 3 > 2
∴ 9 > 4

৪,১৩২.

২৪০ জন লোক একটি বনভোজনে যায়। সেখানে যতজন মহিলা ছিল তার থেকে ২০ জন পুরুষ বেশি ছিল। আবার যতজন শিশু ছিল তার থেকে ২০ জন প্রাপ্তবয়স্ক বেশি ছিল। বনভোজনে কতজন শিশু ছিল?

ক
৭৫ জন
খ
৯৫ জন
গ
১১০ জন
ঘ
১১৫ জন

সঠিক উত্তর: গ

১১০ জন

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

১১০ জন

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৪০ জন লোক একটি বনভোজনে যায়। সেখানে যতজন মহিলা ছিল তার থেকে ২০ জন পুরুষ বেশি ছিল। আবার যতজন শিশু ছিল তার থেকে ২০ জন প্রাপ্তবয়স্ক বেশি ছিল। বনভোজনে কতজন শিশু ছিল?

সমাধান:
বনভোজনে পুরুষ ছিল = ক জন
বনভোজনে মহিলা ছিল = (ক - ২০) জন
বনভোজনে প্রাপ্তবয়স্ক ছিল = ক + ক - ২০ = ২ক - ২০ জন
বনভোজনে শিশু ছিল = (২ক - ২০ - ২০) জন
= ২ক - ৪০ জন

প্রশ্নমতে,
২ক - ২০ + ২ক - ৪০ = ২৪০
⇒ ৪ক - ৬০ = ২৪০
⇒ ৪ক = ২৪০ + ৬০
⇒ ৪ক = ৩০০
⇒ ক = ৩০০/৪
⇒ ক = ৭৫

বনভোজনে শিশু ছিল = ২ × ৭৫ - ৪০
= ১৫০ - ৪০
= ১১০ জন

৪,১৩৩.

২, ৬, ১২, ২০,......... ধারাটির নবম পদ হবে-

ক
৮০
খ
৮৪
গ
৮৬
ঘ
৯০

সঠিক উত্তর: ঘ

৯০

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

৯০

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২, ৬, ১২, ২০,......... ধারাটির নবম পদ হবে-

সমাধান:
প্রথম ব্যবধান = ৬ - ২ = ৪
দ্বিতীয় ব্যবধান = ১২ - ৬ = ৬
তৃতীয় ব্যবধান = ২০ - ১২ = ৮

n সংখ্যক পদের যোগফল = (n/2) {2a + (n - 1)d}

৪, ৬, ৮... ধারাটির প্রথম ৮ টি পদের সমষ্টি = (৮/২) {২ × ৪ + (৮ - ১) × ২}
= ৪ × ২২
= ৮৮

∴ ২, ৬, ১২, ২০,......... ধারাটির নবম পদ হবে = ২ + ৮৮
= ৯০

৪,১৩৪.

একটি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে উভয় ক্ষেত্রে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
১/২
খ
১/৪
গ
১/৩
ঘ
১/৮

সঠিক উত্তর: খ

১/৪

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

১/৪

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে উভয় ক্ষেত্রে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ টি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে মোট ফলাফল চারটি = HH, HT, TH, TT

উভয় ক্ষেত্রে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = কাঙ্ক্ষিত ফলাফল/ মোট ফলাফল
= ১/৪

৪,১৩৫.

|x + 5| ≤ 9 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

ক
5
খ
3
গ
4
ঘ
9

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: |x + 5| ≤ 9 হলে, x এর সর্বোচ্চ মান কত?

সমাধান:
এখানে,
|x + 5| ≤ 9
⇒ - 9 ≤ x + 5 ≤ 9
⇒ - 9 - 5 ≤ x + 5 - 5 ≤ 9 - 5
⇒ - 14 ≤ x ≤ 4

∴ x এর সর্বোচ্চ মান = 4

৪,১৩৬.

একটি থলেতে 6 টি নীল বল, 10 টি সবুজ বল এবং 11 টি কালো বল আছে। থলে থেকে দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলে বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
2/5
খ
3/5
গ
4/7
ঘ
2/9

সঠিক উত্তর: ঘ

2/9

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

2/9

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি থলেতে 6 টি নীল বল, 10 টি সবুজ বল এবং 11 টি কালো বল আছে। থলে থেকে দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলে বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল আছে = (6 + 10 + 11) টি = 27 টি
নীল বল আছে = 6 টি

∴ বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা = 6/27
= 2/9

৪,১৩৭.

যদি 3 - 3x < 20 হয়, তাহলে নিচের কোনটি x এর মান হতে পারে না?

ক
- 3
খ
- 5
গ
- 6
ঘ
- 4

সঠিক উত্তর: গ

- 6

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

- 6

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 3 - 3x < 20 হয়, তাহলে নিচের কোনটি x এর মান হতে পারে না?

সমাধান:
3 - 3x < 20
⇒ - 3x < 20 - 3
⇒ - 3x < 17
⇒ 3x > - 17
⇒ x > - (17/3)
∴ x > - 5.66

∴ x এর মান - 6 হতে পারে না।

৪,১৩৮.

a² + b²= 5ab হলে (a²/b²) + (b²/a²) এর মান কত?

ক
ক) 21
খ
খ) 23
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) 27

সঠিক উত্তর: খ

খ) 23

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 23

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² + b²= 5ab হলে (a²/b²) + (b²/a²) এর মান কত?

সমাধান:
a² + b² = 5ab
(a² + b²)/ab = 5ab/ab
a²/ab + b²/ab = 5
a/b + b/a = 5

(a²/b²) + (b²/a²)
= (a/b)² + (b/a)²
= (a/b + b/a)² - 2(a/b) (b/a)
= 5² - 2
= 25 - 2
= 23

৪,১৩৯.

যদি 5^a = 625 হয়, তবে 5^{(a - 3)} এর মান কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 125
গ
গ) 25
ঘ
ঘ) 5

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 5

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 5

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি 5^a = 625 হয়, তবে 5^{(a - 3)} এর মান কত?

সমাধান:
5^a = 625
5^a = 5⁴
a = 4

5^{(a - 3)}= 5^{(4 - 3)} = 5¹ = 5

৪,১৪০.

1/।5x - 1। > 1/9 অসমতাটির সমাধান কী হবে?

ক
ক) 8/5 < x < 6
খ
খ) - 8/5 < x < 5
গ
গ) - 8/5 < x < 2
ঘ
ঘ) - 6/5 < x < 3

সঠিক উত্তর: গ

গ) - 8/5 < x < 2

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) - 8/5 < x < 2

গ

ব্যাখ্যা

1/।5x - 1। > 1/9
।5x - 1। < 9
- 9 < 5x - 1 < 9
- 9 + 1 < 5x - 1 + 1 < 9 + 1
- 8 < 5x < 10
- 8/5 < 5x/5 < 10/5
- 8/5 < x < 2

৪,১৪১.

(11x)⁰ + 11x⁰ + (11x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

ক
1
খ
11
গ
3
ঘ
13

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (11x)⁰ + 11x⁰ + (11x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(11x)⁰ + 11x⁰ + (11x)⁰
=1 + (11 × 1) + 1
= 1 + 11 + 1
= 13

৪,১৪২.

1 + 5 + 9 + ...................... ধারাটির প্রথম 11 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
211
খ
221
গ
231
ঘ
241

সঠিক উত্তর: গ

231

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

231

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 5 + 9 + ...................... ধারাটির প্রথম 11 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 5 - 1 = 4

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n/2 {2a + (n - 1)} d
∴ 11 টি পদের সমষ্টি = (11/2) × {(2 × 1) + (11 - 1) × 4}
= 5.5 × {2 + (10 × 4)}
= 5.5 × (2 + 40)
= 5.5 × 42
= 231

৪,১৪৩.

যদি a - b = 8 এবং ab = 5 হয়, তবে a³ - b³ + 8(a + b)² এর মান কত?

ক
1082
খ
784
গ
976
ঘ
1304

সঠিক উত্তর: ঘ

1304

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

1304

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি a - b = 8 এবং ab = 5 হয়, তবে a³ - b³ + 8(a + b)² এর মান কত?

সমাধান:
a³ - b³ + 8(a + b)²
= (a - b)³ + 3ab(a - b) + 8{(a - b)² + 4ab}
= 8³ + (3 × 5 × 8) + {8 (8² + 4 × 5)}
= 512 + 120 + (8 × 84)
= 512 + 120 + 672
= 1304

৪,১৪৪.

কোন প্রকৃত ভগ্নাংশের লব ও হরের যোগফল 22 এবং বিয়োগফল 8 হলে ভগ্নাংশটি কত?

ক
ক) 9/19
খ
খ) 5/13
গ
গ) 3/11
ঘ
ঘ) 7/15

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 7/15

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 7/15

ঘ

ব্যাখ্যা

মনে করি,
প্রকৃত ভগ্নাংশটির লব = x
প্রকৃত ভগ্নাংশটির হর = y
∴ ভগ্নাংশটি = x/y

প্রশ্নমতে,
x + y = 22...........(1)
y - x = 8 ..........(2)
(1) + (2) পাই
2y = 30
y = 15

y এর মান (1) বসিয়ে পাই,
x + 15 = 22
x = 22 - 15
x = 7
ভগ্নাংশটি = x/y = 7/15

৪,১৪৫.

৭ জন বালক ও ৫ জন বালিকার মধ্য থেকে ২ জন বালক ও ২ জন বালিকা নিয়ে ৪ সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্লাস কমিটি কতভাবে গঠন করা যাবে?

ক
১২০
খ
১৬৫
গ
২১০
ঘ
৩৬০

সঠিক উত্তর: গ

২১০

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

২১০

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ জন বালক ও ৫ জন বালিকার মধ্য থেকে ২ জন বালক ও ২ জন বালিকা নিয়ে ৪ সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্লাস কমিটি কতভাবে গঠন করা যাবে?

সমাধান:
৭ জন বালকের মধ্য থেকে ২ জন বালক বাছাই করার উপায় সংখ্যা = ^৭C_২
= ৭!/(২! × ৫!)
= (৭ × ৬ × ৫!)/(২ × ৫!)
= ২১

৫ জন বালিকার মধ্য থেকে ২ জন বালিকা বাছাই করার উপায় সংখ্যা = ^৫C_২
= ৫!/(২! × ৩!)
= (৫ × ৪ × ৩!)/(২ × ৩!)
= ১০

∴ মোট উপায় সংখ্যা = ২১ × ১০ = ২১০

৪,১৪৬.

x + y = 7 এবং xy = 10 হলে, (x - y)² এর মান কত?

ক
ক) 6
খ
খ) 3
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 12

সঠিক উত্তর: গ

গ) 9

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 9

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x + y = 7 এবং xy = 10 হলে, (x - y)² এর মান কত?

সমাধান:
x + y = 7
xy = 10
(x - y)² = (x + y)² - 4xy
(x - y)² = 72 - 4 × 10
(x - y)² = 49 - 40
(x - y)² = 9

৪,১৪৭.

2 + 6 + 10 + ….... + 98 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

ক
30
খ
27
গ
25
ঘ
18

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 6 + 10 + ….... + 98 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ = 2
শেষ পদ = 98
সাধারণ অন্তর = 6 - 2 = 4

∴ পদসংখ্যা = {( শেষ পদ - প্রথম পদ )/ সাধারণ অন্তর } + 1
= {(98 - 2)/4} + 1
= 24 + 1
= 25

∴ ধারাটির পদসংখ্যা 25টি ।

৪,১৪৮.

A = {x ∈ N : x² > 6, x³ < 20} হলে, x এর মান কত?

ক
{3}
খ
{2, 4}
গ
{}
ঘ
{4}

সঠিক উত্তর: গ

{}

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

{}

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: A = {x ∈ N : x² > 6, x³ < 20} হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
x² > 6; এই শর্তে x এর মানের সেট P হলে, P = {3, 4, 5 .......}
x³ < 20; এই শর্তে x এর মানের সেট Q হলে, Q = {1, 2}

∴ উভয় শর্তে x এর মানের সেট, A = P ∩ Q
= {3, 4, 5 .......} ∩ {1, 2}
= {}

৪,১৪৯.

x⁴ + x² + 1 এর একটি উৎপাদক x² + x + 1 হলে অপরটি কত?

ক
x + 1
খ
x² + 1
গ
x² + x - 1
ঘ
x² - x + 1

সঠিক উত্তর: ঘ

x² - x + 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

x² - x + 1

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x⁴ + x² + 1 এর একটি উৎপাদক x² + x + 1 হলে অপরটি কত?

সমাধান:
x⁴ + x² + 1
= x⁴ + 2x² + 1 - x²
= {(x²)² + 2. x² .1 + (1)²} - (x)²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + 1 + x) (x² + 1 - x)
= (x² + x + 1) (x² - x + 1)

৪,১৫০.

x-এর মান কত হলে {3/(x - 2} + {5/(x - 6)} = 8/(x + 3) হবে?

ক
1
খ
2
গ
3
ঘ
4

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x-এর মান কত হলে {3/(x - 2} + {5/(x - 6)} = 8/(x + 3) হবে?

সমাধান:

৪,১৫১.

35 বর্গ সে.মি. ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 2) সে.মি. হলে, x এর মান কত?

ক
7
খ
5
গ
- 5
ঘ
- 7

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 35 বর্গ সে.মি. ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 2) সে.মি. হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য x সে.মি. এবং প্রস্থ (x - 2) সে.মি.

প্রশ্নমতে
x(x - 2) = 35
বা, x² - 2x = 35
বা, x² - 2x - 35 = 0
বা, x² - 7x + 5x - 35 = 0
বা, x(x - 7) + 5(x - 7) = 0
∴ (x - 7)(x + 5) = 0

হয়
x - 7 = 0
x = 7

অথবা
x + 5 = 0
x = - 5

আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য = 7 সে.মি.

৪,১৫২.

m² + 1 = am হলে (m⁶+ 1)/m³ এর মান কত?

ক
a² + 3a
খ
a² - 3a
গ
a³ - 3a
ঘ
a³ + 3a

সঠিক উত্তর: গ

a³ - 3a

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

a³ - 3a

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: m² + 1 = am হলে (m⁶+ 1)/m³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
m² + 1 = am
(m² + 1)/m = a/m
m²/m + 1/m = a
m + 1/m = a

এখানে
(m⁶ + 1)/m³ = m⁶/m³+ 1/m³
= m³ + 1/m³
= (m + 1/m)³ - 3.m.(1/m)(m + 1/m)
= a³ - 3a

৪,১৫৩.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদটি 36 এবং ষষ্ঠ (৬ তম) পদটি 288 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
5
খ
13
গ
9
ঘ
10

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদটি 36 এবং ষষ্ঠ (৬ তম) পদটি 288 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমের প্রথম পদ, a এবং সাধারণ অনুপাত, r হলে

আমরা জানি,
গুণোত্তর অনুক্রমের n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ তৃতীয় পদ, ar²= 36............ (1)
ষষ্ঠ পদ, ar⁵= 288.........(2)
(2) ÷ (1)
⇒ ar⁵/ar² = 288/36
⇒ r³ = 8
∴ r = 2
এখন, (1) নং এ r এর মান বসিয়ে পাই,
⇒ a × 2² = 36
⇒ a = 36/4
∴ a = 9

৪,১৫৪.

x + y = 7 এবং xy = 10 হলে (x - y)² এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 6
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 12

সঠিক উত্তর: গ

গ) 9

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 9

গ

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
x + y = 7
xy = 10

আমরা জানি
(x - y)²= (x + y)²- 4xy
= 7²- (4×10)
= 49 - 40
= 9

৪,১৫৫.

একটি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে উভয়ক্ষেত্রে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
ক) 1/2
খ
খ) 1/3
গ
গ) 1/4
ঘ
ঘ) 1/8

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1/4

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1/4

গ

ব্যাখ্যা

১ টি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে প্রথম বার হেড আসার সম্ভাবনা ১/২
দ্বিতীয়বার হেড আসার সম্ভাবনা = ১/২
∴ উভয়ক্ষেত্রে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ১/২ × ১/২ = ১/৪

৪,১৫৬.

9x² - 30xy + 25y² এর উৎপাদক কোনটি?

ক
ক) (3x - y)²
খ
খ) (x - 5y)²
গ
গ) (3x + 5y)²
ঘ
ঘ) (3x - 5y)²

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) (3x - 5y)²

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) (3x - 5y)²

ঘ

ব্যাখ্যা

9x² - 30xy + 25y²
= (3x)² - 2.3x.5y + (5y)²
= (3x - 5y)²

৪,১৫৭.

১, ৫, ৯, ........ ৮১ ধারাটির সংখ্যাগুলোর গড় কত?

ক
৩৯
খ
৪১
গ
৪৪
ঘ
৪৯

সঠিক উত্তর: খ

৪১

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

৪১

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১, ৫, ৯, .... ৮১ ধারাটির সংখ্যাগুলোর গড় কত?

সমাধান:
১ম পদ a = ১
সাধারণ অন্তর d = ৫ - ১ = ৪

এখন
n তম পদ = a + (n - ১) × d
বা, ৮১ = ১ + (n - ১) × ৪
বা, ৪ (n - ১) = ৮১ - ১
বা, n - ১ = ৮০/৪
বা, n - ১ = ২০
বা, n = ২০ + ১
n = ২১

n তম পদের সমষ্টি = (n/২){২a + (n - ১)d}
২১ পদের সমষ্টি = (২১/২) {২ × ১ + (২১ - ১) × ৪}
= (২১/২) {২ + ৮০}
= ২১ × ৪১

নির্ণেয় গড় = (২১ × ৪১)/২১ = ৪১

৪,১৫৮.

MINUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা PLUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

ক
২ গুণ
খ
৩ গুণ
গ
৪ গুণ
ঘ
৫ গুণ

সঠিক উত্তর: ঘ

৫ গুণ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

৫ গুণ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: MINUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা PLUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যার কতগুণ?

সমাধান:
MINUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = ৫!
PLUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা = ৪!

৫!/৪!
= (৫ × ৪!)/৪!
= ৫

∴ MINUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যা PLUS শব্দের বিন্যাস সংখ্যার ৫ গুণ।

৪,১৫৯.

১৩, ২১, ৩৪, ৫৫, ৮৯, ১৪৪,__ পরবর্তী সংখ্যাটি কত হবে?

ক
ক) ১৬৯
খ
খ) ১৮০
গ
গ) ২১২
ঘ
ঘ) ২৩৩

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ২৩৩

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ২৩৩

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১৩, ২১, ৩৪, ৫৫, ৮৯, ১৪৪,__ পরবর্তী সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধান:
১৩ + ২১ = ৩৪
৩৪ + ২১ = ৫৫
৫৫ + ৩৪ = ৮৯
৮৯ + ৫৫ = ১৪৪

অতএব, পরবর্তী সংখ্যাটি হবে = ১৪৪ + ৮৯ = ২৩৩

৪,১৬০.

3 এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?

ক
অসীম সেট
খ
সসীম সেট
গ
পূরক সেট
ঘ
ফাঁকা সেট

সঠিক উত্তর: ক

অসীম সেট

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

অসীম সেট

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 এর গুণিতকের সেট কোন ধরনের সেট?

সমাধান:
অসীম সেট (Infinite set):
যে সেটের উপাদান সংখ্যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না, একে অসীম সেট বলে ।
অসীম সেটের একটি উদাহরণ 3 এর গুণিতকের সেট , A = {3, 6, 9, 12, 15,.......}
এখানে, A সেটের উপাদান সংখ্যা অসংখ্য যা গণনা করে নির্ধারণ করা যায় না ।

৪,১৬১.

ক
0
খ
1
গ
x^{a - b - c}
ঘ
কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

৪,১৬২.

(a - 1/a) = 4 হলে, (a²+ 1/a²) = কত?

ক
22
খ
18
গ
16
ঘ
14

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (a - 1/a) = 4 হলে, (a² + 1/a²) = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a - 1/a = 4

এখন
a² + 1/a² = (a - 1/a)² + 2.a.(1/a)
= 4² + 2
= 16 + 2
= 18

৪,১৬৩.

৭ সদস্য বিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যাতে পুরুষদের সংখ্যা বেশী এবং কমপক্ষে ১ জন মহিলা থাকবে। ৯ জন পুরুষ এবং ৬ জন মহিলার একটি সংক্ষিপ্ত তালিকা রয়েছে। কতভাবে এই কমিটি গঠন করা সম্ভব?

ক
৪৮৭২
খ
৪৯০০
গ
৪৯১৪
ঘ
৩৯১৪

সঠিক উত্তর: গ

৪৯১৪

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

৪৯১৪

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৭ সদস্য বিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যাতে পুরুষদের সংখ্যা বেশী এবং কমপক্ষে ১ জন মহিলা থাকবে। ৯ জন পুরুষ এবং ৬ জন মহিলার একটি সংক্ষিপ্ত তালিকা রয়েছে। কতভাবে এই কমিটি গঠন করা সম্ভব?

সমাধান:
কমিটি গঠন করার সম্ভবনা: (১W + ৬M), (২W + ৫M), (৩W + ৪M)
= (^৬C_১ × ^৯C_৬) + (^৬C_২ × ^৯C_৫) + (^৬C_৩ × ^৯C_৪)
= ৪৯১৪

৪,১৬৪.

একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 210টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?

ক
ক) 12 জন
খ
খ) 10 জন
গ
গ) 20 জন
ঘ
ঘ) 21 জন

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 21 জন

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 21 জন

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অনুষ্ঠানে কিছু লোক উপস্থিত ছিল। তারা কেবল একজন মাত্র একজনের সাথে একবার করমর্দন করতে পারে। যদি মোট করমর্দনের সংখ্যা 210টি হয়, তবে মোট কতজন উপস্থিত ছিল?

সমাধান:
মনে করি,
মোট উপস্থিত = n জন
মোট করমর্দন = ⁿC₂

প্রশ্নমতে,
ⁿC₂ = 210
⇒ n(n - 1)/1 × 2 = 210
⇒ n² - n = 420
⇒ n² - n - 420 = 0
⇒ n² - 21n + 20n - 420 = 0
⇒ n (n - 21) + 20(n - 21) = 0
⇒ (n - 21) (n + 20) = 0

হয়, n - 21 = 0
∴ n = 21

অথবা, n + 20 = 0
∴ n = - 20
যা গ্রহণযোগ্য নয়। কেননা জনসংখ্যা কখনও ঋণাত্বক হতে পারে না।

∴ মোট উপস্থিত 21 জন।

৪,১৬৫.

1 + 4 + 7 + . . . . + 85 সমান্তর ধারাটির সমষ্টি কত?

ক
986
খ
1075
গ
1161
ঘ
1247

সঠিক উত্তর: ঘ

1247

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

1247

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 4 + 7 + . . . . + 85 সমান্তর ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, ১ম পদ = 1
শেষ পদ = 85
সাধারণ অন্তর = (4 - 1) = 3

পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + 1
= {(85 - 1)/3} + 1
= (84/3) + 1
= 29

∴ সমষ্টি = {(শেষ পদ + ১ম পদ)/2} × পদ সংখ্যা
= {(85 + 1)/2} × 29
= (86/2) × 29
= 43 × 29
= 1247

৪,১৬৬.

"AUTHOR" শব্দটিতে কেবল স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে রেখে শব্দটি কতভাবে সাজানো যাবে?

ক
24
খ
36
গ
42
ঘ
66

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: "AUTHOR" শব্দটিতে কেবল স্বরবর্ণগুলোকে বিজোড় স্থানে রেখে শব্দটি কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
এখানে
মোট বর্ণ আছে 6টি
স্বরবর্ণ অর্থাৎ Vowel আছে (A, O, U) 3টি
ব্যঞ্জনবর্ণ অর্থাৎ Consonant আছে (T, H, R) 3টি

স্বরবর্ণ 3টি বিজোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6
বাকি 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ 3টি জোড় স্থানে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 3! = 6

∴ স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট বিন্যাস সংখ্যা = 6 × 6
= 36

অতএব, AUTHOR শব্দটিকে স্বরবর্ণগুলোকে কেবল বিজোড় স্থানে রেখে মোট 36 উপায়ে সাজানো যাবে।

৪,১৬৭.

(x - y, 1) = (0, 2x + y) হলে, (x, y) = ?

ক
ক) (1/3, 1/3)
খ
খ) (1/2, 1/4)
গ
গ) (1/4, 1/3)
ঘ
ঘ) (1/5, 1/7)

সঠিক উত্তর: ক

ক) (1/3, 1/3)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) (1/3, 1/3)

ক

ব্যাখ্যা

(x - y, 1) = (0, 2x + y) হলে, x - y = 0 এবং 2x + y = 1
সমীকরণ দুইটি যোগ করে, 3x = 1 ⇒ x = 1/3 ∴ y = 1/3

৪,১৬৮.

x = 3 হলে, 9x² - 24x + 16 এর মান কত?

ক
35
খ
25
গ
65
ঘ
71

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x = 3 হলে, 9x² - 24x + 16 এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x = 3

প্রদত্ত রাশি = 9x² - 24x + 16
= 9. (3)² - 24 × 3 + 16
= 81 - 72 + 16
= 9 + 16
= 25

৪,১৬৯.

৩ দ্বারা বিভাজ্য সমস্ত ২ অঙ্কের সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

ক
১৬০২
খ
১৫৬৫
গ
১৬৬৫
ঘ
১৭০২

সঠিক উত্তর: গ

১৬৬৫

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

১৬৬৫

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৩ দ্বারা বিভাজ্য সমস্ত ২ অঙ্কের সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান:
৩ দ্বারা বিভাজ্য সমস্ত ২ অঙ্কের সংখ্যাগুলোর যোগফল
১২ + ১৫ + ১৮ + ২১ + ...................... + ৯৯ এর সমষ্টি
এখানে
১ম পদ a = ১২
সাধারণ অন্তর d = ১৫ - ১২
= ৩
শেষ পদ = n তম পদ = ৯৯

আমরা জানি
n তম পদ = a + (n - 1)d
৯৯ = ১২ + (n - ১)৩
বা, ৯৯ = ১২ + ৩n - ৩
বা, ৯৯ = ৩n + ৯
বা, ৩n + ৯ = ৯৯
বা, ৩n = ৯৯ - ৯
বা, ৩n = ৯০
n = ৩০

৩০টি পদের সমষ্টি = (৩০/২){২ × ১২ + (৩০ - ১)৩}
= ১৫{২৪ + ৮৭ }
= ১৫ × ১১১
= ১৬৬৫

৪,১৭০.

1, 2, 4, 5, 0, 8 সংখ্যাগুলো একবার ব্যবহার করে তিন অঙ্কবিশিষ্ট কয়টি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?

ক
90টি
খ
100টি
গ
120টি
ঘ
140টি

সঠিক উত্তর: খ

100টি

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

100টি

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1, 2, 4, 5, 0, 8 সংখ্যাগুলো একবার ব্যবহার করে তিন অঙ্কবিশিষ্ট কয়টি অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
প্রথম সংখ্যা ০ ব্যাতিত অন্য কোনো সংখ্যা হতে হবে
তাহলে বাকি 5 টি সংখ্যা থেকে 1 টি সাজানোর সম্ভাবনা = ⁵P₁ = 5

প্রথম স্থান পূরণের পর বাকি 5টি সংখ্যা থেকে 2টি স্থান পূরণ করা যাবে =⁵P₂ = 20 উপায়ে

∴ মোট সংখ্যা গঠন করা যাবে = (5 × 20)
= 100টি

৪,১৭১.

যদি x² - 4x - 1 = 0 হয়, তবে (x + 1/x)² এর মান কত?

ক
10
খ
12
গ
16
ঘ
20

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি x² - 4x - 1 = 0 হয়, তবে (x + 1/x)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² - 4x - 1 = 0
⇒ x² - 1 = 4x
⇒ (x²)/x - 1/x = (4x)/x
⇒ x - 1/x = 4

আমরা জানি,
(x + 1/x)² = (x - 1/x)² + 4 . x . 1/xবা, (x + 1/x)² = (4)² + 4
∴ (x + 1/x)² = 16 + 4
∴ (x + 1/x)² = 20

৪,১৭২.

x^y = y^x, x = 2y হলে (x, y) এর মান কত?

ক
ক) (10,5)
খ
খ) (4,2)
গ
গ) (6,3)
ঘ
ঘ) (2,1)

সঠিক উত্তর: খ

খ) (4,2)

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) (4,2)

খ

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
x^y = y^x .............(1)
x = 2y.................(2)

(1) নং হতে পাই,
(2y)^y = y^2y
2^y y^y = y^2y
2^y = y^2y/y^y
2^y = y^y
y = 2

(2) নং হতে পাই,
x = 2 × 2
x = 4

৪,১৭৩.

দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 5 যোগ করলে যোগফল হবে সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ। আর সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা মূল সংখ্যাটি থেকে 9 কম হবে। সংখ্যাটি কত?

ক
ক) 23
খ
খ) 43
গ
গ) 56
ঘ
ঘ) 65

সঠিক উত্তর: খ

খ) 43

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 43

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 5 যোগ করলে যোগফল হবে সংখ্যাটির দশক স্থানীয় অঙ্কের তিনগুণ। আর সংখ্যাটির অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যাবে, তা মূল সংখ্যাটি থেকে 9 কম হবে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
দশক স্থানীয় অঙ্ক x
একক স্থানীয় অঙ্ক y
সংখ্যাটি 10x + y

১ম শর্তানুসারে,
x + y + 5 = 3x
y + x - 3x = - 5
y - 2x = - 5
y = - 5 + 2x ....................(1)

২য় শর্তানুসারে,
10y + x = (10x + y) - 9
10y + x = 10x + y - 9
10y - y = 10x - x - 9
9y = 9x - 9
y = x - 1
- 5 + 2x = x - 1
2x - x = - 1 + 5
x = 4

(1)⇒
y = - 5 + 2 × 4
y = - 5 + 8
y = 3

নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে 10x + y = 10 × 4 + 3 = 40 + 3 = 43

৪,১৭৪.

p + q + r = 0 হলে, p³ + q³ + r³এর মান কত?

ক
3pqr
খ
pqr
গ
6pqr
ঘ
9pqr

সঠিক উত্তর: ক

3pqr

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

3pqr

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p + q + r = 0 হলে, p³ + q³ + r³ এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p + q + r) (p² + q² + r² - pq - qr - rp)
বা, p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0 × (p² + q² + r² - pq - qr - rp)
বা, p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0
বা, p³ + q³ + r³ = 3pqr
∴ p³ + q³ + r³ = 3pqr

৪,১৭৫.

1 থেকে 15 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

ক
2/5
খ
1/5
গ
3/5
ঘ
1/15

সঠিক উত্তর: ক

2/5

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

2/5

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 থেকে 15 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
1 থেকে 15 পর্যন্ত মোট সংখ্যা = 15
আবার,
1 থেকে 15 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 6 টি
যথা- 2, 3, 5, 7, 11, 13

∴ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = মৌলিক সংখ্যা/সর্বমোট সংখ্যা
= 6/15
= 2/5

৪,১৭৬.

x² − 8x − 8y + 16 + y² এর সঙ্গে কত যোগ করলে রাশিটি পূর্ণবর্গ হবে।

ক
ক) -2xy
খ
খ) 8xy
গ
গ) 6xy
ঘ
ঘ) 2xy

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 2xy

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 2xy

ঘ

ব্যাখ্যা

x² - 8x - 8y + 16 + y²
= x² + y²+ (-4)² + 2.x.y + 2.y(-4) + 2.(-4).x - 2xy
= (x + y - 4)² - 2xy
অর্থাৎ 2xy যোগ করলে রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

৪,১৭৭.

(2p - q, 4) = (3, 3p - 2q) হলে (q, p) = ?

ক
(-1, 2)
খ
(1, -2)
গ
(2, 1)
ঘ
(1, 2)

সঠিক উত্তর: ঘ

(1, 2)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

(1, 2)

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (2p - q, 4) = (3, 3p - 2q) হলে (q, p) = ?

সমাধান:
এখানে,
3p - 2q = 4 ............(i)
2p - q = 3 ...........(ii)

(ii) নং সমীকরণকে ২ দ্বারা গুণ করে (i) নং হতে বিয়োগ করে পাই।
3p - 2q - 4p + 2q = 4 - 6
- p = - 2
p = 2

(ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
4 - q = 3
q = 1

∴(q, p) = (1, 2)

৪,১৭৮.

একটি ক্লাসের সকল ছাত্র একে অপরের সাথে নববর্ষের কার্ড বিনিময় করল। যদি মোট কার্ড বিনিময়ের সংখ্যা 420 হয়, তবে ঐ ক্লাসে কতজন ছাত্র ছিল?

ক
21 জন
খ
25 জন
গ
29 জন
ঘ
30 জন

সঠিক উত্তর: ক

21 জন

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

21 জন

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ক্লাসের সকল ছাত্র একে অপরের সাথে নববর্ষের কার্ড বিনিময় করল। যদি মোট কার্ড বিনিময়ের সংখ্যা 420 হয়, তবে ঐ ক্লাসে কতজন ছাত্র ছিল?

সমাধান:
মনে করি, ঐ ক্লাসে n সংখ্যক ছাত্র ছিল।
কার্ড বিনিময়ের ক্ষেত্রে প্রত্যেকে একে অপরকে কার্ড দেয়। অর্থাৎ দুইজন ছাত্রের মধ্যে কার্ড বিনিময় হয় ২ ভাবে (A দেয় B-কে এবং B দেয় A-কে)। এটি মূলত একটি বিন্যাসের সমস্যা।

আমরা জানি,
n সংখ্যক ব্যক্তির মধ্যে পারস্পরিক কার্ড বা উপহার বিনিময়ের মোট সংখ্যা =ⁿP₂ বা n(n - 1)

প্রশ্নমতে,
n(n - 1) = 420
⇒ n² - n - 420 = 0
⇒ n² - 21n + 20n - 420 = 0
⇒ n(n - 21) + 20(n - 21) = 0
⇒ (n - 21)(n + 20) = 0
∴ n = - 20 অথবা n = 21

কিন্তু n = - 20 গ্রহণযোগ্য নয়। [কারণ ছাত্রের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না]

∴ ঐ ক্লাসে 21 জন ছাত্র ছিল।

৪,১৭৯.

log₁₀7 = a হলে, log₁₀(1/70) = কত?

ক
- (1 + a)
খ
(1 + a)^-1
গ
a/10
ঘ
1/10a

সঠিক উত্তর: ক

- (1 + a)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

- (1 + a)

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log₁₀7 = a হলে, log₁₀(1/70) = কত?

সমাধান:
log₁₀(1/70)
= log₁₀1 - log₁₀70
= - log₁₀( 7 × 10)
= - (log₁₀7 + log₁₀10)
= - (a + 1)

৪,১৮০.

x + y = 2 এবং x² + y² = 4 হলে, x³ + y³ এর মান কত?

ক
ক) 8
খ
খ) 9
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 25

সঠিক উত্তর: ক

ক) 8

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 8

ক

ব্যাখ্যা

x² + y² = 4
বা, (x + y)² - 2xy = 4
বা, 2² - 2xy = 4
বা, 4 - 2xy = 4
বা, 2xy = 0
∴ xy = 0

এখন, x³ + y³
= (x + y)³ - 3xy(x + y)
= 2³ - 3 × 0 × 2
= 8 - 0
= 8

৪,১৮১.

4টি পোস্ট বক্সে 5টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

ক
ক) 243
খ
খ) 625
গ
গ) 1024
ঘ
ঘ) 1250

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1024

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1024

গ

ব্যাখ্যা

এখানে,
পোস্ট বক্স n= 4টি
চিঠি r = 5টি

4 টি চিঠি ফেলার উপায় = n^r
= 4⁵
= 1024

৪,১৮২.

৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলা থেকে কতভাবে ২ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন পুরুষ ও ১ জন মহিলা থাকবে?

ক
১০
খ
২০
গ
১৮
ঘ
১৪

সঠিক উত্তর: খ

২০

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

২০

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ৫ জন পুরুষ ও ৪ জন মহিলা থেকে কতভাবে ২ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করা যাবে যেখানে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন পুরুষ ও ১ জন মহিলা থাকবে?

সমাধান:
৫ জন পুরুষ হতে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন পুরুষ বেছে নেয়ার উপায় = ^৫C_১ = ৫
৪ জন মহিলা হতে ন্যূনতম পক্ষে ১ জন মহিলা বেছে নেয়ার উপায় = ^৪C_১ = ৪

∴ ২ সদস্য বিশিষ্ট কমিটি গঠন করার মোট উপায় = ৫ × ৪ = ২০

৪,১৮৩.

x² = (x^ab . x^ab)^c হলে abc এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x² = (x^ab . x^ab)^c হলে abc এর মান কত?

সমাধান:
x² = (x^ab . x^ab)^c
⇒ x² = (x^2ab)^c
⇒ x² = x^2abc
∴ 2 = 2abc
∴ abc = 1

৪,১৮৪.

log_2√5400 + log_3√2324 = কত?

ক
ক) 20
খ
খ) 15
গ
গ) 16
ঘ
ঘ) 8

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 8

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 8

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log_2√5400 + log_3√2324 = কত?

সমাধান:
log_2√5400+ log_3√2324
= log_2√5(2√5)⁴ + log_3√2(3√2)⁴
= 4 log_2√5(2√5) + 4 log_3√2(3√2)
= 4 + 4
= 8

৪,১৮৫.

a = 5, b = - 5 হলে (a - b)² কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 100
গ
গ) 10
ঘ
ঘ) 25

সঠিক উত্তর: খ

খ) 100

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 100

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a = 5, b = - 5 হলে (a - b)² কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
a = 5
b = - 5

প্রদত্ত রাশি = (a - b)²
= {5 - (- 5)}²
= (5 + 5)²
= (10)²
= 100

৪,১৮৬.

1 হতে 100 পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

ক
5050
খ
5100
গ
4040
ঘ
5500

সঠিক উত্তর: ক

5050

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

5050

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 হতে 100 পর্যন্ত সংখ্যাসমূহের যোগফল কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2

∴ 1 থেকে 100 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল ={100 × (100 + 1)}/2
= (100 × 101)/2 = 101 × 50
= 5050

৪,১৮৭.

- 5, - 8, - 11, ….. সমান্তর ধারাটির 12 তম পদ কত?

ক
- 35
খ
- 38
গ
- 41
ঘ
- 44

সঠিক উত্তর: খ

- 38

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

- 38

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 5, - 8, - 11, ….. সমান্তর ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = - 5
সাধারণ অন্তর, d = - 8 - (- 5) = - 8 + 5 = - 3
পদ সংখ্যা, n = 12

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 12 তম পদ = - 5 + {(12 - 1) × (- 3)}
= - 5 + {11 × (- 3)}
= - 5 - 33
= - 38

∴ সমান্তর ধারাটির 12 তম পদ (- 38).

৪,১৮৮.

একটি পিকনিকে যতজন বন্ধু ছিল, প্রত্যেকে তার থেকে 4 টাকা বেশি করে দেওয়ায় মোট 320 টাকা উঠল। পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা কত ছিল?

ক
21 জন
খ
18 জন
গ
12 জন
ঘ
16 জন

সঠিক উত্তর: ঘ

16 জন

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

16 জন

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি পিকনিকে যতজন বন্ধু ছিল, প্রত্যেকে তার থেকে 4 টাকা বেশি করে দেওয়ায় মোট 320 টাকা উঠল। পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা কত ছিল?

সমাধান:
মনে করি, পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা = x জন
প্রত্যেকে চাঁদা দেয় = (x + 4) টাকা

প্রশ্নমতে,
⇒ x(x + 4) = 320
⇒ x² + 4x = 320
⇒ x² + 4x - 320 = 0
⇒ x² + 20x - 16x - 320 = 0
⇒ x(x + 20) - 16(x + 20) = 0
⇒ (x - 16)(x + 20) = 0

হয়, x - 16 = 0
⇒ x = 16
অথবা, x + 20 = 0
⇒ x = - 20 (বন্ধুর সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়)

∴ পিকনিকে বন্ধুর সংখ্যা 16 জন ছিল।

৪,১৮৯.

নিচের কোনটি a³ - a - 24 এর একটি উৎপাদক?

ক
a - 2
খ
a + 2
গ
a - 3
ঘ
a + 4

সঠিক উত্তর: গ

a - 3

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

a - 3

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a³ - a - 24 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a³ - a - 24
∴ f(3) = 3³ - 3 - 24
= 27 - 3 - 24
= 27 - 27
= 0
∴ (a - 3) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

a³ - a - 24
= a³ - 3a² + 3a² - 9a + 8a - 24
= a²(a - 3) + 3a(a - 3) + 8(a - 3)
= (a - 3)(a² + 3a + 8)

৪,১৯০.

a² + 2ab - 2b -1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

ক
(a - 1)(a + 2b + 1)
খ
(a + 1)(a + 2b - 1)
গ
(a - 1)(a - 2b + 1)
ঘ
(a + 1)(a - 2b - 1)

সঠিক উত্তর: ক

(a - 1)(a + 2b + 1)

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

(a - 1)(a + 2b + 1)

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a² + 2ab - 2b -1 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
a² + 2ab - 2b -1
= (a² - 1) + (2ab - 2b )
= (a + 1)(a - 1) + 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 1 + 2b)
= (a - 1)(a + 2b + 1)

৪,১৯১.

যদি log_xy = 100 এবং log₂x = 10 হয়, তাহলে y এর মান কত?

ক
ক) 2¹⁰⁰⁰
খ
খ) 2¹⁰⁰
গ
গ) 2¹⁰
ঘ
ঘ) 2^{- 100}

সঠিক উত্তর: ক

ক) 2¹⁰⁰⁰

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 2¹⁰⁰⁰

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: যদি log_xy = 100 এবং log₂x = 10 হয়, তাহলে y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log₂x = 10
∴ x = 2¹⁰

log_xy = 100
বা, y = x¹⁰⁰বা, y = (2¹⁰)¹⁰⁰ [x এর মান বসিয়ে]
∴ y = 2¹⁰⁰⁰

৪,১৯২.

নিচের নম্বর সিরিজে কোনটি বসবে?
১, ৩, ২৭, ২১৮৭, -------

ক
৬৫৬১
খ
১৭৭১৪৭
গ
১৫৯৪৩২৩
ঘ
১৪৩৪৮৯০৭

সঠিক উত্তর: ঘ

১৪৩৪৮৯০৭

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

১৪৩৪৮৯০৭

ঘ

ব্যাখ্যা

১ × ৩ = ৩
৩ × ৯ = ২৭
২৭ × ৮১ = ২১৮৭
২১৮৭ × ৬৫৬১ = ১৪৩৪৮৯০৭

৪,১৯৩.

n(A) = 50, n(B) = 60 এবং n(A ∩ B) = 40 হলে, n(A∪B) এর মান কত?

ক
55
খ
70
গ
85
ঘ
90

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: n(A) = 50, n(B) = 60 এবং n(A ∩ B) = 40 হলে, n(A∪B) এর মান কত?

সমাধান:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
= 50 + 60 - 40
= 70

৪,১৯৪.

x³ = 64 হলে, log₂x এর মান কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) 2
ঘ
ঘ) 3

সঠিক উত্তর: গ

গ) 2

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 2

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: x³ = 64 হলে, log₂x এর মান কত?

সমাধান:
x³ = 64
⇒ x³ = 4³
∴ x = 4

log₂x
= log₂4
= log₂2²
= 2log₂2
= 2 × 1
= 2

৪,১৯৫.

একটি বক্সে 5টি নীল, 7টি লাল এবং 3টি সাদা বল আছে। দৈবভাবে একটি বল টানা হলে বলটি বলটি নীল অথবা লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

ক
1/8
খ
1/5
গ
1/7
ঘ
2/3

সঠিক উত্তর: খ

1/5

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1/5

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি বক্সে 5টি নীল, 7টি লাল এবং 3টি সাদা বল আছে। দৈবভাবে একটি বল টানা হলে বলটি বলটি নীল অথবা লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল = 5 + 7 + 3 = 15

নীল অথবা লাল না অর্থাৎ সাদা বল আছে = 3 টি
∴ নীল অথবা লাল না হওয়ার সম্ভবনা অর্থাৎ সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 3/15
= 1/5

৪,১৯৬.

১ + ৩ + ৯ +............... ধারাটির ৬ষ্ঠ পদ কত?

ক
৮১
খ
৭২৯
গ
১৮৩
ঘ
২৪৩

সঠিক উত্তর: ঘ

২৪৩

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

২৪৩

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ + ৩ + ৯ +............... ধারাটির ৬ষ্ঠ পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = ১
সাধারণ অনুপাত, r = ৩/১ = ৩

৬ষ্ঠ পদ = ar^{n - 1}
= ১ × (৩)^{৫ - ১}
= ২৪৩

৪,১৯৭.

9, 8, 7, 6, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে চার অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে যেখানে একই সংখ্যা একাধিক বার ব্যবহার করা যাবে?

ক
625 টি
খ
525 টি
গ
225 টি
ঘ
125 টি

সঠিক উত্তর: ক

625 টি

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

625 টি

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 9, 8, 7, 6, 5 সংখ্যাগুলো নিয়ে চার অংক বিশিষ্ট কয়টি টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে যেখানে একই সংখ্যা একাধিক বার ব্যবহার করা যাবে?

সমাধান:
এখানে,
মোট সংখ্যা n = 5 টি
ঘর r = 4 টি

∴ মোট টেলিফোন নাম্বার বানানো যাবে = n^r = 5⁴ = 625 টি

৪,১৯৮.

১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১ …….ধারাটির দ্বাদশ পদ কত?

ক
ক) ৫৬
খ
খ) ৬৬
গ
গ) ৭৬
ঘ
ঘ) ৭৮

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ৭৮

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ৭৮

ঘ

ব্যাখ্যা

এই ধারায় প্রতিটি পদ আগের দুইটি পদের ব্যাবধানের মানের সাথে ১ অতিরিক্ত বৃদ্ধি পেয়ে গঠিত হয়।
সপ্তম পদে ৭ বৃদ্ধি পেয়ে হবে ২৮
অষ্টম পদ হবে ২৮+৮= ৩৬
নবম পদ ৩৬+৯= ৪৫
দশম পদ হবে ৪৫+১০= ৫৫
একাদশ পদ হবে ৫৫ + ১১ = ৬৬
দ্বাদশ পদ হবে ৬৬ + ১২ = ৭৮

৪,১৯৯.

(3/4)^{x - 1} = (4/3)^{x - 3} হলে x = ?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

(3/4)^{x - 1} = (4/3)^{x - 3}
বা, (3/4)^{x - 1} = (3/4)^{-x + 3}
বা, x - 1 = -x + 3
বা, 2x = 4
∴ x = 2

৪,২০০.

ক
2/(a² - b²)
খ
1/(a² + b²)
গ
2a/(a² - b²)
ঘ
ab/(a² + b²)

সঠিক উত্তর: গ

2a/(a² - b²)

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

2a/(a² - b²)

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:
1/(a + b) + 1/ (a - b)
= a - b + a + b/(a + b) (a - b)
= 2a/(a² - b²)