বীজগণিত

মোট তাস = 52টি
ইস্কাপন = 13টি
∴ 2টি তাস নিলে তা ইস্কাপন হওয়ার সম্ভাবনা = ¹³c₂/⁵²c₂
= 78/1326
= 1/17

প্রশ্ন: log₂(64) + log₄(16) এর মান কত?

সমাধান:
log₂(64) + log₄(16)
= log₂(2⁶) + log₄(4²)
= 6 × log₂2 + 2 × log₄4
= 6 × 1 + 2 × 1
= 6 + 2 
= 8

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + 162 + ......... ধারাটির কততম পদ 1458?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 2,
সাধারণ অনুপাত r = 3

আমরা জানি,
n তম পদ a_n = ar^{n - 1}
⇒ a_n = 2 × 3^{n - 1}
⇒ 1458/2 = 3^{n - 1}
⇒ 729 = 3^{n - 1}
⇒ 3⁶ = 3^{n - 1}
⇒ 6 = n - 1
⇒ n = 7

∴ 7 তম পদ 1458

উপসেটের সংজ্ঞানুসারে x ∈ A ⇒ x ∈ B 
তবে A ⊂ B

A = {x ∈ N : 6 < x < 11}
= {7, 8, 9, 10}
B ={x : x জোড় সংখ্যা}
= {2, 4 ,6, 8........}
∴ A - B
= {7, 9}

প্রশ্ন: log_√55 - log_√327 + log_√216 এর মান কত?

সমাধান:
= log_√55 - log_√327 + log_√216
= log_√5(√5)² - log_√3(√3)⁶ + log_√2(√2)⁸
= 2log_√5√5 - 6log_√3√3 + 8log_√2√2
= 2 - 6 + 8
= 4

²ⁿc_r = ²ⁿc_r+2
বা, ²ⁿc_2n-r = ²ⁿc_r+2
∴ 2n - r = r + 2
বা, 2n = 2r + 2
∴ n = r + 1

প্রশ্ন: যদি (49)^{x + 2} = 7^{3x + 4} হয়, তবে x-এর মান কত?

সমাধান:
(49)^{x + 2} = 7 ^{3x + 4}
⇒ (7²)^{x + 2} = 7 ^{3x + 4}
⇒ 2x + 4 = 3x + 4
⇒ 2x - 3x = 4 - 4
⇒ - x = 0
⇒ x = 0

প্রশ্ন: 5log3 - log9 = ?

সমাধান:
5log3 - log9
= 5log3 - log3²
= 5log3 - 2log3
= 3log3
= log3³
= log27

এখানে
রাশিগুলো ৩^২,৬^২,৯^২,১২^২,১৫^২, .......এভাবে দেওয়া আছে।
৩^২ = ৯
৬^২= ৩৬
৯^২ = ৮১
১২^২ = ১৪৪
১৫^২ = ২২৫

তাহলে খালি ঘরে হবে=১৫^২
                                =২২৫

প্রশ্ন: x + y = 6 হলে x²y⁴ এর বৃহত্তম মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + y = 6

তাই,
x এর মান 1 হলে y এর মান 5 হয়।
∴ x²y⁴ = 625

x এর মান 2 হলে y এর মান 4 হয়।
∴ x²y⁴ = 4 × 256 = 1024

x এর মান 3 হলে y এর মান 3 হয়।
∴ x²y⁴ = 9 × 81 = 729

x এর মান 4 হলে y এর মান 2 হয়।
∴ x²y⁴ = 16 × 16 = 256

x এর মান 5 হলে y এর মান 1 হয়।
∴ x²y⁴ = 25 × 1 = 25

সুতরাং x²y⁴ এর বৃহত্তম মান 1024

প্রশ্ন: A = {a, b, c, d} এবং B = {c, d, e, f, g} হলে P(A ∪ B) এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, A = {a, b, c, d} এবং B = {c, d, e, f, g}

A ∪ B = {a, b, c, d} ∪ {c, d, e, f, g} = {a, b, c, d, e, f, g}

A ∪ B সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 7 টি।

আমরা জানি, 
​কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে তার পাওয়ার সেটের (Power Set) উপাদান সংখ্যা হবে 2ⁿ টি।

অতএব,
P(A ∪ B) এর উপাদান সংখ্যা = 2⁷ = 128 টি।

প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = (3-1) = 2
সুতরাং, n তম পদ = a+(n-1).d
⇒ 71 = 1+(n-1)2
⇒ 71 = 1+2n-2
⇒ 71 + 1 = 2n
⇒ n = 72/2
∴ n = 36
∴ সমষ্টি S = n/2{2a+(n-1)d}
= 36/2{2×1+(36-1)2}
= 18(2 + 70)
= 18 × 72
= 1296

প্রশ্ন: 'SUCCESS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে কত উপায়ে সাজানো যায়?

সমাধান:
'SUCCESS' শব্দটির মোট অক্ষর = ৭টি

এদের মধ্যে:
S অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = ৩টি
C অক্ষরটি পুনরাবৃত্ত = ২টি
∴ নির্ণেয় সাজানোর উপায় = ৭!/(৩! × ২!)
= (৭ × ৬ × ৫ × ৪ × ৩ × ২ × ১)/{(৩ × ২ × ১) × (২ × ১)}
= ৫০৪০/(৬ × ২)
= ৫০৪০/১২
= ৪২০

∴ 'SUCCESS' শব্দটির অক্ষরগুলোকে ৪২০ উপায়ে সাজানো যায়।

প্রশ্ন: log₃(1/81) = কত? 

সমাধান: 
log₃(1/81)
= log₃(1/3⁴)
= log₃3^{- 4} [∵ 1/a⁴ = a^{- 4}]
= - 4 × log₃3
= - 4 × 1 [∵ log_aa = 1]
= - 4

প্রশ্ন: P = {2, q} হলে, P(P) কোনটি হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
 P = {2, q}

∴ P(P) = {{2, q}, {2}, {q}, ∅}

উল্লেখ্য যে, 
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ ।

প্রশ্ন: যদি a + b = 9 এবং a² + b² = 53 হয়, তবে a³ + b³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 9
a² + b² = 53

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
বা, 81 = 53 + 2ab
বা, 2ab = 28
∴ ab = 14

আমরা জানি,
a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)
= 9³ - 3 × 14 × 9
= 729 - 378
= 351

ডিমরগানের সূত্রানুসারে (A ∩ B)' = A' ∪ B' এবং A' ∪ B' = A' ∩ B'

a - (1/a) = 2
∴ a + (1/a) = √[{(a - (1/a)}² + 4.a.(1/a)}]
= √{(2)² + 4}
= √8
= 2√2 
∴ a⁴ + (1/a⁴) = (a²)² + (1/a²)²
= {a² + (1/a²)}² - 2.a².(1/a²)
= {a² + (1/a²)}² - 2
= {(a + 1/a)² - 2.a.(1/a)}² - 2
= {(2√2)² - 2}² - 2
= 36 - 2
= 34

দেওয়া আছে, x + 5y = 16 এবং x = -3y হলে
বা, - 3y + 5y = 16
বা, 2y = 16
বা, y = 8

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +.....................+ 75 = কত? 

সমাধান: 
1 + 2 + 3 +.....................+ 75 
এখানে, 
ধারাটির প্রথম পদ = 1 
ধারাটির শেষ পদ = 75 এবং 
পদসংখ্যা = 75 

∴ নির্ণেয় সমষ্টি = {(শেষ পদ + প্রথম পদ) × পদসংখ্যা}/2 
= {(75 + 1) × 75}/2 
= (76 × 75)/2 
= 38 × 75 
= 2850