বীজগণিত

x⁴ ÷ x⁹ × x⁵ 
= (x⁴/x⁹) × x⁵
= x⁹/x⁹
= 1

প্রশ্ন: (x/3) + (x/4) + (x/5) > 47/60 এর সমাধান- 

সমাধান:
 (x/3) + (x/4) + (x/5) > 47/60
⇒ (20x + 15x + 12x)/60 > 47/60 
⇒ 47x > 47
⇒ x > 1

∴নির্ণেয় সমাধান: x > 1

1 - x² + 2ax -a²
= 1 - (x² - 2ax + a²)
= 1 - (x - a)²
= (1 + x -a)(1 - x + a)

প্রশ্ন: x² - 5ax - 66a² এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 5ax - 66a²
= x² - 11ax + 6ax - 66a²
= x(x - 11a) + 6a(x - 11a)
= (x - 11a)(x + 6a)
= (x + 6a)(x - 11a)

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 +......+ 25 = কত?

সমাধান:
n তম সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2

এখানে,
n = 25

তাহলে,
25 তম সংখ্যার যোগফল = 25(25 + 1)/2
= (25​ × 26)/2
= (25 × 13)
= 325

প্রশ্ন: x² + xy + y² কে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলকে ঘনরাশির অন্তর রূপে প্রকাশ করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি, দুটি ঘনরাশির অন্তরের সূত্র,
x³ - y³ = (x - y)(x² + xy + y²)

অর্থাৎ, x² + xy + y² কে (x - y) দ্বারা গুণ করলে তা ঘনরাশির অন্তর x³ - y³ রূপে প্রকাশ করা যায়।

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 + ......... ধারাটির প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 4/2 = - 2
পদ সংখ্যা, n = 6

∴ প্রথম 6টি পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ) / (1 - r)
= 2 {1 - (- 2)⁶} / {1 - (- 2)} 
= {2 × (1 - 64)} / 3 
= {2 × (- 63)} / 3 
= - 42

প্রশ্ন: 

সমাধান: 

প্রশ্ন: a² - 6a + 8 < 0 হলে এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
a² - 6a + 8 < 0
⇒ a² - 4a - 2a + 8 < 0
⇒ a(a - 4) - 2(a - 4) < 0
⇒ (a - 4)(a - 2) < 0
হয়, a - 4 < 0 ⇒ a < 4
অথবা, a - 2 < 0 ⇒ a < 2

∴ নির্ণেয় সমাধান : 2 < a < 4

প্রশ্ন: (x + 3)² - (x - 4)² এর সরলীকৃত মান কোনটি?

সমাধান: 
(x + 3)² - (x - 4)²
= (x + 3 + x - 4)(x + 3 - x + 4)
= (2x - 1)(7)
= 14x - 7

প্রশ্ন: CUMILLA শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা NOAKHALI শব্দটির বর্ণ গুলোকে একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
এখানে,
CUMILLA শব্দটিতে বর্ণ আছে 7 টি যাদের মধ্যে 2টি L রয়েছে।
সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 7!/2!
= (7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1)/(2 × 1)
= 5040/2
= 2520

এবং
NOAKHALI শব্দটিতে বর্ণ আছে 8 টি যাদের মধ্যে 2টি A রয়েছে।
সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে বিন্যাস সংখ্যা = 8!/2!
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 ×1)/(2 × 1)
= 40320/2
= 20160

∴ CUMILLA শব্দটির বিন্যাস, NOAKHALI শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা = 2520 ÷ 20160
= 1/8 গুণ

a = 256,
r = 128/ 256
= 1/2
∴ দশম পদ = ar⁹
= 256 × (1/2)⁹
= 256/512
= 1/2

ab < 0 হলে,
a < 0,
b > 0
অথবা,
a > 0,
b < 0
কিন্তু a > b
∴ a > 0,
b < 0

{ - ১০ + ( -৭ )} - { - ১০ - ( - ৭)}
= (-১৭) – (-৩)
= - ১৪ (১ম রাশিটি ২য়টি অপেক্ষা ১৪ বড়)

প্রশ্ন: (8)^2/3 + (81)^1/4 = 7k হয়, তবে k এর মান কত?

সমাধান:
(8)^2/3 + (81)^1/4 = 7k
⇒ (2³)^2/3 + (3⁴)^1/4 = 7k
⇒ 2^{3 × (2/3)} + 3^{4 × (1/4)} = 7k
⇒ 4 + 3 = 7k
⇒ 7 = 7k
∴ k = 1

প্রশ্ন: 3 - 6 + 12 - 24 +…............  প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অনুপাত r = -2,
পদসংখ্যা n = 6

S_n = a × [1 - (r)ⁿ/ 1 - r]
S₆ = 3 × [1 - (- 2)⁶ / 1 - (-2)]
= 3 × [1 - 64 / 3]
= 3 × [-63/3]
= 3 × (- 21)
= - 63

∴6টি পদের সমষ্টি - 63

প্রতি দলে ৪ জন করে নিয়ে দল গঠিত হবে।
৮ জন থেকে ৪ জন করে নিয়ে মোট দল গঠনের উপায় = ৮C৪ = (৮)!/(৪!(৮-৪)!) = (৮)!/(৪!×৪!) = ৭০ সমান সংখ্যক বা ৪ জন করে দুটি দলে বিভক্ত করার উপায় = ৭০/২ = ৩৫

প্রশ্ন: x⁵ + (1/x ⁵) = 6 হলে, x⁵ -(1/x ⁵) = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
(x ⁵ - 1/x ⁵) ²
= (x ⁵ + 1/x ⁵) ² - 4 × x⁵ × 1/x⁵
= 6² - 4
= 36 - 4
= 32
∴ (x ⁵ - 1/x⁵)
= √32
= √16 × 2
= 4√2

প্রশ্ন: x² + 6x - 27 < 0 অসমতাটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
⇒ x² + 6x - 27 < 0

এখন, 
⇒ x² + 9x - 3x - 27 = 0
⇒ x(x + 9) - 3(x + 9) = 0
⇒ (x + 9)(x - 3) = 0
হয়, (x + 9) = 0
∴ x = - 9

এবং, (x - 3) = 0
∴ x = 3

অসমতাটি হলো  x² + 6x - 27 < 0 যেহেতু এটি একটি দ্বিঘাত অসমতা, এর সমাধানটি মূল দুটি বিন্দুর মধ্যবর্তী অঞ্চলে অবস্থিত হবে। অর্থাৎ, x এর মান - 9 এবং 3 এর মধ্যে থাকবে।  

সুতরাং, সমাধান সেট =  (- 9, 3)

বিকল্প সমাধান:
যদি x = - 10 হয়, তাহলে (- 10)² + 6(- 10) - 27  = 100 - 60 - 27 = 13 > 0
যদি x = 0 হয়, তাহলে (0)² + 6(0) - 27  = 0 - 0 - 27 = - 27 < 0
যদি x = 4 হয়, তাহলে (4)² + 6(4) - 27  = 16 + 24 - 27 = 13 > 0

সুতরাং, সমাধান সেটটি (-9, 3) এর মধ্যে অবস্থিত।

A, A′ এর পূরক ঘটনা হলে,
P(A) + P(A′) = 1

প্রশ্ন: যদি 1/a = 4 - a হয়, তবে a³ + 1/a³ = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
1/a = 3 - a
∴ a + 1/a = 4

প্রদত্ত রাশি, 
a³ + 1/a³
= (a + 1/a)³ - 3 . a . (1/a)(a + 1/a)
= 4³ - (3 × 4)
= 64 - 12
= 52

প্রশ্ন: 4^{x + 1} = 32 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
4^{x + 1} = 32
(2²)x + 1 = 2⁵
2^{2x + 2} = 2⁵
2x + 2 = 5
2x = 5 - 2
2x = 3
x = 3/2

Question: A box contains 5 red cubes, 3 black cubes, and 8 white cubes. Two cubes are drawn one after another without replacement. What is the probability that both cubes drawn are not red and not white?

Solution:
Given,
Red cubes = 5
Black cubes = 3
White cubes = 8
Total cubes = 5 + 3 + 8 =16

We have to find = both cubes drawn sequentially are black

Probability of first black cube:
P(first black) = 3/16

Probability of second black cube:
P(second black ∣ first black) = 2/15 [black cube= 2, total cube= 15]

Probability of both black cubes:
P(both black) = 3/16 × 2/15
= 6/240
= 1/40

∴ Probability of both cubes are not red and not white is 1/40

প্রশ্ন: |x - 2| < 5 হলে, নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
|x - 2| < 5
⇒ 5 < x - 2 < 5
দুই পাশে 2 যোগ করা
⇒ - 5 + 2 < x - 2 + 2 < 5 + 2
∴ - 3 < x < 7

We know,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
Or, 9² = a² + b² + c² + 2×27
∴ a² + b² + c² = 81 - 54 = 27

প্রশ্ন: 29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত বেছে নিলে সেটি মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
29 থেকে 38 পর্যন্ত সংখ্যা= 10টি 
29 থেকে 38 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 29, 31, 37 = 3টি 

মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা =3/10

প্রশ্ন: (1, 5) এবং (4, 9) বিন্দু দুইটির দূরত্ব কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: x³ - 21x - 20

সমাধান: 
ধরি, 
f(x) = x³ - 21x - 20
এখন, x = - 1 হলে, 
f(- 1) = (- 1)3 - 21(- 1) - 20 = - 1 + 21 - 20 = 0

∴ (x + 1), f(x) এর একটি উৎপাদক। 
এখন, 
x³ - 21x - 20
= x³ + x² - x² - x - 20x - 20
= x²(x + 1) - x(x + 1) - 20(x + 1)
= (x + 1)(x² - x - 20)
= (x + 1)(x + 4)(x - 5)

এখানে, f(x) = x⁴ - 4x + 3
∴ f(1) = 1 - 4 + 3 = 0
∴ x - 1, f(x) এর একটি উৎপাদক

প্রশ্ন: log_a√216 = 3/2 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
log_a√216 = 3/2
⇒ a^3/2 = √216  [কারণ log_aX = k ⇔ a^k = X]
⇒ (a^3/2)² = (√216)²  
⇒ a³ = 216
⇒ a³ = 6³
∴ a = 6

(x + 7)(x - 6)
= x² + 7x - 6x - 42
= x² + x - 42

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল 15 এবং তাদের বর্গের যোগফল 113 হলে, সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি, সংখ্যা দুটি যথাক্রমে a এবং b
তাহলে, 
a + b = 15
a² + b² = 113

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + 2ab + b²
⇒ 15² = 113 + 2ab
⇒ 225 = 113 + 2ab
⇒ 2ab = 225 - 113
⇒ 2ab = 112
⇒ ab = 112/2
∴ ab = 56

সুতরাং, সংখ্যাদ্বয়ের গুণফল 56

প্রশ্ন: |x - 2| < 3 হলে, a এবং b এর কোন মানের জন্য a < 2x + 7 < b হবে?

সমাধান:
|x - 2| < 3
বা, - 3 < x - 2 < 3
বা, - 3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2
বা, - 1 < x < 5
বা, - 2 < 2x < 10
বা, - 2 + 7 < 2x + 7 < 10 + 7
∴ 5 < 2x + 7 < 17

a < 2x + 7 < b এর সাথে তুলনা করে পাই,
∴ a = 5 এবং b = 17

প্রশ্ন: নিচের কোনটি a² - 2ab + 2b - 1 এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
a² - 2ab + 2b - 1 
= a² - 1 - 2ab + 2b
= (a + 1)(a - 1) - 2b(a - 1)
= (a - 1)(a + 1 - 2b)
= (a - 1)(a - 2b + 1)

প্রশ্ন: a⁴ + 64b⁴ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
a⁴ + 64b⁴
= (a²)² + (8b²)²
= (a²)² + 2a² . 8b² + (8b²)² - 16a²b²
= (a² + 8b²)² - (4ab)²
= (a² + 8b² + 4ab)(a² + 8b² - 4ab)
= (a² + 4ab + 8b²)(a² - 4ab + 8b²)

সাধারণ অন্তর, d = 2
আমরা জানি, পদ সংখ্যা = {( শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(2n - 1 - 3)/2} + 1
= n - 2 + 1
= n - 1

x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= (x + y + 1)(x - y - 1)