PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ৩১ / ২০১ · ৩,০০১–৩,১০০ / ২০,২০৭
5 জন বন্ধুর মধ্য থেকে সমাবেশ গঠন করতে প্রত্যেক বন্ধুর জন্য দুইভাবে ব্যবস্থা করা যাবে- তাকে নিমন্ত্রণ করা অথবা বাদ দেওয়া।
যেহেতু প্রতি বন্ধুর যেকোনো ব্যবস্থার সাথে অবশিষ্ট প্রতিটি বন্ধুর যেকোনো ব্যবস্থা সংযোগ করা যায়।
অতএব 5 জন বন্ধুকে মোট 2×2×2×2×2 = 25 উপায়ে ব্যবস্থা করা যাবে।
কিন্তু এর মধ্যে একটি সমাবেশে সব বন্ধুই বাদ পড়ে গেছে যা গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং নির্ণেয় নিমন্ত্রণের সংখ্যা = 25 - 1
= 32 - 1
= 31
প্রশ্ন: a2 + 13a + 36 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।
সমাধান:
দেওয়া আছে,
a2 + 13a + 36
= a2 + 9a + 4a + 36
= a(a + 9) + 4(a + 9)
= (a + 9)(a + 4)
প্রশ্ন:
সমাধান:
√(x-1y) × √(y-1z) × √(z-1x)
= √(y/x).√(z/y).√(x/z)
= √(y/x × z/y × x/z)
= √1
= 1
একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করলে নমুনা বিন্দু হবে = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}
= 8 টি
নমুনা ক্ষেত্র থেকে দেখা যাচ্ছে, কমপক্ষে একটি T আছে {HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT} ৭টিতে।
সুতরাং কমপক্ষে একটি T আসার সম্ভাবনা = 7/8।
প্রশ্ন: m3 - 21m - 20 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
সমাধান:
এখানে,
m = 1 বসিয়ে পাই,
m3 - 21m - 20 = (- 1)3 - 21 (- 1) - 20
= - 1 + 21 - 20
= 0
∴ (m + 1) হবে রাশিটির একটি উৎপাদক।
m3 - 21m - 20
= m3 + m2 - m2 - m - 20m - 20
= m2(m + 1) - m(m +1) - 20(m + 1)
= (m + 1) (m2 - m - 20)
প্রশ্ন: 3x2 - 6x + 3 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x2 - 6x + 3 = 0
এখানে, a = 3, b = - 6, c = 3
আমরা জানি, নিশ্চয়ক = b2 - 4ac
= (- 6)2 - 4 × 3 × 3
= 36 - 36
= 0
যেহেতু নিশ্চয়কের মান 0, তাই সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
উল্লেখ্য:
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b2 - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
2. যদি b2 - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
3. যদি b2 - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে। অর্থাৎ কাল্পনিক।
4. যদি b2 - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ হবে।
ধারাটির যোগফল
= 1/6 × n(n + 1)(2n + 1)
= (1/6) × 50 (50 + 1)(2 × 50 +1)
= (1/6) × 50 × 51 × 101
= 42925
প্রশ্ন: a = 15 এবং b = 6 হলে 9a2 - 48ab + 64b2 এর মান কত?
সমাধান:
9a2 - 48ab + 64b2
= (3a)2 - 2. (3a). (8b) + (8b)2
= (3a - 8b)2
= {3 × (15) - 8 × (6)}2
= (45 - 48)2
= (- 3)2
= 9
log3√21/324 = log3√21/(3√2)4
= log3√2(3√2)-4
= -4log3√23√2
= -4.1
= -4
দেওয়া আছে, x + 1/x = 2
বা, (x2 +1)/x = 2
বা, x2 +1 = 2x
এখন, x/(x2 - x +1)
= x/(x2 + 1 - x)
= x/(2x - x)
= x/x
= 1
1 + (-1/2)n সাধারণ পদটিতে,
n = 1 হলে, প্রথম পদটি = 1/2
n = 2 হলে, প্রথম পদটি = 5/4
n = 3 হলে, প্রথম পদটি = 7/8
n = 4 হলে, প্রথম পদটি = 17/16
-------------------------------
-------------------------------
অনুক্রমটি ঃ 1/2, 5/4, 7/8, 17/16, --------------------
প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: 4x2 - 4xy + y2 - z2
সমাধান:
4x2 - 4xy + y2 - z2
= (2x)2 - 2 × 2x × y + (y)2 - z2
= (2x - y)2 - z2
= (2x - y + z) (2x - y - z)
প্রশ্ন: (9x)0 + 9x0 + (9x)0 এর মান কত?
সমাধান:
(9x)0 + 9x0 + (9x)0
= 1 + (9 × 1) + 1
= 1 + 9 + 1
= 11
দেওয়া আছে, a - 1/a = 2
এখন, a2 + (1/a)2
= (a - 1/a)2 + 2. a. 1/a
= 22 + 2
= 4 + 2
∴ a2 + (1/a)2 = 6
বাঁ, {(a2 + (1/a)2}2= 62
বাঁ, a4 + 2.a2.1/a2 + (1/a)4 = 36
∴ a4 + (1/a)4 = 36 - 2 = 34
১ম সমীকরণ,
3x - 7y = -10
২য় সমীকরণ,
-14x + 7y = 21 [7y মিলানোর জন্য ২য় সমীকরণকে ৭ দিয়ে গুণ করা হয়েছে]
সমীকরণদ্বয় যোগ করলে পাই,
-11x = 11
∴ x = -1
এখন, ১ম সমীকরণে x এর মান বসিয়ে পাই,
3(-1) - 7y = -10
⇒ 7y = 10 - 3
∴ y = 1
প্রশ্ন: ১ হতে ২৭ পর্যন্ত ক্রমিক সংখ্যাগুলোর গড় কত?
সমাধান:
এখানে,
ধারাটির পদগুলো হলো- ১, ২, ৩, ৪, ৫, ............... ২৭
এটি একটি সমান্তর ধারা,
∴ ধারাটির প্রথম পদ = ১
ধারাটির শেষ পদ = ২৭
∴ নির্ণেয় গড় = (শেষ পদ + প্রথম পদ)/২
= (২৭ + ১)/২
= ২৮/২
= ১৪
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ (a) = 4,
সাধারন অনুপাত r = 2
∴ n পদের সমষ্টি = a.{(rn - 1)/(r - 1)} = 508
বা, 4 × {(2n - 1)/(2 - 1)} = 508
বা, 4(2n - 1) = 508
বা, 2n-1 = 127
বা, 2n = 128 = 27
∴ n = 7
{(4m + 1)/((2m - 1)m + 1)} ÷ {(2m + 1)/(2m2 - m}
= {((22)m + 1)/(2m2 - 1} ÷ {(2m + 1)/2m2 - m}
= (22m + 2/2m2 - 1) × (2m2 - m/2m + 1)
= (22m + 2 + m2 - m)/(2m2 - 1 + m + 1)
= (2m2 + m + 2)/(2m2 + m)
= 2m2 + m + 2 - m2 - m
= 22
= 4
প্রশ্ন: (1/√2) - 1 + √2 - .........ধারাটির কত তম পদ 8√2?
সমাধান:
১ম পদ, a = 1/(√2)
সাধারণ অনুপাত, r = (-1)/(1/√2) = (- √2)
মনেকরি,
ধারাটির n তম পদ = 8√2
∴ n তম পদ = arn - 1 = 8√2
⇒ (1/√2)(-√2)n - 1 = 8√2
⇒ (-√2)n - 1 = (8√2 × √2)
⇒ (-√2)n - 1 = 8 × 2
⇒ (-√2)n - 1 = 16
⇒ (-√2)n - 1 = (-√2)8
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1
∴ n = 9
প্রশ্ন: log3 + log9 + log27 + ......... ধারাটির প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি কত?
সমাধান:
log3 + log9 + log27 + ......... প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি
= log3 + log32 + log33 + ......... প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি
= log3 + 2 log3 + 3 log3 + ......... প্রথম সাতটি পদের সমষ্টি
= (1 + 2 + 3 + ..................... + 7) log3
= {7(7 + 1)/2} log3
= 28 log3
x2 − y2 + 4y − 4
= x2 − (y2 - 4y + 4)
= x2 − (y − 2)2
= (x + y − 2) (x − y + 2)
7 তম পদ = a + 6 × 10
⇒ 62 = a + 60
⇒ a = 2
16 তম পদ = 2 + 15 × 10 = 152