বীজগণিত

প্রশ্ন: অক্সফোর্ড বিশ্ববিদ্যালয়ের টেলিফোনগুলো ছয় অংকবিশিষ্ট যার প্রথম স্থানে 7 এবং দ্বিতীয় স্থানে 1 আছে। ফোন ডায়ালের জন্য 0 থেকে 9 ব্যবহার করে মোট কতটি টেলিফোন সংযোগ দেওয়া সম্ভব?

সমাধান:
মোট ৬ অংকের টেলিফোন নম্বর।
প্রথম অংক = 7
দ্বিতীয় অংক = 1
অতএব, প্রথম দুইটি অংক স্থির (৭ ও ১)।
বাকি থাকে 6 - 2 = 4 

প্রতিটি বাকি অংক ০ থেকে ৯ পর্যন্ত যেকোনো সংখ্যা হতে পারে — অর্থাৎ প্রতিটি স্থানে ১০টি সম্ভাবনা।

সুতরাং, সম্ভাব্য টেলিফোন নম্বরের সংখ্যা:
10 × 10 × 10 × 10 = 10⁴

প্রশ্ন: f(x) = (6x + 3)/(4x - 2) হলে, f(3/2) এর মান কত?

সমাধান:
f(x) = (6x + 3)/(4x - 2)
∴ f(3/2) = {6 × (3/2) + 3}/{4 × (3/2) - 2}
= (9 + 3)/(6 - 2)
= 12/4
= 3

log₃²⁴³
= log₃3⁵
= 5 log₃3
= 5 × 1 [log a^a = 1]
= 5

প্রশ্ন: রহিম প্রথম মাসে 1200 টাকা সঞ্চয় করেন এবং প্রতি মাসে আগের মাসের তুলনায় 200 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন। তিনি 15 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1200
সাধারণ অন্তর, d = 200

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1)d

∴ 15 তম পদ = a + (15 - 1) × d
= 1200 + (14 × 200)
= 1200 + 2800
= 4000

∴ রহিম 15 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4000 টাকা।

√(-6) × √(-24)
= √(6) × √(-1) × √(24) × √(-1)
= √(6) × √(24) × √(-1) × √(-1)
= √(144) × {√(-1)}² [ বর্গমুল চিহ্নের মধ্যে দুইটি ঋণাত্মক সংখ্যার গুনফল ধনাত্মক সংখ্যা বৈধ নয়]
= 12 × (-1)
= -12

log_e((a³b³/c³) × (b³c³/d³) × (c³d³/a³)) - log_e (b²c)³
= log_eb⁶c³ - log_eb⁶c³
= 0

প্রশ্ন: log_√3243 = ?

সমাধান: 
log_√3243
= log_√33⁵
= 5 log_√33
= 5 log_√3(√3)²
= 5 × 2 log_√3√3
= 5 × 2
= 10

প্রশ্ন: 5 - 2x ≥ 3x + 1 অসমতাটির সমাধান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5 - 2x ≥ 3x + 1
⇒ - 2x - 3x ≥ - 5 + 1
⇒ - 5x ≥ - 4
⇒ 5x ≤ 4 [অসমতার উভয়পক্ষে ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অসমতার চিহ্ন পরিবর্তিত হয় ]
∴ x ≤ 4/5

মধ্যমা = (৯৯+১)/২
= ৫০

প্রশ্ন: log₁₀5 + log₁₀(5b - 3) = log₁₀(b + 2) + 1 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀5 + log₁₀(5b - 3) = log₁₀(b + 2) + 1
⇒ log₁₀5 + log₁₀(5b - 3) = log₁₀(b + 2) + log₁₀10
⇒ log₁₀[5(5b - 3)] = log₁₀[10(b + 2)]
⇒ 25b - 15 = 10b + 20
⇒ 15b = 35
⇒ b = 35/15
∴ b = 7/3

প্রশ্ন: 16^3/4 ÷ 16^1/2 = কত?

সমাধান: 
16^3/4 ÷ 16^1/2
= 16^{(3/4) - (1/2)}
= 16^{(3 - 2)/4}
= 16^1/4
= 2^{4 × (1/4)}
= 2¹
= 2

এখানে, প্রথম পদ = ২০, শেষ পদ = ১৩০ এবং সাধারণ অন্তর = ৫।
সুতরাং পদ সংখ্যা = (শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণত অন্তর + ১
= (১৩০ - ২০)/৫ + ১
= ১১০/৫ + ১
= ২২ + ১
= ২৩

a = 3, m = 2, n = 1
∴ (a^m)ⁿ = (3²)¹ = 9

প্রশ্ন: যদি x - y = 6 এবং xy = 91 হয়, তাহলে x + y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 6
xy = 91

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
⇒ (x + y)² = 6² + 4 × 91
⇒ (x + y)² = 36 + 364
⇒ (x + y)² = 400
⇒ x + y = √400
∴ x + y = 20

প্রশ্ন: x + y = 8, x - y = 6 হলে, x² + y² এর মান-

সমধান:
x + y = 8
x - y = 6

2(x² + y²) = (x + y)² + (x - y)²
2(x² + y²) = 8² + 6²
2(x² + y²) = 64 + 36 
2(x² + y²)= 100
x² + y² = 50

√(x^-2y²)×√(y^-2z²)×√(z^-2x²)
=√(y²/x²)×√(z²/y²)×√(x²/z²)
=y/x×z/y×x/z
=1

প্রশ্ন: 213 + 173 +______+ 93, শূন্যস্থানে কোন সংখ্যাটি হবে?

সমাধান:
ধারাটির,
১ম পদ = 213
২য় পদ = 213 - 40 = 173
৩য় পদ = 173 - 40 = 133
৪র্থ পদ = 133 - 40 = 93

প্রশ্ন: 0.1 + 0.01 + 0.001 + ..................... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.1 = 1/10
সাধারণ অনুপাত, r = 0.01/0.1 = 1/10

গুণোত্তর ধারার অসীম পদের সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/10)/{1 - (1/10)}
= (1/10)/{(10 - 1)/10}
= (1/10)/(9/10)
= (1/10) × (10/9)
= 1/9 

প্রশ্ন: একটি কলমের মূল্য একটি বইয়ের মূল্য অপেক্ষা 12 টাকা কম এবং উক্ত বই ও কলমের মোট ক্রয়মূল্য 44 টাকা হলে কলমটির মূল্য কত?
 
সমাধান:
মনেকরি,
কলমের মূল্য = x টাকা
সুতরাং, বইয়ের মূল্য = x + 12 টাকা 

প্রশ্নমতে,    
x + x + 12 = 44
⇒ 2x + 12 = 44
⇒ 2x = 32
⇒ x = 16
 
অতএব, কলমের মূল্য = 16 টাকা

প্রশ্ন: 2x³ + 3x² - 3x - 2 রাশিটির একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x³ + 3x² - 3x - 2
এখন, x এর মান এমনভাবে বসাতে হবে যেন f(x) = 0 হয়।
যদি x = 1 বসাই,
f(1) = 2(1)³ + 3(1)² - 3(1) - 2
= 2(1) + 3(1) - 3 - 2
= 2 + 3 - 3 - 2
= 0

যেহেতু f(1) = 0, সুতরাং উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী, (x - 1) হলো প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

x - 5y = 16......(1)
x + 3y = 0.......(2)
(1) নং থেকে (2) নং বিয়োগ করে পাই,
-8y = 16
∴ y = -2
y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x - 6 = 0
∴ x = 6

৫ উপাদান বিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের মোট উপসেট আছে = ২^৫ = ৩২ টি

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2.y.1 + 1²)
= x² - (y-1)²
= (x+y-1) (x-y+1)

প্রশ্ন: A = {x ∈ IN : 2 < x ≤ 6} এবং B = {x ∈ IN : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8} হলে A\B এর মান কত?

সমাধান: 
দেয়া আছে,
A = {x ∈ N : 2 < x ≤ 6}
এখানে, x এর মান 2 থেকে বড় এবং 6 এর ছোট বা সমান স্বাভাবিক সংখ্যা।
∴ A = {3, 4, 5, 6}

আবার, 
B  = {x ∈ N : x জোড় সংখ্যা এবং x ≤ 8}
x স্বাভাবিক জোড় সংখ্যা যা 8 এর ছোট বা সমান। 
∴ B = {2, 4, 6, 8}

প্রদত্ত রাশি, 
A\B = {3, 4, 5, 6} - {2, 4, 6, 8} = {3, 5}
∴ A\B =  {3, 5}

প্রশ্ন: যদি S = {1, 2} এবং T = {1, 2, 3} হলে, (S × T) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
S = {1, 2}
এবং T = {1, 2, 3}

 S × T = {1, 2} × {1, 2, 3}
= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3)}

9^x + 9^x + 9^x - 9^-1 = 0
বা, 3.9^x = 9^-1
বা, 3.(3²)^x = (3²)^-1
বা, 3.3^2x = 3^-2
বা,3^2x+1 = 3^-2
বা,2x + 1 = -2
বা, 2x = -3
∴ x = -3/2

২^২ + ৪^২ + ৬^২ + ....... + ২০^২
= ২^২.১^২ + ২^২.২^২ + ২^২.৩^২ +........+২^২.১০^২
= ২^২(১^২ + ২^২ + ৩^২ +.......+ ১০^২)
= ৪[১/৬ × ১০ × (১০ + ১)(২.১০ + ১)]
= ৪ × ১/৬ × ১০ × ১১ × ২১
= ৯২৪০/৬
= ১৫৪০

সংখ্যা গুলোকে মানের ক্রমানুসারে উর্ধ্বক্রমে সাজানো হলো ১১, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২২, ২৩, ২৫, ২৭, ২৯
মধ্যক
= {১০/২ তম ও (১০/২ + ১) তম পদের মানের যোগফল}/২
= {৫ ও ৬ তম পদের মানের যোগফল}/২
= (২১ + ২২)/২
= ২১.৫

(-2)^2m = 2^{9 - m} or, ((-2)²)^m = 2^{9 - m} or, (2)^2m = 2^{9 - m} or, 2m = 9 - m or, 3m = 9 or, m = 3.

x + y ≥ 9......(1)
x - y ≥ 5.......(2)
(1) নং (2) নং দ্বারা পাই,
2x ≥ 14
∴ x ≥ 7