বীজগণিত

আমরা জানি,
a² + b² = ( a + b )² - 2ab
দেওয়া আছে, x + 1/x = 3/2
x⁴ + 1/x⁴  = ( x² - 1/x² )² - 2x²(1/x)²
= ( ( x + 1/x )² - 2x(1/x) )² - 2
= ( ( 9/4 - 2 )² - 2
= (1/4)² - 2
= 1/16 - 2
= - 31/16

প্রশ্ন: (x + 3)(x - 4) = (x - 5)(x + 1) হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
(x + 3)(x - 4) = (x - 5)(x + 1)
বা, x² - 4x + 3x - 12 = x² + x - 5x - 5
বা, x² - x - 12 = x² - 4x - 5
বা, x² - x - 12 - x² + 4x + 5 = 0
বা, 3x - 7 = 0
বা, 3x = 7
বা, x = 7/3

∴ নির্ণয় মান 7/3

প্রশ্ন: যদি 2x + (2/x) = 4 হয়, তবে x² + (1/x²) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
2x + (2/x) = 4
⇒ 2(x + 1/x) = 4
⇒ x + (1/x) = 2

প্রদত্ত রাশি = x² + 1/x²
= x² + (1/x)²
= {x + (1/x)}² - 2 . x . (1/x)
= (2)² - 2
= 4 - 2
= 2

প্রশ্ন: ১৪৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
১৪৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো হল = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ 

এখানে,
২ আছে ৪ বার এবং ৩ আছে ২ বার
১৪৪ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = ২

x/y = 3/4
বা, (x + y)/(x - y) = (3 + 4)/(3 - 4) [যোজন বিয়োজন করে] 
∴ (x + y)/(x - y) = -7

প্রশ্ন: আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী-২০১৫ সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 5 দিন। ঐ সপ্তাহে বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
2015 সালের জুলাই মাসের ২য় সপ্তাহে মোট 7 দিন।
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল 5 দিন।

বুধবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 5/7
বুধবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = (1 - 5/7)
=(7 - 5)/7
= 2/7

প্রশ্ন:

সমাধান:

১, ২, ৩ সংখ্যাগুলোর গড় = ২
∴ পরিমিতি ব্যবধান = √[{(২-১)^২ + (২-২)^২ + (২-৩)^২}/৩]
= √(২/৩)

প্রশ্ন: x² + y² = 8 এবং xy =7 হলে (x + y)² এর মান কত?

সমাধান:
x² + y² = 8
xy = 7

এখন
(x + y)² = x² + y² + 2xy 
= 8 + 2 × 7
= 8 + 14 
= 22

প্রশ্ন: 18 বাহুবিশিষ্ট একটি বহুভুজের কতটি কর্ণ আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা নির্ণয়ের সূত্র:
কর্ণের সংখ্যা = ⁿC₂ - n

এখানে, বহুভুজের বাহুর সংখ্যা n = 18

∴ কর্ণের সংখ্যা = ¹⁸C₂ - 18
= {18!/2! × (18 - 2)!} - 18
= {18!/(2! × 16!)} - 18
= {(18 × 17 × 16!)/(2 × 1 × 16!)} - 18
= {(18 × 17)/2} − 18
= 153 - 18
= 135

a = ৫,
d = ৪
∴ n তম পদ = a + (n - ১)d
বা, ৮১ = ৫ + (n - ১)৪
বা, (n - ১)৪ = ৭৬
বা, (n - ১) = ১৯
∴ n = ২০
∴ সমষ্টি = n/২{২a + (n - ১)d}
= ২০/২ × {২ × ৫ + (২০ - ১)৪}
= ১০ × ৮৬
= ৮৬০

x² + 1/x² 
= (x + 1/x)² - 2.x.1/x
= (√2)² - 2
= 0

প্রশ্ন: ২৪৩, ৮১, ......, ৯, ৩, ১ অনুক্রমের বিলুপ্ত সংখ্যাটি কত? 

সমাধান: 
প্রথম পদ = ৩^৫ = ৩৪৩
দ্বিতীয় পদ = ৩^৪ = ৮১
তৃতীয় পদ = ৩^৩ = ২৭
চতুর্থ পদ = ৩^২ = ৯
পঞ্চম পদ = ৩^১ = ৩
ষষ্ঠ পদ = ৩^০ = ১

∴ অনুক্রমের বিলুপ্ত সংখ্যাটি = ২৭ ।

প্রশ্ন: x² - 5x + k রাশিটি (x - 2) দ্বারা বিভাজ্য হলে, k এর মান কত?

সমাধান: 
যদি কোনো দ্বিঘাত বহুপদী (x - 2) দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে x = 2 বসালে বহুপদীর মান শূন্য হবে।
এখন, x² - 5x + k = 0 যখন x = 2
অর্থাৎ, 
⇒ (2)² - 5(2) + k = 0
⇒ 4 - 10 + k = 0
⇒ - 6 + k = 0
∴ k = 6

সুতরাং, k এর মান 6

প্রশ্ন: b + 1/b = 2 হলে b⁵ - 1/b⁵ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
b + 1/b = 2
বা, b² + 1 = 2b
বা, b² - 2b + 1 = 0
বা, (b - 1)² = 0
বা, b - 1 = 0
∴ b = 1

∴ ‍b⁵ - 1/b⁵
= 1 - 1/1
= 1 - 1
= 0

প্রশ্ন: যদি x - y = 6 এবং xy = 91 হয়, তাহলে x + y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x - y = 6
xy = 91

আমরা জানি,
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
⇒ (x + y)² = (6)² + 4 × 91
⇒ (x + y)² = 36 + 364
⇒ (x + y)² = 400
⇒ x + y = √400
∴ x + y = 20

প্রশ্ন: log₃(27) + log₃(1/9) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান:
log₃(27) + log₃(1/9)
= log₃(3³) + log₃(3^{- 2})
= 3 × log₃3 + (- 2) × log₃3   [∵ log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= 3 × 1 + (- 2) × 1   [∵ log_aa = 1]
= 3 - 2
= 1

ধরি, a^x = b
বা, log a^x = logb
বা, xloga = logb
বা, x = logb/loga
অনুরূপভাবে, y = logc/logb এবং z = loga/logc
তাহলে, xyz = logb/loga. logc/logb. loga/logc
xyz = 1
a^xyz = a¹

প্রশ্ন: x² - 3x - 2 কে x + 1 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত থাকবে? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + 1 = 0 
∴ x = - 1

এখন, x = - 1 বসিয়ে পাই, 
x² - 3x - 2
= (- 1)² - 3 × (- 1) - 2
= 1 + 3 - 2 
= 4 - 2 
= 2 
∴ 2, অবশিষ্ট থাকবে।

প্রশ্ন: P(A ∩ B) = 1/3, P(A ∪ B) = 5/6, P(A) = 1/4 হলে, P(B) = কত? 

সমাধান: 
দেয়া আছে,
P(A ∩ B) = 1/3
P(A ∪ B) = 5/6
P(A) = 1/4

আমরা জানি,    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) 
বা, P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A ∪ B)
1/3 = (1/4) + P(B) - (5/6)
P(B) = (1/3) - (1/4) + (5/6)
P(B) = (4  - 3 + 10)/12
P(B) = 11/12

প্রশ্ন: যদি p = 4x² + 4xy + y² এবং q = 4x² - 4xy + y² হয়, তবে q - p = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p = 4x² + 4xy + y² এবং q = 4x² - 4xy + y²

প্রদত্ত রাশি, 
q - p
= (4x² - 4xy + y²) - (4x² + 4xy + y²) 
= 4x² - 4xy + y² - 4x² - 4xy - y²
= - 8xy

COURAGE - শব্দটিতে মোট 7টি বিভিন্ন বর্ণ আছে যাদের মধ্যে 4টি স্বরবর্ণ এবং 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ।
শব্দের ১ম শূণ্যস্থানটি ব্যঞ্জনবর্ণ দিয়ে পূর্ণ করার উপায় = ³p₁ = 3
অবশিষ্ট ছয়টি শূণ্যস্থান পূর্ণ করা যায় 6! = 720 উপায়ে।
∴ মোট বিন্যাস সংখ্যা = 720 × 3
= 2160

প্রশ্ন: 3x² + 9, x⁴ - 9 এবং x⁴ + 6x² + 9 এর ল.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
১ম রাশি, 3x² + 9 = 3(x² + 3)

২য় রাশি, x⁴ - 9 = (x²)² - (3)²
= (x² + 3)(x² - 3)

৩য় রাশি, x⁴ + 6x² + 9 = (x²)² + 2 × x² × 3 + (3)²
= (x² + 3)²

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = 3(x² - 3)(x² + 3)²

x + 6, f(x) = x² - kx - 48 এর একটি উৎপাদক
∴ f(-6) = 0
বা, (-6)² - k(-6) - 48 = 0
বা, 36 + 6k - 48 = 0
বা, 6k = 12
∴ k = 2

প্রশ্ন: |3x + 4| < 10 এর সমাধান কী?

সমাধান:
|3x + 4| < 10
⇒ - 10 < 3x + 4 < 10
⇒ - 10 - 4 < 3x < 10 - 4
⇒ - 14 < 3x < 6
⇒ - 14/3 < x < 2