বীজগণিত

প্রশ্ন: যদি log⁡_ab = 3 হয়, তবে b এর মান কত?  

সমাধান:
লগারিদমের সূত্র ব্যবহার:
log_⁡ab = 3  
⇒ a³ = b

∴ b = a³

প্রশ্ন: a² - b² + 6bc - 9c² এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² - b² + 6bc - 9c²
= a² - {b² - 2.b.3c + (3c)²}
= a² - (b - 3c)²
= (a + b - 3c) (a - b + 3c)

.( x - a ), ƒ ( x ) এর উৎপাদক হবে যদি এবং কেবল যদি ƒ ( a ) = 0 হয়। গণিত বই ( ৯-১০ ) পৃষ্ঠা ৬০, অনুসিদ্ধান্ত ১১।

প্রশ্ন: 49a² + 42a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:

49a² + 42a

= 49a² + 42a + 9 - 9

= (7a)² + 2 ×(7a) × (3)+ (3)² - 9

= (7a + 3)² - 9

সুতরাং, 49a² + 42a এর সাথে 9 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: যদি 3x + (3/x) = 6 হয়, তবে x² + (1/x²) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
3x + (3/x) = 6
⇒ 3(x + 1/x) = 6
⇒ x + (1/x) = 2

প্রদত্ত রাশি = x² + (1/x)²
= {x + (1/x)}² - 2 . x . (1/x)
= 2² - 2
= 4 - 2
= 2

5(1 − x) + 3(2 − x) = − 29
বা, 5 - 5x + 6 - 3x = -29
বা, - 8x = -29 - 11
বা, x = -40/-8 = 5

x - 8, f(x) এর একটি উৎপাদক
∴ f(8) = 0
বা, 8² - k.8 - 48 = 0
বা, 64 - 8k - 48 = 0
16 - 8k = 0
8k = 16
∴ k = 2

প্রশ্ন: একটি ক্লাসে 200 জন ছাত্র আছে। তাদের মধ্যে 120 জন ক্রিকেট খেলা পছন্দ করে, 100 জন ভলিবল খেলা পছন্দ করে এবং 80 জন উভয় খেলা পছন্দ করে। কতজন ছাত্র কোন খেলাই পছন্দ করে না?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ক্রিকেট পছন্দ করে = 120 জন
ভলিবল পছন্দ করে = 100 জন
উভয় খেলা পছন্দ করে = 80 জন

∴ শুধু ক্রিকেট পছন্দ করে = 120 - 80 = 40 জন
∴ শুধু ভলিবল পছন্দ করে = 100 - 80 = 20 জন

∴  অন্তত একটি খেলা পছন্দ করে = 40 + 20 + 80 = 140 জন

∴ কোন খেলাই পছন্দ করে না = 200 - 140 = 60 জন

প্রশ্ন: (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x₁, y₁) = (0, 0) এবং (x₂, y₂) = (3, 3)

আমরা জানি, 
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে গঠিত সরলরেখার ঢাল,
m = (y₂​ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (3 - 0)/(3 - 0)
= 3/3
∴ m = 1

আমরা জানি, 
সরলরেখার সমীকরণ,
y - y₁ ​= m(x - x₁​)
⇒ y - 0 = 1 (x - 0)     ; [(x_1​, y₁​) = (0, 0) এবং m = 1 বসিয়ে]
∴ y = x

অতএব, (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হলো y = x বা x - y = 0

প্রশ্ন: a = 1, b = 1, c = 2 এবং d = 2 হলে, a - (- b) - (- c) - (- d) = কত? 

সমাধান: 
a - (- b) - (- c) - (- d) 
= a + b + c + d 
= 1 + 1 + 2 + 2 
= 6

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: একটি শ্রেণিকক্ষের প্রতি বেঞ্চে ৬ জন করে শিক্ষার্থী বসলে ২টি বেঞ্চ খালি থাকে। কিন্তু প্রতি বেঞ্চে ৫ জন করে বসলে ৪ জন শিক্ষার্থীকে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ শ্রেণিতে বেঞ্চের সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
ধরি, বেঞ্চের সংখ্যা = ক টি

প্রথম শর্তমতে,
শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৬(ক - ২)
দ্বিতীয় শর্তমতে, শিক্ষার্থীর সংখ্যা = ৫ক + ৪

প্রশ্নমতে,
৬(ক - ২) = ৫ক + ৪
⇒ ৬ক - ১২ = ৫ক + ৪
⇒ ৬ক - ৫ক = ৪ + ১২
⇒ ক = ১৬

∴ বেঞ্চের সংখ্যা ১৬ টি।

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n-1)d
20 +(n-1)5 = 140
n = 25

(১/৩ × ৬)/(৪/৬ × ১২/২) + ৩/৪
= ২/৪ + ৩/৪
= (২+৩) / ৪
= ১(১/৪)

a = 1/2,
r = 1/√2 ÷ 1/2
= 1/√2 × 2
= √2
∴ n তম পদ = ar^n-1 = 16
বা, 1/2 × (√2)^n-1 = 16
বা, (2^1/2)^{(n - 1)} = 32
বা, 2^{(n - 1)/2} = 2⁵
বা, (n - 1)/2 = 5
বা, n - 1 = 10
∴ n = 11

• একটি বাক্সের পক্ষে একাধিক চিঠি গ্রহণ করা সম্ভব।
• সুতরাং n হবে বাক্সের সংখ্যা এবং r হবে চিঠির সংখ্যা।
• সুতরাং নির্ণেয় উপায় = n^r = 3⁵ = 243

এখানে ৩টি সংখ্যা দুবার করে আছে।
সংখ্যাগুলো যে কোন ভাবে নিয়ে ৩^৩= ২৭ টি সংখ্যা পাওয়া যায়।
কিন্তু এর মধ্যে ৫৫৫, ৬৬৬, ৭৭৭ তিনটি সংখ্যা আসবে যা গ্রহণযোগ্য নয়।
কেননা, সংখ্যাগুলো ২ বারের বেশি নেই।
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = ২৭ – ৩ = ২৪।

প্রশ্ন: log5 + log25 + log125 + .............. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log5 + log25 + log125 + .............. + প্রথম দশটি পদের সমষ্টি
= log5¹ + log5² + log5³ + ............... + log5¹⁰
= 1 log5 + 2 log5 + 3 log5 + ............... + 10 log5
= log5 (1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 10)
= log5 {10(10 + 1)/2}   [∵ 1 + 2 + 3 + ..... + n = n(n + 1)/2]
= log5 (10 × 11/2)
= log5 (110/2)
= log5 (55)
= 55 log5

∴ প্রথম দশটি পদের সমষ্টি হলো 55 log5

প্রশ্ন: x² - 3x + 2 < 0 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান: 
x² - 3x + 2 < 0
⇒ x² - x - 2x + 2 < 0
⇒ x(x - 1) - 2(x - 1) < 0
⇒ (x - 1)(x - 2) < 0

∴ অসমতাটির সমাধান: 1 < x < 2

প্রশ্ন: a = 3 এবং b = - 2 হলে, 4a - 5b + 2a + 3b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
a = 3 এবং b = - 2

প্রদত্ত রাশি, 
= 4a - 5b + 2a + 3b
= (4a + 2a) + (- 5b + 3b)
= 6a - 2b
= 6(3) - 2(- 2)
= 18 + 4
= 22

ধরি, গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অনুপাত r
∴ ২য় পদ = ar^(2-1) = ar = 25 ........(1)
ষষ্ঠ পদ = ar^(6-1) = ar⁵ = 1/25 .......(2)
(2)÷(1) করে পাই,
r⁴ = (1/5)⁴
⇒ r = 1/5
∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 1/5

প্রশ্ন: 6টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 4টি স্বরবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ ও 2টি স্বরবর্ণ নিয়ে মোট কতটি শব্দ তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
6টি ব্যঞ্জনবর্ণ থেকে 3টি ব্যঞ্জনবর্ণ বাছাই করার উপায়,
= ⁶C₃ = 20

4টি স্বরবর্ণ থেকে 2টি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায়,
= ⁴C₂ = 6

∴ মোট বর্ণ বাছাইয়ের উপায় = 20 × 6 = 120

এখন,
প্রতিটি শব্দে বর্ণ থাকবে 5টি, এদের সাজানোর উপায়,
= 5! = 120

সুতরাং, মোট শব্দ সংখ্যা = 120 × 120
= 14,400

প্রশ্ন: (√5 + 1)x + 4 = 4√5 হলে, x এর মান কত?
 
সমাধান: 
(√5 + 1)x + 4 = 4√5
⇒ (√5 + 1)x = 4√5 - 4
⇒ x = 4(√5 - 1)/(√5 + 1)
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/(√5 + 1)(√5 - 1)
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/{(√5)² - 1²}
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/{5 - 1}
⇒ x = 4(√5 - 1)(√5 - 1)/4
⇒ x = (√5 - 1)(√5 - 1)
⇒ x = (√5 - 1)²
⇒ x = (√5)² - 2√ 5 + 1²
⇒ x = 5 - 2√5 + 1
∴ x = 6 - 2√5

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ১২টি নীল কলম, ১৮টি কালো কলম এবং ১০টি লাল কলম আছে। দৈবভাবে একটি কলম তোলা হলে কলমটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট কলম সংখ্যা = ১২ + ১৮ + ১০ = ৪০

কালো কলমের সংখ্যা = ১৮
∴ কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ১৮/৪০ = ৯/২০

∴ কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৯/২০)
= (২০ - ৯)/২০
= ১১/২০

প্রশ্ন: একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে, 3 এর চেয়ে ছোট সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করলে মোট নমুনা ক্ষেত্র = ৬ টি।
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
∴ মোট ঘটনা সংখ্যা, n(S) = 6

এখন, 3 এর চেয়ে ছোট সংখ্যাগুলো হলো: 1, 2
∴ অনুকূল ঘটনা সংখ্যা, n(A) = 2

∴ সম্ভাবনা, P(A) = (অনুকূল ঘটনা সংখ্যা)/(মোট ঘটনা সংখ্যা)
= n(A)/n(S)
= 2/6
= 1/3

মনে করুন,
A = অংকটি সন্ধি সমাধান করতে পারে
B = অংকটি সৌম্য সমাধান করতে পারে।
P(A) = ৬০% = ০.৬০ সন্ধির অংকটি করতে পারার সম্ভাবনা
P(B) = ৫০% = ০.৫০ সৌম্যর অংকটি করতে পারার সম্ভাবনা
সন্ধি অংকটি করতে না পারার সম্ভাবনা,
P(A) = ১ - ০.৬০ = ০.৪০
সৌম্যর অংকটি করতে না পারার সম্ভাবনা,
P(B) = ১ - ০.৫০ = ০.৫০
এখানে,
A ও B ঘটনা দুইটি স্বাধীন তাই সন্ধি ও সৌম্যের উভয়ই অংকটি সমাধান না করতে পারার সম্ভাবনা = ০.৪০ X ০.৫০ = ০.২০

প্রশ্ন: ৩ + ৭ + ১১ + ......... + ২০৩ = ?

সমাধান:
এখানে ১ম পদ a = ৩ সাধারণ অন্তর d = ৭ - ৩ = ৪

ধরি,

n তম পদ = ২০৩

প্রশ্নমতে,
a + (n-1)d = ২০৩
⇒ ৩ + (n - ১)৪ = ২০৩
⇒ ৩ + ৪n - ৪ = ২০৩
⇒ ৪n - ১ = ২০৩
⇒ ৪n = ২০৪
∴ n = ৫১

∴ ৫১ টি পদের সমষ্টি S_n = (n/2) . (a + l)
= (৫১/২) × (৩ + ২০৩)
= (৫১/২) × ২০৬
= ৫১ × ১০৩
= ৫২৫৩

প্রশ্ন: একটি সেমিনার কক্ষে প্রতি সারিতে ৯ জন করে বসলে ৫টি সারি খালি থাকে। কিন্তু প্রতি সারিতে ৭ জন করে বসলে ৯ জন দর্শককে দাঁড়িয়ে থাকতে হয়। ঐ সেমিনার কক্ষে মোট দর্শক সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি,
সারির সংখ্যা = ক

প্রতি সারিতে ৯ জন করে বসলে ৫টি সারি খালি থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৫) × ৯ জন

প্রতি সারিতে ৭ জন করে বসলে ৯ জন দাঁড়িয়ে থাকে।
∴ দর্শক সংখ্যা = ৭ক + ৯ জন

প্রশ্নমতে,
(ক - ৫) × ৯ = ৭ক + ৯
⇒ ৯ক - ৪৫ = ৭ক + ৯
⇒ ৯ক - ৭ক = ৯ + ৪৫
⇒ ২ক = ৫৪
⇒ ক = ২৭

অতএব, সেমিনার কক্ষে সারির সংখ্যা = ২৭টি
∴ দর্শক সংখ্যা = (ক - ৫) × ৯
= (২৭ - ৫) × ৯
= ২২ × ৯
= ১৯৮ জন

∴ ঐ সেমিনার কক্ষে মোট দর্শক সংখ্যা হলো ১৯৮ জন।

মোট তাস = ৫২ টি,
টেক্কা = ৪টি
∴ সম্ভাবনা = ^৪c_৩/^৫২c_৩
= ৪/২২১০০
= ১/৫৫২৫

প্রশ্ন: 13 টি পুস্তক থেকে 7 টি কত প্রকারে বাছাই করা যায় যেখানে 2 টি পুস্তক সর্বদাই অন্তর্ভুক্ত থাকবে? 
 
সমাধান: 
13 টি পুস্তক হতে সর্বদা দুইটি অন্তর্ভুক্ত রেখে 7 টি বাছাই করা যায় =  ^{(13 - 2)}C_{(7 - 2)} 
= ¹¹C₅ 
=  462

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ......... ধারাটির 9তম পদ কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a r^{(n - 1)}
∴ 9 - তম পদ = 3 × 2^{(9 - 1)}
= 3 × 2⁸
= 3 × 256
= 768

3^{2x - 8} = 5^{2x - 8}
বা, (3^{2x - 8})/(5^{2x - 8}) = 1
বা, (3/5)^{2x - 8} = (3/5)⁰
বা, 2x - 8 = 0
বা, 2x = 8
∴ x = 4

প্রশ্ন: যদি a + b = 11 এবং a² + b² = 85 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 11
a² + b² = 85

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
⇒ 11² = 85 + 2ab
⇒ 121 = 85 + 2ab
⇒ 2ab = 121 - 85
⇒ 2ab = 36
∴ ab = 18

প্রশ্ন: ০.৬ + ০.০০৬ + ০.০০০০৬ +.................. ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-

সমাধান:
০.৬ + ০.০০৬+০.০০০০৬ +.................
= ০.৬ + ০.৬ × ০.০১ + ০.৬ × (০.০১)^২....................

এখানে,
a = ০.৬, r = ০.০১ < ১

অসীম পদের সমষ্টি S_∞ = a/(১ - r)
= ০.৬/(১ - ০.০১)
= ০.৬/০.৯৯
= ৬০/৯৯
= ২০/৩৩

১ + ৩ = ৪,
৪ + ৯ = ১৩,
১৩ + ২৭ = ৪০,
৪০ + ৮১ = ১২১,
১২১ + ২৪৩ = ৩৬৪

বৃত্তাকার টেবিলের চারপাশে বসতে হলে একজনকে স্থির রাখতে হবে,
∴ বসার উপায় = (৮ - ১)!
= ৭!
= ৫০৪০

প্রশ্ন: কোনো প্রকৃত ভগ্নাংশের লবের সাথে 7 যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান 2 হয় এবং হর থেকে 3 বাদ দিলে ভগ্নাংশটির মান 1 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশের লব = x
ভগ্নাংশের হর = y

১ম শর্তমতে,
(x + 7)/y = 2
⇒ x + 7 = 2y
⇒ x - 2y = - 7 .............(1)

২য় শর্তমতে,
x/(y - 3) = 1
⇒ x = y - 3
⇒ x - y = - 3 .............(2)

(1) - (2) নং হতে পাই,
x - 2y - x + y = - 7 + 3
⇒ - y = - 4
⇒ y = 4

y এর মান (2) নং এ বসিয়ে পাই,
x - 4 = - 3
⇒ x = -3 + 4
⇒ x = 1

∴ ভগ্নাংশটি = 1/4

দেওয়া আছে,
x + 1/x = 1
বা, x² + 1 = x
∴ x² = x - 1
আবার,
x + 1/x = 1
∴ 1/x = 1 - x
এখন,
x² + 1/x
= x - 1 + 1 - x
= 0