বীজগণিত

ধরি,
a-b = x
b-c = y
c-a = z

তাহলে, x + y + z = a - b -b - c + c - a = 0

আমরা জানি যদি, x + y + z = 0 হয় তাহলে,
x³ + y³ + z³ = 3xyz

অর্থাৎ, প্রদত্ত রাশি = 3 (a-b) (b-c) (c-a)
= -3 (c-b) (b-a) (a-c)

থলেতে,
লাল বল আছে 6টি
সাদা বল আছে 8টি
মোট বল আছে 14টি
প্রতিবার 2টি ভিন্ন রংয়ের বল পাওয়ার সম্ভাবনা = (⁶c₁ × ⁸c₁)/¹⁴c₂
= (6 × 8)/91
= 48/91

প্রশ্ন: 27^q + 27^q + 27^q এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
27^q + 27^q + 27^q
= 27^q(1 + 1 + 1)
= 27^q . 3
= (3³)^q . 3 
= 3^3q . 3
= 3^{3q + 1}

প্রশ্ন: যদি (a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{x - 1} থাকে, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
(a/b)^{2x - 5} = (b/a)^{x - 1}
⇒ (a/b)^{2x - 5} = (a/b)^{-(x - 1)}
⇒ 2x - 5 = -(x - 1)
⇒ 2x - 5 = - x + 1
⇒ 2x + x = 1 + 5
⇒ 3x = 6
∴ x = 2

প্রশ্ন: |x + 1| ≤ 4 হলে, a এবং b এর কোন মানের জন্য a ≤ 3x - 2 ≤ b হবে?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
|x + 1| ≤ 4
⇒ - 4 ≤ x + 1 ≤ 4
⇒ - 4 - 1 ≤ x + 1 - 1 ≤ 4 - 1
⇒ - 5 ≤ x ≤ 3
⇒ - 15 ≤ 3x ≤ 9
⇒ - 15 - 2 ≤ 3x - 2 ≤ 9 - 2
⇒ - 17 ≤ 3x - 2 ≤ 7
যেখানে, a ≤ 3x - 2 ≤ b
∴ a = - 17 এবং b = 7

প্রশ্ন: x⁴ + 8x² - 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x⁴ + 8x² - 9
= (x²)² + 2.x².4 + 4² - 16 - 9
= (x² + 4)² - 25
= (x² + 4)² - 5²
= (x² + 4 + 5)(x² + 4 - 5)
= (x² + 9)(x² - 1)
= (x² + 9)(x² - 1²)
= (x² + 9)(x + 1)(x - 1)

প্রশ্ন: যদি log_x 32 = 5/2 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x 32 = 5/2
⇒ x^5/2 = 32 [ log_xa = b হলে x^b = a ]
⇒ (x^1/2)⁵ = 32 
⇒ (√x)⁵ = 2⁵
⇒ √x = 2 
⇒ (√x)² = 2² [ বর্গ করে ]
⇒ x = 4 

প্রশ্ন: দুই অংকবিশিষ্ট কোন সংখ্যার অংকদ্বয়ের সমষ্টি ১৫ এবং তাদের গুণফল ৫৬। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অংকদ্বয়ের সমষ্টি = ১৫
অংকদ্বয়ের গুণফল = ৫৬

এখন অপশনগুলো একে একে যাচাই করি—

ক) ৭৮
অংকদ্বয় = ৭ এবং ৮
সমষ্টি = ৭ + ৮ = ১৫
গুণফল = ৭ × ৮ = ৫৬
⇒ শর্ত পূরণ করে

খ) ৯৬
অংকদ্বয় = ৯ এবং ৬
সমষ্টি = ৯ + ৬ = ১৫
গুণফল = ৯ × ৬ = ৫৪
⇒ শর্ত পূরণ করে না

গ) ৯৪
অংকদ্বয় = ৯ এবং ৪
সমষ্টি = ৯ + ৪ = ১৩
⇒ শর্ত পূরণ করে না

ঘ) ৬৯
অংকদ্বয় = ৬ এবং ৯
সমষ্টি = ৬ + ৯ = ১৫
গুণফল = ৬ × ৯ = ৫৪
⇒ শর্ত পূরণ করে না

অতএব,
শর্ত পূরণকারী একমাত্র সংখ্যা হলো ৭৮

সঠিক উত্তর:
ক) ৭৮

এখানে, (3.2ⁿ - 4.2^n-2) / (2ⁿ - 2^n-1)
= (3.2ⁿ - 2².2^n-2) / (2ⁿ - 2ⁿ.2^-1)
= (3.2ⁿ - 2^2+n-2) / (2ⁿ - 2ⁿ.1/2)
= (3.2ⁿ - 2ⁿ)) / (2ⁿ - 2ⁿ.1/2)
= 2^n.(3 - 1) / 2ⁿ.(1 - 1/2) 
= 2 / (1/2)
= 2 × (2/1)
= 4

ⁿC₇ = ⁿC₅
n!/7!(n-7)! = n!/5!(n-5)!
1/7.6.5!(n-7)! = 1/5!(n-5).(n-6).(n-7)!
1/42 = 1/(n-5)(n-6)
n² - 11n + 30 = 42
n² - 11n – 12 = 0
n² - 12n – n – 12 = 0
(n-12)(n+1) = 0
n = 12, -1
n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই n এর মান 12।

প্রশ্ন: 2, 4, 5, 7 এবং 9 অংকগুলোর প্রতিটি একবার নিয়ে দুই অংকের কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
মোট অংক 5টি।
যেহেতু দুই অংকের সংখ্যা গঠন করতে হবে, তাই প্রতিবার 2টি অংক নিয়ে গঠিত সংখ্যা
= ⁵P₂ = 5!/(5 - 2)!
= 5 × 4 × 3!/3!
= 20

প্রশ্ন: নিচের উপাত্তগুলো মানের উর্ধ্বক্রমে সাজানো আছে। যদি উপাত্তগুলোর মধ্যক 30 হয় তাহলে x এর মান নির্ণয় করুন।
18, 22, x, 28, x + 6, 38, 40, 50, 60

সমাধান:

18, 22, x, 28, x + 6, 38, 40, 50, 60
এখানে মোট ৯টি উপাত্ত রয়েছে যা বিজোড় সংখ্যক।
∴ মধ্যক হবে (৯ + ১)/২ = ৫ তম পদ

∴ মধ্যক = x + 6

প্রশ্নমতে,
x + 6 = 30
∴ x = 24

প্রশ্ন: সমীকরণটিতে p এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + ............. ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান: 
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 > 1
ধারাটির পদ সংখ্যা, n = 10

আমরা জানি,
প্রথম 10টি পদের সমষ্টি ‍S₁₀ = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 2 × (3¹⁰ - 1)/(3 - 1)
= 2 × (3¹⁰ - 1)/2
= 3¹⁰ - 1

x³ - x -6
-6 এর উৎপাদক গুলো ±1, ±2, ±3, ±6
ƒ(2) হলে ƒ(x) = x³ - x -6 = 0 হবে।
x³ - x -6
= x²(x - 2) + 2x(x-2) + 3(x-2)
= (x-2)(x² + 2x + 3)

প্রশ্ন: log₄(1/16) এর মান কত? 

সমাধান: 
log₄(1/16)
= ​log₄(1/4²)
= log₄4^-2
= - 2 log₄4
​= - 2 × 1
= - 2 

প্রশ্ন: log_x6 + log_x36 + log_x216 = 12 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x6 + log_x36 + log_x216 = 12
⇒ log_x(6 × 36 × 216) = 12
⇒ log_x(6¹ × 6² × 6³) = 12
⇒ log_x(6⁶) = 12
⇒ 6log_x6 = 12
⇒ log_x6 = 2
⇒ x² = 6
∴ x = √6

প্রশ্ন: a = 4/3 হলে,  a^-4 এর মান -

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 a = 4/3

আমরা জানি,
x^-n = 1/xⁿ

সুতরাং,
a^-4
= 1/a⁴
= 1/(4/3)⁴
= 1/(256/81)
= 81/256

প্রশ্ন: 16P² + 8P - 48 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
16P² + 8P - 48
= 8(2P² + P - 6)
= 8(2P² + 4P - 3P - 6)
= 8{2P(P + 2) - 3(P + 2)}
= 8(P + 2)(2P - 3)

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 4x < 20} হলে, P-এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান:
P = {x ∈ N : 4x < 20},
4x < 20
⇒ x < 5
অর্থাৎ 5 এর চেয়ে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা P সেটের উপাদান।
∴ P = {1, 2, 3, 4}

P সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2⁴ = 16
∴ P-এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 16 - 1 = 15 টি

9x² + 9x - 4
= 9x² + 12x - 3x - 4
= 3x(3x + 4) - 1(3x + 4)
= (3x + 4)(3x - 1)

প্রশ্ন: ৪০ এবং ৬০ সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

সমাধান:
৪০, ৬০ এর গড় = (৪০ + ৬০)/২
= ৫০

∴ গড় ব্যবধান = {।৪০ - ৫০। + ।৬০ - ৫০।}/২
= (১০ + ১০)/২
= ২০/২
= ১০

প্রশ্ন: a + b = 7 এবং ab = 10 হলে a এবং b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 7
ab = 10

এখন অপশনগুলো যাচাই করি—

ক) a = 2, b = -5
a + b = -3 ≠ 7

খ) a = 4, b = -3
a + b = 1 ≠ 7

গ) a = -2, b = -5
a + b = -7 ≠ 7

ঘ) a = 5, b = 2
a + b = 7 এবং ab = 10 

অতএব,
সঠিক উত্তর:
ঘ) a = 5, b = 2

প্রশ্ন: |x + 1| < 5 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 2x - 3 < n হবে?

সমাধান:
|x + 1| < 5
⇒ - 5 < x + 1 < 5
⇒ - 5 - 1 < x + 1 - 1 < 5 - 1
⇒ - 6 < x < 4
⇒ - 12 < 2x < 8
⇒ - 12 - 3 < 2x - 3 < 8 - 3
∴ - 15 < 2x - 3 < 5

∴ m = - 15 এবং n = 5

প্রশ্ন: P(P) = 1/3, P(Q) = 2/3; P ও Q স্বাধীন হলে P(Q/P) = কত?

সমাধান:
P(P) = 1/3, P(Q) = 2/3 

P(P ∩ Q) = P(P) × P(Q)
= (1/3) × (2/3)
= 2/9

∴ P(Q/P) = P(P ∩ Q)/P(P)
= (2/9)/(1/3)
= 2/3

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 +....... ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2
আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
∴ 12 তম পদ = 3 × 2^{(12 - 1)}
= 3 × 2¹¹
= 3 × 2048
= 6144

দেওয়া আছে,
x = √3 + √2
∴ 1/x = 1/(√3 + √2)
= (√3 - √2)/(√3 + √2)(√3 - √2)
= (√3 - √2)/ (3-2)
= (√3 - √2)
এখন,
x²+1/x²
= (x + (1/x))² - 2.x.(1/x)
= (√3 + √2 + √3 - √2)² - 2
= (2√3)² - 2
= 12 - 2
= 10