বীজগণিত

x² + 2x - 143 = 0
বা, x² + 13x - 11x - 143 = 0
বা, x(x + 13) - 11(x + 13) = 0
বা, (x + 13)(x - 11) = 0
∴ x = 11, -13

0.01 × 0.1
= 0.001

প্রশ্ন: A ও B দুটি সসীম সেট। যদি n(A) = 20, n(B) = 28 এবং n(A ∪ B) = 36 হয়, তাহলে n(A ∩ B) = কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) 
∴ n(A ∩ B) = n(A) + n(B) - n(A ∪ B) 
= 20 + 28 - 36 
= 48 - 36 
= 12 

n(R) = ৩০,
n(B) = ২০,
n(R ∩ B) = ১২
∴ যেকোন একটি রংয়ের n(R ∪ B)
= n(R) + n(B) - n(R ∩ B)
= ৩০ + ২০ - ১২
= ৫০ - ১২
= ৩৮
∴ লাল বা নীল কোন রংয়ের নয় = ৫০ - ৩৮ = ১২টি

প্রশ্ন: x² + 2x + 3 = 0 সমীকরণের নিশ্চায়ক কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x² + 2x + 3 = 0
সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 এর সাথে তুলনা করে পাই:
a = 1, b = 2, c = 3

নিশ্চায়ক (Discriminant) নির্ণয়:
D = b² − 4ac
= 2² − (4 × 1 × 3)
= 4 − 12
= - 8

প্রশ্ন: একটি লঞ্চে যাত্রী সংখ্যা ৪৭। মাথাপিছু কেবিনের ভাড়া ডেকের ভাড়ার দ্বিগুণ। ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা এবং মোট ভাড়া প্রাপ্তি ১৬৮০ টাকা হলে, ডেকের যাত্রী সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, ডেকের যাত্রী ক জন
কেবিনের যাত্রী সংখ্যা ৪৭ - ক জন

ডেকের ভাড়া মাথাপিছু ৩০ টাকা
কেবিনের ভাড়া = ৩০ × ২ টাকা
= ৬০ টাকা

প্রশ্নমতে,
৩০ক + ৬০ (৪৭ - ক) = ১৬৮০ টাকা
⇒ ৩০ক + ২৮২০ - ৬০ক = ১৬৮০
⇒ ২৮২০ - ৩০ক = ১৬৮০
⇒ ৩০ক = ২৮২০ - ১৬৮০
⇒ ৩০ক = ১১৪০
∴ ক = ৩৮

ডেকের যাত্রী ৩৮ জন  

প্রশ্ন: একটি মিটিং এ 16 জন ব্যক্তি উপস্থিত আছেন। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করমর্দন করলে মোট কতগুলো করমর্দনের ঘটনা ঘটবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রতি 2 জনে 1 টি করে করমর্দন হয়। 

সুতরাং,
মোট করমর্দনের সংখ্যা,
= ¹⁶C₂
= 16!/{2! × (16 - 2)!}
= 16!/(2! × 14!)
= (16 × 15 × 14!)/(2 × 14!)
= (16 × 15)/2
= 120

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = 8

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 8/16 = 1/2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ হলো ar^{n - 1}

∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1}
= 16 × (1/2)⁶
= 16 × (1/64)
= 16/64
= 1/4

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + …......... + 21³ = কত?

সমাধান:
এখানে, শেষ পদ n = 21
আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টির সূত্র,
S_n = {n(n + 1)/2}²
⇒ S₂₁ = {21(21 + 1)/2}²
⇒ S₂₁ = {21 × 22/2}²
⇒ S₂₁ = (21 × 11)²
⇒ S₂₁ = (231)²
∴ S₂₁ = 53361

প্রশ্ন: 7 + x + y + 2401 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি, 
n তম পদ = ar^{n - 1}
২য় পদ = ar^{2 - 1} = ar = x
৩য় পদ = ar^{3 - 1} = 7r² = y
৪র্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 2401
বা, 7r³ = 2401
বা, r³ = 2401/7
বা, r³ = 343
বা, r³ = 7³
বা, r = 7

∴ x = ar
= 7 × 7
= 49

∴ x এর মান 49.

চট্টগ্রাম থেকে ঢাকা হয়ে রাজশাহী যাওয়ার উপায়,
৫ × ৪ = ২০ উপায়।

প্রশ্ন: 5 + 10 + 15 + ......... + 250 = কত?

সমাধান:
এখানে, ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অন্তর, d = 10 - 5 = 5
ধরি, ধারাটির n-তম পদ = 250
আমরা জানি, n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 5 + (n - 1) × 5 = 250
বা, 5(n - 1) = 250 - 5
বা, 5(n - 1) = 245
বা, n - 1 = 245/5
বা, n - 1 = 49
∴ n = 49 + 1 = 50

সুতরাং, ধারাটির সমষ্টি, S_n = (n/2){2a + (n - 1)d}
S₅₀ = (50/2){(2 × 5) + (50 - 1) × 5}
= 25{10 + (49 × 5)}
= 25{10 + 245}
= 25 × 255
= 6375

যেহেতু জুন মাস ৩০ দিন এবং জুন মাসে ১৮ দিন বৃষ্টি হয়েছে।
তাহলে যেকোনো একটি বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ১৮/৩০
= ৩/৫
অতএব ৮ জুন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = ৩/৫.

৩.০০০১০ + (৫ X ১০^-৩)
= ৩.০০০১০ + (৫/১০০০)
= ৩.০০০১০ + ০.০০৫
= ৩.০০৫১০

প্রশ্ন: g(x) = x² + x - 6 এবং g(x) = 0 হলে, x এর মান হচ্ছে:

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
g(x) = x² + x - 6
আবার,
g(x) = 0

এখন,
x² + x - 6 = 0
⇒ x² + 3x - 2x - 6 = 0
⇒ x(x + 3) - 2(x + 3)= 0
⇒ (x + 3)(x - 2)= 0
∴ x = 2, - 3

প্রশ্ন: 5(x + 3) - 2x = 2x + 12 হলে, x এর মান কত? 

সমাধান: 
5(x + 3) - 2x = 2x + 12
বা, 5x + 15 - 2x = 2x + 12
বা, 3x + 15 = 2x + 12
বা, 3x - 2x = 12 - 15
∴ x = - 3

প্রশ্ন: ৩০ এবং ৫০ সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

সমাধান:
৩০, ৫০ এর গড় = (৩০ + ৫০)/২
= ৪০

∴ গড় ব্যবধান = {।৩০ - ৪০। + ।৫০ - ৪০।}/২
= (১০ + ১০)/২
= ২০/২
= ১০

প্রশ্ন: ১৫ + ১৯ + ২৩ + ২৭ + ............ধারাটির ২৫ তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা।
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ১৫
সাধারণ অন্তর, d = (১৯ - ১৫) = ৪
এবং পদসংখ্যা, n = ২৫

∴ ধারাটির ২৫ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১৫ + (২৫ - ১) × ৪
= ১৫ + (২৪ × ৪)
= ১৫ + ৯৬
= ১১১

৯ + ৩৬ + ৮১ + ১৪৪ + ... + ৯০০
= ৩^২ + ৬^২ + ৯^২ + ১২^২ + … + ৩০^২
= ৩^২(১^২ + ২^২ +৩^২ + … + ১০^২)
= ৯ × {১/৬ × ১০ × (১০ + ১)(২.১০ + ১)}
= ৯ × ১/৬ × ১০ × ১১ × ২১
= ৩৪৬৫

প্রশ্ন: যদি log₁₀x + log₁₀(x - 9) = 1 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
log₁₀x + log₁₀(x - 9) = 1
⇒ log₁₀x + log₁₀(x - 9) = log₁₀10 ; [log_aa = 1]
⇒ log₁₀{x(x - 9)} = log₁₀10
⇒ x² - 9x = 10
⇒ x² - 9x - 10 = 0
⇒ x² - 10x + x - 10 = 0
⇒ x(x - 10) + 1(x - 10) = 0
⇒ (x - 10)(x + 1) = 0
হয়, x - 10 = 0
∴ x = 10
অথবা, 
x + 1 = 0
∴ x = - 1 ; [ইহা গ্রহণযোগ্য নয়] 

সুতরাং, x এর মান 10

প্রশ্ন: যদি a = 7 হলে, a³ + 6a² + 12a + 1 এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
a = 7

প্রদত্ত রাশি,
a³ + 6a² + 12a + 1
= a³ + 3⋅a²⋅2 + 3⋅a⋅2² + 2³ - 7
= (a + 2)³ - 7
= (7 + 2)³ - 7
= 9³ - 7
= 729 - 7
= 722

প্রশ্ন: ৫ জন পুরুষ এবং ৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ৪ সদস্যবিশিষ্ট একটি কমিটি গঠন করতে হবে, যাতে ঠিক ২ জন পুরুষ এবং ২ জন মহিলা থাকবে। এটি কতগুলো উপায়ে গঠন করা সম্ভব?

সমাধান:
নির্বাচন করতে হবে,
৫ জন পুরুষের মধ্য থেকে ২ জন
৪ জন মহিলার মধ্য থেকে ২ জন

এখন,
পুরুষ নির্বাচন,
^৫C_২ = (৫ × ৪)/(২ × ১) = ২০/২ =  ১০টি উপায়

মহিলা নির্বাচন,
 ^৪C_২ = (৪ × ৩)/(২ × ১) = ১২/২ = ৬টি উপায়

∴ মোট উপায় = ১০ × ৬ = ৬০

সুতরাং, কমিটিটি ৬০ উপায়ে গঠন করা সম্ভব।

মনে করি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y

প্রশ্নমতে,
x + y = 55
বা, y = 55 - x
এবং 5x = 6y
বা, 5x = 6 (55 - x) [y এর মান বসিয়ে]
বা, 5x = 330 - 6x
বা, 5x + 6x = 330 [পক্ষান্তর করে] 
বা, 11x = 330
∴ x = 30 [উভয়পক্ষকে 11 দ্বারা ভাগ করে]
 
∴ বড় সংখ্যাটি, x = 30
এবং ছোট সংখ্যাটি y = 55 - 30 = 25

প্রশ্ন: একটি ক্রিকেট টুর্নামেন্টে মোট 8টি দল অংশগ্রহণ করেছে। যদি প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে অর্থাৎ একক লীগ পদ্ধতিতে খেলে, তবে টুর্নামেন্টে মোট কতটি ম্যাচ পরিচালিত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি, 
একক লীগে মোট ম্যাচের সংখ্যা = n(n - 1)/2
= 8(8 - 1)/2   ; [এখানে, n = 8 (দলের সংখ্যা)]
= (8 × 7)/2
= 56/2
= 28

অতএব, টুর্নামেন্টে মোট 28টি খেলা পরিচালনা করতে হবে।

প্রশ্ন: (x - 5)(a + x) = x² - 25 হয়, তবে a এর মান কত?

সমাধান:
(x - 5)(a + x) = x² - 25
⇒ (x - 5)(a + x) = (x - 5)(x + 5)
⇒ a + x = x + 5
⇒ a + x - x = 5
∴ x = 5

RECENT শব্দটির মধ্যে মােট 6 টি অক্ষর আছে।
এদের মধ্যে দুইটি স্বরবর্ণ (E) আছে।
সুতরাং, শব্দটির অক্ষরগুলোকে মােট সাজানোর উপায় = 6! / 2! = 360
শুরুতে ও শেষে স্বরবর্ণ (Vowel) রেখে সাজানোর উপায় = 4! = 24

প্রশ্ন: 2(a² + b²) = কত?

সমাধান:
কিছু প্রয়োজনীয় সূত্র:
2(a² + b²) =(a + b)² + (a - b)²
4ab = (a + b)² - (a - b)²
(a + b)² = (a - b)² + 4ab
(a - b)² = (a + b)² - 4ab

প্রশ্ন: যদি B = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 2, 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 100} হয় তবে P(B)-এর উপাদান সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
B = {x : x স্বাভাবিক সংখ্যা যা 2, 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য এবং x < 100}
2, 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য মানে সংখ্যাটি তাদের ল.সা.গু দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
∴ ল.সা.গু(2, 3, 5) = 30

∴ 100 অপেক্ষা ছোট 2, 3 ও 5 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হলো: 30, 60, 90
∴ B = {30, 60, 90} = 3 টি

∴ P(B) এর সদস্য সংখ্যা = 2ⁿ = 2³ = 8 টি 

সুতরাং, P(B)-এর উপাদান সংখ্যা 8। 

প্রশ্ন: 4 + (4/7) + (4/49) + ....... ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 4
২য় পদ = 4/7

∴ সাধারণ অনুপাত, r = ২য় পদ / ১ম পদ
= (4/7) / 4
= (4/7) × (1/4)
= 1/7

প্রশ্ন: নিচের কোনটি log₄(64) এর সঠিক মান?

সমাধান:
log₄(64)
= log₄ 4³
= 3 log₄ 4
= 3 × 1
= 3

প্রশ্ন: a - 4 = (a - 4)/a এর সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান: 
a - 4 = (a - 4)/a
বা, a² - 4a = a - 4
বা, a² - 5a + 4 = 0
বা, a² - 4a - a + 4 = 0
বা, a(a - 4) - 1(a - 4) = 0
বা, (a - 1) (a - 4) = 0

হয়, ‍a - 1 = 0 অথবা, a - 4 = 0
বা, a = 1 অথবা, ‍a = 4
∴ a = 1, 4

∴ নির্ণেয় সমাধান সেট {1, 4}