বীজগণিত

প্রশ্ন: একটি বাক্সে 5 টি লাল বল, 8 টি সাদা বল এবং 7 টি হলুদ বল আছে। বাক্স থেকে দৈবভাবে একটি বল নেওয়া হলে বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
এখানে, মোট বল আছে = (5 + 8 + 7) টি = 20 টি
সাদা বল আছে = 8 টি

বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা, P(সাদা) = সাদা বলের সংখ্যা/মোট বলের সংখ্যা
P(সাদা)
= 8/20
= 2/5

∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - P(সাদা)
= 1 - (2/5)
= (5 - 2)/5
= 3/5

প্রশ্ন: ABSCISSA শব্দটির বর্ণগুলিকে নিয়ে কত প্রকারে বিন্যাস করা যায়? 

সমাধান:
'ABSCISSA' শব্দটিতে মোট বর্ণ সংখ্যা = 8টি
যার মধ্যে A আছে 2 বার, S আছে 3 বার এবং অন্য বর্ণগুলো আছে একবার করে। 

∴ বিন্যাস সংখ্যা = 8!/(2! × 3!)
= (8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2)/(2 × 3 × 2)
= 8 × 7 × 6 × 5 × 2
= 56 × 60
= 3360

সুতরাং, 'ABSCISSA' শব্দটির বর্ণগুলিকে নিয়ে 3360 প্রকারে বিন্যাস করা যায়। 

(x²)³ × x³
x⁶× x³
x⁹

প্রশ্ন: 1 + 4 + 7 + 10 + 13 +......................ধারাটির 1001 তম পদ কোনটি?

সমাধান: 
ধারাটি হলো একটি সমান্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 3
পদসংখ্যা, n = 1001

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
= 1 + (1001 - 1) × 3
= 1 + 3000
= 3001

∴ ধারাটির 1001 তম পদ 3001

প্রশ্ন: 18 বাহুবিশিষ্ট একটি সমবাহু বহুভুজের কৌণিক বিন্দু ব্যবহার করে কতগুলো পৃথক ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেকোনো 3 টি বিন্দু বেছে নিয়ে আমরা একটি ত্রিভুজ তৈরি করতে পারি।
অর্থাৎ,
আমাদের 18 টি বিন্দুর মধ্য থেকে 3 টি বিন্দু নির্বাচন করতে হবে।

∴ ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹⁸C₃
= 18!​/3!(18 - 3)!
= 18!/(3! × 15!)
= (18 × 17 × 16 ​× 15!)/(3 × 2 × 15!)
= 816

অতএব, মোট ত্রিভুজ গঠন করা যাবে 816 টি।

প্রশ্ন: a⁶ - b⁶ এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
a⁶ - b⁶
= (a³)² - (b³)²
= (a³ + b³)(a³ - b³)
= (a + b)(a² - ab + b²)(a - b)(a² + ab + b²)
= (a + b)(a - b)(a² - ab + b²)(a² + ab + b²)

প্রশ্ন: স্বাভাবিক সংখ্যার সেটের ক্ষুদ্রতম সদস্য হলো- 

সমাধান:
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট = {1, 2, 3, 4, …}

∴ ক্ষুদ্রতম সদস্য = 1

x⁴ + x² + 1
= (x²)² + 2x² + 1 - x²
= (x² + 1)² - x²
=(x² + x + 1)(x² - x + 1)

প্রশ্ন: যদি a - 3b = 4 হয়, তবে a³ - 27b³ - 36ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a - 3b = 4

এখন,
a³ - 27b³ - 36ab
= a³ - (3b)³ - 36ab
= (a - 3b)³ + 3 . a . 3b(a - 3b) - 36ab
= 4³ + (9ab × 4) - 36ab
= 64 + 36ab - 36ab
= 64

প্রশ্ন: যদি a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 এবং a² + ab + b² = 3 হয়, তবে a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3 ...........(i)
a² + ab + b² = 3 ...............(ii)

এখন,
a⁴ + a²b² + b⁴ = 3
⇒  (a² + b²)² - (ab)² = 3
⇒ (a² + ab + b²)(a² - ab + b²) = 3
⇒ 3(a² - ab + b²) = 3  [সমীকরণ (ii) থেকে মান বসিয়ে]
 ⇒ a² - ab + b² = 3/3
⇒ a² - ab + b² = 1 ........ (iii)

এখন, সমীকরণ (ii) এবং (iii) যোগ করে পাই,
(a² + ab + b²) + (a² - ab + b²) = 3 + 1
⇒ 2a² + 2b² = 4
⇒ 2(a² + b²) = 4
⇒ a² + b² = 4/2
⇒ a² + b² = 2

∴ a² + b² এর মান হলো 2

প্রশ্ন: যদি x³ + kx + 6 = 0 এর একটি সমাধান 1 হয়, তবে k এর মান কত?

সমাধান:
x³ + kx + 6 = 0 এর একটি সমাধান 1 হলে x = 1 হবে।
f(1) = 0

ধরি,
f(x) = x³ + kx + 6

∴ f(1) = 1³ + k × 1 + 6
⇒ 1 + k + 6 = 0
⇒ k + 7 = 0

যেহেতু f(1) = 0
⇒ k = - 7

যেহেতু একটি দরজা দিয়ে প্রবেশ করে অন্য দরজা দিয়ে বের হতে হবে তাই ঢুকার সময় দরজা ৪ টি থাকলেও বের হওয়ার সময় যেটা দিয়ে প্রবেশ করবে সেটা বাদ দিয়ে ৩ টি দরজা থাকবে।
সুতরাং উপায় সংখ্যা = ৪×৩ = ১২

x² - √2x + 1 = 0
বা, x² + 1 = √2x
বা, (x² + 1)/x = √2
বা, x + 1/x = √2

∴ x⁵ + 1/x⁵ 
= (x³ + 1/x³)(x² + 1/x²) - (x + 1/x)
= {(x + 1/x)³ - 3x.1/x(x + 1/x)}{(x + 1/x)² - 2x.1/x} - (x + 1/x)
= (2√2 - 3√2)(2 - 2) - √2
= - √2

f(x) = 4x² + 11x + 6 = 0
এখানে,
f(-2) = 4.4 + 11(-2) + 6
= 16 - 22 + 6
= 0
∴ x = -2

প্রশ্ন: log_4​16 - log_4​2 এর মান কত?

সমাধান: 
বেস চেঞ্জ ফর্মুলার সাহায্যে, 
log₄16
= log16/log4
= log 2⁴/log2²
= 4log2/2log2
= 4/2
= 2 

আবার, 
log₄2
= log2/log4
= log2/log2²
= log2/2log2
= 1/2

তাহলে, 
log₄16 - log₄2 = 2 - (1/2)
= (4 - 1)/2
= 3/2

10⁴⁰ – 10³⁹
10.10³⁹ – 10³⁹
10³⁹(10-1)
9×10³⁹

প্রশ্ন: log₁₀(10) + log₁₀(100) + log₁₀(1000) + log₁₀(10000) = কত?

সমাধান:
log₁₀(10) + log₁₀(100) + log₁₀(1000) + log₁₀(10000)
= log₁₀(10) + log₁₀(10²) + log₁₀(10³) + log₁₀(10⁴)
= log₁₀(10) + 2 × log₁₀(10) + 3 × log₁₀(10) + 4 × log₁₀(10)
= 1 + 2 + 3 + 4 [যেহেতু, log_aa = 1]
= 10

এখানে,
A = {2},
B = {-1, 1, 2}
∴ A - B = ∅

-x এর যোগাত্মক বিপরীত রাশি x.

আবার  x এর গুণাত্মক বিপরীত রাশি 1/x.

প্রশ্ন: f(x) = √(9 - x²) ফাংশনটির রেঞ্জ কত?

সমাধান:
ধরি, y = f(x) = √(9 - x²)

রেঞ্জ বের করার জন্য আমাদের দেখতে হবে y-এর সম্ভাব্য মানগুলো কী কী হতে পারে।

1. বর্গমূলের (√) ভেতরে থাকা রাশি কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না। তাই ডোমেন নির্ণয়ের জন্য,
9 - x² ≥ 0
⇒ x² ≤ 9
⇒ - 3 ≤ x ≤ 3 (এটি হলো ডোমেন)

2. যেহেতু y = √(9 - x²), এবং বর্গমূলের ফলাফল কখনো ঋণাত্মক হয় না, তাই y ≥ 0 হবে।

3. এখন x-এর সীমার মধ্যে y-এর মানগুলো লক্ষ্য করি:
যখন x = 0, তখন y = √(9 - 0) = 3 (এটি সর্বোচ্চ মান)
যখন x = 3 বা - 3, তখন y = √(9 - 9) = 0 (এটি সর্বনিম্ন মান)

অতএব, y-এর মান 0 থেকে শুরু করে 3 পর্যন্ত যেকোনো সংখ্যা হতে পারে।

∴ রেঞ্জ = [0, 3]

প্রশ্ন: x² - 3x - 28 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
x² - 3x - 28
= x² - 7x + 4x - 28
= x(x - 7) + 4(x - 7)
= (x - 7)(x + 4)

x +1, f(x) = ax² - x - 3 এর একটি উৎপাদক
∴ f(-1) = a(-1)² - (-1) - 3 = 0
বা, a + 1 - 3 = 0
∴ a = 2

প্রশ্ন: 15 + 22 + 29 + 36 + ......... ধারাটির 35 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, প্রথম পদ, a = 15
সাধারণ অন্তর, d = 22 - 15 = 7
পদসংখ্যা, n = 35

আমরা জানি,
সমান্তর ধারার সমষ্টি S_n = n/2 × {2a + (n - 1) × d}
∴ S₃₅ = 35/2 × {2 × 15 + (35 - 1) × 7}
= 35/2 × {30 + (34 × 7)}
= 35/2 × (30 + 238)
= 35/2 × 268
= 35 × 134
= 4690

∴ ধারাটির 35 টি পদের সমষ্টি হলো 4690

প্রশ্ন: একটি সমবায় সমিতির যতজন সদস্য ছিল, প্রত্যেকে তত টাকা করে দেওয়ায় মোট 400 টাকা হলো। পরে আরও 5 জন সদস্য যোগ দিলে এবং প্রত্যেকে একই হারে টাকা দিলে মোট কত টাকা হবে? 

সমাধান: 
ধরি, সমিতির সদস্য সংখ্যা = n জন
এবং প্রত্যেক সদস্য n পরিমাণ টাকা করে দেয়। 

প্রশ্নমতে, 
n × n = 400
⇒ n² = 400
⇒ n = √400
∴ n = 20

সুতরাং আসল সদস্য সংখ্যা ছিল 20 জন এবং প্রত্যেকে 20 টাকা করে দিয়েছিল। 

আবার, 
আরও 5 জন সদস্য যোগ দেওয়ায় বর্তমান সদস্য সংখ্যা = 20 + 5 = 25 জন।
যেহেতু প্রত্যেকে একই হারে (অর্থাৎ 20 টাকা করে) দিচ্ছে,
তাই মোট টাকা পরিমাণ = 25 × 20 = 500 টাকা।

সুতরাং নতুন মোট টাকার পরিমাণ 500 টাকা। 

x + 2y = 9 ............(1)
2x - y = 3
⇒ y = 2x - 3 ...........(2)
সমীকরণ (1) এ y এর মান বসিয়ে পাই,
বা, x + 2(2x - 3) = 9
বা, x + 4x - 6 = 9
বা, 5x = 15
বা, x = 3
সমীকরণ (2) এ x এর মান বসিয়ে পাই,
বা, y = 2 × 3 - 3
বা, y = 3
∴ (x, y) = (3, 3)

ধরি, A = {1, 2, 3, 7, 8}
B = {3, 4, 5, 7}
(A ∩ B) = {1, 2, 3, 7, 8} ∩ {3, 4, 5, 7} = {3, 7}
তাহলে, A ∪ (A ∩ B) = {1, 2, 3, 7, 8} ∪ {3, 7}
= {1, 2, 3, 7, 8}
একটু চিন্তা করলেই বুঝা যাবে।

প্রশ্ন: 12 + 24 + 48 + ............. + 768 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
12 + 24 + 48 + ............. + 768
ধারাটির প্রথম পদ, a = 12
সাধারন অনুপাত, r = 24/12 = 2
∴ n-তম পদ = ar^n-1
⇒ 768 = 12.2^n-1
⇒ 64 = 2^n-1
⇒ 2^n-1 = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
∴ n = 7

∴ ধারাটির সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 12 × (2⁷ - 1)/(2 - 1) 
= 12 × (128 - 1)
= 12 × 127
= 1524

• এখানে, মোট পত্রিকা পড়েন = ৭৫ + ৪৫ + ৫৫ জন
= ১৭৫ জন।
• ইত্তেফাক পত্রিকা পড়েন = ৫৫ জন।
• সুতরাং ঐ ব্যক্তির ইত্তেফাক পত্রিকা পড়ার সম্ভাবনা = ৫৫/১৭৫
= ১১/৩৫

অর্থনীতি নিয়েছে, E = 19 জন
ভূগোল নিয়েছে, G = 17 জন
পৌরনীতি নিয়েছে, C = 11 জন
অর্থনীতি ও ভূগোল নিয়েছে, E ∩ G = 12 জন
অর্থনীতি ও পৌরনীতি নিয়েছে, E ∩ C = 7 জন
ভূগোল ও পৌরনীতি নিয়েছে, G ∩ C = 5 জন
সবগুলো বিষয় নিয়েছে, E ∩ G ∩ C = 2 জন
কমপক্ষে একটি বিষয় নিয়েছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা -
E + G + C - (E ∩ G) - (E ∩ C) - (G ∩ C) + (E ∩ G ∩ C)
= 19 + 17 + 11 - 12 - 7 - 5 + 2
= 25 জন
∴ কোন বিষয়ই নেয়নি (30-25) = 5 জন

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + ......... ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3 > 1
পদ সংখ্যা, n = 14

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1) / (r - 1) ; [যখন r > 1]

∴ প্রথম 14টি পদের সমষ্টি = 3(3¹⁴ - 1) / (3 - 1)
= (3/2) × (3¹⁴ - 1) 

x⁶ + 4x³ − 1
= (x²)³ + x³ + (-1)³ - 3x².x(-1)
= (x² + x - 1){(x²)² + x² + (-1)² - x²x - x(-1) - (-1)x²} [As, x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y + z) (x² + y² + z² – xy – yz – zx)]
= (x² + x - 1)(x⁴ - x³ + 2x² + x + 1)