বীজগণিত

দেওয়া আছে,
x² + pq = (p + q)x
বা, x² - (p + q)x + pq = 0
বা, x² - px - qx + pq = 0
বা, x(x - p) - q(x - p) = 0
বা, (x - p)(x - q) = 0
∴ x = p, q

সেপ্টেম্বর মাসের দিন সংখ্যা ৩০ দিন।
৫ দিন বৃষ্টি হয়ে থাকলে যে কোন একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাব্যতা = ৫/৩০ = ১/৬
অর্থাৎ, ১৭ তারিখ বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাব্যতা ১/৬

প্রশ্ন: 1/|1 - 2a| ≥ 5 এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
1/|1 - 2a| ≥ 5
⇒ |1 - 2a| ≤ 1/5

ধনাত্মক ক্ষেত্রে: 1 - 2a ≤ 1/5
⇒ - 2a ≤ 1/5 - 1
⇒ - 2a ≤ - 4/5
⇒ 2a ≥ 4/5
⇒ a ≥ 2/5

ঋণাত্মক ক্ষেত্রে: (1 - 2a) ≥ - 1/5
⇒ 1 - 2a ≥ - 1/5
⇒ - 2a ≥ - 6/5
⇒ 2a ≤ 6/5
⇒ a ≤ 3/5

∴ নির্ণেয় সমাধান: 2/5 ≤ a ≤ 3/5

অনুষ্ঠানের শুরুতে করমর্দন সংখ্যা = ¹⁰C₂
= 10! ÷ {(10 - 2)! × 2!}
= (10 × 9 × 8!) ÷ (8! × 2!)
= (10 × 9 ÷ 2)
= 5 × 9
= 45

অনুরূপভাবে,
অনুষ্ঠানের শেষে আরো 45 বার করমর্দন করে।

∴ মোট করমর্দনের সংখ্যা = 45 + 45 = 90টি।

9y² - a² - 4a - 4
= 9y² - (a² + 4a + 4)
= (3y)² - (a + 2)²
= (3y + a + 2)(3y - a - 2)

∴ x - 2, f(x) = x² - x - a এর একটি উৎপাদক।
∴ f(2) = 2² - 2 - a = 0
বা, 4 - 2 - a = 0
বা, 2 - a = 0
∴ a = 2

প্রশ্ন: (5x)⁰ + 5x⁰ + (5x)⁰ এর মান নিচের কোনটি?

সমাধান:
(5x)⁰ + 5x⁰ + (5x)⁰
=1 + (5 × 1) + 1 
= 1 + 5 + 1
= 7

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার 17 তম পদ - 20 হলে, এর প্রথম 33 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি, সমান্তর ধারাটির ১ম পদ = a
সাধারণ অন্তর = d 

আমরা জানি, 
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 17 তম পদ = a + (17 - 1) d = a + 16d

প্রশ্নমতে,
a + 16d = - 20 ...... (i)

আবার, 
n পদের সমষ্টি , S_n= (n/2){2a + (n - 1)d}
S₃₃ = (33/2){2a + (33 - 1)d}
=  (33/2) (2a + 32d)
= 33 × (a + 16d)
= 33 × (- 20) [ (i) হতে]
= - 660

প্রশ্ন: x³ - 3x² + 4x - 5 কে x - 2 দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?

সমাধান:
ধরি, p(x) = x³ - 3x² + 4x - 5
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী, p(x) কে (x - 2) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(2)।
P(2) = (2)³ - 3(2)² + 4(2) - 5
= 8 - 3(4) + 8 - 5
= 8 - 12 + 8 - 5
= 16 - 17
= - 1

∴ নির্ণেয় ভাগশেষ হলো - 1।

১ম রাশি = a²-b²-c²-2bc
= a²-(b²+2bc+c²)
= a²-(b+c)²
= (a+b+c)(a-b-c)
২য় রাশি = b²-c²-a²-2ac
= b²-(c²+2ac+a²)
= b²-(c+a)²
= (a+b+c)(b-c-a)
∴ সাধারণ উৎপাদক a+b+c

প্রথম রাশিঃ
4(x² + ax)²,
= 2×2 x² (x + a)²
দ্বিতীয় রাশিঃ
6(x³ - a²x)
= 2×3 x(x + a)(x - a)
তৃতীয় রাশিঃ
14x³(x³ - a³)
= 2 × 7 × x³(x - a)(x² + ax + a²)
∴ ল.সা.গু. = 84x³(x + a)²(x³ - a³) 

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = -2
n পদের যোগফল = - 144
বা, n/2{2a + (n - 1)d} = - 144
বা, n/2{2.9 + (n - 1)(-2) = - 144
বা, n/2(18 - 2n + 2) = - 144
বা, n/2×(-2)(n - 10) = - 144
বা, - n(n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) =0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0
হয় n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
বা, n= 18             বা, n = -8 
এখানে n-এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
∴ n = 18

প্রশ্ন: প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক কত? 

সমাধান: 
প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যা = ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯

এখানে
n  = ১০, যা একটি জোড় সংখ্যা।

∴ মধ্যক = [(১০/২) তম পদ + {(১০/২) + ১} তম পদ]/২
= (৫ম পদ + ৬ তম পদ)/২
= (৯ + ১১)/২
= ১০

∴ প্রথম ১০ টি বিজোড় সংখ্যার মধ্যক = ১০

প্রশ্ন: x³ + x²y, x²y + xy² এর ল.সা.গু. কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
১ম রাশি,
x³ + x²y
= x²(x + y)

২য় রাশি,
x²y + xy²
= xy(x + y)

∴ ল.সা.গু. = x²y(x + y)

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: সাদিক 3 টাকা দরে x টি কলম এবং 6 টাকা দরে (x + 2) টি খাতা কিনেছে। মোট ক্রয়মূল্য অনুর্ধ্ব 93 টাকা হলে, সে সর্বাধিক কয়টি কলম কিনেছে তা নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
x টি কলমের ক্রয়মূল্য 3x টাকা 
আবার,
(x + 2) টি খাতার ক্রয়মূল্য 6(x + 2) টাকা 

প্রশ্নমতে,
3x + 6(x + 2) ≤ 93 
বা, 3x + 6x + 12 ≤ 93
বা, 9x + 12 ≤ 93
বা, 9x + 12 - 12 ≤ 93 - 12 [উভয় পক্ষ হতে 12 বিয়োগ করে] 
বা, 9x ≤ 81
∴ ‍x ≤ 9

∴ ‍নির্ণেয় সাদিক সর্বাধিক 9 টি কলম কিনেছে। 

3^{mx -1} = 3a^mx-2
⇒ 3^{mx -1}/3 = a^mx-2
⇒ 3^{mx - 2} = a^mx-2
⇒ (3/a)^{mx - 2} = (3/a)⁰
⇒ mx - 2 = 0
∴ x = 2/m

এখানে, 42 = 1 × 42 = 2 × 21 = 3 × 14 = 6 × 7
42 এর গুণনীয়ক সমূহ 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
∴ A = {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

আবার, 70 = 1 × 70 = 2 × 35 = 5 × 14 = 7 × 10
70 এর গুণনীয়ক সমূহ 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70
B = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}

∴ A ∩ B= {1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42} ∩ {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}
= {1, 2, 7, 14}

4/5 = 0.8
9/17 = 0.53
1/2 = 0.5
2/3 = 0.67
3/4 = 0.75
5/7 = 0.71
∴ 1/2, 4/5 এবং 9/17 এর মাঝে অবস্থান করে না

a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a+1) - a(a +1) - 20(a +1)
= (a+1)(a² - a - 20)
= (a+1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a+1) {a(a-5) + 4(a-5)}
= (a+1) (a-5) (a+4)

প্রশ্ন: (3√3 × √5)⁴ = কত?

সমাধান:
(3√3 × √5)⁴
= (3√3)⁴ × (√5)⁴
= (3)⁴ × (√3)^{2 × 2} × (√5)^{2 × 2}
= 3⁴ × 3² × 5²
= 81 × 9 × 25
= 18225

প্রশ্ন:  x² = x√2 হলে, x এর মান-

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x² = x√2
x² - x√2 = 0
x(x - √2) = 0

হয় 
x = 0

অথবা
x - √2 = 0
x = √2

শব্দটিতে মোট ৮টি বর্ণ আছে যাদের মধ্যে ২ টি A বাকীগুলো ভিন্ন ভিন্ন
∴ সবগুলো বর্ণ একত্রে নিয়ে গঠিত সাজানো সংখ্যা = ৮!/২!
= ২০১৬০

প্রশ্ন: s ≤ (s/2) + 3 এর সমাধান কত?

সমাধান:
s ≤ (s/2) + 3
⇒ 2s ≤ 2{(s/2) + 3}
⇒ 2s ≤ s + 6
⇒ 2s - s ≤ s + 6 - s
⇒ s ≤ 6

log_ax = 1,
log_ay = 2
log_az = 3
∴ x = a¹ = a
∴ y = a²
∴ z = a³
log_a(x³y²/z) = log_a(a³.a⁴/a³)
= log_aa⁴
= 4log_aa
= 4.1
= 4

প্রশ্ন: 40 থেকে 50 এর মধ্যে একটি সংখ্যা দৈবভাবে নেয়া হলে এটি মৌলিক (Prime) হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
40 থেকে 50 এর মধ্যে সংখ্যা আছে = 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49 = 9টি 
কারণ, 40 থেকে 50 এর মধ্যে উল্লেখ থাকায় 40 এবং 50 বাদ যাবে। 

এবং 40 থেকে 50 এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো: 41, 43, 47 = 3টি 
∴ সম্ভাবনা = (অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা)/(মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা) = 3/9 = 1/3
----------------------------
প্রশ্ন: 40 থেকে 50 পর্যন্ত একটি সংখ্যা দৈবভাবে নেয়া হলে এটি মৌলিক (Prime) হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান:
40 থেকে 50 পর্যন্ত বলতে সাধারণত 40 থেকে 50 সহ সব স্বাভাবিক সংখ্যা বোঝায়।
অর্থাৎ সংখ্যাগুলো হলো: 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50
∴ মোট সংখ্যা = 11টি

∴ 40 থেকে 50 এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো: 41, 43, 47 = 3টি

∴ সম্ভাবনা = (অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা)/(মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা)
= 3/11

সুতরাং, 40 থেকে 50 পর্যন্ত একটি সংখ্যা দৈবভাবে নেয়া হলে এটি মৌলিক (Prime) হওয়ার সম্ভাবনা = 3/11.

প্রশ্নের ভাষাগত ইস্যু আছে। প্রশ্নের ভাষা অনুযায়ী সঠিক উত্তর হয় = 1/3 কিন্তু অপশনে 1/3 অনুপস্থিত। 
অপশনে 1/3 না থাকায়, অপশন (ক) 3/11 কে সঠিক উত্তর হিসেবে নেওয়া হয়েছে।

log₂√35 + log₂√(7/5)
= log₂(35)^1/2 + log₂(7/5)^1/2
= 1/2log₂(7 × 5) + 1/2log₂(7/5)
= 1/2[log₂(7 × 5) + log₂(7/5)]
= 1/2[log₂7 + log₂5 + (log₂7 - log₂5)]
= 1/2 × 2log₂7
= log₂7