বীজগণিত

প্রশ্ন: a + b = 8 এবং a - b = 2 হলে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 8
a - b = 2

দুটি সমীকরণ যোগ করি—
(a + b) + (a - b) = 8 + 2
⇒ 2a = 10
⇒ a = 5

এখন,
b = 8 - a
= 8 - 5
= 3

∴ ab
= 5 × 3
= 15

অতএব, সঠিক উত্তর:
গ) 15

প্রশ্ন: 5x² - 3x + 4 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
5x² - 3x + 4 = 0

এখানে, a = 5, b = - 3 এবং c = 4

∴ নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 3)² - 4 × 5 × 4
= 9 - 80
= - 71

যেহেতু, নিশ্চায়ক - 71 < 0, তাই সমীকরণটির মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান।

• দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
2. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
3. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

প্রশ্ন: x^x√x = (x√x)^x হলে, x = কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: 


সমাধান: 

প্রশ্ন: (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
(x₁, y₁) = (0, 0) এবং (x₂, y₂) = (3, 3)

আমরা জানি, 
দুটি বিন্দু (x₁, y₁) এবং (x₂, y₂) দিয়ে গঠিত সরলরেখার ঢাল,
m = (y₂​ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (3 - 0)/(3 - 0)
= 3/3
∴ m = 1

আমরা জানি, 
সরলরেখার সমীকরণ,
y - y₁ ​= m(x - x₁​)
⇒ y - 0 = 1 (x - 0)     ; [(x_1​, y₁​) = (0, 0) এবং m = 1 বসিয়ে]
∴ y = x

অতএব, (0, 0) এবং (3, 3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ হলো y = x বা x - y = 0

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12টি পদের যোগফল 450। যদি প্রথম পদ 10 হয়, সাধারণ অন্তর কত?

সমাধান: 
সমান্তর ধারার যোগফলের সূত্র:
S_n = n/2 [2a (n - 1)d]
⇒ 450 = 12/2 [2 × 10(12 - 1)×d]
⇒ 450 = 6 [20 × 11d]
⇒ 75 = 20 × 11d
⇒ 11d = 55
⇒ d = 5

∴ সাধারণ অন্তর 5

দেওয়া আছে, b/(a−b)(b−c) + a/(c−a)(a−b) + c/(b−c)(c−a)
= b(c - a) + a(b - c) + c(a - b) / (a - b)(b - c)(c - a)
= (bc - ab + ab - ca + ca - bc) / (a - b)(b - c)(c - a)
= 0

প্রশ্ন: যদি x + y = 3, হয়, তাহলে x³ + y³ + 9xy = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + y = 3
⇒ (x + y)³ = (3)³   ; [ঊওভয়পাশে ঘন করে পাই]
⇒ x³ + y³ + 3xy(x + y) = 27
⇒ x³ + y³ + 3xy(3) = 27
∴ x³ + y³ + 9xy = 27

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি - 162 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, প্রথম পদটি কত হবে? 

সমাধান:
আমরা জানি, কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a,
সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^{n - 1}
সুতরাং,
দ্বিতীয় পদ = aq^{2 - 1}
= aq
= - 162
∴ a = - 162/q ........ (1)

আবার,
পঞ্চম পদ = aq ^{5 - 1}
= aq⁴
= (- 162/q)q⁴
= - 162q³

প্রশ্নমতে,
- 162q³ = 3/4
⇒ q³ = - 3/648
⇒ q³ = - 1/216
⇒ q³ = (- 1/6)³
∴ q = - 1/6

সুতরাং, ১ম পদ = - 162/(-1/6)
= 972

CALCULUS শব্দে 8 বর্ণ আছে
L = 2 টি
U =2টি
C = 2 টি
১ম ও শেষ অক্ষর U, বাকী থাকবে 6টি অক্ষর
∴ সাজানো যাবে = 6!/(2!2!) = 180 উপায়ে

প্রশ্ন: সেট B = {x : x Fibonacci সংখ্যা এবং x² < 64} হলে, P(B) এর উপাদান কয়টি?

সমাধান: 
আমরা জানি,
Fibonacci সংখ্যা: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,... পরপর দুটি সংখ্যার যােগফল পরবর্তী সংখ্যার সমান।
B = {x : x Fibonacci সংখ্যা এবং x² < 64} = {0, 1, 1, 2, 3, 5}    

∴ B এর উপাদান সেট = {0, 1, 2, 3, 5} [∵ সেটে একই উপাদান দুইবার নেয়া যায় না]
B সেটের উপাদান সংখ্যা n হলে, P(B) সেটের উপাদান সংখ্যা হবে 2ⁿ

এখানে, n = 5
∴ P(B) সেটের উপাদান সংখ্যা = 2⁵ = 32টি।

প্রশ্ন: 2a + 2, 10, 20, .......... গুণোত্তর ধারাটিতে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ = 2a + 2
দ্বিতীয় পদ = 10 
তৃতীয় পদ = 20

আমরা জানি,
সাধারণ অনুপাত = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ = তৃতীয় পদ/দ্বিতীয় পদ 

প্রশ্নমতে,
10/(2a + 1) = 20/10
⇒ 10/(2a + 2) = 2
⇒ 10 = 2(2a + 2)
⇒ 10 = 4a + 4
⇒ 4a = 10 - 4
⇒ 4a = 6
⇒ a = 6/4
⇒ a = 3/2

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 16 এবং ষষ্ঠ পদ 128 হলে, অনুক্রমের প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a,
সাধারণ অনুপাত q হলে
n তম পদ = aq^{n - 1}
সুতরাং, তৃতীয় পদ = aq^{3 - 1} = aq² = 16
∴ a = 16/q² ......... (i)

আবার, ষষ্ঠ পদ = aq^{6 - 1} = aq⁵ = (16/q²)q⁵ = 16q³

প্রশ্নমতে,
16q³ = 128
⇒ q³ = 128/16
⇒ q³ = 8
⇒ q³= 2³
∴ q = 2

সুতরাং, প্রথম পদ = 16/(2)²
= 16/4
= 4

প্রশ্ন: দুই অংক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার দশকের অংক এককের অংক অপেক্ষা ২ বেশি। সংখ্যাটি এর অংকদ্বয়ের সমষ্টির সাতগুণ অপেক্ষা ৩ বেশি। সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
ধরি, 
একক স্থানীয় অংক = ক 
দশক স্থানীয় অংক = (ক + ২) 
∴সংখ্যাটি = ১০(ক + ২) + ক 
= ১১ক + ২০ 

শর্তানুসারে, 
১১ক + ২০ = ৭(ক + ক + ২) + ৩ 
⇒ ১১ক + ২০ = ৭(২ক + ২) + ৩ 
⇒ ১১ক + ২০ = ১৪ক + ১৪ + ৩ 
⇒ ৩ক = ৩ 
∴ ক = ১ 

∴ সংখ্যাটি = (১১ × ১) + ২০
= ৩১ । 

x⁴ + x² + 1
= (x²)² + 2.x².1 + 1² - x²
= (x² + 1)² - x²
= (x² + x + 1)(x² - x + 1)

প্রশ্ন: x² - 2ax + (a + b) (a - b) এর উৎপাদক বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
x² - 2ax + (a + b) (a - b)
= x² - 2ax + a² - b²
= (x - a)² - b²
= (x - a - b) (x - a + b)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x - a - b) (x - a + b) ।

প্রশ্ন: log_x(1/343) = - 3 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(1/343) = - 3
বা, x^{- 3} = 1/343 [log_ba = c হলে, b^c = a হয়]
বা, 1/(x³) = 1/343
বা, x³ = 343
বা, x³ = 7³
∴ x = 7

প্রশ্ন: x² - 4x + 1 = 0 হলে (x - 1/x)⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, x² - 4x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = 4x
⇒ x²/x + 1/x = 4x/x
∴  x + 1/x = 4

আমরা জানি,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4 . x . 1/x
⇒ (x - 1/x)² = (4)² - 4
⇒ (x - 1/x)² = 16 - 4
⇒ (x - 1/x)² = 12
⇒ {(x - 1/x)²}² = 12²
∴ (x - 1/x)⁴ = 144

d = 10,
a = ?
∴ ষষ্ঠ পদ = a + (6 - 1)d
বা, 72 = a + 5 × 10
বা, a + 50 = 72
∴ a = 22
∴ ষোড়শ পদ = a + (16 - 1)d
= 22 + (15) × 10
= 22 + 150
= 172

x⁶ - 1
= (x³ + 1)(x³ - 1)
= (x + 1)(x² - x + 1)(x - 1)(x² + x + 1)

প্রশ্ন: যদি p - q = 5 হয়, তবে [p³ - q³ - 15pq] - 5² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, p - q = 5

প্রদত্ত রাশি = p³ - q³ - 15pq
= (p - q)³ + 3pq(p - q) - 15pq
= 5³ + 3pq × 5 - 15pq
= 125 + 15pq - 15pq
= 125

∴ [p³ - q³ - 15pq] - 5² = 125 - 25 = 100

প্রশ্ন: দুই অঙ্ক বিশিষ্ট একটি সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টি 6, অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে যে সংখ্যা পাওয়া যায়, তা প্রদত্ত সংখ্যা থেকে 18 বেশি। সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান কত?

সমাধান:

ধরি, একক স্থানীয় অঙ্ক = a
∴ দশক স্থানীয় অঙ্ক = 6 - a

∴ সংখ্যাটি = 10(6 - a) + a
= 60 - 9a

∴ অঙ্কদ্বয় স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি = 10a + (6 - a)
= 9a + 6

প্রশ্নমতে,
9a + 6 = 60 - 9a + 18
⇒ 9a + 9a = 60 + 18 - 6
⇒ 18a = 72
∴ a = 4

∴ সংখ্যাটি = 60 - (9 × 4) = 24
অতএব, সংখ্যাটির এক চতুর্থাংশের মান = 24/4 = 6

মোট বর্ণ = ২৬টি,
স্বরবর্ণ = ৫টি,
২টি স্বরবর্ণ পাওয়ার সম্ভাবনা = ^৫c_২/^২৬c_২ = ১০/৩২৫
= ২/৬৫

ডিমরগানের উপপাদ্য অনুসারে।

যেহেতু, x - 2, f(x) = x³ - x - p এর একটি উৎপাদক
∴ f(2) = 0
বা, 2³ - 2 - p = 0
বা, 6 - p = 0
∴ p = 6

প্রশ্ন:

সমাধান: