বীজগণিত

প্রশ্ন: log₁₆M = 0.125 হলে, M এর মান কত?

সমাধান:
log₁₆M = 0.125
⇒ M = 16^0.125
⇒ M = (2⁴)^1/8
⇒ M = 2^{(4 × 1/8)}
⇒ M = 2^1/2
∴ M = √2

প্রশ্ন: p + q = √3 এবং p - q = √2 হলে, pq = কত?

সমাধান:
p + q = √3
p - q = √2
আমরা জানি,
4pq = (p + q)² - (p - q)²
⇒ 4pq = (√3)² - (√2)²
⇒ 4pq = 3 - 2
⇒ 4pq = 1
⇒ pq = 1/4

প্রশ্ন: x³ - 7x² + 14x - 8 রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x³ - 7x² + 14x - 8
x = 2 বসিয়ে দেখি,
f(2) = 2³ - (7 × 2²) + (14 × 2) - 8
= 8 - 28 + 28 - 8
= 0

অতএব, (x - 2) রাশিটির একটি উৎপাদক।

13 বাহুবিশিষ্ট বহুভুজের 13 টি কৌণিক বিন্দু আছে।
2 টি কৌণিক বিন্দুর সমাবেশ হতে একটি রেখা পাওয়া যায়
∴ মোট রেখার সংখ্যা = ¹³c₂ = 78 যাদের মধ্যে 13 টি বহুভূজের বাহু।
∴ কর্ণের সংখ্যা = 78 - 13 = 65

(xy/x^-3)⁰ = (x⁴y)⁰
= x⁰y⁰
= 1.1
= 1

মোট খেলাধূলা করে (৩২ - ৬) = ২৬ জন।
ফুটবল খেলে = ১৬ জন ও ক্রিকেট খেলে = ১৪ জন।
∴ দুটি খেলাই খেলে এমন ছাত্র সংখ্যা = ১৬ + ১৪ - ২৬ = ৪ জন

x + y = 2 এবং x³ + y³ = 8

x³ + y³ = 8
বা, (x + y)³ - 3xy(x + y) = 8
বা, 2³ - 3xy.2 = 8
বা, - 6xy = 0
∴ xy = 0

x² + y²
= (x + y)² - 2xy
= 2² - 2.0
= 4

প্রশ্ন: যদি 3^x + 3^{x + 1} = 12 হলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3^x + 3^{x + 1} = 12
⇒ 3^x + 3^x × 3¹ = 12
⇒ 3^x(1 + 3) = 12
⇒ 3^x × 4 = 12
⇒ 3^x = 12/4
⇒ 3^x = 3¹
∴ x = 1

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log_ap = 2 ⇒ a² = p
log_aq = 3, ⇒ a³ = q
log_ar = 4 ⇒ a⁴ = r

এখন,
log_a{(p²q²)/r}
= log_a{(a²)²(a³)²/a⁴}
= log_a{(a⁴)(a⁶)/a⁴}
= log_aa⁶
= 6log_aa
= 6

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ১৫৫ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক
বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ১৫৫
বা, ক^২+ ২ক + ১ - ক^২ = ১৫৫
বা, ২ক = ১৫৫ - ১
বা, ২ক = ১৫৪
বা, ক = ৭৭

∴ বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১
= ৭৭ + ১ = ৭৮

প্রশ্ন: x² - 4 ≤ 0 এর সমাধান কোনটি?

সমাধানঃ
x² - 4 ≤ 0
⇒ x² ≤ 4
⇒ x ≤ ± 2
∴ - 2 ≤ x ≤ 2

প্রশ্ন: প্রদত্ত ভেনচিত্রে, যদি A ∩ B = B ∩ C হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
A = {8, x}
B = {x, 6, 4}
C = {4, y}

তাহলে, 
A ∩ B = {8, x} ∩ {x, 6, 4} = x
B ∩ C = {x, 6, 4} ∩ {4, y} = 4

A ∩ B = B ∩ C

∴ x = 4

প্রশ্ন: 1 থেকে 99 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলোর যোগফল কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
1 থেকে n পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল = n(n + 1)/2
∴ 1 থেকে 99 পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর যোগফল = {99 × (99 + 1)}/2 
= (99 × 100)/2 
= 99 × 50 
= 4950 

প্রশ্ন: q^{- 3} = 0.2 হলে, q⁶ এর মান কত হবে? 

সমাধান:
q^{- 3} = 0.2
⇒ 1/q³ = 2/10
⇒ 1/q³ = 1/5
∴ q³ = 5

অতএব, q⁶ = (q³)² = 5² = 25

প্রশ্ন: a + b = 15 এবং a - b = 5 হলে, a² + b² এর মান কত?

সমাধান:
আমরা জানি, a² + b² = (1/2){(a + b)² + (a - b)²}
⇒ a² + b² = (1/2)(15² + 5²)
⇒ a² + b² = (1/2)(225 + 25)
⇒ a² + b² = (1/2)(250)
∴ a² + b² = 125

প্রশ্ন: x এর মান কত হলে (3/5)³ × (3/5)^{- 6} = (3/5)^{2x - 1} হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ (3/5)³ × (3/5)^{- 6} = (3/5)^{2x - 1}
⇒ (3/5)^{3 - 6} = (3/5)^{2x - 1}
⇒ (3/5)^{- 3}= (3/5)^{2x - 1}
⇒ 2x - 1 = - 3
⇒ 2x = - 3 + 1
⇒ 2x = - 2
∴ x = - 1

x = 0 হলে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়
∴ সমাধান x = 0.

প্রশ্ন: log₃243 + log₃81 = কত?

সমাধান:
log₃243 + log₃81
= log₃3⁵ + log₃3⁴
= 5log₃3 + 4log₃3
= 5 + 4
= 9

ধারার প্রথম পদ, a = 8
সাধারণ অন্তর, d = 16 - 8 = 8
পদ সংখ্যা n = 11
আমরা জানি, সমান্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি,
S_n = n/2 × {2a + (n – 1)d}
S₁₁ = 11/2 × {2 × 8 + (11 - 1)8} [n = 11 বসিয়ে]
= 11/2 (16 + 80)
= 11/2 × 96
= 528
∴ ধারাটির প্রথম 11টি পদের সমষ্টি 528

প্রশ্ন: x - [x - {x - (x + 1)}] এর মান কত?

সমাধান:
x - [x - {x - (x + 1)}]
= x - {x - (x - x - 1)}
= x - (x + 1)
= x - x - 1
= - 1

PFIZER শব্দটিতে মোট 6টি বর্ণ রয়েছে, যাদের 4টি ব্যাঞ্জনবর্ণ।
শব্দের শেষ অক্ষর 4টি ব্যাঞ্জনবর্ণ দিয়ে ⁴P₁ = 4 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট 5 টি বর্ণ সাজানো যায় = 5! = 120 উপায়ে
∴ সাজানোর মোট উপায় = 4 × 120 = 480

যখন কোনো চলকের সাথে কোনো অক্ষর প্রতীক গুণক হিসেবে যুক্ত থাকে, তখন ঐ গুণককে রাশিটির আক্ষরিক সহগ বলে।
[গণিত বই ষষ্ঠ শ্রেণি ৮০ পৃষ্ঠা]

প্রশ্ন: যদি p + q = √10 এবং p - q = √6 হয়, তবে 8pq(p² + q²) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
p + q = √10
p - q = √6

আমরা জানি,
8pq(p² + q²) 
= (4pq) × 2(p² + q²)
= {(p + q)² - (p - q)²} × {(p + q)² + (p - q)²}
⇒ {(√10)² - (√6)²} × {(√10)² + (√6)²}
⇒ (10 - 6) × (10 + 6)
⇒ 4 × 16
∴ 8pq(p² + q²) = 64

প্রশ্ন: x + y = 5, x² + y² = 13 হলে, x³ + y³ -এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 5
x² + y² = 13

এখানে,
x² + y² = 13
⇒ (x + y)² - 2xy = 13
⇒ 5² - 2xy = 13
⇒ 2xy = 25 - 13
⇒ 2xy = 12
⇒ xy = 12/2
∴ xy = 6

∴ x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy (x + y)
= (5)³ - 3 × 6 × 5
= 125 - 90
= 35

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অন্তর, d = 4-1 =3
n তম পদ = a + (n-1)d
⇒ 73 = 1 + (n-1)3
⇒ 73 = 1 + 3n - 3
⇒ 3n = 75
∴ n = 25
∴ ধারাটির সমষ্টি, S = n/2{2a+(n-1)d}
= 25/2{2×1+(25-1)×3}
= 25/2 (2+72)
= 25/2 × 74
= 925

x > y...….....(1)
z < 0............(2)
(2) নং হতে, z অবশ্যই ঋণাত্মক সংখ্যা
(1) নং কে z দ্বারা গুন করলে, xz < yz.

প্রশ্ন: 5(x + 1) ≤ 2(x + 7) অসমতাটির সমাধান সেট নিচের কোনটি?

সমাধান:
5(x + 1) ≤ 2(x + 7)
⇒ 5x + 5 ≤ 2x + 14
⇒ 5x - 2x ≤ 14 - 5
⇒ 3x ≤ 9
⇒ x ≤ 3

∴ সমাধান সেট = {x ∈ R : x ≤ 3}

প্রশ্ন: দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলো। প্রথম মুদ্রায় T এবং ২য় মুদ্রায় H আসার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
দুইটি মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হলে যে ঘটনাগুলো ঘটে সেগুলো হলো = {HH, HT, TH, TT} 
এখানে,
মোট ঘটনা = 4 

∴ প্রথম মুদ্রায় T এবং ২য় মুদ্রায় H আসার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা 
= 1/4 

ধরি, সংখ্যাটি x
শর্তমতে, 3x + 2x = 90
⇒ 5x = 90
⇒ x = 18

{(³√a)⁰}⁵
= {(a^1/3)⁰}⁵
= (a⁰)⁵
= 1⁵
= 1

প্রশ্ন: a > b এবং c < 0 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a > b
c < 0 (অর্থাৎ c একটি ঋণাত্মক সংখ্যা)।
একটি অসমতার উভয় পক্ষকে যখন একটি ঋণাত্মক সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়, তখন অসমতার চিহ্নটি উল্টে যায়।
a > b 
উভয় পক্ষকে c দ্বারা গুণ করে পাই,
⇒ a × c < b × c

∴ প্রদত্ত শর্ত অনুযায়ী সঠিক অসমতাটি হলো,
ac < bc

প্রশ্ন: (1/√5) + 1 + √5 + ......................... ধারাটির কোন পদ 625 হবে?

সমাধান:
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে, সাধারণ অনুপাত, r = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ
= 1/(1/√5)
= √5
প্রথম পদ, a = 1/√5

আমরা জানি,
n তম পদ = a × r^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
a × r^{n - 1} = 625
⇒ (1/√5) × (√5)^{n - 1} = 625
⇒ (√5)^{- 1} × (√5)^{n - 1} = 625
⇒ (√5)^{n - 2} = 625
⇒ (√5)^{n - 2} = (√5)⁸
⇒ n - 2 = 8
⇒ n = 10

∴ ধারাটির 10 তম পদ 625

প্রশ্ন: 6x² - 7x - 20 এর উৎপাদক হচ্ছে - 

সমাধান:
6x² - 15x + 8x - 20
= (6x² - 15x) + (8x - 20)
= 3x(2x - 5) + 4(2x - 5)
= (3x + 4)(2x - 5)

3x - 7y + 10 = 0 --- (1)
y - 2x - 3 = 0 --- (2)

(1) × 1 এবং (2) × 7 করে যোগ করলে পাই,
∴ x = -1

x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
y = 1

(x,y) = (-1,1)

প্রশ্ন: একটি ধারার n তম পদ m^{(n + 2)}। যদি তৃতীয় পদ 243 হয়, তবে m এর মান কত?

সমাধান: 
এখানে,
n তম পদ m^{(n + 2)}
3য় পদ = 243
n = 3 হলে,
m₃ ​= m^{(3 + 2)} = m⁵

প্রশ্নমতে, 
m⁵ = 243
⇒ m⁵  = 3⁵
⇒ m = 3
∴ m এর মান = 3 

A এবং B দু'টি স্বাধীন ঘটনার ক্ষেত্রে P(A ∩ B) = P(A) × P(B)