বীজগণিত

যদি 1/(x + 1) = 0 হয়,
তবে 1 = 0 হয় যা অসম্ভব,
∴ 1/(x + 1) ≠ ০

f(x) = ax⁴ - 25x² + 9a এর একটি উৎপাদক x - 2
∴ f(2) = 0
বা, a.2⁴ - 25.2² + 9a = 0
বা, 16a + 9a = 100
বা, 25a = 100
∴ a = 4

প্রশ্ন: রমিজ সাহেব কিছু গাছ নিয়ে একটি বাগানে গাছ রোপন করতে গিয়ে দেখল যে প্রতি সারিতে 5 টি করে গাছ লাগালে 2 টি সারি খালি থাকে। আবার, প্রতি সারিতে 3 টি করে গাছ লাগালে 2 টি গাছ অতিরিক্ত থাকে। বাগানে মোট কতটি গাছ নিয়ে গিয়েছিলেন?

সমাধান:
ধরি, গাছের সংখ্যা n এবং সারির সংখ্যা r

তাহলে,
১ম শর্তমতে, n = 5 × (r - 2) ⇒ n = 5r - 10 ...... (1)
২য় শর্তমতে, n = (3 × r) + 2 ⇒ n = 3r + 2 ...... (2)

প্রশ্নমতে,
5r - 10 = 3r + 2
⇒ 5r - 3r = 2 + 10
⇒ 2r = 12
∴ r = 6

(1) নং সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই।
n = (5 × 6) - 10
= 30 - 10
= 20
∴ বাগানে মোট 20 টি গাছ নিয়ে গিয়েছিলেন।

প্রদত্ত সিরিজে দুইটি ধারা আছে।
প্রথম ধারাটিঃ 1, 3, 9, 27
দ্বিতীয় ধারাটিঃ 2, 6, 18, 54
সুতরাং, missing number টি হচ্ছে - 27

প্রশ্ন: |3x + 4| ≤ 10 এর সমাধান কী?

সমাধান:
|3x + 4| ≤ 10
⇒ - 10 ≤ 3x + 4 ≤ 10
⇒ - 10 - 4 ≤ 3x + 4 - 4 ≤ 10 - 4
⇒ - 14 ≤ 3x ≤ 6
⇒ - 14/3 ≤ 3x / 3 ≤ 6/3
⇒ - 14/3 ≤ x ≤ 2

ব্যবধি আকারে প্রকাশ করে পাই, [- 14/3, 2]
অর্থাৎ, x একটি সংখ্যা যা - 14/3 থেকে 2 এর মধ্যে বা সমান হতে পারে।

প্রশ্ন: যদি x² - √3x + 1 = 0 হয়, তবে x + 1/x = ? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x² - √3x + 1 = 0
⇒ x² + 1 = √3x
⇒ (x²/x) + (1/x) = √3x/x ; [x দ্বারা ভাগ করে]
∴ x + 1/x = √3

n তম পদ = ar^n-1
দ্বিতীয় পদ = -48
ar^{2 - 1} = -48 .........(1)
৫ম পদ = 3/4
ar⁴ = 3/4 .........(2)
r = -(1/4)

প্রশ্ন: 4^x = 2 হলে, x = কত?

সমাধান:
4^x = 2
⇒ (2²)^x = 2
⇒ 2^2x = 2¹
⇒ 2x = 1
x = 1/2

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল n(n + 1)। ধারাটির 15টি পদের যোগফল কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
S_n​ = n(n + 1)
তাহলে,
S₁₅ = 15 × (15 + 1)
= 15 × 16
= 240

∴ প্রথম 15 টি পদের যোগফল 240 

প্রশ্ন: যদি (p/q)^x-3 = (q/p)^x-5 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান :
(p/q)^x-3 = (q/p)^x-5
or, x - 3 = 5 - x
or, x + x = 3 + 5
or, 2x = 8
or, x = 4

এখানে, প্রথম রাশি = 2x² + x
= x(2x + 1)

এবং দ্বিতীয় রাশি = 4x² - 1
= (2x)² - 1¹
= (2x + 1) (2x - 1)
সুতরাং নির্ণেয় গ.সা.গু = 2x + 1

n তম পদ = n/2 × 2^{2n - 1}

∴ ১ম পদ = 1/2 × 2¹ = 1
২য় পদ = 2/2 × 2³ = 8
৩য় পদ = 3/2 × 2⁵= 3/2 × 32 = 48

∴ সমষ্টি = 1 + 8 + 48
= 57

প্রশ্ন: x³ - y³ = 513 এবং x - y = 3 হলে, xy এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x³ - y³ = 513 এবং x - y = 3 

আমরা জানি, 
x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy(x - y)
⇒ 513 = 3³ + 3xy × 3
⇒ 9xy = 513 - 27
⇒ xy = 486/9
∴ xy = 54

ax² + bx + c = 0 সমীকরণটির ঘাত 2

প্রশ্ন: |1 - 2x| < 1 এর সমাধান-

সমাধান:
|1 - 2x| < 1
বা, - 1 < 1 - 2x < 1
বা, - 1 - 1 < 1 - 1 - 2x < 1 - 1
বা, - 2 < - 2x < 0
বা, - 1 < - x < 0
বা, 1 > x > 0
∴ 0 < x < 1

x⁴ + 2x² + 1 = 5x²
বা, x² + 2 + 1/x² = 5
বা, x² + 1/x² = 3
বা, (x + 1/x)² - 2.x.(1/x) = 3
বা, (x + 1/x) = √5

8 জন বালক থেকে 2 জনকে বেছে নেওয়া যায় ⁸C₂ উপায়ে
6 জন বালিকা থেকে 2 জনকে বেছে নেওয়া যায় ⁶C₂ উপায়ে
∴ মোট বাছাই সংখ্যা = ⁸C₂ × ⁶C₂ = 28 × 15 = 420 উপায়ে

প্রশ্ন: x² - 8x - 8y + 16 + y² রাশিটির সঙ্গে কোনটি যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
x² - 8x - 8y + 16 + y²
= (x)² - 2.x.4 - 2.y.4 + (4)² + y²
= (4)² + (x)² + y² - 2.x.4 + 2xy - 2.y.4 - 2xy
= (4 - x - y)² - 2xy

∴ x² - 8x - 8y + 16 + y² রাশিটির সঙ্গে 2xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

ধারাটির ১ম পদ a = 7,
সাধারণ অন্তর d = 12 - 7 = 5
ধারাটি একটি সমান্তর ধারা। এখানে পদ সংখ্যা n = 30
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি S_n = n/2 × {2a + (n - 1)d}
তাহলে, 30 টি পদের সমষ্টি S₃₀ = (30/2) × {2 × 7 + (30 - 1)5}
= 15 × (14 + 29 × 5)
= 2385

প্রশ্ন: 7টি ভিন্ন বর্ণের পুঁতি দিয়ে কত উপায়ে একটি মালা তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
তসবী, মালা ইত্যাদি গঠন করলে বিন্যাস সংখ্যা হয় = (n - 1)!/2
এখানে, n = 7
∴ মালা গঠনের উপায় = (7 - 1)!/2
= 6! / 2
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / 2
= 720 / 2
= 360

প্রশ্ন: B = {1, 2, 3, 4, 5} হলে, B এর প্রকৃত উপসেটের সংখ্যা হবে:

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
A = {1, 2, 3, 4, 5}

আমরা জানি,
কোন সেটের প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1 
এখানে, 
n = সেটের উপাদান সংখ্যা = 3 

∴ প্রকৃত উপসেট = 2ⁿ - 1 
= 2⁵ - 1 
= 32 - 1 
= 31 

(1, -1) => 3 + 7 + 10 = 20; - 1 - 2 - 3 = - 6 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে না]
(1, 1) => 3 - 7 + 10 = 6; 1 - 2 - 3 = - 4 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে না]
(-1, -1) => - 3 + 7 + 10 = 14; - 1 + 2 - 3 = -2 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে না]
(-1, 1) => - 3 - 7 + 10 = 0; 1 + 2 - 3 = 0 [ যা প্রদত্ত শর্তকে সিদ্ধ করে]

a⁰ = 1 যেখানে a ≠ 0
কারণ, a = 0 হলে, 0⁰ এর মান অনির্ণেয় হয় 

প্রশ্ন: দুই অঙ্কবিশিষ্ট কোনো সংখ্যার অঙ্কদ্বয়ের সমষ্টির সাথে 7 যোগ করলে যোগফল দশক স্থানীয় অঙ্কটির তিনগুণ হয়। কিন্তু সংখ্যাটি থেকে 18 বাদ দিলে অঙ্কদ্বয় স্থান পরিবর্তন করে। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, দুই অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক x এবং দশক স্থানীয় অঙ্ক y
∴ সংখ্যাটি = x + 10y

১ম শর্তানুসারে,
x + y + 7 = 3y
⇒ x + y - 3y = - 7 
∴ x - 2y = - 7 ........(1)

২য় শর্তানুসারে,
⇒ x + 10y - 18 = y + 10x
 ⇒ x + 10y - y - 10x = 18
⇒ 9y - 9x = 18
 ⇒ 9(y - x) = 18
⇒ y - x = 18/9
∴ y - x = 2 ........(2)

এখন, (1) ও (2) নং যোগ করে পাই,
- y = - 5
∴ y = 5
y-এর মান (1) নং-এ বসিয়ে পাই,
⇒ x - 2 × 5 = - 7
⇒ x = 10 - 7
∴ x = 3

∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি = 3 + 10 × 5 = 3 + 50 = 53

প্রশ্ন: যদি p + q + r = 0 হয়, তবে p³ + q³ + r³ এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
p + q + r = 0

আমরা জানি,
p³ + q³ + r³ - 3pqr = (p + q + r)(p² + q² + r² − pq − qr − rp)
⇒ p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0 × (p² + q² + r² − pq − qr − rp)
⇒ p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0
∴ p³ + q³ + r³ = 3pqr

একটি বাল্ব ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার সম্ভাবনা
= (^৮c_১ × ^২c_১)/ ^১০c_২
= (৮ × ২)/৪৫
= ১৬/৪৫

কোন একটি রাশি যদি অন্য দুই বা ততোধিক রাশির গুণফলের সমান হয় তাহলে শেষোক্ত রাশি সমূহকে  উৎপাদক/গুণনীয়ক/ ফেক্টর বলে। 

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৪ টি লাল, ৫ টি সাদা ও ৬ টি নীল বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুলে নেওয়া হল। বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
থলেতে মোট বলের সংখ্যা = (৪ + ৫ + ৬) টি = ১৫ টি
সুতরাং সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = ১৫
সাদা বলের সংখ্যা = ৫ টি
সুতরাং সাদা বলের অনুকুল ফলাফল = ৫

বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = সাদা বলের অনুকুল ফলাফল / সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = ৫/১৫ = ১/৩
∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩)
= (৩ - ১)/৩
= ২/৩

Given, f(x) = (3x+4) / (x−5)
= (3.1/3 + 4) / (1/3 - 5)
= (1 + 4) / {(1 - 15)/3}
= 5 / (-14 / 3)
= - 15/14

প্রশ্ন: - 1 < x < 8 অসমতাটিকে পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করলে নিচের কোনটি হবে?

সমাধান:
সীমার মধ্যবিন্দু = (- 1 + 8)/2 = 7/2

দেওয়া আছে,
⇒  -1 < x < 8
⇒ - 1 - 7/2 < x - 7/2 < 8 - 7/2
⇒ - 9/2 < x - 7/2 < 9/2
⇒ - 9/2 < (2x - 7)/2 < 9/2
⇒ - 9 < 2x - 7 < 9
∴ |2x - 7| < 9 [আমরা জানি, -a < X < a হলে |X| < a লেখা যায়]