বীজগণিত

ধরি,
সে কলম কিনেছিলো x টি
প্রতিটি কলমের দাম= 240/x টাকা
আবার,
১ টি কলম বেশি পেলে কলমের দাম = 240/(x + 1) টাকা

প্রশ্নমতে,
240/x - 240/(x+1) = 1
⇒ (240x + 240 - 240x)/x(x+1) = 1
⇒ x² + x = 240
⇒ x² + 16x - 15x - 240 = 0
⇒ x(x + 16) - 15(x + 16) = 0
⇒ (x - 15)(x + 16) = 0
হয়, x - 15 = 0 অথবা, x + 16 = 0
∴ x = 15 অথবা ∴ x = -16 (যা অগ্রহণযোগ্য)
∴ সে 15টি কলম কিনেছিলো।

প্রশ্ন: "SCHOOLS" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যা "SUCCESS" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার কত গুণ?

সমাধান:
SCHOOLS শব্দটির বর্ণ সংখ্যা = 7
S দুইবার, O দুইবার আছে, বাকিগুলো একবার করে।
∴ মোট বিন্যাস = 7!/(2! × 2!)
= 5040/4
= 1260 

SUCCESS শব্দটির বর্ণ সংখ্যা = 7
S তিনবার, C দুইবার আছে, বাকিগুলো একবার করে।
∴ মোট বিন্যাস = 7!/(3! × 2!)
= 5040/(6 × 2)
= 5040/12
= 420

∴ অনুপাত = 1260/420= 3

অতএব, "SCHOOLS" শব্দটির বর্ণগুলোর বিন্যাস সংখ্যা "SUCCESS" শব্দটির বিন্যাস সংখ্যার 3 গুণ।

প্রশ্ন: ৯ + ১৩ + ১৭ + ২১ + ............. ধারাটির কোন পদ ১৬৫?

সমাধান:
এখানে,
ধারার ১ম পদ, a = ৯
সাধারণ অন্তর, d = ১৩ - ৯ = ৪
n তম পদ = ১৬৫

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - ১) × d

প্রশ্নমতে,
৯ + (n - ১) × ৪ = ১৬৫
⇒ ৯ + ৪n - ৪ = ১৬৫
⇒ ৪n + ৫ = ১৬৫
⇒ ৪n = ১৬০
⇒ n = ৪০

∴ ১৬৫ হলো ধারাটির ৪০তম পদ।

প্রশ্ন: C = {x ∈ N : x < 9 এবং x > 10} এর সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
C = {x ∈ N : x < 9 এবং x > 10} 

x < 9 এবং x > 10 শর্তে C সেটে কোনো উপাদান নেই অর্থাৎ ফাঁকা। 

∴ C = { }

প্রশ্ন: x + (1/x) = 5 হলে, (x⁴ + 1)/x² এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, 
​x + (1/x) = 5

প্রদত্ত রাশি = (x⁴ + 1)/x² 
​= x² + (1/x²)
= (x + 1/x)² - 2 . x . 1/x
​= (5)² - 2
​= 25 - 2
​= 23

প্রশ্ন: f(x) = (24x + 12)/(6x - 3) হলে, f(1/4) এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
f(x) = (24x + 12)/(6x - 3)
∴ f(1/4) = {24 × (1/4) + 12}/{6 × (1/4) - 3}
= (6 + 12)/{(3/2) - 3)
= 18/(- 3/2)
= 18 × (- 2/3)
= - 12

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 'EQUATION' শব্দটির অক্ষর গুলো থেকে চার অক্ষরবিশিষ্ট বিভিন্ন শব্দ গঠন হলে এদের কতগুলোতে Q থাকবে কিন্তু N থাকবে না?

সমাধান: 
'EQUATION' শব্দটিতে ৪টি বিভিন্ন বর্ণ রয়েছে।
যেহেতু গঠিত শব্দে N থাকবে না সুতরাং ব্যবহার্য বিভিন্ন বর্ণের মোট সংখ্যা (8 - 1) = 7 টি 
চার অক্ষরবিশিষ্ট শব্দের চারটি স্থানের একটি স্থান একটি নির্দিষ্ট বর্ণ Q দ্বারা পূরণ করার উপায়,
⁴P₁ = 4

অবশিষ্ট 3টি স্থান (7 - 1) বা 6 টি বর্ণ দ্বারা পূরণ করার উপায় = ⁶P₃ = 120

∴ নির্ণেয় শব্দ গঠনের উপায় = 4 × 120 = 480

প্রশ্ন: যদি a + b = 7 এবং a² + b² = 25 হয়, তাহলে ab এর মান কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
(a + b)² = (a² + b²) + 2ab 
বা, 2ab = (a + b)² - (a² + b²)
বা, 2ab = (7)² - 25
বা, 2ab = 49 - 25
বা, 2ab = 24
বা, ab = 24/2
∴ ab = 12

দেওয়া আছে,
a + b + c = 6 এবং
ab + bc + ca = 14

আমরা জানি,
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
বা, a² + b² + c² = (a + b + c)² - 2(ab + bc + ca)
বা, a² + b² + c² = 6² - 2 . 14
বা, a² + b² + c² = 36 - 28
সুতরাং a² + b² + c² = 8

প্রশ্ন: x + 4/x = 4 হলে x/(x² + x - 1) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x + 4/x = 4
(x² + 4)/x = 4
x² + 4 = 4x
x² - 4x + 4 = 0
(x - 2)² = 0
x - 2 = 0
x = 2

প্রদত্ত রাশি
x/(x² + x - 1)
= 2(2² + 2 - 1)
= 2/(4 + 2 - 1)
= 2/5

3x-2 > 2x-1
⇒ 3x - 2x > 2-1
⇒ x > 1
বুঝা যাচ্ছে সমধান হচ্ছে, x, 1 এর চেয়ে বড় যেকোনো সংখ্যা। অর্থাৎ, ২ থেকে অসীম পর্যন্ত যেকোনো সংখ্যা। এখন এটা আমাদেরকে সংকেত দিয়ে প্রকাশ করতে হবে।
(12, ∞) এটা আমাদের সমধানকে আংশিকভাবে সিদ্ধ করে কিন্তু এটা পূর্ণাঙ্গ সমধানের প্রকাশ নয়।

২টা অপশন আমাদের সম্ভাব্য উত্তর, [1,∞), (1,∞)
[1,∞) - এটার মানে হচ্ছে ১ থেকে অসীম পর্যন্ত। [ দেয়ার কারণে ১ সমাধানে ধরতে হবে।
(1,∞) - এটার মানে হচ্ছে ২ থেকে অসীম পর্যন্ত। ( দেয়ার কারণে ১ সমাধানে ধরা হবে না।
∴ সমাধান সেট (1, ∞)

প্রশ্ন: 5√5 এর 5 ভিত্তিক লগ কত? 

সমাধান: 
= log₅5√5
= log₅(5 × 5^1/2)
= log₅5^3/2
=(3/2)log₅5
= (3/2).1
= 3/2

প্রশ্ন: ৭ + ১২ + ১৭ + ২২ + ............ধারাটির ৪৩ তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = ৭ 
সাধারণ অন্তর, d = ১২ - ৭ = ৫
এবং পদসংখ্যা, n = ৪৩ 

​আমরা জানি,
​সমান্তর ধারার n তম পদ = a + (n - ১)d
∴ ধারাটির ৪৩ তম পদ = ৭ + (৪৩ - ১)৫
= ৭ + (৪২ × ৫)
= ৭ + ২১০
= ২১৭

প্রশ্ন: ৯, ১৪, ১৯, ১৯, ১২, ২৪, ২৪, ৯, ১৪, ১৯, ২৪, ৯, ১২, ১৪, ১৯, ৯, ১৪, ১৯, ২৪  উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
প্রথমে উপাত্তগুলোকে ক্রমে সাজাই
৯, ৯, ৯, ৯, ১২, ১২, ১৪, ১৪, ১৪, ১৪, ১৯, ১৯, ১৯, ১৯, ১৯, ১৯, ২৪, ২৪, ২৪, ২৪  
এখানে,
১৯ সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশি বার (৬ বার) এসেছে।  

∴ উপাত্তগুলোর প্রচুরক = ১৯

প্রশ্ন: একটি সমান্তর ধারার ৫ম পদটি ৩১ এবং ১২তম পদটি ৭৩ হলে, ধারাটির ৪০তম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি, n তম পদ = a + (n - 1) × d

প্রশ্নমতে,
৫ম পদ = a + (৫ - ১) × d = ৩১
⇒ a + ৪d = ৩১ .........(i)

১২তম পদ = a + (১২ - ১) × d = ৭৩
⇒ a + ১১d = ৭৩ .........(ii)

(ii) - (i) করে পাই,
a + ১১d - (a + ৪d) = ৭৩ - ৩১
⇒ ৭d = ৪২
⇒ d = ৬

d এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
a + ৪ × ৬ = ৩১
⇒ a + ২৪ = ৩১
⇒ a = ৭

এখন, ৪০তম পদ = a + (৪০ - ১) × d
= ৭ + (৩৯ × ৬)
= ৭ + ২৩৪
= ২৪১

∴ ৪০তম পদটি হলো ২৪১

প্রশ্ন: a + b = 8 এবং a - b = 4 হলে ab = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 8 এবং a - b = 4

প্রদত্ত রাশি,
ab = {(a + b)/2}² - {(a - b)/2}²
= (8/2)² - (4/2)²
= 4² - 2²
= 16 - 4
= 12

প্রশ্ন: 2x³ - 5x² - 4x + 3 রাশির একটি উৎপাদক হচ্ছে-

সমাধান: 
ধরি, 
P(x) = 2x3 - 5x2 - 4x + 3 

এখানে,
P(- 1) = 2(- 1)³ - 5(- 1)² - 4 (- 1) + 3
= - 2 - 5 + 4 + 3 
= - 7 + 7 
= 0

∴ (x + 1), P(x) এর একটি উৎপাদক।

x⁶ - 6x³ + 7x - a এর একটি উৎপাদক যদি (x - 2) হয় তাহলে
ভাগশেষ উপপাদ্য অনুসারে ƒ(2) = 0
∴ ƒ(2) = 64 - 48 + 14 - a =0
∴a = 30

১ম পদ (a) = ৩,
সাধারণ অন্তর (d) = ৬ - ৩ = ৩,
শেষ পদ = ৯৬
∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(৯৬ - ৩)/৩} + ১
= ৩১ + ১
= ৩২

x² + y² = 100.......(1)
এবং, x - y = 2.......(2)

(1) নং থেকে পাই,
x² + y² = 100
বা, (x - y)² + 2xy = 100
বা, 2² + 2xy = 100
বা, 2xy = 100 - 4
বা, 2xy = 96
∴ xy = 48

আবার, (1) নং থেকে
x² + y² = 100
বা, (x + y)² - 2xy = 100
বা, (x + y)² - 96 = 100
বা, (x + y)² = 196
বা, x + y = 14......(3)

(2) ও (3) নং যোগ করে পাই,
2x = 16
∴ x = 8

মোট কর্মচারী = 10 জন
পুরুষ = 6 জন
এবং নারী 4 জন
কমিটিতে 2 জন নারী হওয়ার সম্ভাবনা = ⁴c₂/¹⁰c₂
= 6/45
= 2/15

প্রথম ৪টি সংখ্যার যোগফল = ৪×৫১=২০৪
শেষের ৫টি সংখ্যার যোগফল = ৫×৩৯=১৯৫
সুতরাং পঞ্চম সংখ্যাটি হবে = ৪৬২-(২০৪+১৯৫)
= ৬৩

প্রশ্ন: P = {x ∈ N : 5x < 40} হলে, P এর প্রকৃত উপসেট কয়টি?

সমাধান: 
P = {x ∈ N : 5x < 40}
5x < 40
x < 8

অর্থাৎ 8 এর চেয়ে ছোট সকল স্বাভাবিক সংখ্যা হলো P সেটের উপাদান।
∴ P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

P সেটের উপসেট সংখ্যা = 2⁷ = 128
∴ প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 128 - 1 = 127 টি 

প্রশ্ন: x² - x - (a² + 5a + 6) রাশির একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান:
x² - x - (a² + 5a + 6)
= x² - x - (a² + 3a + 2a + 6)
= x² - x - {a(a + 3) + 2(a + 3)}
= x² - x - (a + 3)( a + 2)
= x² - (a + 3)x + (a + 2)x - (a + 3)(a + 2)
= x{x - (a + 3)} + (a + 2){x - (a + 3)
= {x - (a + 3)} {x + (a + 2)}
= (x - a - 3)(x + a + 2)

x² + y² = 185
বা, (x + y)² - 2xy = 185
বা, (x + y)² = 185 + 2xy = 185 + 2.88 = 185 + 176 = 361
∴ x + y = 19 ...........(1)
আবার,
x² + y² = 185
বা, (x - y)² + 2xy = 185
বা, (x - y)² = 185 - 2xy = 185 - 2.88
= 185 - 176 = 9
∴ x - y = 3 .................. (2)
(1)নং + (2)নং ⇒ 2x = 22
∴ x = 11
আবার,
(1)নং - (2)নং ⇒ 2y = 16
∴ y = 8
∴ (xy) = (11, 8)

প্রশ্ন: b এর মান কত হলে 9x² - bx + 81 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে?

সমাধান:
9x² - bx + 81 = 0 সমীকরণকে ax² + bx + c = 0 সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 9, b = - b এবং c = 81

সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবার শর্ত হলো, b² - 4ac = 0
⇒ b² = 4ac
⇒ (- b)² = 4 × 9 × 81  [মান বসিয়ে]
⇒ b² = 36 × 81
⇒ b = ±√(36 × 81)
⇒ b = ±√(6² × 9²)
⇒ b = ±√(6 × 9)²
∴ b = ± 54

∴ b এর মান ± 54 হলে সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হবে।

প্রশ্ন: (0, - 4) বিন্দুগামী এবং 3 ঢালযুক্ত সরলরেখার সমীকরণ কী ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(0, -4) বিন্দুগামী এবং 3 ঢালযুক্ত

আমরা জানি,
y - y1 = m(x - x1)
যেখানে (x₁, y₁) একটি বিন্দু এবং m হল ঢাল।
⇒ y - (- 4) = 3(x - 0)
⇒ y + 4 = 3x
∴ y = 3x - 4

x – 1/x = p
বা, (x² - 1)/x = p
বা, x² - 1 = px
বা, x² - px = 1
বা, x(x - p) = 1
c/x(x – p)
= c/1
= c

প্রশ্ন: U = {3, 5, 6, 7, 9}, A = {x : x, 3 -এর গুণিতক এবং x < 12}; A - A^C নির্ণয় করুন?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
U = {3, 5, 6, 7, 9}, A = {x : x, 3 -এর গুণিতক এবং x < 12}
12 থেকে ছোট 3 এর সকল গুনিতকের সেট A = {3, 6, 9}

A^C = U - A
= {3, 5, 6, 7, 9} - {3, 6, 9}
= {5, 7}

∴ A\A^C = A - A^C
= {3, 6, 9} - {5, 7}
= {3, 6, 9}