বীজগণিত

প্রশ্ন: রবিন তার বেতন থেকে প্রথম মাসে 1500 টাকা সঞ্চয় করেন এবং পরবর্তী প্রতিমাসে এর পূর্ববর্তী মাসের তুলনায় 150 টাকা বেশি সঞ্চয় করেন, তিনি 20 তম মাসে কত টাকা সঞ্চয় করেন?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 1500
সাধারণ অন্তর d = 150

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
∴ 20 তম পদ = a + (20 - 1)d
= 1500 + (19 × 150)
= 1500 + 2850
= 4350

∴ রবিন 20 তম মাসে সঞ্চয় করেন 4350 টাকা।

প্রশ্ন: একটি জ্যামিতিক সিরিজের তৃতীয় পদ 3 হলে প্রথম পাঁচটি পদের গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ, ar² = 3

প্রথম পাঁচ পদের গুণফল S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 3⁵
= 243

∴ প্রথম পাঁচ পদের গুণফল 243

মনে করি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ ar = ২১,
৩য় পদ ar² =৬৩
∴ ar²/ar = ৬৩/২১
বা, r = ৩
∴ a = ২১/৩ = ৭
∴ ৪র্থ পদ = ar^৩
= ৭ × ২৭
= ১৮৯

প্রশ্ন: কোন সংখ্যা থেকে 4 বিয়োগ করলে বিয়োগফলের 5 গুণ সমান 35 হবে?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = a
প্রশ্নমতে,
(a - 4) × 5 = 35
⇒ 5a - 20 = 35
⇒ 5a = 55
⇒ a = 55/5 = 11

∴ সংখ্যাটি = 11

3x - 2y = 2 ........(1)
∴ x = (2 + 2y)/3 .....(3)
5x - 3y = 5 .........(2)
বা,(5(2 + 2y))/3 - 3y = 5 [(3) এর x মান বসিয়ে]
বা,10 + 10y - 9y = 15
বা,y = 15 - 10
বা,y = 5
y এর মান (3) নং এ বসিয়ে পাই,
x = (2 + 10)/3 = 12/3 = 4
∴ (x, y) = (4, 5)

প্রশ্ন: U = {a, b, c, d, e, f, g, h}, P = {a, b, c, d, e}, Q = {b, d, f, h} হলে, P´ ∩ Q´ হবে?

সমাধান:
P´ = U - P
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {a, b, c, d, e}
= {f, g, h}

Q´ = U - Q
= {a, b, c, d, e, f, g, h} - {b, d, f, h}
= {a, c, e, g}

∴ P´ ∩ Q´ = {f, g, h} ∩ {a, c, e, g}
= {g}

প্রশ্ন বাছাই করার উপায় ^৭c_৪ × ^৭c_২ = ৩৫ × ২১ = ৭৩৫

প্রশ্ন: যদি p - q = 5 এবং pq = 84, তবে p² - q² = ?
​
​সমাধান:
​দেওয়া আছে,
​p - q = 5 এবং pq = 84
​
​আমরা জানি,
​(p + q)² = (p - q)² + 4pq
⇒ ​(p + q)² ​= (5)² + 4 × 84
⇒ ​​(p + q)² = 25 + 336
⇒ ​​(p + q)² = 361
⇒ ​p + q = √361 = 19
∴ ​​p + q = 19​
​
​এখন,
​ p² - q² = (p + q)(p - q) = 19 × 5 = 95

প্রশ্ন: যদি P = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9} এবং Q = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8} হয়, তবে P ∪ Q এর মান কত?

সমাধান:
P = {x ∈ N : x বিজোড় এবং x ≤ 9}
= {1, 3, 5, 7, 9}

Q = {x ∈ N : 2 < x ≤ 8}
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}

সুতরাং, P ∪ Q = {1, 3, 5, 7, 9} ∪ {3, 4, 5, 6, 7, 8} 
= {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

প্রশ্ন: |x + 3| ≤ 4 হলে, p এবং q এর কোন মানের জন্য p ≤ 5x + 2 ≤ q হবে?

সমাধান:
|x + 3| ≤ 4
 ⇒ - 4 ≤ x + 3 ≤ 4
⇒ - 7 ≤ x ≤ 1
⇒ - 35 ≤ 5x ≤ 5
⇒ - 33 ≤ 5x + 2 ≤ 7

∴ p = - 33 এবং q = 7

প্রশ্ন: ​​৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে একটি তাস নেয়া হলো। তাসটি হরতন বা রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

​সমাধান:
​মোট তাস = ৫২
​হরতন আছে = ১৩ টি
​রুইতন আছে = ১৩ টি
​
∴ হরতন বা ​রুইতন = ১৩ + ১৩ = ২৬টি 
​
​P(হরতন বা ​রুইতন) = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
​= ২৬/৫২
​= ১/২

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার তিনগুণের সাথে তার দ্বিগুণের দুই-তৃতীয়াংশ যোগ করলে যোগফল 65 হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্ন অনুসারে,
3x + 2x এর (2/3) = 65
⇒ 3x + (4x/3) = 65
⇒ (9x + 4x)/3 = 65
⇒ 13x/3 = 65
⇒ x = (65 × 3)/13
∴ x = 15

সুতরাং, সংখ্যাটি হলো 15

প্রশ্ন: x² - y², 2(x + y) এবং 2x²y + 2xy² এর ল.সা.গু কত? 

সমাধান:
১ম রাশি,
x² - y²
= (x - y)(x + y)

২য় রাশি, 
2(x + y)

৩য় রাশি,
2x²y + 2xy²
= 2xy(x + y)

সুতরাং, রাশি তিনটি ল.সা.গু = 2xy(x + y)(x - y)

প্রশ্ন: তন্ময় পরীক্ষা দেওয়ার সময় প্রশ্নটি না পড়ে চারটির মধ্যে তিন নম্বর অপশনে টিক চিহ্ন দিল। তার উত্তরটি সঠিক সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৪টি অপশনের মধ্যে ঠিক ১টিই সঠিক।
তন্ময় এলোমেলোভাবে ১টি বেছে নিয়েছে।

∴ সম্ভাবনা = ১/৪ 

4ab = (a + b)² - (a - b)²
= 6² - 4²
= 20
Or, ab = 20/4 = 5

৪ + ৪ = ৮
৮+ ৫ = ১৩
১৩ + ৬ = ১৯
১৯ + ৭ = ২৬
২৬ + ৮ = ৩৪
৩৪ + ৯ = ৪৩
অর্থাৎ প্রতিটি পদের ব্যবধান পূর্ববর্তী ব্যবধান থেকে ১ করে বৃদ্ধি পেয়েছে।
∴ ৭ম পদ = ৪৩

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং সপ্তম পদটি 55 হলে, দশম পদটি কত হবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a
এবং সাধারণ অন্তর, d হলে
n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
পঞ্চম পদ = 55
∴ a + (7 - 1)5 = 55
⇒ a + 30 = 55
⇒ a = 55 - 30
⇒ a = 25

∴ নবম পদ = 25 + (10 - 1) × 5
= 25 + 45
= 70

দলটির ভ্রমণ করার উপায় নিম্নে দেখান হলো-
প্রথম যানবাহন ------ দ্বিতীয় যানবাহন
(১) 7 -------------- 2
(২) 6 -------------- 3
(৩) 5 -------------- 4
সুতরাং ভ্রমণ করার উপায় = ⁹C₇ + ⁹C₆ + ⁹C₅ = ⁹C₂ + ⁹C₃ + ⁹C₄
= 36 + 84 + 126
= 246

প্রশ্ন: একটি গাড়িতে 2টি সামনের ও 3টি পেছনের সিট আছে। 5 জন যাত্রী মোট কতভাবে বসতে পারে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
মোট যাত্রী = 5 জন
সামনের সিট = 2টি
পেছনের সিট = 3টি

∴ 5 জন থেকে 2 জন বেছে নেওয়ার উপায় = ⁵P₂
 = 5!/(5 - 2)!
= (5 × 4 × 3!)/3!
= 20

বাকি 3 জনকে পেছনের 3 সিটে বসানোর উপায় = 3! = 6

∴ মোট বসানোর উপায় = 20 × 6 = 120

প্রশ্ন: a - 1/a = 3 হলে a² + (1/a²) = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, a - 1/a = 3

এখন,
a² + 1/a²
= (a - 1/a)² + 2 . a . (1/a)
= (3)² + 2
= 9 + 2
= 11

প্রশ্ন: একটি সভায় এ ১৬ জন ব্যক্তি উপস্থিত আছেন। প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে একবার করমর্দন করলে মোট কতগুলো করমর্দনের ঘটনা ঘটবে?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রতি ২ জনে ১ টি করে করমর্দন হয়। 

সুতরাং,
মোট করমর্দনের সংখ্যা,
= ^১৬C_২
= ১৬!/{২! × (১৬ - ২)!}
= ১৬!/(২! × ১৪!)
= (১৬ × ১৫ × ১৪!)/(২! × ১৪!)
= (১৬ × ১৫)/২
= ১২০

x + y + x - y = 14 + 2
বা, 2x = 16
বা, x =8
∴ y = 6
So, xy = 48

n-তম পদ = ar^{n - 1}

এখানে,
a = 2
r = 4/2 = 2
n = 9

10তম পদ = 2 × 2^{9 - 1}
= 2 × 2⁸
= 512

প্রশ্ন: (1/√2) + 1 + √2 + ....... ধারাটির কোন পদ 16√2 হবে? 

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। 
যার প্রথম পদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = 1/(1/√2) = √2

আমরা জানি, 
n-তম পদ, an = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে, 
(1/√2)(√2)^{n - 1} = 16√2
⇒ (√2)^{n - 1} = 16√2 × √2
⇒ (√2)^{n - 1} = 32 = 2⁵
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1
∴ n = 11

অতএব, ধারাটির 11 তম পদ 16√2 হবে। 

প্রশ্ন: |x + 2| < 7 অসমতাটির সমাধান কোনটি? 

সমাধান:
প্রদত্ত অসমতাটি হলো,
|x + 2| < 7
⇒ - 7 < x + 2 < 7
⇒ (- 7 - 2) < (x + 2 - 2) < (7 - 2) [উভয়পক্ষে (- 2) যোগ করে]
⇒ - 9 < x < 5

∴ অসমতাটির সমাধান, S = {x ∈ R: - 9 < x < 5}

log₁₀(0.000001)
= log₁₀(1/1000000)
= log₁₀10^-6
= - 6 log10¹⁰
= - 6 × 1
= - 6

• কোনো উপাত্তে যে সংখ্যা সর্বাধিক বার উপস্থাপিত হয়, সেই সংখ্যাই উপাত্তের প্রচুরক।
• ৩, ৫, ৮, ৭, ৫, ৯, ১, ৯, ৫ উপাত্তগুলোর মধ্যে ৫ সর্বাধিক ৩ বার আছে।
• সুতরাং প্রদত্ত উপাত্তগুলোর প্রচুরক = ৫

f(x) = (4x - 7)/(x - 2)
= (4.2 - 7)/(2 – 2)
= 1/0
= অসজ্ঞায়িত

প্রশ্ন: x + y = √7 এবং x - y = √5 হলে, 8xy(x² + y²) =?

সমাধান: 
8xy(x² + y²)
= 4xy × 2(x² + y²)
= {(x + y)² - (x - y)²}{(x + y)² + (x - y)²}
= {(√7)² - (√5)²}{(√7)² + (√5)²}
= (7 - 5)(7 + 5)
= 2 × 12
= 24

লাইভ পরীক্ষায় টাইপের ভুলে রুট দ্বিতীয় বন্ধনীর ভেতরে ছিল। তবে, উত্তর বাতিল হবে না। অপশনে যেহেতু 'কোনটিই নয়' ছিল না তাই উত্তর কোনটি হতে পারে বুঝতে সমস্যা হওয়ার কথা না।

2(x² + y²)
= (x + y)² + (x - y)²
= 8² + 6²
= 64 + 36
= 100

√{2(x² + y²)}
= √100
= 10

প্রশ্ন: 30 জন ছাত্রের একটি শ্রেণি থেকে একজন সভাপতি এবং একজন সাধারণ সম্পাদক কতভাবে নির্বাচন করা যাবে?

সমাধান:
প্রথমে 30 জন ছাত্র থেকে 1 জন সভাপতি নির্বাচন করা যায়,
= ³⁰C₁ 
= 30

সভাপতি নির্বাচনের পর বাকি থাকে ২৯ জন।

∴ 29 জন থেকে 1 জন সাধারণ সম্পাদক নির্বাচন করা যায়,
= ²⁹C₁
= 29

∴ মোট বাছাই সংখ্যা = 30 × 29 = 870

ধরি,
পুত্রের বয়স = x বছর
এবং পিতার বয়স = y বছর।
প্রশ্নমতে,
x + y = 50 -------- (1)
এবং y + {y + (y - x)} = 102
বা, 3y - x = 102 ---------- (2)
সমীকরণ (1) এবং (2) যোগ করে পাই,
4y = 152
∴ y = 38
এখন, y এর মান প্রথম সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x + 38 = 50
বা, x = 50 - 38
∴ x = 12

প্রশ্ন: n(P) = 40, n(P ∩ Q) = 10 এবং n(P ∪ Q) = 50 হলে n(Q) = ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n(S) = 100,

n(P) = 40,
n(P ∩ Q) = 10
এবং n(P ∪ Q) = 50

আমরা জানি,
n(P ∪ Q) = n(P) + n(Q) - n(P ∩ Q)
⇒ 50 = 40 + n(Q) - 10
⇒ 50 = n(Q) + 30
⇒ n(Q) = 50 - 30
⇒ n(Q) = 20