বীজগণিত

প্রশ্ন: চারটি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল 130 হলে, সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যা চারটি হলো যথাক্রমে,
x, (x + ১), (x + ২) এবং (x + ৩)।
প্রশ্নমতে,
x + (x + ১) + (x + ২) + (x + ৩) = 130
⇒ 4x + 6 = 130
⇒ 4x = 130 - 6
⇒ 4x = 124
⇒ x = 124/4
∴ x = 31
∴ সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি হলো 31

∴ সবচেয়ে বড় সংখ্যাটি = x + 3 = 31 + 3 = 34

দেওয়া আছে,
5x - y = 8 ....... (1)
এবং 2x + y = 6 .......... (2)
(1) + (2) করে পাই,
7x = 14
বা, x = 2
(2) নং সমীকরণে x = 2 বসিয়ে পাই,
2 × 2 + y = 6
বা, y = 6 - 4
সুতরাং, y = 2
সুতরাং নির্ণেয় সমাধান (x, y) = (2, 2)

(x-4)² = 0
⇒ x² - 8x + 16 = 0
এই সমীকরণ টিকে ax²+bx+c = 0 এর সাথে তুলনা করে -
a = 1 ; b = -8 ; c = 16
এখন,
ax²+bx+c = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল = -b/a = -(-8/1) = 8

পরিসর শব্দের অর্থ ব্যবধান অর্থাৎ উপাত্ত/তথ্যের সর্বোচ্চ মান থেকে সর্বনিম্ন মান-এর ব্যবধানকে পরিসর বলে।
- তথ্য/উপাত্ত নিবেশনের বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মানের পার্থক্যকে পরিসর বলে।
- প্রশ্নটি পরিসরের সংজ্ঞানুসারে প্রণীত।

প্রশ্ন: b³ - 21b - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ নিচের কোনটি?

সমাধান:
b³ - 21b - 20
= b³ + b² - b² - b - 20b - 20
= b²(b + 1) - b(b + 1) - 20(b + 1)
= (b + 1)(b² - b - 20)
= (b + 1)(b² - 5b + 4b - 20)
= (b + 1){b(b - 5) + 4(b - 5)}
= (b + 1)(b + 4)(b - 5)

a > 0, a ≠ 1 শর্তে,
log_a 1 = 0

2x + 5 = 50

প্রশ্ন: |3x - 2| < 37 হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
|3x - 2| < 37

(3x - 2) অঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায় (3x - 2) < 37 
3x - 2 + 2 < 37 + 2
3x < 39
 x < 13

আবার,
(3x - 2) ঋণাত্মক হলে প্রদত্ত অসমতা দাঁড়ায়, - (3x - 2) < 37
(3x - 2) > - 37
3x - 2 + 2 > - 37 + 2
3x > - 35
x > - 35/3

∴ নির্ণেয় অসমতা:  - 35/3 < x < 13

প্রশ্ন: চারটি ফুটবল খেলার ফলাফল কত উপায়ে হতে পারে?

সমাধান:
প্রদত্ত তথ্য:
প্রতিটি ফুটবল খেলার ফলাফল হতে পারে:
জয় (W),
হার (L),
ড্র (D)

প্রতিটি খেলার জন্য ৩টি ফলাফল হতে পারে 
∴ প্রতিটি খেলায় ৩টি ফলাফল হলে, চারটি খেলায়:
3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴ = 81

∴ চারটি ফুটবল খেলার ফলাফল 81 উপায়ে হতে পারে।

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 3 হয়, তবে (x)⁵ + (1/x)⁵ এর মান কত?

সমাধান:

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 2/3, A ও B স্বাধীন হলে P(B\A) নির্ণয় করুন

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/3 এবং  P(B) = 2/3

A ও B দুটি স্বাধীন ঘটনা হলে, P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/3) × (2/3)
= 2/9

∴ P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (2/9)/(1/3)
= (2/9) × (3/1)
= 2/3

প্রশ্ন: x + (3/x) = 5 হলে x³ + (27/x³) = কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশি = x³ + (27/x³) 
= {x + (3/x)}³ - 3.x.3/x {x + (3/x)} 
= (5)³ - 9 × 5 
= 125 - 45 
= 80

5 টি স্বরবর্ণ হতে অন্তত একটি স্বরবর্ণ বাছাই করার উপায় = 2⁵ - 1 = 31

মোট বল = ৯ টি
৯ টির মধ্যে ৩ টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ^৯C_৩
৫ টির মধ্যে ৩ টি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ^৫C_৩
৩ টি বলই কালো হওয়ার সম্ভাবনা ^৫C_৩/^৯C_৩ = ৫/৪২

প্রশ্ন: 4x + 1, 18, 36 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে x = কত? 

সমাধান: 
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ 18/(4x + 1) = 36/18
⇒ 18/(4x + 1) = 2
⇒ 18 = {2 × (4x + 1)} 
⇒ 8x + 2 = 18
⇒ 8x = 18 - 2
⇒ 8x = 16
⇒ x = 16/8
∴ x = 2

প্রশ্ন: log_x3 = 2 হলে, x = কত?

সমাধান: 
log_x3 = 2
বা, x² = 3 [∵ log_am = n হলে, aⁿ = m]
বা, x² = (√3)²
∴ x = √3

a, b, c ও d সমান্তর ধারার চারটি ক্রমিক পদ হলে
a = a
b = a+1
c = a+2
d = a+3
এই মান গুলো প্রত্যেকটি অপশনে বসিয়ে দেখা যায়
c = (b+d)/2 এটা সত্য
= (a+1+a+3)/2
= (2a+4)/2
= 2(a+2)/2
= (a+2)
= c

প্রশ্ন: 120 টি এক টাকার মুদ্রা ও দুই টাকার মুদ্রায় মোট 200 টাকা হলে, কোন প্রকারের মুদ্রার সংখ্যা কয়টি?

সমাধান:
মনে করি, এক টাকার মুদ্রা সংখ্যা 'x' টি।
তাহলে দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা (120 - x) টি।

প্রশ্নমতে,
x × 1 + (120 - x) × 2 = 200
⇒ x + 240 - 2x = 200
⇒ x = 240 - 200
∴ x = 40

সুতরাং এক টাকার মুদ্রা সংখ্যা 40 টি এবং দুই টাকার মুদ্রার সংখ্যা (120 - 40) = 80 টি।

প্রশ্ন: x² - y² - 2y - 1 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² - 2y - 1
= x² - (y² + 2y + 1)
= x² - (y + 1)²
= {x + (y + 1)}{x - (y + 1)}
= (x + y + 1)(x - y - 1)

সুতরাং, অপর উৎপাদকটি হলো (x + y + 1) অথবা (x - y - 1) ।

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ n . 2^{(n + 1)} হলে ধারাটির ১ম 5টি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, n তম পদ = n . 2^{(n + 1)}
সুতরাং,
১ম পদ = 1 × 2^{(1 + 1)} = 1 × 2² = 1 × 4 = 4
২য় পদ = 2 × 2^{(2 + 1)} = 2 × 2³ = 2 × 8 = 16
৩য় পদ = 3 × 2^{(3 + 1)} = 3 × 2⁴ = 3 × 16 = 48
৪র্থ পদ = 4 × 2^{(4 + 1)} = 4 × 2⁵ = 4 × 32 = 128
৫ম পদ = 5 × 2^{(5 + 1)} = 5 × 2⁶ = 5 × 64 = 320

∴ ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল = 4 + 16 + 48 + 128 + 320
= 516

প্রশ্ন: x³ - 7x - 6 এর উৎপাদক কত?

সমাধান: 
x³ - 7x - 6
= x³ + x² - x² - x - 6x - 6
= x² (x + 1) -x (x + 1) -6 (x + 1)
= (x + 1) (x² - x - 6)
= (x + 1) (x² - 3x + 2x - 6)
= (x + 1) {x (x - 3) + 2 (x -3)}
= (x + 1) (x - 3) (x + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x + 1) (x + 2) (x - 3) ।

প্রশ্ন: 1, 3, 4, 6, 7, 9 অঙ্কগুলো একবার ব্যবহার করে 4 অঙ্কবিশিষ্ট কতগুলো সংখ্যা গঠন করা যাবে?

সমাধান:
যেহেতু, অঙ্কের সংখ্যা 6 টি।

4 অঙ্কবিশিষ্ট  সংখ্যা গঠন করা যাবে,
= ⁶P₄
= (6!)/(6 - 4)!
= 6!/2!
= 720/2
= 360

∴ মোট 4 -অঙ্কবিশিষ্ট সংখ্যা গঠন করা যাবে 360 টি।

২ জনকে সর্বদা বাদ দিয়ে ৪ জনের কমিটি গঠনের উপায়,
= ^{(১০ - ২)}c_৪
= ৭০

প্রশ্ন: 12 থেকে 96 পর্যন্ত কয়টি সংখ্যা 4 দ্বারা বিভাজ্য?

সমাধান:
প্রথম পদ 12, শেষ পদ 96, সাধারণ অন্তর 4

∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/ সাধারণ অন্তর} + 1
= {(96 - 12)/4} + 1
= (84/4) + 1
= 21 + 1
= 22

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে একটি মৌলিক সংখ্যা নির্বাচনের সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ২০ টি
১ থেকে ২০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৮ টি
যথা- ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯

∴ মৌলিক সংখ্যা হওয়ার সম্ভব্যতা = মৌলিক সংখ্যা/সর্বমোট সংখ্যা
= ৮/২০ 
= ২/৫

প্রশ্ন: কোনো ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি n(n + 1) হলে, ধারাটির প্রথম 22টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = n(n + 1)

প্রথম 22টি পদের সমষ্টি = 22(22 + 1)
= 22 × 23
= 506

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার 50% থেকে 30 বিয়োগ করলে বিয়োগফল সংখ্যাটির 20% হলে, সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি P

প্রশ্নমতে,
(P এর 50%) - 30 = P এর 20%
বা, (50P/100) - 30 = 20P/100
বা, (50P/100) - (20P/100) = 30
বা, 3P/10 = 30
বা, 3P = 30 × 10
বা, P = 300/3
∴ P = 100

প্রশ্ন: a² - 3a + c = 0 সমীকরণের একটি মূল যদি 2 হয়, তাহলে  c এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
একটি মূল = 2 
অর্থাৎ, a = 2

এখন,
a² - 3a + c = 0
⇒ (2)² - 3 × 2 + c = 0
⇒ 4 - 6 + c = 0
⇒ - 2 + c = 0
∴ c = 2

প্রশ্ন: 5 টি পোস্ট বাক্সে 4 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা, n = 5
চিঠির সংখ্যা, r = 4
∴ চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)^চিঠি 
= n^r
= 5⁴
= 625 টি উপায়ে 

54x⁴ + 24x³a - 16x - 8a এর একটি উৎপাদক (x-2) হলে x = 2
∴ 54×(2)⁴ + 24×(2)³a - 16×2 -8a = 0
⇒ 832 + 184a = 0 
⇒ a = - 832/184 = -4.52

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 1} = 2^{x + 1} হয়, তাহলে x এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
3^{x + 1} = 2^{x + 1}
⇒ (3/2)^{x + 1} = 1
⇒ (3/2)^{x + 1} = (3/2)⁰
⇒ x + 1 = 0
∴ x = - 1

0.1, 0.1 দশমিকের পর মোট দু'টি অংক।
∴ ফলাফলে ও তাই হবে।
∴ 0.1 × 0.1 = 0.01

প্রশ্ন: 6 < x < 18 হলে, পরমমান চিহ্নের সাহায্যে অসমতাটির প্রকাশ হবে?

সমাধান:
অসমতাটির উর্ধ্বসীমা ও নিম্নসীমার গড় = (6 + 18) / 2 = 24/2 = 12

এখন,
6 < x < 18
⇒ 6 - 12 < x - 12 < 18 - 12
⇒ -6 < x - 12 < 6
∴ |x - 12| < 6