বীজগণিত

প্রশ্ন: যদি a এবং b পূর্ণ সংখ্যা এবং a^b = 121 হয়, তাহলে (a - 1)^{b + 1} = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a^b = 121
a^b = 11²
যেখানে, 
a = 11 এবং b = 2

প্রদত্ত রাশি, 
(a - 1)^{b + 1}
= (11 - 1)^{2 + 1}  [a ও b এর মান বসিয়ে পাই]
= 10³
= 1000

চাকরি পাওয়ার সম্ভাবনা ৪/৫ হলে না পাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ৪/৫ = ১/৫

প্রশ্ন: 4, 3, 2, 14, 7, 1, 11, 5, 9, 18, 7, 6, 8, 17, 12, 7, 19, 16, 18, 13, 15  উপাত্তগুলোর প্রচুরক কত?

সমাধান:
প্রথমে উপাত্তগুলোকে মানের ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 18, 19
 
এখানে উপাত্তগুলোর মধ্যে 7 সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার রয়েছে।

∴ প্রচুরক হলো 7

প্রশ্ন: - 2a + 5 < 19 হলে, a এর মান কত?

সমাধান: 
- 2a + 5 < 19
⇒ - 2a < 19 - 5
⇒ - 2a < 14
⇒ a > - (14/2)
∴ a > - 7

x/a + a = x/b + b
⇒ x/a - x/b = b - a
⇒ x(1/a - 1/b) = b - a
⇒ x = (b - a) / (1/a - 1/b)
⇒ x = (b - a) / {(b - a)/ab}
⇒ x = (b - a).ab / (b - a)
∴ x = ab

a³ - 3a²b + 3ab² - 2b³
= a³ - 3a²b + 3ab² - b³ - b³
= ( a - b)³ - b³
= (a - 2b){(a - b)² + b(a -b) + b²}
= (a - 2b)(a² - ab + b²)

প্রশ্ন: log_x √512 = 3/2 হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
log_x √512 = 3/2
⇒ (1/2) log_x 512 = 3/2
⇒ log_x 512 = 3
⇒ x³ = 512
⇒ x³ = 8³
∴ x = 8

a² + b²
= a² + 2ab + b² - 2ab
= (a+b)² - 2ab
সুতরাং a² + b² এর সাথে 2ab যোগ করলে সংখ্যাটি একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ ৭, শেষ পদ ৪৬ এবং সাধারণ অন্তর ৩ হলে ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ = ৭
শেষ পদ = ৪৬ 
সাধারণ অন্তর = ৩

∴ পদসংখ্যা = {(শেষ পদ - প্রথম পদ)/সাধারণ অন্তর} + ১
= {(৪৬ - ৭)/৩} + ১
= (৩৯/৩) + ১
= ১৩ + ১
= ১৪

প্রশ্ন: ৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটিকে ইচ্ছামত নিলে সেই সংখ্যাটি মৌলিক অথবা ৫ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
 ৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত সংখ্যা = ২৬টি
∴ মোট ফলাফল = ২৬

∴ ৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯ = ৮টি

আবার,
৫ থেকে ৩০ এর মধ্যে ৫ এর গুণিতকসমূহ = ৫, ১০, ১৫, ২০, ২৫, ৩০ = ৬টি

∴ ৫ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক অথবা ৫ এর গুণিতক সংখ্যার তালিকা : ৫, ৭, ১০, ১১, ১৩, ১৫, ১৭, ১৯, ২০, ২৩, ২৫, ২৯, ৩০।
মোট ১৩টি
∴ অনুকূল ফলাফল = ১৩

∴ সংখ্যাটি মৌলিক বা ৫ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
= ১৩/২৬
= ১/২

প্রশ্ন: x³ - 2x², x² - 4 ও xy - 2y এর গ.সা.গু কত?

সমাধান: 
১ম রাশি = x³ - 2x² 
= x²(x - 2)

২য় রাশি = x² - 4
= x² - 2² 
= (x + 2)(x - 2)
৩য় রাশি = xy - 2y
= y(x - 2)

নির্ণেয় গ.সা.গু = (x - 2)

a = 1, b = 2 ও c = 3 হলে,
a + c > b
a > b-c
1 > 2-3 = 1 > -1
এই শর্তটিই সত্য, বাকিগুলো শর্তপূরন করে না।

প্রশ্ন: (81)^0.2 × (81)^0.05 = ?

সমাধান:
(81)^0.2 × (81)^0.05 
= (81)^{0.2 + 0.05}
= (81)^0.25
= (81)^1/4
= (3⁴)^1/4
= (3)^{4 × 1/4}
= 3¹
= 3

প্রশ্ন: 3 + 7 + 11 + … + 91 ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
3 + 7 + 11 + … + 91

এখানে,
প্রথম পদ = 3
শেষ পদ = 91
সাধারণ অন্তর = 7 - 3 = 4

∴ পদসংখ্যা = {( শেষ পদ - প্রথম পদ )/ সাধারণ অন্তর } + 1
= {(91 - 3)/4} + 1
= 22 + 1
= 23

∴ ধারাটির পদসংখ্যা 23টি 

আবার,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অন্তর, d = 4
∴ n তম পদ = a + (n -1)d
= 3 + (n - 1)4
 
ATQ, 
3 + (n - 1)4 = 91
⇒ n - 1 = 88/4
⇒ n = 22 + 1
∴ n = 23

∴ ধারাটির পদসংখ্যা 23টি 

প্রথম পদ, a = 9
সাধারণ অন্তর, d = -2
n পদের যোগফল = - 144
বা, n/2{2a + (n - 1)d} = - 144
বা, n/2{2.9 + (n - 1)(-2) = - 144
বা, n/2(18 - 2n + 2) = - 144
বা, n/2×(-2)(n - 10) = - 144
বা, - n(n - 10) = - 144
বা, n(n - 10) = 144
বা, n² - 10n - 144 = 0
বা, n² - 18n + 8n - 144 = 0
বা, n(n - 18) + 8(n - 18) = 0
বা, (n - 18)(n + 8) = 0
হয় n - 18 = 0 অথবা, n + 8 = 0
বা, n= 18             বা, n = -8 
এখানে n-এর ঋণাত্মক মান গ্রহনযোগ্য নয়।
∴ n = 18

গড় = (১ম পদ+শেষ পদ)/২
= (1+99)/2
= 50
পদ সংখ্যা = (শেষ পদ-১ম পদ) / সাধারণ অন্তর + ১
= (99-1)/1 + 1
=99
সমষ্টি = গড় × পদ সংখ্যা
= 50×99
= 4950

এখানে,
a = ১,
d = ৪,
n = ৩৫
∴ ৩৫ তম পদ = a + (n - ১)d
= ১ + (৩৫ - ১)৪
= ১ + ১৩৬
= ১৩৭

30 থেকে 50 পর্যন্ত মোট 21 টি সংখ্যা আছে।
এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যা 31, 37, 41, 43 ও 47 এবং 5 এর গুণিতক 30, 35, 40, 45 ও 50।
সুতরাং মৌলিক অথবা 5 এর গুণিতক হবে এমন সংখ্যা 10 টি (31, 37, 41, 43, 45, 30, 35, 40, 45, 50)।
সুতরাং নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = 10/21।

একটি ছক্কার নমুনা বিন্দু হল ৬টি
৪ পড়ার সম্ভাবনা ১/৬
ছক্কায় জোড় সংখ্যা আছে (২, ৪, ৬)
জোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা ৩/৬ = ১/২

প্রশ্ন: একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলো। মুদ্রার ফলাফল হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি মুদ্রায় দুটো পিঠ (H, T)
ছক্কায় ছয়টি পিঠ (1, 2, 3, 4, 5, 6)

∴ মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = 2 × 6 = 12
এগুলো হলো: (1,H), (1,T), (2,H), (2,T), (3,H), (3,T), (4,H), (4,T), (5,H), (5,T), (6,H), (6,T)

হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা আসার অনুকূল ঘটনা = (H,1), (H,3), (H,5)
∴ মোট 3 টি অনুকূল ঘটনা

∴ সম্ভাবনা(হেড এবং ছক্কায় বিজোড় সংখ্যা) = অনুকূল ঘটনা/মোট ঘটনা
= 3/12 = 1/4

a = 3 হলে, a³ - 4a² + 3a = 0 হবে।
∴ a = 3

প্রশ্ন: log₄(8/128) এর মান কত?

সমাধান:
log₄(8/128)
= log₄(1/16)
= log₄(16^{- 1})
= log₄(4²)^{- 1}
= log₄(4^{- 2})
= - 2 × log₄(4)  [log_a(Mⁿ) = n.log_aM]
= - 2 × 1 [log_a(a) = 1]
= - 2

১ টি মুদ্রাকে দুইবার নিক্ষেপ করলে প্রথম বার হেড আসার সম্ভাবনা ১/২
দ্বিতীয়বার হেড আসার সম্ভাবনা = ১/২
∴ উভয়ক্ষেত্রে হেড পাওয়ার সম্ভাবনা = ১/২ × ১/২ = ১/৪

প্রশ্ন: 5 + 5√3 + 15 + 15√3 + .......... ধারাটির কোন পদ 1215 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত, r = ২য় পদ/১ম পদ
= 5√3/5 = √3
১ম পদ a = 5
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 1215
⇒ 5 × (√3)^{n - 1} = 1215
⇒ (√3)^{n - 1} = 243
⇒ (3^1/2)^{n - 1} = 3⁵
⇒ 3^{(n - 1)/2} = 3⁵
⇒ (n - 1)/2 = 5
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 11

∴ ধারাটির 11তম পদ 1215 হবে।

x = √3 - √2
∴ 1/x = √3 + √2 এবং x - 1/x = - 2√2
x³ - 1/x³
= (x - 1/x)³ + 3.x.1/x (x - 1/x)
= (-2√2)³ + 3. -2√2
= -16√2 - 6√2
= -22√2

ধরি,
সে কলম কিনেছিলো x টি
প্রতিটি কলমের দাম= 240/x টাকা
আবার,
১ টি কলম বেশি পেলে কলমের দাম = 240/(x + 1) টাকা

প্রশ্নমতে,
240/x - 240/(x+1) = 1
⇒ (240x + 240 - 240x)/x(x+1) = 1
⇒ x² + x = 240
⇒ x² + 16x - 15x - 240 = 0
⇒ x(x + 16) - 15(x + 16) = 0
⇒ (x - 15)(x + 16) = 0
হয়, x - 15 = 0 অথবা, x + 16 = 0
∴ x = 15 অথবা ∴ x = -16 (যা অগ্রহণযোগ্য)
∴ সে 15টি কলম কিনেছিলো।

প্রশ্ন: a³ - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক হবে নিচের কোনটি?

সমাধান: 
a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a -20
= a²(a + 1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 20)
= (a + 1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a + 1) {a (a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a + 1) (a - 5) (a + 4)

ধরি,
লব = x এবং হর = y
∴ x + y = 16
x - y = 2
উপরের সমীকরণ দুইটি সমাধান করে পাই,
x = 9 এবং y = 7
∴ ভগ্নাংশটি = 9/7
আগের বছরের প্রশ্ন। এভাবেই পরীক্ষায় এসেছিল।
এখানে, প্রশ্নটাতে যেভাবে লব ও হরের সিকুয়েন্স দেয়া আছে সেভাবেই ধরতে হবে।

(a - m)y² - (n - a)xy + (m -n)x²
ধরি, a - m = p; m - n = q
∴ -( n - a) = p + q
∴ প্রদত্ত রাশি, py² + (p + q)xy + qx²
= (x + y)(py + qx)
= (x + y)( ay - my + mx- nx) [ p, q এর মান বসিয়ে]

(a + 2)(a - 2)/(a + 3)(a - 3)

= (a² - 4)/(a² - 9)

a² - 9)a² - 4(1
          a² - 9
          -------
                 5

∴ ভাগশেষ = 5

x⁶ - 1
= (x³)² - 1
= (x³ + 1)(x³ - 1)
= (x + 1)(x² - x + 1)(x + 1)(x² + x + 1)

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
= (x + y - 1) (x - y + 1)

ⁿC_r = ⁿC_n-r = n!/(r!(n-r)!) [সূত্র]

প্রশ্ন: a, b, c, d, e, f, g, h - এই আটটি ভিন্ন বর্ণ থেকে 3টি করে বর্ণ নিয়ে কতভাবে সাজানো যাবে?

সমাধান:
মোট ভিন্ন বর্ণ = 8টি
আমরা 3টি করে বর্ণ নিয়ে সাজাতে হবে।

8টি থেকে 3টি নিয়ে সাজানোর উপায় = ⁸P₃
= 8!/(8 - 3)! 
= 8!/5!
= (8 × 7 × 6 × 5!)/5!
= 8 × 7 × 6
= 336

সুতরাং, 336 ভাবে সাজানো যাবে।