বীজগণিত

প্রশ্ন: log₅125 = কত?

সমাধান:
∴ log₅125
= log₅(5³)
= 3 × log₅5
= 3 × 1
= 3

প্রশ্ন: a + b = 10 এবং a² + b² = 58 হলে ab এর মান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a + b = 10
a² + b² = 58

আমরা জানি,
​(a + b)² = a² + b² + 2ab
বা, (10)² = 58 + 2ab
বা, 100 = 58 + 2ab
বা, 100 - 58 = 2ab
বা, 42 = 2ab
বা, ab = 42/2
∴ ab = 21

বাংলায় ফেল ২৫%
গণিতে ফেল ৩৫%
উভয় বিষয়ে ফেল ১৫%
যেকোন একটি বিষয়ে ফেল = (২৫ + ৩৫ - ১৫)%
= ৪৫%
∴ সব বিষয়ে পাশ = (১০০ - ৪৫)%
= ৫৫%

প্রশ্ন: (x² - 5x + 6) এবং (x² - 7x + 12) এর সাধারণ উৎপাদক কত?

সমাধান:
১ম ক্ষেত্র,
(x² - 5x + 6)
= x² - 3x - 2x + 6
= x(x - 3) - 2(x - 3)
= (x - 3)(x - 2)

২য় ক্ষেত্র,
(x² - 7x + 12)
= x² - 3x - 4x + 12
= x(x - 3) - 4(x - 3)
= (x - 3)(x - 4)

সাধারণ উৎপাদক = (x - 3)

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ছয়টি পদের যোগফল তার প্রথম তিনটি পদের যোগফলের 9 গুন। সাধারণ অনুপাত হবে-

সমাধান: 
প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি = a.(r⁶ - 1)/(r - 1)
প্রথম 3 টি পদের সমষ্টি = a. (r³ - 1)/(r - 1)

শর্তানুসারে, a. (r⁶ - 1)/(r - 1) = 9 × a.(r³ - 1)/(r - 1)
⇒ r⁶ - 1 = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³)² - 1² = 9 × (r³ - 1)
⇒ (r³ - 1) (r³ + 1) = 9 × (r³ - 1)
⇒ r³ + 1 = 9
⇒ r³ = 8 = 2³ 
∴ r = 2

প্রশ্ন: 5x² + 2x - 3 = 0 সমীকরণে মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
এখানে,
a = x² এর সহগ = 5
b = x এর সহগ = 2
c =  ধ্রুবক = -3

নিশ্চায়ক = b² - 4ac
 = (2)² - 4 × 5 × (- 3)
= 4 + 60
= 64 > 0

নিশ্চায়ক ধনাত্মক হলে, মূল দুইটি বাস্তব ও অসমান হবে।
∴ মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান। 

প্রশ্ন: যদি log_x324 = 4 হয়, তবে X এর মান হবে: 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
log_x324 = 4
⇒ x⁴ = 324
⇒ x⁴ = 81 × 4
⇒ x⁴ = 3⁴ × 2²
⇒ x⁴ = 3⁴ × (√2)⁴
⇒ x⁴ = (3√2)⁴
∴ x = 3√2

ধরি, ভিত্তি a
প্রশ্নমতে, log_a400 = 4
বা, a⁴ = 400
বা, a⁴ = (20)²
বা, a⁴ = (4 × 5)²
বা, a⁴ = 2⁴ (√5)⁴
বা, a⁴ = (2√5)⁴
∴ a = 2√5
∴ ভিত্তি a = 2√5

x² = 9
∴ x = ±3
আবার, 2x = 4
∴ x = 2
শর্ত দুইটি পরস্পর সাংঘার্ষিক।
তাই তাদের উপাদান হবে = ∅

5 questions can be selected in the following ways,
2 question from first group and 3 question from second group Or 3 question from first group and 2 question from second group.
= (⁴C₂ × ⁴C₃) + (³C₄ × ⁴C₂)
= 24 + 24
= 48

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 5, চতুর্থ পদ 135 হলে, ধারাটির নবম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত = r 
এবং গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ = 135
⇒ ar^{4 - 1} = 135
⇒ 5 × r³ = 135
⇒ r³ = 135/5
⇒ r³ = 27
∴ r = 3 

∴ নবম পদ = ar^{9 - 1}
= 5 × (3)⁸
= 32805

a² − 6a + 1 = 0
⇒ a - 6 + 1/a = 0
∴ a + 1/a = 6

x² - y² - 2xz + z²
= x² - 2xz + z² - y²
= (x - z)² - y²
= (x + y - z)(x - y - z)

x = 3 হলে সমীকরণটি সিদ্ধ হয়
∴ সমাধান x = 3

প্রশ্ন: x² - √7x + 1 = 0 হলে, x⁶ + (1/x)⁶ এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
x² - √7x + 1 = 0
⇒ x - √7 + 1/x = 0 [x দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]
⇒ x + 1/x = √7

∴ (x⁶ + (1/x)⁶
= (x³)² + (1/x³)²
= {x³ + (1/x³)}² - 2.x³.1/x³
= {(x + (1/x)³ - 3. x .1/x (x + 1/x)}² - 2
= {(√7)³ - 3.√7}² - 2
= (7√7 - 3√7)² -2
= (4√7)² - 2
= 112 - 2
= 110

প্রশ্ন: log₁₀2 + log₁₀(b + 2) = log₁₀(b - 1) + 1 হলে, b এর মান কত?

সমাধান:
log₁₀2 + log₁₀(b + 2) = log₁₀(b - 1) + 1
⇒ log₁₀2 + log₁₀(b + 2) = log₁₀(b - 1) + log₁₀10
⇒ log₁₀{2(b + 2)} = log₁₀{10(b - 1)}
⇒ 2(b + 2) = 10(b - 1)
⇒ 2b + 4 = 10b - 10
⇒ 4 + 10 = 10b - 2b
⇒ 14 = 8b
⇒ b = 14/8
∴ b = 7/4

এখানে,
x = .5 হলে,
x² = 0.25 এবং x³ = 0.125
∴ x³ < x² < x

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি ও বর্গের অন্তরফল যথাক্রমে 130 ও 32 হলে, সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যা দুইটি x এবং y
∴ x² + y² = 130 .........(1)
x² - y² = 32 .........(2)

(1) ও (2) যোগ করে পাই,
2x² = 162
বা, x² = 162 / 2
বা, x² = 81
বা, x² = 9²
∴ x = 9

(i) সমীকরণে x-এর মান বসিয়ে পাই,
y² = 130 - x²
বা, y² = 130 - (9)²
বা, y² = 130 - 81
বা, y² = 49
বা, y² = 7²
∴ y = 7

∴ (x, y) = (9, 7)

প্রশ্ন: x + y এর সাথে y - z যোগ করুন।

সমাধান:
x + y এবং y - z এর যোগফল = x + y + y - z
= x + 2y - z

প্রশ্ন: a - b = 8 এবং ab = 10 হলে a² + b² + 3ab = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে
a - b = 8
এবং ab = 10

প্রদত্ত রাশি, 
a² + b² + 3ab
= (a - b)² + 2ab + 3ab.   ; [a² + b² = (a - b)² + 2ab ]
= (a - b)² + 5ab
= 8² + 5 . 10
= 64 + 50
= 114

এক্ষেত্রে,
সংখ্যার ১ম অংকটি ৫ বা ৯ দ্বারা পূর্ণ করতে হবে। যা ২ উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট ৩টি অংক পূর্ণ করা যায় ৩! = ৬ উপায়ে
সুতরাং তৈরী সংখ্যা = ২ × ৬ = ১২টি।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যা অপরটির 2/5 গুণ। তাদের বিয়োগফল 27 হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
বড় সংখ্যা = x
ছোট সংখ্যা = (2/5)x

প্রশ্নমতে, 
x - (2/5)x = 27
⇒ (5x - 2x)/5 = 27
⇒ x = 27 × (5/3)
⇒ x = 9 × 5
∴ x = 45

সুতরাং বড় সংখ্যাটি 45

প্রশ্ন: একটি প্রকৃত ভগ্নাংশের হর, লব অপেক্ষা 3 বেশি। লব থেকে 1 বিয়োগ এবং হরের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 1/2 হয়। ভগ্নাংশটি কত?

সমাধান: 
ধরি, ভগ্নাংশ = x/y

প্রদত্ত শর্ত, হর লব থেকে 3 বেশি
y = x + 3 .......(1) 
এবং 
লব থেকে 1 বিয়োগ এবং হরের সাথে 2 যোগ করলে ভগ্নাংশটি 1/2 হয়। অর্থাৎ, 
⇒ (x - 1)/(y + 2) = 1/2
⇒ (x - 1)/(x + 3 + 2) = 1/2
⇒ (x - 1)/(x + 5) = 1/2
⇒ 2x - 2 = x + 5
⇒ 2x - x = 5 + 2
∴ x = 7

(1) নং হতে পাই, 
y = x + 3 = 7+ 3 = 10

∴ ভগ্নাংশ = x/y = 7/10

প্রশ্ন: 5 + 10 + 20 + ...... + 640 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 10 ÷ 5 = 2 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 640
⇒ ar^{n - 1} = 640
⇒ 5 × 2^{n - 1} = 640
⇒ 2^{n - 1} = 640/5 
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^n-1 = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 5 × (2⁸ - 1)/(2 - 1)
= 5 × (256 - 1)/1
= 5 × 255
= 1275

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 1275

প্রশ্ন: n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা কত হবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
n উপাদানবিশিষ্ট একটি প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ  । 

অর্থাৎ, 
যদি কোনো সেটের উপাদান সংখ্যা, n = 3 হয়,  
তাহলে,  
প্রদত্ত সেটের উপসেটের সংখ্যা = 2ⁿ 
= 2³ 
= 8 

প্রশ্ন: 4x² - 12x + 9 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি কোনটি?

সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণটি হলো 4x² - 12x + 9 = 0।
এই সমীকরণটিকে ax² + bx + c = 0 আদর্শ রূপের সাথে তুলনা করে পাই,
a = 4, b = -12, c = 9

এখন, সমীকরণের নিশ্চায়ক (D) নির্ণয় করি।
নিশ্চায়ক, D = b² - 4ac
= (-12)² - 4 × 4 × 9
= 144 - 144
= 0

যেহেতু নিশ্চায়ক (D) এর মান শূন্য (D = 0), তাই সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও পরস্পর সমান হবে।
∴ মূলদ্বয়ের প্রকৃতি হলো বাস্তব ও সমান।

উল্লেখ্য:
• b² - 4ac > 0 এবং পূর্ণবর্গ হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও মূলদ।
• b² - 4ac > 0 কিন্তু পূর্ণবর্গ নয় হলে মূলদ্বয় বাস্তব, অসমান ও অমূলদ।
• b² - 4ac = 0 হলে মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান।
• b² - 4ac < 0 হলে বাস্তব মূল নেই (কাল্পনিক মূল)।

x + y = 6 হলে xy এর সর্বোচ্চ মান নির্নয়ঃ 
1 + 5 = 6 হলে, 1 × 5 = 5
2 + 4 = 6 হলে, 2 × 4 = 8
3 + 3 = 6 হলে, 3 × 3 = 9

প্রশ্ন: প্রথম 10 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {n(n + 1)/2}²
∴ প্রথম 11 টি স্বাভাবিক সংখ্যার ঘনের সমষ্টি = {10(10 + 1)/2}²
= {(10 × 11)/2}²
= (5 × 11)²
= (55)²
= 3025

12 - এর উৎপাদকসমূহ = 1, 2, 3, 4, 6, 12
∴ 12 এর গুণনীয়কের সেট = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

5টি বাহু থেকে প্রতিবার 4টি নিয়ে সমাবেশ সংখ্যা = ⁵c₄ = 5
যা নির্ণেয় চতুর্ভূজ সংখ্যা।

প্রশ্ন: (x/2) + (y/3) = 1 এবং (x/3) + (y/2) = 1 হলে x এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া সমীকরণ দুটি, 
(x/2) + (y/3) = 1 ........(1) 
(x/3) + (y/2) = 1 ........(2)

এখন, (1) ও (2) নং সমীকরণকে 6 দ্বারা গুণ কর পাই, 
3x + 2y = 6 ..........(3)
2x + 3y = 6 ..........(4)

এখন, (3) - (4) করে পাই, 
⇒ (3x + 2y) - (2x + 3y) = 6 - 6
⇒ 3x + 2y - 2x - 3y = 0
⇒ x - y = 0
∴ x = y

(3) নং হতে পাই, 
⇒ 3x + 2x = 6
⇒ 5x = 6
∴ x = 6/5