বীজগণিত

প্রশ্ন: x² + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে P এর মান কত হবে?

সমাধান: 
x² + 7x + P যদি x -5 দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে f(5) = 0 হবে। 
∴ x² + 7x + P = 0
বা, (5)² + 7.5 + P = 0
বা, 25 + 35 + P = 0
বা, 60 + P = 0
∴ P = - 60

∴ P এর মান = - 60  । 

প্রশ্ন: (x² + 4x + b) রাশিটি (x + 3) দ্বারা বিভাজ্য হলে b এর মান কত?

সমাধান:
x + 3 = 0
⇒ x = - 3
x² + 4x + b = 0
⇒(- 3)² + 4(- 3) + b = 0
⇒ 9 - 12 + b = 0
⇒ b = 3

প্রশ্ন: x² - 2x + 1 = 0 হলে, (x⁴ + 2x² + 1)/x² এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান:

x² - 2x + 1 = 0  
⇒ (x - 1)² = 0
⇒ x - 1 = 0
⇒ x = 1 

 এখন,
(x⁴ + 2x² + 1)/x²
 = (1⁴ + 2 × 1² + 1)/1²
= (1 + 2 + 1)/1
= 4

প্রশ্ন: a + b + c =20 এবং a²+ b²+ c² = 152 , ab + bc + ca = কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে, 
a + b  + c = 20 
a²+ b²+ c² = 152

আমরা জানি, 
 (a + b + c)² = a²+b²+c² + 2(ab + bc + ca)
বা, 20²= 152 + 2(ab + bc + ca)
বা, 400 = 152 + 2(ab + bc + ca)
বা, 2(ab + bc + ca) = 400 - 152
বা, 2(ab + bc + ca) = 248
বা, (ab + bc + ca) = 248/2
∴ (ab + bc + ca) = 124

প্রশ্ন: যদি x + y = 12 এবং xy = 20 হয়, তবে x - y এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে, x + y = 12 এবং xy = 20।
আমরা জানি, (x - y)² = (x + y)² - 4xy
= (12)² - 4 × 20
= 144 - 80
= 64
⇒ x - y = √64
∴ x - y = ± 8

n তম পদ
= a+(n-1)d
76 = 1+(n-1)3
n = 26
আবার n তম পদের যোগফল
= n/2{2a+(n-1)d}
= 26/2{2.1 +(26-1)3}
= 13×(2+75)
=1001

প্রশ্ন: (m/3) + 3 = (2m/15) + 6 সমীকরণে m-এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(m/3) + 3 = (2m/15) + 6
⇒ (m/3) - (2m/15) = 6 - 3
⇒ (5m - 2m)/15 = 3
⇒ 3m/15 = 3
⇒ 3m = 45
⇒ m = 45/3
∴ m = 15

(a - b + c)² = a² + b² + c² - 2ab - 2bc + 2ac [সূত্র]

প্রশ্ন: - 6 ≤ 3x + 3 < 27 অসমতাটির সমাধান কোনটি?

সমাধান:
- 6 ≤ 3x + 3 < 27
⇒ - 6 - 3 ≤ 3x < 27 - 3
⇒ - 9 ≤ 3x < 24
⇒ - 9/3 ≤ x < 24/3
⇒ - 3 ≤ x < 8

∴ সমাধান সেট = [- 3, 8)

উল্লেখ্য,
'[' এবং '(' চিহ্ন দুটি গণিতে ব্যবধি (Interval) বোঝাতে ব্যবহৃত হয়, যেখানে '[' মানে অন্তর্ভুক্ত (Inclusive) এবং '(' মানে অন্তর্ভুক্ত নয় (Exclusive)। 
[-3, 8) হলো একটি ব্যবধি (Interval), যা দিয়ে বোঝানো হয় যে, x-এর মান -3 এর সমান অথবা তার চেয়ে বড় (x ≥ - 3) কিন্তু 8 এর চেয়ে ছোট (x < 8)।

প্রশ্ন: যদি (p + q)² = 144 এবং pq = 32 হয়, তবে (p - q) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(p + q)² = 144 এবং pq = 32

আমরা জানি, 
(p - q)² = (p + q)² - 4pq
⇒ (p - q)² = 144 - (4 × 32)
⇒ (p - q)² = 144 - 128
⇒ (p - q)² = 16
⇒ (p - q) = √16
∴ p - q = 4

প্রশ্ন: x + (1/x) = 7 হলে, x/(x² + x + 1) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + (1/x) = 7
⇒ x² + 1 = 7x

এখন, 
 x/(x² + x + 1)
= x/(x² + 1 + x)
= x/(7x + x)
= x/8x 
= 1/8

প্রশ্ন: x² + 10x - 144 এর একটি উৎপাদক x - 8 হলে, অপর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² + 10x - 144 
= x² + 18x - 8x - 144
= x(x + 18) - 8(x + 18)
= (x + 18)(x - 8)

সুতরাং, অপর উৎপাদকটি হলো (x + 18)।

একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ পরীক্ষার নমুনাক্ষেত্র, S ={১,২,৩,৪,৫,৬}
মোট নমুনাবিন্দু n(S) = ৬
২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যার অনুকূল ফলাফল একটি। এটি হল {৬} ∴ n(S) = ১
সুতরাং নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = ১/৬

প্রশ্ন: যদি log₁₀ [98+ √(x² - 12x + 36 ] = 2 হয়, তবে x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
log10 [98+ √(x² - 12x + 36 ] = 2
⇒ 98 + √(x² - 12x + 36) = 10² = 100
⇒ √(x² - 12x + 36) = 100 - 98 = 2
⇒ √(x² - 12x + 36) = 2
⇒ x² - 12x + 36 = 4 ; [বর্গ করে]
⇒ x² - 12x + 32 = 0
⇒ x² - 8x - 4x + 32 = 0
⇒ (x - 4)(x - 8) = 0
হয়,
x - 4 = 0
∴ x = 4
অথবা,
x - 8 = 0
∴ x = 8

সুতরাং, x এর মান 4 অথবা 8

প্রশ্ন: যে সরলরেখাটি (1, 2) এবং (3, 4) বিন্দু দুটির মধ্য দিয়ে যায়, তার সমীকরণ নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
A(1, 2) এবং B(3, 4)

আমরা জানি,
ঢাল, m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
= (4 - 2)/(3 - 1) = 2/2 = 1 
∴ m = 1
আবার, আমরা জানি,
বিন্দু আর ঢাল থাকলে সরলরেখার সমীকরণ,
y - y₁ = m(x - x₁)
⇒ y - 2 = 1(x - 1) [ঢাল = 1 এবং বিন্দু = (1, 2)]
⇒ y - 2 = x - 1
∴ y = x + 1

সুতরাং, নির্ণয়ে সমীকরণ y = x + 1

এই ধারায় প্রতিটি পদ আগের দুইটি পদের ব্যবধানের মানের সাথে ১ অতিরিক্ত বৃদ্ধি পেয়ে গঠিত হয়।
সপ্তম পদে ৭ বৃদ্ধি পেয়ে হবে ২৮
অষ্টম পদ হবে ২৮ + ৮ = ৩৬
নবম পদ ৩৬ + ৯ = ৪৫
দশম পদ হবে ৪৫ + ১০ = ৫৫

প্রশ্ন: ১৫ সদস্য বিশিষ্ট একটি ক্রিকেট দল থেকে একজন নির্দিষ্ট অধিনায়ক ও একজন সহ-অধিনায়ক সহ ১১ সদস্যের দল, কত রকম উপায়ে নির্বাচন করা যায়?

সমাধান: 
১৫ সদস্য বিশিষ্ট দল থেকে একজন নির্দিষ্ট অধিনায়ক ও সহ-অধিনায়ক সহ ১১ সদস্যের দল বাছাই করতে হলে, ২ জন কে বাছাই এর বাইরে রাখতে হবে।
(১৫ - ২) = ১৩ জনের মধ্য থেকে (১১ - ২) = ৯ জন কে বাছাই করতে হবে। 

উপায় সংখ্যা = ১৩C৯ 
= ১৩!/{৯! × (১৩ - ৯)!}
= ১৩!/(৪! × ৯!)
= (১৩ × ১২ × ১১ × ১০ × ৯!)/(৪ × ৩ × ২ × ৯!)
= ৭১৫

∴ মোট উপায় সংখ্যা = ৭১৫ 

প্রশ্ন: x⁴ - 5x³ + 7x² - p  বহুপদীর একটি উৎপাদক (x - 2) হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x⁴ - 5x³ + 7x² - p

যেহেতু (x - 2), f(x) একটি উৎপাদক।
∴ x - 2 = 0
⇒ x = 2 হলে f(x) এর মান শূন্য হবে।

এখন f(x) = x⁴ - 5x³ + 7x² - p
∴ f(2) = 2⁴ - 5.2³ + 7.2² - p
= 4 - p

শর্তমতে,
f(2) = 0
⇒ 4 - p = 0
∴ p = 4

3x² + x - 10
= 3x² + 6x - 5x - 10
= 3x(x + 2) - 5(x + 2)
=(x + 2)(3x - 5)

প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d হলে,
n-তম পদ = a + (n - 1)d
∴ ষষ্ঠ পদ = a + (6 -1) 10
⇒ 52 = a + 50
⇒ a = 2
∴ 17-তম পদ = 2 + (17 - 1) 10
= 2 + 160
= 162

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করা হলে ৩ অথবা ৫ আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
৩ আসার সম্ভাবনা = ১/৬
৫ আসার সম্ভাবনা = ১/৬

৩ অথবা ৫ আসার সম্ভাবনা = ১/৬ + ১/৬ = ২/৬ = ১/৩

a = ১/৪,
r = √২ > ১
∴ সমষ্টি = a.(r^১০ - ১)/(r - ১)
= ১/৪.{(√২)^১০ - ১}/(√২ - ১)
= {(√২)^১০ - ১}/৪(√২ - ১)
= (২^৫ - ১)/৪(√২ - ১)
= ৩১/৪(√২ - ১)
= ৩১(√২ + ১)/{৪ (√২ + ১)(√২ - ১)}
= ৩১(√২ + ১)/৪(২- ১)
= ৩১/৪ × (√২ + ১)

প্রশ্ন: ৩০ এবং ৫০ সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

সমাধান:
৩০, ৫০ এর গড় = (৩০ + ৫০)/২
= ৪০

∴ গড় ব্যবধান = {।৩০ - ৪০। + ।৫০ - ৪০।}/২
= (১০ + ১০)/২
= ২০/২
= ১০

৭, ২, ৮, ৩, মোট ৪টি অংক রয়েছে।
৭০০০ অপেক্ষা বড় সংখ্যা গঠন করতে হলে ১ম অংকটি ৭ অথবা ৮ দিয়ে পূর্ণ করতে হবে,
যা ²p₁ = 2 উপায়ে পূর্ণ করা যায়।
অবশিষ্ট ৩টি অংক পূর্ণ করা যায় ৩! = ৬ উপায়ে
∴ মোট গঠিত সংখ্যা = ২ × ৬
= ১২

কেটে নেওয়া কাগজের ক্ষেত্রফল = 5x বর্গমিটার
মূল কাগজের ক্ষেত্রফল = 45 বর্গমিটার
প্রশ্নমতে,
5x < 45
⇒ x < 9
∴x এর সম্ভাব্য মান 5 <x <9

log√32^x = 5(1/5) = 26/5
বা, x = (√32)^26/5
বা, x = {(32)^1/2}^26/5
= {(2⁵)^1/2}^26/5
= 2^5×1/2×26/5
= 2¹³

প্রশ্ন: যদি log⁡(a/b) + log⁡(b) = log(9) হয়, তবে a = ?

সমাধান:
log⁡(a/b) + log⁡(b) = log(9)
⇒ log(a/b × b) = log(9)
⇒ log(a) = log(9)
⇒ a = 9

প্রশ্ন: A = x³ - 3x² - 10x, B = x³ + 6x² + 8x হলে, A ও B এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

∴ A = x³ - 3x² - 10x
= x(x² - 3x - 10)
= x(x² - 5x + 2x - 10)
= x{x(x - 5) + 2(x - 5)}
= x(x + 2)(x - 5)

∴ B = x³ + 6x² + 8x
= x(x² + 6x + 8)
= x(x² + 4x + 2x + 8)
= x{x(x + 4) + 2(x + 4)}
= x(x + 2)(x + 4)

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = x(x + 2)

প্রশ্ন: যদি P(A) = 1/3 এবং P(B) = 3/4 হয় এবং A ও B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
P(A) = 1/3, P(B) = 3/4 

আমরা জানি, 
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
= P(A) + P(B) - P(A).P(B) [যেহেতু A ও B স্বাধীন]
= (1/3) + (3/4) - {(1/3) × (3/4)}
= (1/3) + (3/4) - (1/4)
= (4 + 9 - 3)/12
= 10/12
= 5/6

প্রশ্ন: P(A) = 1/3, P(B) = 3/4, A ও B স্বাধীন হলে P(A ∪ B) এর মান নির্নয় করুন?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 1/3  
P(B) = 3/4  
A এবং B পরস্পর স্বাধীন।

আমরা জানি, 
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) ........ (১)
এবং P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

এখন, 
P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (1/3) × (3/4)
∴ P(A ∩ B) = 1/4

১ নং হতে পাই, 
P(A ∪ B) = (1/3) + (3/4) - (1/4)  
= (4 + 9 - 3)/12  
= 10/12  
= 5/6

১ম পদ = a এবং সাধারন অন্তর = d
∴ ৬ষ্ঠ পদ = a (৬ - ১)d = a + ৫d এবং
১৫তম পদ = a + (১৫ - ১)d = a + ১৪d
∴ (a + ৫d) + (a + ১৪d) = ৮৫
বা, ২a + ১৯d = ৮৫
∴ প্রথম ২০টি পদের সমষ্টি = (২০/২){২a + (২০ - ১)d}
= ১০(২a + ১৯d)
= ১০ × ৮৫ [২a + ১৯d = ৮৫ বসিয়ে]
= ৮৫০

2² + 3² + 4² + …… + 11²
= (1² + 2² + 3² + 4² + …… + 11²) - 1
= [{11(11 + 1)(2.11+1)}/6] - 1
= {(11 × 12 × 23)/6} - 1
= (22 × 23) - 1
= 506 - 1
= 505

প্রশ্ন: 19 + 17 + 15 + …… ধারাটির কত তম পদ - 5?

সমাধান: 
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 19 
ধারাটির সাধারণ অন্তর, d = (17 - 19) = - 2
ধারাটির n তম পদ = - 5 

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n - 1)d
বা, - 5 = 19 + (n - 1)(- 2)
বা, - 5 = 19 - 2n + 2
বা, - 5 = 21 - 2n
বা, - 5 - 21 = - 2n
বা, - 26 = - 2n
বা, 26 = 2n [- 1 দ্বারা গুণ করে]
বা, 2n = 26
বা, n = 26/2
∴ n = 13

∴ ধারাটির 13 তম পদ - 5.

প্রশ্ন: x + y = 3 এবং x² + y² = 5 হলে, x³ + y³ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
x + y = 3
x² + y² = 5

আমরা জানি,
(x + y)² = x² + y² + 2xy
⇒ 3² = 5 + 2xy
⇒ 9 - 5 = 2xy
⇒ 2xy = 4
⇒ xy = 2

এখন, x³ + y³ = (x + y)³ - 3xy(x + y)
 = 3³ - (3 × 2 × 3)
 = 27 - 18
= 9

|3 - x| < 6
বা, -6 < 3-x < 6
বা, -6-3 < 3-x-3 < 6-3
বা, -9 < -x < 3
∴ -3 < x < 9

(P ∩ Q) = {1, 2, 3} ∩ {3, 4} = {3}
(P ∩ Q) x R = {3} x {x, y}
= {(3, x) (3, y)}

A, B নিশ্ছেদ
∴ A ∩ B = Φ
ফলে n(A ∩ B) = 0
∴ n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

প্রশ্ন: f(x) = x³ - 2x + 10 হলে f(0) কত?

সমাধান:
f(x) = x³ - 2x + 10
f(0) = 0³ - 2 × 0 + 10
f(0) = 0 - 0 + 10
f(0) = 10

প্রশ্ন: যদি ⁿC₁₂ = ⁿC₈ হয়, তবে ²²C_n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ⁿC₁₂ = ⁿC₈
⇒ ⁿC_{n - 12} = ⁿC₈ 
⇒ n - 12 = 8 
∴ n = 12 + 8 = 20 

সুতরাং, প্রদত্ত রাশি, 
= ²²C_n
= ²²C₂₀  ; [n = 20]
= 22!/(20! × 2!)
= (22 × 21 × 20!)/(20! × 2)
= 11 × 21 
= 231