বীজগণিত

প্রশ্ন: (2x^-1)² ÷ x^{- 5} = ? 

সমাধান:
(2x^-1)² ÷ x^{- 5}
= (2/x)² × (1/x^{- 5})
= (4/x²) × (x⁵)
= 4x³

লাইভ পরীক্ষার সময় প্রশ্নের x⁵ এর পরিবর্তে x^{- 5} সংশোধন করে দেওয়া হয়েছে। 

দেওয়া আছে,
(x + y, 2x-y) = (5+y, 0)
ক্রমজোড়ের শর্তমতে,
x + y = 5+y ------- (1)
এবং 2x-y = 0 ------- (2)
সমীকরণ (1) হতে পাই,
x = 5
এখন x এর মান সমীকরণ (2) এ বসাই,
2×5 - y = 0,
বা, y = 10.
সুতরাং নির্ণেয় মান (x,y) = (5, 10)।

|2x - 1| < 5
বা, -5 < 2x - 1 < 5
বা, -5 + 1 < 2x - 1 + 1 < 5 + 1
বা, -4 < 2x < 6
বা, -2 < x < 3
∴ x = (-2, 3)

প্রশ্ন: 3m² - 6m + 8 = 0 সমীকরণের মূলদ্বয়ের প্রকৃতি নিচের কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3m² - 6m + 8 = 0

∴ নিশ্চায়ক = b² - 4ac
= (- 6)² - 4 × 3 × 8
= 36 - 96
= - 60 < 0
যেহেতু, b² - 4ac < 0 হলে মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান।

দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি:
1. যদি b² - 4ac < 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় অবাস্তব ও অসমান হবে।
2. যদি b² - 4ac = 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
3. যদি b² - 4ac > 0 হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান হবে।
4. যদি b² - 4ac পূর্ণবর্গ সংখ্যা হয় তবে দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হবে।

 ২০২০ সালের ফেব্রুয়ারি মাস = 29 দিন
তাহলে, ঐ মাসের ১৫ তারিখে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 3/29
ঐ মাসের ১৫ তারিখে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = (1 - 3/29) = 26/29

x²-y²+2y-1
= x²-(y²-2y+1)
= (x)²-(y-1)²
= (x+y-1)(x-y+1)

প্রশ্ন: ১০টি বলের মধ্যে ৬টি লাল। একটি বল বের করে ফেরত না দিয়ে দ্বিতীয়টি বের করলে প্রথমটি লাল এবং দ্বিতীয়টি লাল না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
মোট বল = ১০টি
লাল বল = ৬টি
লাল না (অর্থাৎ অন্য রঙ) = ১০ - ৬ = ৪টি

∴ P(প্রথম লাল এবং দ্বিতীয় লাল না) = P(প্রথম লাল) × P(দ্বিতীয় লাল না) 
= (৬/১০) × (৪/৯)
= ২৪/৯০
= ৪/১৫

|x| < 5 হলে -5 < x < 5

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদটি ৩২ ও অষ্টম পদটি ২৫৬ হলে উক্ত ধারার সাধারণ অনুপাত কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
একটি গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n -1}

দেওয়া আছে, 
৫ম পদ, ar⁴  = 32  .........(১)
৮ম পদ, ar⁷ = 256 .........(২)

এখন, (২) নং কে (১) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁷/ar⁴ = 256/32
⇒ r³  = 8 
⇒ r³ = 2³ 
∴ r = 2

সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অনুপাত ২ । 

প্রশ্ন: (81)^0.45 × (81)^0.30 = ?

সমাধান:
(81)^0.45 × (81)^0.30
= (81)^{(0.45 + 0.30)}
= (81)^0.75
= (81)^75/100
= (81)^3/4
= (3⁴)^(3/4)
= 3³
= 27

প্রশ্ন: 2log₈2 + log₈6 + log₈5 = কত?

সমাধান:
2log₈2 + log₈6 + log₈5
= log₈2² + log₈6 + log₈5
= log₈4 + log₈5 + log₈6
= log₈(4 × 5 × 6)
=log₈120

প্রশ্ন: যদি a = √12 + 3 হয়, তবে a³ - (27/a³) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a = √12 + 3

এখন, 
1/a = 1/√12 + 3
= (√12 - 3)/(√12 + 3)(√12 - 3)
= (√12 - 3)/{(√12)² - 3²}
= (√12 - 3)/(12 - 9)
= (√12 - 3)/3
∴ 3/a = √12 - 3

∴ a - (3/a) = √12 + 3 - √12 + 3 = 6

প্রদত্ত রাশি, 
a³ - (27/a³) = a³ - (3/a)³
= {a - (3/a)}³ + 3 . a . (3/a){a - (3/a)}      ;[a³ - b³ = (a - b)³ + 3ab(a - b)]
= 6³ + (9 × 6)
= 216 + 54
= 270

যেহেতু, 0 < x < 1
ধরি, x = 1/5
∴ 1/x = 5
∴ 1/x³ = 125 যা বৃহত্তর।

(ab + b²)/ab ÷ (a + b)/a
= b(a + b)/ab × a/(a + b)
= 1

প্রশ্ন: সার্বিক সেট U এর যে কোন উপসেট A ও B এর জন্য কোনটি সঠিক? 

সমাধান:
• De Morgan's Law (ডি মরগ্যানের সূত্র)
1. (A ∩ B)' = A' ∪ B'
2. (A ∪ B)' = A' ∩ B'

• অপশনসমূহ যাচাই:
ধরি,
U = {1,2,3,4,5}, A = {1,2,3}, B = {2,3,4}
ক) A\B = A ∪ B' 
A\B = {1}
B' = {1,5}, তাই A∪B' = {1,2,3,5}
{1} ≠ {1,2,3,5} ∴ ভুল

খ) (A ∪ B)' = A' ∪ B' 
A ∪ B = {1,2,3,4}, তাই (A ∪ B)' = {5}
A' = {4,5}, B' = {1,5}, তাই A' ∪ B' = {1,4,5}
{5} ≠ {1,4,5} ∴ ভুল

গ) (A ∩ B)' = A' ∪ B' 
A ∩ B = {2,3}, তাই (A ∩ B)' = {1,4,5}
A' = {4,5}, B' = {1,5}, তাই A' ∪ B' = {1,4,5}
{1,4,5} = {1,4,5} ∴ সঠিক 

ঘ) (A ∩ B)' = A' ∩ B' 
(A ∩ B)' = {1,4,5}
A' ∩ B' = {5}
{1,4,5} ≠ {5} ∴ ভুল

অতএব, সঠিক উত্তর: গ) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

³√³√a³
= ³√a
= a^1/3

যেকোনো একদিন বৃষ্টি হবার সম্ভাবনা ৫/৭
তাহলে, বুধবার বা যেকোনো দিন বৃষ্টি না হবার সভাবনা = (১ - ৫/৭) = ২/৭

প্রশ্ন: 12 টি বিন্দু দিয়ে কতটি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে?

সমাধান:
আমরা জানি, একটি ত্রিভুজ গঠন করতে ৩ টি বিন্দু প্রয়োজন হয়।
তাহলে, 12 টি বিন্দু দিয়ে গঠিত ত্রিভুজের সংখ্যা = ¹²C₃
= 12!/{3! × (12 - 3)!}
= 12!/(3! × 9!)
= (12 × 11 × 10 × 9!)/(3 × 2 × 1 × 9!)
= (12 × 11 × 10)/(3 × 2 × 1)
= (12 × 11 × 10)/6
= 1320/6
= 220

∴ 12 টি বিন্দু দিয়ে মোট 220 টি ত্রিভুজ গঠন করা যাবে।

মোট সংখ্যা ১৯
১০ থেকে ৩০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা (১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯) = ৫টি
এবং ৫ এর গুনিতক (১৫, ২০, ২৫, ৩০) = ৪ টি
সংখ্যা টি মৌলিক অথবা ৫ এর গুনিতক হওয়ার সম্ভাবনা = ৯/১৯

আমরা জানি, a⁰ = 1
∴ 5⁰ = 7⁰
প্রশ্নমতে, 4x - 2 = 0
⇒ x = 2/4 = 1/2

প্রশ্ন: একটি খামারে মুরগি ও গরু একত্রে ৮০টি। কিন্তু তাদের পায়ের সংখ্যা ২২০টি। তা হলে কতটি মুরগি আছে?

সমাধান:
ধরি,
মুরগি আছে = ক টি
∴ গরু আছে = (৮০ - ক) টি
প্রশ্নমতে,
২ক + ৪(৮০ - ক) = ২২০
⇒ ২ক + ৩২০ - ৪ক = ২২০
⇒ ৩২০ - ২ক = ২২০
⇒ - ২ক = ২২০ - ৩২০
⇒ - ২ক = -১০০
⇒ ২ক = ১০০
∴ ক = ৫০

সুতরাং, মুরগি আছে ৫০টি।

a³+b³+c³ = (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) + 3abc
= 0 X (a²+b²+c²-ab-bc-ca) + 3abc
= 3abc

 xy < 0 অর্থাৎ দুইটি সংখ্যার গুণফল 0 থেকে ছোট। সুতরাং এর একটি সংখ্যা ধনাত্বক এবং অপরটি ঋণাত্বক। যেহেতু x < 0 অর্থাৎ x এর মান ঋণাত্বক, সেহেতু y এর মান অবশ্যই ধনাত্বক হবে; অর্থাৎ, y > 0।
আবার z > 0 অর্থাৎ z এর মান ধনাত্বক।
প্রদত্ত শর্তানুসারে, xz < yz সঠিক।
y < xz এবং xyz > 0 সঠিক নয়।

প্রশ্ন: log 8 + log 64 + log 512 +............... ধারাটির প্রথম নয়টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
 log 8 + log 64 + log 512 +...............
= log (8¹) + log (8²) + log (8³) + ............ 
= log 8 + 2 log 8 + 3 log 8+.......... 
=( 1 + 2 + 3 +......) log 8

এখন, 1 + 2 + 3 +............. ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি = {n(n + 1)}/2 
= {9(9 + 1)}/2
= 45

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির প্রথম 9 টি পদের সমষ্টি = 45 log 8

একটি সপ্তাহে দিন আছে 7 টি
বৃষ্টি হয়েছে 5 দিন
∴ যেকোনো একদিন বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা 5/7
অর্থাৎ, মঙ্গলবারে বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 5/7
∴ মঙ্গলবারে বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা= 1 - 5/7 = 2/7

প্রশ্ন: (20x)⁰ + 20x⁰ + (20x)⁰ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
(20x)⁰ + 20x⁰ + (20x)⁰   [আমরা জানি, a⁰ = 1 ; যেখানে a ≠ 0]
= 1 + (20 × 1) + 1
= 1 + 20 + 1
= 22

COURAGE শব্দটি মোট ৭ টি ভিন্ন ভিন্ন অক্ষর আছে যার 4 টি স্বরবর্ণ।
∴ প্রথমে স্বরবর্ণ রেখে অবশিষ্ট ৬ টি অক্ষর সাজানো যায় ⁶P₆ উপায়ে
∴ ৪ টি স্বরবর্ণ প্রথমে স্থানে ⁴p₁ উপায়ে বসানো যায়। 
∴ নির্ণেয় বিন্যাস সংখ্যা = ⁶p₆ × ⁴p₁ = 2880

x² - 3x - 1 = 0
বা, (x² - 3x - 1)/x = 0
বা, x²/x - 3x/x - 1/x = 0
বা, x - 1/x = 3

এখন, (x + 1/x)² = (x - 1/x)² + 4.x.1/x
বা, (x + 1/x)² = 3² + 4 = 13
বা, x + 1/x = √13

∴ x² - 1/x² = (x + 1/x)(x - 1/x)
= √13.3
= 3√13

এখানে,
A = {-1, -2, -3, -4}
∴ P(A) এর উপাদান সংখ্যা = 2⁴
= 16

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3s³ + 2s² - 21s - 20 রাশিটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ হবে?

সমাধান:
ধরি,
f(s) = 3s³ + 2s² - 21s - 20
∴ ‍f(- 1) = 3.(- 1)³ + 2.(- 1)² - 21.(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 23 - 23
= 0

∴ ‍(s + 1), f(s) এর একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: সমীকরণের সমাধান কত?

সমাধান:
 

প্রথম ৬টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = ১ + ২ + ৩ + ৪ + ৫ + ৬ = ২১

বিকল্প পদ্ধতিঃ
প্রথম ৬টি স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি = {৬ × (৬ + ১)}/২
= ৪২/২ = ২১

প্রশ্ন: ​​৫২টি তাসের একটি প্যাকেট থেকে একটি তাস নেয়া হলো। তাসটি হরতন বা রুইতন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

​সমাধান:
​মোট তাস = ৫২
​হরতন আছে = ১৩ টি
​রুইতন আছে = ১৩ টি
​
∴ হরতন বা ​রুইতন = ১৩ + ১৩ = ২৬টি 
​
​P(হরতন বা ​রুইতন) = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
​= ২৬/৫২
​= ১/২

প্রশ্ন: যদি x + (1/x) = 0 হয়, তবে √x + (1/√x) এর মান কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
x + (1/x) = 0

ধরি, 
y = √x + (1/√x)
⇒ y² = {√x + (1/√x)}²
⇒ y² = (√x)² + 2 × √x  × (1/√x) + (1/√x)² ; [(a + b)² = a² + 2ab + b²]
⇒ y² = x + 2 + (1/x)
⇒ y² = x + (1/x) + 2
⇒ y² = 0 + 2
⇒ y² = 2
∴ y = ± √2

∴ √x + (1/√x) = √2

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +.............  ধারাটির কোন পদের মান 512?

সমাধান:
2 + 4 + 8 + 16 +.............
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

∴ n তম পদ = ar^{n - 1}
বা, 2.2^{n - 1} = 512
বা, 2^{1 + n - 1} = 256
বা, 2ⁿ = 256
বা, 2ⁿ = 2⁹
∴ n = 9

∴ ধারাটির 9 তম পদের মান 512.

7 টি লাল বল
2 টি সাদা বল
মোট বল = 9 টি
∴ বিন্যাস = 9!/(7!2!) = 36

দেওয়া আছে,
A = {1,2,3} B = ∅
∴ A∪B = {1,2,3} ∪ {∅} = {1,2,3}

প্রশ্ন: যদি (x - y) = 4 এবং xy = 5 হয়, তাহলে, x³ - y³ + 5(x + y)² = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
x - y = 4 এবং xy = 5

এখন, 
x³ - y³ = (x - y)³ + 3xy(x - y)
= 4³ + 3 × 5 × 4
= 64 + 60
= 124

এবং 
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
= 4² + 4 × 5
= 16 + 20
= 36

প্রদত্ত রাশি, 
x³ - y³ + 5(x + y)²
=  124 + 5 × 36
= 124 + 180
= 304

দেওয়া আছে, (a - b)/3.5 = 4/7
বা, a - b = (4 × 3.5)/7
বা, a - b = 2
বা, a = 2 + b
সুতরাং, b < a