বীজগণিত

প্রশ্ন: একটি স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সাথে সংখ্যাটিকে যোগ করলে তা পরবর্তী স্বাভাবিক সংখ্যার ৬ গুণের সমান হয়। সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
x² + x = 6(x + 1)
⇒ x² + x = 6x + 6
⇒ x² + x - 6x - 6 = 0
⇒ x² - 5x - 6 = 0

এখন, গুণনীয়করণ করি:
x² - 6x + x - 6 = 0
⇒ x(x - 6) + 1(x - 6) = 0
⇒ (x - 6)(x + 1) = 0

অতএব,
x - 6 = 0 ⇒ x = 6
অথবা, x + 1 = 0 ⇒ x = -1 (স্বাভাবিক সংখ্যা হতে পারে না)

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = 6

মনে করি,
f(x) = x⁴ - 5x³ + 7x² - a

যেহেতু, (x-2) একটি উৎপাদক, তাই,
f(2) = 0
⇒ 2⁴ - 5(2)³ + 7(2)² - a = 0
⇒ 16 - 40 + 28 - a = 0
∴ a = 4

(5/3)^x = 1
Or, (5/3)^x = (5/3)⁰ [(5/3)⁰ = 1]
Or, x = 0

প্রশ্ন: (6x - y, 13) = (1, 3x + 2y) হলে, (x, y) নির্ণয় করুন। 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
(6x - y, 13) = (1, 3x + 2y)
এখন, সমীকরণ তৈরি করে পাই, 
6x - y = 1
⇒ y = 6x - 1 ..........(1)
এবং 
3x + 2y = 13
⇒ 3x + 2(6x - 1) = 13 ; [y এর মান বসিয়ে পাই] 
⇒ 3x + 12x - 2 = 13
⇒ 15x - 2 = 13
⇒ 15x = 13 + 2
⇒ 15x = 15
∴ x = 1

(1) নং হতে পাই, 
⇒ y = 6(1) - 1
⇒ y = 6 - 1
∴ y = 5

সুতরাং, (x, y) = (1, 5) 

প্রশ্ন: যদি A = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, B = {4, 6, 7, 8} এবং C = {4, 8, 9} হয়, তবে (A - B) ∪ C = কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
A = {4, 5, 6, 7, 8, 9},
B = {4, 6, 7, 8}
এবং C = {4, 8, 9} 

এখন, 
A - B = {4, 5, 6, 7, 8, 9} - {4, 6, 7, 8} 
= {5, 9} 

∴ (A - B) ∪ C 
= {5, 9} ∪ {4, 8, 9} 
= {4, 5, 8, 9} 

a^x = b^y
a^x/x = b^y/x (উভয় পাশে 1/x ঘাত নিয়ে)
a = b^y/x
আবার, b^y = c^z
c^z/z = b^y/z (উভয় পাশে 1/z ঘাত নিয়ে)
c = b^y/z

b² = ac
b² = b^y/x.b^y/z (মান বসিয়ে)
b² = b^{y/x + y/z}
2 = y/x + y/z
2 = y(1/x + 1/z)
(1/x + 1/z) = 2/y

দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ, a = 5
দ্বিতীয় পদ = x
তৃতীয় পদ = y
এবং চতুর্থ পদ = 135

মনে করি,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, q
সুতরাং ধারাটির চতুর্থ পদ = aq^(4-1)
= 5. q³
= 5q³
প্রশ্নমতে, 5q³ = 135
বা, q³ = 135/5
বা, q³ = 27
বা, q³ = 3³
বা, q = 3
এখন,
দ্বিতীয় পদ, x = aq^(2-1)
= aq¹
= aq
= 5.3
= 15

এবং তৃতীয় পদ, y = aq^(3-1)
= aq²
= 5.3²
= 5.9
= 45
এখন x এবং y যোগফল = 15+45
= 60

a + 1/a + 1 = 0
বা, a² + 1 + a = 0
∴ a² + a + 1 = 0

এখন, a⁶ - 1
= (a³ + 1)(a³ - 1)
= (a + 1)(a² - a + 1)(a - 1)(a² + a + 1)
= (a + 1)(a² - a + 1)(a - 1) × 0
= 0

প্রশ্ন: {x ∈ N : x² > 15 এবং x³ < 100} তালিকা পদ্ধতির সেট কোনটি? 

সমাধান: 
স্বাভাবিক সংখ্যা = {1, 2, 3, 4, ...}
এখন, 
x = 1 হলে x² = 1² = 1 > 15 এবং x³ = 1³ = 1 < 100 ; যা শর্ত বিরোধী 
x = 2 হলে x² = 2² = 4 > 15 এবং x³ = 2³ = 8 < 100 ; যা শর্ত বিরোধী
x = 3 হলে x² = 3² = 9 > 15 এবং x³ = 3³ = 27 < 100 ; যা শর্ত বিরোধী
x = 4 হলে x² = 4² = 16 > 15 এবং x³ = 4³ = 64 < 100 ; যা শর্ত সিদ্ধ করে
x = 5 হলে x² = 5² = 25 > 15 এবং x³ = 5³ = 125 < 100 ; যা শর্ত বিরোধী

সুতরাং, নির্ণেয় সেট = {4} 

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান:


সুতরাং, সঠিক উত্তর গ) 4x² + 6x + 9

দেওয়া আছে, log_a √2 = 1/6
সুতরাং, a^(1/6) = √2
বা, a^(1/6) = 2^(1/2)
বা, a^(6/6) = 2^(6/2)
বা, a = 2³
সুতরাং, a^(1/3) = 2^3×(1/3)
বা, a^(1/3) = 2¹
বা, a^(1/3) = 2

প্রশ্ন: f(x) = x³ + kx² - 4x - 4, k এর মান কত হলে f(2) = 0 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
f(2) = 0

এখন,
f(x) = x³ + kx² - 4x - 4

∴ f(2) = (2)³ + k(2)² - 4 × 2 - 4 = 0

বা, 8 + 4k - 8 - 4 = 0
বা, 4k - 4 = 0
বা, 4k = 4
বা, k = 4/4
∴ k = 1

প্রশ্ন: কোনো সমান্তর ধারার ১ম পদ - 5 এবং সাধারণ অন্তর 7 হলে ধারাটির n তম পদ কত?

সমাধান:
সমান্তর ধারার ১ম পদ, a = - 5
সাধারণ অন্তর, d = 7
∴ n তম পদ = a + (n - 1)d
= - 5 + (n - 1)7
= - 5 + 7n - 7
= 7n - 12

প্রশ্ন: যদি 3^{x + 2} = 81 হয়,  তাহলে 10^{x - 2} এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
3^{x + 2} = 81
⇒ 3^{x + 2} = 3⁴
⇒ x + 2 = 4
⇒ x = 4 - 2
∴ x = 2

প্রদত্ত রাশি, 
10^{x - 2}
= 10^{2 - 2}
= 10⁰
= 1

প্রশ্ন: যদি 2^4b = 256 হয়, তবে (√3)^b এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
⇒ 2^4b = 256
⇒ 2^4b = 2⁸
⇒ 4b = 8
⇒ b = 8/4
∴ b = 2

প্রদত্ত রাশি,
= (√3)^b
= (√3)²
= 3

প্রশ্ন: 4a + 6 ≥ 2a - 8 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
4a + 6 ≥ 2a - 8
⇒ 4a - 2a + 6 ≥ - 8
⇒ 2a + 6 ≥ - 8
⇒ 2a ≥ - 8 - 6
⇒ 2a ≥ - 14
⇒ a ≥ - 7

উপাত্তগুলো, ৫, ১২, ৯, ১৫, ৮, ২০, ১৭, ২৫, ২১, ২৩, ২৬
= ৫, ৮, ৯, ১২, ১৫, ১৭, ২০, ২১, ২৩, ২৫, ২৬
মোট n = ১১ টি
∴ মধ্যক = (১১+১)/২
= ৬ষ্ঠ পদ
= ১৭

প্রথম পদ = ৬
দ্বিতীয় পদ = (৬ × ৩) - ১ = ১৭
তৃতীয় পদ = (১৭ ×৩) – ২ = ৪৯
চতুর্থ পদ = (৪৯×৩) – ৩ = ১৪৪
∴ পঞ্চম পদ = (১৪৪×৩) - ৪ = ৪২৮

আমরা জানি,
নির্বাচনে ভোট দেয়ার উপায় = (প্রার্থী)^{ভোটার সংখ্যা} = ৩^৩০

প্রশ্ন: কিছু উপাত্তের সর্বোচ্চ মান 90 এবং সর্বনিম্ন মান 35 হলে উপাত্তগুলোর পরিসর কত?

সমাধান:
পরিসর = (বৃহত্তম সংখ্যা - ক্ষুদ্রতম সংখ্যা) + 1
= 90 - 35 + 1
= 55 + 1
= 56

প্রশ্ন: পরমমান চিহ্ন ব্যবহার করে নিম্নের অসমতাটি প্রকাশ করুন: - 12 < x < - 2

সমাধান:
- 12 < x < - 2
∴ গড় = {(- 12) + (- 2)}/2
= - 14/2
= - 7

∴ - 12 + 7 < x + 7 < - 2 + 7
⇒ - 5 < x + 7 < 5
⇒ ।x + 7। < 5

x² - 3x + 1 = 0
⇒ x² +1 = 3x
⇒ (x² +1)/x = 3x/x
∴ x + 1/x = 3
সূত্রানুসারে,
(x - 1/x)² = (x + 1/x)² - 4.x.1/x
⇒ x - 1/x = √{(3)² - 4}
∴ x - 1/x = √5
এখন,
(x² - 1/x²) = (x + 1/x)(x - 1/x)
= 3√5

প্রশ্ন:

সমাধান:
দেওয়া আছে 
4b² + 1/b² = 5
(2b)² + (1/b)² = 5
(2b + 1/b)² - 2.2b.1/b = 5
(2b + 1/b)² - 4 = 5
(2b + 1/b)²  = 9
(2b + 1/b) = 3

এখন 
8b³ + 1/b³ = (2b)³ + (1/b)³
= (2b + 1/b)³ - 3.2b.(1/b).(2b + 1/b)
= 3³- 3.2.3
= 27 - 18
= 9