বীজগণিত

প্রশ্ন: 9a² - 12a এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
9a² - 12a
= (3a)² - 2 × 3a × 2 + (2)² - 4
= (3a - 2)² - 4

∴ 4 যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

প্রশ্ন: জুয়েল 12 টি কমলা কিনতে বাজারে গিয়েছিল। কিন্তু সে দেখলো তার নিকট যে টাকা আছে তা দিয়ে 10 টি কমলা কিনতে পারবে। সে হিসাব করে দেখলো যদি প্রতিটি কমলার দাম 5 টাকা কম হত, তবে সে 12 টি কমলা কিনতে পারতো। জুয়েলের নিকট কত টাকা ছিল?

সমাধান:
মনে করি, জুয়েলের নিকট  ছিল x টাকা

প্রশ্নমতে, (x/10) - (x/12) = 5
⇒ (6x - 5x)/60 = 5 
⇒ x/60 = 5
⇒ x = 5 × 60
∴  x = 300

জুয়েলের নিকট 300 টাকা ছিল।

16x² - px + 625
= (4x)² - px + 25²
∴ px = 2 . 4x . 25
বা, p = 200

১ম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = 12/4 = 3
সমষ্টি s = {a(rⁿ - 1)} / (r -1)
সাতটি পদের সমষ্টি S₅ = 4(3⁵ - 1)/(3 - 1)
S₅ = 484

প্রশ্ন: 1/√3, 1, √3, ............... ধারাটির কোন পদ 27√3 হবে?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1/√3
সাধারণ অনুপাত, r = √3
ধরি, n তম পদ হবে = 27√3
আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 27√3
বা, (1/√3) × (√3)^{n - 1} = 27√3
বা, (√3)^{n - 1} = 27√3 × √3
বা, (√3)^{n - 1} = 27 × 3
বা, (√3)^{n - 1} = 81
বা, (√3)^{n - 1} = 3⁴
বা, (√3)^{n - 1} = (√3)⁸
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9

∴ 9 তম পদ = 27√3

প্রশ্ন: যদি log⁡(2x) = log⁡10 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
log⁡(2x) = log⁡10
⇒ 2x = 10
⇒ x = 10/2 
⇒ x = 5

x³ = -8
বা, x³ + 8 = 0
বা, x³ + 2³ = 0
(x + 2)(x² - 2x + 4) = 0
হয়,
x + 2 = 0
অথবা,
x² - 2x + 4 = 0

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপে ১২ এর গুণনীয়ক পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কা নিক্ষেপ মোট নমুনা বিন্দু = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬} = মোট ৬ টি
১২ এর গুণনীয়ক = {১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২}
১২ এর গুণনীয়ক যা ছক্কায় বিদ্যমান = {১, ২, ৩, ৪, ৬} = ৫ টি  [ছক্কায় সর্বোচ্চ সংখ্যা ৬, তাই ১২ বাদ যাবে]

∴ সম্ভাবনা = ৫/৬

১ম পদ a = 1,
সাধারন অন্তর d = 2,
শেষ পদ = 2n + 1
∴ পদ সংখ্যা = {(শেষ পদ - ১ম পদ)/d} + 1
= {(2n + 1 - 1)/2} + 1
= n + 1
∴ সমষ্টি = {পদ সংখ্যা (শেষ পদ + ১ম পদ)}/2
= {(n + 1)(2n + 1 + 1)}/2
= {(n + 1)(2n + 2)}/2
= (n + 1)²

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: a² + b² = 13 এবং ab = 6 হলে, a⁴ + b⁴ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
a² + b² = 13 এবং ab = 6

প্রদত্ত রাশি,
a⁴ + b⁴
=(a²)² + (b²)²
= (a² + b²)² - 2a²b²
= (a² + b²)² - 2(ab)²
= (13)² - 2 × (6)²
= 169 - 72
= 97

প্রশ্ন: যদি P(y) = 1 হয়, তাহলে y ঘটনাটি হলো- 

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা = ঘটনাটির অনুকূল ফলাফল/সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল

∴ কোনো ঘটনা ঘটার সর্বোচ্চ মান ১ এবং সর্বনিম্ন মান ০

অর্থাৎ কোনো ঘটনা যখন অবশ্যই ঘটবে তার মান ১
এবং যখন অবশ্যই ঘটবেনা অর্থাৎ অসম্ভব ঘটনা তার মান ০

দেওয়া আছে,
x² + y² = 20 এবং
xy = 4
আমরা জানি,
(x - y)² = x² + y² - 2xy
= 20 - 2 × 4
= 20 - 8
= 12

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 +...........  ধারাটির কোন পদ 1/2 ? 

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
n-তম পদ = 1/2

আমরা জানি,
n-তম পদ = arn - 1 

প্রশ্নমতে,
arn - 1 = 1/2
⇒ 128 × (1/2)n - 1 = 1/2
⇒ (1/2)n - 1 = 1/(2 × 128)
⇒ (1/2)n - 1 = 1/256
⇒ (1/2)n - 1 = (1/2)8
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1 
⇒ n = 9

ধরি,
সংখ্যাটি = x
সংখ্যার অর্ধেক = x/2
সংখ্যার দ্বিগুণ = 2x

প্রশ্নমতে,
x/2 + 7 = 2x - 26
বা, x + 14 = 4x - 52
বা, -3x = -66
∴ x = 22

প্রশ্ন: x⁴ - 64 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x⁴ - 64
= (x²)² - (8)²
= (x² + 8) (x² - 8)
= (x² + 8) {(x)² - (2√2)²}
= (x² + 8) (x + 2√2) (x - 2√2)

প্রশ্ন: একটি ছাত্রাবাসে রোজ 4x কেজি চাল এবং (x - 3) কেজি ডাল লাগে এবং চাল ও ডাল মিলে 42 কেজির বেশি লাগে না।তাহলে নিচের কোনটি সঠিক? 

সমাধান: 
দৈনিক মোট চাল + ডাল ≤ 42 কেজি
⇒ 4x + (x - 3) ≤ 42
⇒ 5x - 3 ≤ 42
⇒ 5x ≤ 45
⇒ x ≤ 9
সঠিক অসমতা x ≤ 9
​অর্থাৎ, x সর্বোচ্চ 9 হতে পারে।

2log(15/18) - log(25/162) + log(4/9)
= log(15/18)² - log(25/162) + log(4/9)
= log(225/324) - log(25/162) + log(4/9)
= log[(225/324)(4/9)] - log(25/162)
= log[(225/324)(4/9)]/(25/162)
= log(72/36)
= log2

প্রশ্ন: 6 টি পোস্ট বাক্সে 4 টি চিঠি কতভাবে ফেলা যায়?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
পোস্ট বাক্সের সংখ্যা, n = 6 টি
চিঠির সংখ্যা, r = 4 টি

∴ চিঠি ফেলা যায় = (পোস্ট বক্স)^চিঠি
= n^r
= 6⁴
= 1296 টি উপায়ে

১ম পদ a = ২৪৩,
r = -(১/৩) < ১
∴ সমষ্টি = a.(১ - r^৬)/(১ - r)
= ২৪৩ × [১ - {-(১/৩)}^৬]/[১ - {-(১/৩)}]
= ২৪৩ × (১ - ১/৭২৯)/(১ + ১/৩)
= ২৪৩ × (৭২৮/৭২৯)/(৪/৩)
= ২৪৩ × ৭২৮/৭২৯ × ৩/৪
= ১৮২

মনে করি, একক স্থানীয় অংক x
দশক স্থানীয় অংক 9 - x
∴ সংখ্যাটি = 10(9 - x) + x = 90 - 9x
অংক দুইটি স্থান বিনিময় করলে সংখ্যাটি হবে,
= 10x + 9 - x = 9x + 9
প্রশ্নমতে,
9x + 9 = 90 - 9x - 45
⇒ 18x = 36
⇒ x = 2
∴ নির্ণেয় সংখ্যা = 90 - 18 = 72

প্রশ্ন: যদি 4a² + (1/a)² = 4 হয়, তবে 8a³ + (1/a)³ এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে ,
4a² + (1/a)² = 4
⇒ (2a)² + (1/a)² = 4
⇒ {2a + (1/a)}² - 2 × 2a  × (1/a) = 4
⇒ {2a + (1/a)}² = 4 + 4
⇒ {2a + (1/a)}² = 8
 ∴ 2a + (1/a) =√8 = 2√2

এখন, 
8a³ + (1/a)³
= (2a)³ + (1/a)³
= {2a + (1/a)}³- 3 × 2a × (1/a) {2a + (1/a)}
= (2√2)³ - 6 × 2√2
= 16√2 - 12√2
= 4√2

4y² - a² + 6a - 9
= 4y² - (a² - 6a + 9)
= 4y² - (a² - 2.a.3 + 3²)
= (2y)² - (a - 3)²
= (2y + a - 3)(2y - a + 3)

প্রশ্ন: 0.5 + 0.05 + 0.005 + 0.0005 +.......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.5 = 5/10 = 1/2
সাধারণত অনুপাত, r = 0.05/0.5
=  1/10 < 1

সুতরাং, অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/2) ÷ {1 - (1/10)}
= (1/2) ÷ (9/10)
= (1/2) × (10/9)
= 5/9

প্রশ্ন: কোন পরীক্ষায় পরীক্ষার্থীদের ৪০% ইংরেজিতে ,৩০% বাংলায় ফেল করেছে।যদি ২০% উভয় বিষয়ে ফেল করে থাকে তবে শতকরা কতজন উভয় বিষয়ে পাশ করেছে?
 
সমাধান:
শুধু ইংরেজিতে ফেল করে = ৪০ - ২০ = ২০ জন
শুধু বাংলায় ফেল করে = ৩০ - ২০ = ১০ জন
এবং উভয় বিষয়ে ফেল করে = ২০ জন

∴ মোট ফেল করে = ২০ + ১০ + ২০ = ৫০ জন
সুতরাং, উভয় বিষয়ে পাশ করে = ১০০ - ৫০ = ৫০ জন

প্রশ্ন: a² + b² = c² হয়, তবে a⁶ + b⁶ + 3a²b²c² = ?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a² + b² = c²

প্রদত্ত রাশি, 
a⁶ + b⁶ + 3a²b²c²
= (a²)³ + (b²)³ + 3a²b²c²
= (a² + b²)³ - 3a²b²(a² + b²) + 3a²b²c²  ; [a³ + b³ = (a + b)³ - 3ab(a + b)]
= (c²)³ - 3a²b²c² + 3a²b²c²
= c⁶

প্রশ্ন: একটি অধিবর্ষে (Leap Year) বছরে 52 রবিবার থাকার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি লিপ ইয়ারে 52 টি রবিবার হওয়ার সম্ভাবনা বের করুন।

একটি লিপ ইয়ারে 52 টি রবিবার বা 53 টি রবিবার থাকতে পারে।

একটি লিপ ইয়ারে মোট 366 দিন থাকে, যার মধ্যে 52 টি পূর্ণ সপ্তাহ এবং অবশিষ্ট 2 দিন থাকে।

এখন এই দুইটি দিন হতে পারে:
(Sat, Sun)
(Sun, Mon)
(Mon, Tue)
(Tue, Wed)
(Wed, Thu)
(Thu, Fri)
(Fri, Sat)

সুতরাং মোট 7টি সম্ভাব্য কেস রয়েছে, যেগুলোর মধ্যে (Sat, Sun) এবং (Sun, Mon) দুটি অনুকূল কেস।

P(53 রবিবার) = 2/7

এখন,
P(52 রবিবার) + P(53 রবিবার) = 1
∴ P(52 রবিবার) = 1 - P(53 রবিবার) = 1 - 2/7 = 5/7

সুতরাং 52টি রবিবারের সম্ভাবনা = 5/7