বীজগণিত

পাওয়ার সেট/সূচক সেটঃ
কোন সেটের উপসেটসমূহের সেটকে ঐ সেটের শক্তি সেট (Power set) বলে । কোন সেট A এর পাওয়ার সেটকে P(A) দ্বারা প্রকাশ করা হয়।
পাওয়ার সেট বা সূচক সেটের সংঞ্জানুসারে প্রশ্নটি প্রণীত।

প্রশ্ন: যদি B = {x ∈ N, x হলো জোড় সংখ্যা এবং 2 ≤ x ≤ 10} হয়, তবে P(B) এর সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
B = {x ∈ N, x হলো জোড় সংখ্যা এবং 2 ≤ x ≤ 10}
∴ B = {2, 4, 6, 8, 10}

∴ P(A) এর সদস্য সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁵
= 32

প্রশ্ন: 1 - x² + 2xy - y² এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
1 - x² + 2xy - y²
= 1 - (x² - 2xy + y²)
= 1 - (x - y)²
= (1 + x - y)(1 - x + y)

প্রশ্ন: 5, 15, 45, …, 3645 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 3645
⇒5 × 3^{n - 1} = 3645
⇒ 3^{n - 1} = 3645/5
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^n-1 = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n= a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= {5 ×(3⁷ - 1)}/(3 - 1)}
= 5 × (2187 - 1)/2
= 5 × (2186/2)
= 5 × 1093
= 5465

প্রশ্ন: যদি x = 1 + √2 এবং y = 1 - √2 হয়, তাহলে (x² + y²) এর মান কত?

সমাধান:
x = 1 + √2
 y = 1 - √2

x + y = 1 + √2 + 1 - √2
= 2

xy = (1 + √2)(1 - √2)
= 12 - (√2)2
= 1 - 2
= - 1

(x² + y²)= (x + y)² - 2xy
= 22 - 2(- 1)
= 4 + 2
= 6

প্রশ্ন: x³ - 27 এর উৎপাদকে বিশ্লেষিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
x³ - 27
= (x³) - (3³)
= (x - 3)(x² + 3x + 3²)
= (x - 3)(x² + 3x + 9)

প্রশ্ন: যদি log_x(1/18) = - 2 হয়, তবে x = কত?

সমাধান:
log_x(1/18) = - 2
⇒ x^{- 2} = 1/18
⇒ x² = 18
⇒ x² = 3² × 2
⇒ x² = (3√2)²
∴ x = 3√2

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে ছক্কার জোড় সংখ্যা এবং মুদ্রার T আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
নমুনা বিন্দু = {1H, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H, 1T, 2T, 3T, 4T, 5T, 6T}
মোট নমুনা বিন্দু = 12 টি।

জোড় সংখ্যা এবং মুদ্রায় T আসার অনুকূলে নমুনা বিন্দু {2T, 4T, 6T} = 3 টি

∴ সম্ভাবনা = 3/12 = 1/4

প্রশ্ন: y এর মান কত হলে, 16x² - xy + 25 একটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
16x² - xy + 25
= (4x)² - 2 × 4x × 5 + 5²
= (4x - 5)²

অতএব,
xy = 2 × 4x × 5
⇒ xy = 40x
⇒ y = 40

প্রশ্ন: a - (6/a) = 1 হলে 6/(a² - a + 1) এর মান কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
a - (6/a) = 1
⇒ (a² - 6)/a = 1
⇒ a² - 6 = a
∴ a² - a = 6

প্রদত্ত রাশি, 
6/(a² - a + 1)
= 6/(6 + 1)
= 6/7

১ম পদ (a) = ৫,
সাধারণ অন্তর (d) = ৯ - ৫ = ৪
পদসংখ্যা (n) = ২০
∴ সমষ্টি (s) = (২০/২){২ × ৫ + (২০ - ১)৪}
= ১০ × (১০ + ৭৬)
= ৮৬০

প্রশ্ন: যদি ⁿC₁₅ = ⁿC₉ হয়, তবে ²⁴C_n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
ⁿC₁₅ = ⁿC₉
⇒ ⁿC_{n - 15} = ⁿC₉ 
⇒ n - 15 = 9
∴ n = 15 + 9 = 24 

সুতরাং, প্রদত্ত রাশি, 
= ²⁴C_n
= ²⁴C₂₄  ; [n = 24]
= 1

প্রশ্ন: 3 জন বালক ও 5 জন বালিকাকে এক সারিতে রেখে কতভাবে সাজানো যায় যেখানে 3 জন বালক সর্বদা একত্রে থাকবে?

সমাধান:
মোট বালক বালিকা = (3 + 5 ) = 8 জন

তিন জন বালক একত্রে থাকলে তিন জনকে একজন ধরতে হয়
এক্ষেত্রে মোট সংখ্যা = (1 + 5) জন
= 6 জন

6 জন কে সাজানো যায় = 6!
3 জন বালক নিজেদের মধ্যে কে সাজানো যায় = 3!

সুতরাং, একত্রে রেখে বিন্যাস সংখ্যা = 6! × 3!
= (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1)
= 720 × 6 = 4320

প্রশ্ন: ২৫ + ২৯ + ৩৩ + ৩৭ + ....................... + ১৪১ ধারাটির পদসংখ্যা কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমান্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = ২৫
সাধারণ অন্তর, d = ২৯ - ২৫ = ৪
শেষ পদ = ১৪১

মনে করি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ = শেষ পদ = ১৪১

আমরা জানি,
সমান্তর ধারাটির n তম পদ =a + (n - ১) ×d

প্রশ্নমতে,
a + (n - ১) ×d = ১৪১
⇒ ২৫ + (n - ১) ×৪ = ১৪১
⇒ (n - ১) ×৪ = ১৪১ - ২৫
⇒ (n - ১) ×৪ = ১১৬
⇒ (n - ১) = ১১৬/৪
⇒ n - ১ = ২৯
⇒ n = ২৯ + ১
∴ n = ৩০

∴ ধারাটির পদসংখ্যা ৩০ টি।

মোট নমুনা বিন্দু বা ফল = {জয়, পরাজয়, ড্র}
= 3টি
জয়ের অনূকুলে নমুনা বিন্দু = 1টি
∴ সম্ভাবনা = 1/3

প্রশ্ন: একটি ফুটবল টুর্নামেন্টে প্রতিটি দল একে অপরের সাথে একবার করে খেললো। যদি মোট 190টি ম্যাচ খেলা হয়, তাহলে টুর্নামেন্টে মোট কতটি দল অংশগ্রহণ করেছিল?

সমাধান:
মনে করি,
টুর্নামেন্টে n সংখ্যক দল অংশগ্রহণ করেছিল।
প্রতিটি ম্যাচ খেলার জন্য 2টি দলের প্রয়োজন হয়।
সুতরাং, মোট ম্যাচের সংখ্যা হবে ⁿC₂

প্রশ্নমতে,
ⁿC₂ = 190
⇒ n!/2!(n - 2)! = 190
⇒ {n × (n - 1)×(n - 2)!}/{2!(n - 2)!} = 190 [n! = n × (n - 1) × (n - 2)!]
⇒ n(n - 1)/2 = 190
⇒ n(n - 1) = 190 × 2
⇒ n(n - 1) = 380
⇒ n² - n - 380 = 0
⇒ n² - 20n + 19n - 380 = 0
⇒ n(n - 20) + 19(n - 20) = 0
⇒ (n + 19)(n - 20) = 0

হয় n + 19 = 0 অথবা n - 20 = 0
⇒ n = - 19 অথবা n = 20

যেহেতু দলের সংখ্যা ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই n = - 19 গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, n = 20

অতএব, ঐ টুর্নামেন্টে 20টি দল অংশগ্রহণ করেছিল।

প্রশ্ন: যদি 4x + y = 28 এবং 3x = y হয়, তাহলে y = কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
3x = y ...............(1)
4x + y = 28 .........(2)

এখন, y এর মান (1) নং থেকে (2) নং এ বসাই,
⇒ 4x + 3x = 28
⇒ 7x = 28
⇒ x = 4

x এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই,
⇒ y = 3 × 4
⇒ y = 12

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: যদি (16)^{2x + 3} = (4)^{3x + 6} হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
(16)^{2x + 3} = (4)^{3x + 6}
বা, (4²)^{2x + 3} = (4)^{3x + 6}
বা, 4^{4x + 6} = 4^{3x + 6}
বা, 4x + 6 = 3x + 6 
বা, 4x - 3x = 6 - 6 
∴ x = 0 

প্রশ্ন: 2x - y = 4 এবং x + 3y = 9 সমীকরণের সমাধান কোনটি?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
2x - y = 4 ...................(১)
x + 3y = 9 ...................(২)

(১) × 3 ⇒ 6x - 3y = 12 ...................(৩)

এখন (২) ও (৩) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,
(x + 3y) + (6x - 3y) = 9 + 12
⇒ x + 6x + 3y - 3y = 21
⇒ 7x = 21
⇒ x = 21/7
⇒ x = 3

x-এর মান (২) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
x + 3y = 9
⇒ 3 + 3y = 9
⇒ 3y = 6
⇒ y = 2

নির্ণয় সমাধান: (x, y) = (3, 2)

প্রশ্ন: x² - 5x + 6 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - 5x + 6
= x² - 3x - 2x + 6
= x(x - 3) - 2(x - 3)
= (x - 3)(x - 2)

প্রশ্ন: (০.০০২)^২ =কত?

সমাধান:
(০.০০২)^২ = ০.০০০০০৪

প্রশ্ন: log_x(8) = 3/2 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
log_x(8) = 3/2
⇒ x^3/2 = 8 [সূত্র: log_ab = c হলে, a^c = b]
⇒ (x^1/2)³ = 8 
⇒ √x³ = 2³ 
⇒ √x = 2
⇒ (√x)² = 2² [উভয় পক্ষকে বর্গ করে]
∴ x = 4

ধরি,
সংখ্যা দুইটি, ক ও খ।

প্রশ্নমতে,
ক + খ = 20 এবং কখ = 96

সুতরাং,
সংখ্যা দুইটির ব্যস্তানুপাতিক যোগফল = 1/ক + 1/খ
= (ক+খ)/কখ
= 20/96
= 5/24

3, 4 ও 5 অর্থাৎ মোট 3 টি অঙ্ক থেকে 2 টি করে নিয়ে সংখ্যা গঠন করা যায় - ³P₂ = 6 টি