বীজগণিত

মোট তাস ৫২ টি
হরতনের রাজা ১ টি
∴ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = ১/৫২

প্রশ্ন: x - y = 3 এবং xy = 10 হলে (x + y)² এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে
x - y = 3 
xy = 10

এখন
(x + y)² = (x - y)² + 4xy
(x + y)² = 3² + 4 × 10
(x + y)² = 9 + 40
(x + y)² = 49

প্রশ্ন: log2 + log4 + log16 + log256 + ... এই ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log16 + log256 + ...
প্রথম 10টি পদ হবে,
log(2¹) + log(2²) + log(2⁴) + log(2⁸) + log(2¹⁶) + log(2³²) + log(2⁶⁴) + log(2¹²⁸) + log(2²⁵⁶) + log(2⁵¹²)
= (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512)log2
এখানে,
প্রথম পদ = 1, সাধারণ অনুপাত = 2 এবং সংখ্যা = 10
= a(rⁿ - 1)/(r - 1)   ; r > 1
= 1(2¹⁰ - 1)/(2 - 1)
= 2¹⁰ - 1

এই ধারার প্রথম দশটি পদের সমষ্টি  (2¹⁰ - 1)log2

১ম পদ (a) = 4,
সাধারন অনুপাত (r) = 8/4 = 2
ধরি, n-তম পদ = 1024
বা, a.r^{n - 1} = 1024
বা, 4.2^{n - 1} = 2¹⁰
বা, 2².2^{n - 1} = 2¹⁰
বা, 2^{n + 1} = 2¹⁰
বা, n + 1 = 10
∴ n = 9

প্রশ্ন: ৩০ এবং ৫০ সংখ্যা দু’টির গড় ব্যবধান কত?

সমাধান:
৩০, ৫০ এর গড় = (৩০ + ৫০)/২
= ৪০

∴ গড় ব্যবধান = {।৩০ - ৪০। + ।৫০ - ৪০।}/২
= (১০ + ১০)/২
= ২০/২
= ১০

প্রশ্ন: যদি g(x) = x³ + ax² - 4x - 8 হয়, তবে a এর কোন মানের জন্য g(-1) = 0?

সমাধান:
g(x) = x³ + ax² - 4x - 8
g(-1) = (- 1)³ + a(-1)² - 4(- 1) - 8
= - 1 + a + 4 - 8
= a - 5
প্রশ্নানুসারে,
g(- 1) = 0
⇒ a - 5 = 0
⇒ a = 5

প্রশ্ন:


সমাধান:

প্রশ্ন: |x - 3| < 4 হলে, m এবং n এর কোন মানের জন্য m < 3x + 5 < n হবে?

সমাধান:
|x - 3| < 4
⇒ - 4 < x - 3 < 4
⇒ - 4 + 3 < x < 4 + 3
⇒ - 1 < x < 7
⇒ - 1 × 3 < 3x < 7 × 3
⇒ - 3 < 3x < 21
⇒ - 3 + 5 < 3x + 5 < 21 + 5
⇒ 2 < 3x + 5 < 26

এখন, m < 3x + 5 < n এর সাথে তুলনা করে পাই,
m = 2 এবং n = 26।

প্রশ্ন: একটি স্কুলের মাসিক সভা শেষে উপস্থিত ম্যানেজিং কমিটির সদস্যবৃন্দ প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করলো। করমর্দন সংখ্যা 120 হলে, সদস্য সংখ্যা কত?

সমাধান:
ধরি, মোট সদস্য সংখ্যা = n জন  

প্রত্যেকে প্রত্যেকের সাথে করমর্দন করেছে, অর্থাৎ প্রতিটি জোড়া একবারই করমর্দন করেছে।  
∴ মোট করমর্দনের সংখ্যা = দুই জনের মধ্যে নির্বাচনের সংখ্যা = ⁿC₂
= n!/2!(n - 2)
= n(n - 1)/2

প্রশ্নমতে,
n(n - 1)/2 = 120
⇒ n² - n - 240 = 0
⇒ n² - 16n + 15n - 240 = 0
⇒ n(n - 16) + 15(n - 16) = 0
⇒ (n - 16)(n + 15) = 0
হয়, 
n - 16 = 0
∴ n = 16
অথবা, 
n + 15 = 0
∴ n = - 15  ; [যা গ্রহণযোগ্য নয়] 

∴ সদস্য সংখ্যা = 16 জন

প্রশ্ন: log_a(1/36) = - 2 হলে a এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 

log_a(1/36) = - 2
⇒ a^{- 2} = 1/36             [log_a​b = c ⇒ a^c = b]
⇒ 1/a² = 1/6²
⇒ a² = 6²
∴ a = 6

প্রশ্ন: সমাধান করুন, 9 × 3^{(x - 1)} = 27^x

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
9 × 3^{(x - 1)} = 27^x 
⇒ 3² × 3^{(x - 1)} = (3³)^x
⇒ 3^{(2 + x - 1)} = 3^3x
⇒ 1 + x = 3x
⇒ 3x - x = 1
⇒ 2x = 1
∴ x = 1/2

প্রশ্ন: যদি p এবং q সরলরেখা দুটির সমীকরণ যথাক্রমে x + y = 5 এবং x - y = 3 হয়, তবে তাদের সাধারণ ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করুন-

সমাধান: 
দেওয়া আছে,
x + y = 5 .....(1)
x - y = 3 ......(2)

এখন, (1) + (2) করে পাই, 
⇒ x + y + x - y = 5 + 3
⇒ 2x = 8
⇒ x = 8/2
∴ x = 4

x এর মান (1) এ বসিয়ে পাই,
⇒ 4 + y = 5
⇒ y = 5 - 4
∴ y = 1

সুতরাং ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হলো (4, 1)

x²+y² = 185 ---------- (1)
⇒ (x-y)² + 2xy = 185
⇒ 2xy = 185 - (3)²
⇒ 2xy = 176 -------- (2)
আবার,
x²+y² = (x+y)² - 2xy
⇒ 185 = (x+y)² - 176 [1 ও 2 থেকে মান বসিয়ে]
⇒ (x+y)² = 361
⇒ x+y = 19 ---------- (3)
এখন,
(x+y) + (x-y) = 19 + 3
⇒ 2x = 22
⇒ x = 11
এবং,
(x+y) - (x-y) = 19 - 3
⇒ 2y = 16
⇒ y = 8
∴ (x,y) = (11, 8)

প্রশ্ন: |2x - 3| ≤ 7 অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
 |2x - 3| ≤ 7
⇒ - 7 ≤ 2x - 3 ≤ 7
⇒ - 7 + 3 ≤ 2x - 3 + 3 ≤ 7 + 3 ; [উভয় পাশে 3 যোগ করি] 
⇒ - 4 ≤ 2x ≤ 10 
⇒ - 4/2 ≤ 2x/2 ≤ 10/2 ; [উভয় পাশে 2 দ্বারা ভাগ করি] 
⇒ - 2 ≤ x ≤ 5

সুতরাং সমাধান - 2 ≤ x ≤ 5

প্রশ্ন: 'LAUGHTER' শব্দটির বর্ণগুলোকে কত প্রকারে সাজানো যায়?

সমাধান:
LAUGHTER শব্দটিতে মোট 8টি বর্ণ আছে এবং সবকটি বর্ণ ভিন্ন।

সুতরাং, ভিন্ন 8টি বর্ণকে সাজানোর সংখ্যা = 8!
= 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
= 40320

প্রশ্ন: log₃(1/81) এর মান কত?

সমাধান:
log₃(1/81)
= log₃(1/3⁴)
= log₃(3^{- 4})
= - 4 × log₃3
= - 4 × 1
= - 4

x+10-20 = 22
⇒x = 22+10 = 32

প্রশ্ন:  6^a + 6^a + 6^a + 6^a + 6^a + 6^a = কত?

সমাধান:
6^a + 6^a + 6^a + 6^a + 6a + 6a
= 6^a(1 + 1 + 1 + 1 + 1+ 1)
= 6^a × 6
= 6^{a + 1}

প্রশ্ন: যদি log₁₀x + log₁₀5 = 2 হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
log₁₀x + log₁₀5 = 2
⇒ log₁₀(x × 5) = 2   ; [log_a(M) + log_a(N) = log_a(MN)]
⇒ log₁₀5x = 2
⇒ 5x = 10²
⇒ 5x = 100
⇒ x = 100/5
∴ x = 20

প্রশ্ন: একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কার নমুনাক্ষেত্র = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
2 এর গুণিতক নমুনা = {2, 4, 6} 

​∴ 2 এর গুণিতক আসার সম্ভাবনা= 3/6
= 1/2

x⁴ + 4
= (x²)² + 2²
= (x² + 2)² - 2.x².2
= (x² + 2)² - (2x)²
= (x² + 2x + 2)(x² - 2x +2)

প্রশ্ন: ৩ + ৮ + ১৩ + ১৮ + ............ + ১৪৮ ধারাটিতে কয়টি পদ আছে?

সমাধান:
এটি একটি সমান্তর ধারা। যার, 
প্রথম পদ, a = ৩
সাধারণ অন্তর, d = ৫
এবং শেষ পদ, l = ১৪৮

আমরা জানি, 
n-তম পদ, a_n = a + (n - ১)d
⇒ ১৪৮ = ৩ + (n - ১) × ৫
⇒ (n - ১) × ৫ = ১৪৮ - ৩ 
⇒ (n - ১) × ৫  = ১৪৫
⇒ n - ১ = ১৪৫/৫ 
⇒ n - ১ = ২৯
⇒ n = ২৯ + ১ = ৩০
∴ n = ৩০ 

অতএব, ধারাটিতে মোট ৩০টি পদ আছে।

প্রশ্ন: যদি a + b = 10 এবং a² + b² = 58 হয়, তবে ab এর মান কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
a + b = 10 এবং a² + b² = 58

আমরা জানি,
(a + b)² = a² + b² + 2ab
⇒ 10² = 58 + 2ab
⇒ 100 = 58 + 2ab
⇒ 2ab = 100 - 58
⇒ 2ab = 42
∴ ab = 21

প্রশ্ন: 8x² + 2x - 15 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
8x² + 2x - 15
= 8x² + 12x - 10x - 15
= 4x(2x + 3) - 5(2x + 3)
= (4x - 5)(2x + 3)

প্রথম পদ a = 1
n তম পদ = 99
s_n = 2500
আমরা জানি, a + (n-1)d = 99
⇒ (n-1)d = 98 ..........(1)

আবার, s_n = n/2 {2a + (n-1)d}
2500 = n/2 . (2+98)
⇒ n = (2500×2)/100
⇒ n = 50
n এর মান (1) নং-এ বসিয়ে পাই,
(50 - 1)d = 98
⇒ d = 98/49
∴ d = 2

x+3    |  x⁴ + 2x³ + 3x² + 4x + 5  |   x³ - x² + 6x - 14
              x4 + 3x^{3
            (-) ___________}
                     - x³ + 3x² 
                     - x³  - 3x^{2
               (+)_____________}
                               6x² + 4x
                               6x² + 18x
                           ^{(-)________________}
                                      - 14x + 5
                                      - 14x - 42
                                   ^{(+)____________
                                                            47
∴ ভাগশেষ 47}

একটি দ্বিঘাত সমীকরণের সাধারণ আকার হল a⋅x² + b⋅x + c = 0 যেখানে a(≠0),b,c তিনটি ধ্রুবক রাশি। a, b হল যথাক্রমে x² এবং x এর সহগ এবং c কে সমীকরণটির ধ্রুবক পদ বলে।

A এর উপসেট সংখ্যা = 2ⁿ = 2⁴ = 16 টি।
A এর প্রকৃত উপসেট সংখ্যা = 16 - 1
= 15 টি।

প্রশ্ন: একটা বাক্সে ৪টা লাল, ৩টা নীল, ২টা হলুদ ও ১টা সবুজ বল আছে। কমপক্ষে কয়টা বল উঠালে সেখানে অন্তত একটা লাল বল থাকবেই?

সমাধান:
লাল বল = ৪
নীল বল = ৩
হলুদ বল = ২
সবুজ বল = ১
মোট = ৪ + ৩ + ২ + ১ = ১০ বল

সমাধান করতে হবে: কমপক্ষে কয়টা বল তুললে অন্তত একটি লাল বল উঠবেই। 

- কমপক্ষে লাল বল বের করার জন্য worst case বিবেচনা করতে হবে। 
worst case = প্রথমে সব লাল না তুলে বাকি সব রঙের বল তুলতে হবে। 

লাল নয় এমন বলের সংখ্যা = ৩ + ২ + ১ = ৬
অতএব, ৬টা বল তোলার পরও আমরা কোনো লাল বল নাও পেতে পারি।

এখন, 
৬টা লাল নয় এমন বলের পর আরও ১টা বল তুললে লাল বল আসবেই।
অতএব, ৭টা বল তুলতে হবে।

 সঠিক উত্তর: (গ) ৭

প্রশ্ন: {y ∈ N এবং y² - 16 = 0} সেটটির তালিকা পদ্ধতিতে প্রকাশিত রূপ কোনটি?

সমাধান:
y² - 16 = 0
⇒ y² = 16
⇒ y = √16
∴ y = ± 4

কিন্তু y স্বাভাবিক সংখ্যা তাই ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়।
∴ y = 4

(125/27)^-(2/3)
= (5³/3³)^-(2/3)
= {(5/3)³}^-(2/3)
= (5/3)^-2
= (3/5)²
= 9/25

একজন পরীক্ষার্থীর প্রাপ্ত নম্বর 0 হতে পারে,
100 হতে পারে অথবা 0 থেকে 100 এর মধ্যবর্তী যেকোন সংখ্যা হতে পারে।
∴ 0 ≤ x ≤ 100

প্রশ্ন: 16x⁴ + 36x² + 81 কে 4x² - 6x + 9 দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল কত হবে?

সমাধান: 

প্রশ্ন: ২০২৪ সালের ফেব্রুয়ারি মাসে কোনো শহরে ১৯ দিন বৃষ্টিপাত হয়েছে। ৪ ফেব্রুয়ারি বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
২০২৪ সাল অধিবর্ষ হওয়ায় ফেব্রুয়ারী মাস = ২৯ দিন 

বৃষ্টিপাত হয়েছে = ১৯ দিন
∴ বৃষ্টিপাত হয়নি = ২৯ - ১৯ = ১০ দিন

∴ ৪ ফেব্রুয়ারী বৃষ্টিপাত না হওয়ার সম্ভাবনা = ১০/২৯ 

প্রশ্ন: যদি 2x = 2/x + 3 হয়, তবে 8x³ - 8/x³ কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
2x = 2/x + 3
⇒ 2x - 2/x = 3
⇒ 2(x - 1/x) = 3
⇒ x - 1/x = 3/2

∴ 8x³ - 8/x³
= 8(x³ - 1/x³)
= 8 {(x - 1/x)³ + 3. x. 1/x(x - 1/x)}
= 8 {(3/2)³ + 3 × 3/2}
= 8 {(27 + 36)/ 8}
= 63

প্রশ্ন: (2x + y, x - y) = (8, 4) হলে (x, y) কত? 

সমাধান:
2x + y = 8.....(i)
x - y = 4......(ii)
(i) + (ii) হতে পাই,
2x + y + x - y = 8 + 4
⇒ 3x = 12
⇒ x = 12/3
⇒ x = 4

x এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
2x + y = 8
⇒ 2 × 4 + y = 8
⇒ 8 + y = 8
⇒ y = 8 - 8 
⇒ y = 0
∴ (x, y) = (4, 0)

প্রশ্ন: x² − 2x − 15 > 0 এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান: 
x² − 2x − 15 > 0
⇒ x² − 5x + 3x − 15 > 0
⇒ x(x − 5) + 3(x − 5) > 0
⇒ (x − 5)(x + 3) > 0 ............... (1) 

(1) সত্য হবে যদি (x − 5), (x + 3) উভয়েই ধনাত্মক হয়।
x − 5 > 0
∴ x > 5

এবং
x + 3 > 0
∴ x > − 3

আবার, 
(1) সত্য হবে যদি (x − 5), (x + 3) উভয়েই ঋণাত্মক হয়।
x − 5 < 0
∴ x < 5

এবং
x + 3 < 0
∴ x < − 3

কিন্তু, 
− 3 < x < 5 এর জন্য 
(x − 5)(x + 3) এর মান ঋণাত্মক হয় যা গ্রহণযোগ্য নয়। 

∴ x এর সঠিক মান হবে x > 5 অথবা x < − 3
∴ নির্ণেয় সেট S = {x : x > 5 অথবা x < − 3} । 

প্রশ্ন: 32/(64)^x = 8 হলে x এর মান কত?

সমাধান:
32/(64)^x = 8
32/8 = (64)^x
 4 = (4³)^x
4^3x = 4
3x = 1
x = 1/3

২ সের সয়াবিন তেলের দাম = ৩০×২ = ৬০ টাকা
মিশ্রণের পর (২+১) বা ৩ সেরের মোট দাম = (৬০+১৮) = ৭৮ টাকা।
সুতরাং মিশ্রিত তেলের প্রতি সেরের গড় মূল্য = ৭৮/৩
= ২৬ টাকা