গুণোত্তর ধারা

a = 16,
r = 32/16 = 2
∴ n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 16.(2ⁿ - 1)/(2 - 1)
= 16(2ⁿ - 1)
∴ 16(2ⁿ -1) = 240
বা, 2ⁿ - 1 = 15
2ⁿ = 16 = 2⁴
∴ n = 4

প্রশ্ন: 1/√3, - 1, √3, ......... ধারটির সপ্তম পদ কত? 

সমাধান:
এখানে
প্রথম পদ, a = 1/√3
সাধারণ অনুপাত, r = - 1/(1/√3)
= - √3

আমরা জানি 
n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1}
= (1/√3)(- √3)⁶
= (1/√3){(- √3)²}³
= (1/√3) × 27
= 27/√3
= (9 × 3)/√3
= (9 × √3 × √3)/√3
= 9√3

সুতরাং, ধারটির সপ্তম পদ 9√3

প্রশ্ন: (1/√5) + 1 + √5 + ...... ধারাটির কোন পদ 125 হবে?

সমাধান:
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে, সাধারণ অনুপাত, r = দ্বিতীয় পদ/প্রথম পদ
= 1/(1/√5)
= √5
প্রথম পদ, a = 1/√5

আমরা জানি,
n তম পদ = a × r^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
a × r^{n - 1} = 125
⇒ (1/√5) × (√5)^{n - 1} = 125
⇒ (√5)^{- 1} × (√5)^{n - 1} = 125
⇒ (√5)^{n - 2} = 125
⇒ (√5)^{n - 2} = (√5)⁶
⇒ n - 2 = 6
⇒ n = 8

∴ ধারাটির 8 তম পদ 125

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি প্রথম দিনে 1 টি, দ্বিতীয় দিনে 2 টি, তৃতীয় দিনে 4 টি এবং চতুর্থ দিনে 8 টি কলম তৈরি করেন। এভাবে কলম তৈরি করলে তিনি 10 দিনে মোট কতটি কলম তৈরি করবেন?

সমাধান:
উপর্যুক্ত শর্তে প্রদত্ত ধারাটি হবে = 1, 2, 4, 8,................ 
যেখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত r = 2/1 = 2 

গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1) [যেহেতু r > 1 ]
∴ ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি = 1(2¹⁰ - 1)/(2 - 1) 
= 1024 - 1
= 1023 

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +............. এই ধারাটির কোন পদের মান 256? 

সমাধান: 
2 + 4 + 8 + 16 +............. 
ধারাটির ১ম পদ, a = 2 
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2 

∴ n তম পদ = ar^n-1
বা, 2.2^n-1 = 256
বা, 2^{1 + n - 1} = 256
বা, 2ⁿ = 256
বা, 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

∴ ধারাটির 8 তম পদের মান 256.

প্রশ্ন: 3 + 3√3 + 9 + ............ধারাটির কোন পদ 243 হবে?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।

দেওয়া আছে
প্রথম পদ, a = 3​
অনুপাত, r = 3√3/3​ = √3

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারা n- তম পদ = ar^{n - 1}
ar^{n - 1} = 243
⇒ 3 × (√3)^{n - 1} = 243
⇒ (√3)^{n - 1} = 243/3
⇒ (√3)^{n - 1} = 81
⇒ (√3)^{n - 1} = (√3)⁸
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1
∴ n = 9

সুতরাং, ধারাটির 9ম পদ হবে 243.

প্রশ্ন: 1/√2, 1, √2, ...... ধারাটির কোন পদ 32√2 হবে?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = 1/(1/√2) = √2
ধরি, ধারাটির n তম পদ = 32√2

আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
প্রশ্নমতে,
(1/√2) × (√2)^{(n - 1)} = 32√2
⇒ (√2)^{(n - 1)} = 32√2/(1/√2)
⇒ (√2)^{(n - 1)} = 32√2 × √2
⇒ (√2)^{(n - 1)} = 32 × 2
⇒ (√2)^{(n - 1)} = 64
⇒ (√2)^{(n - 1)} = (√2)¹²
⇒ n - 1 = 12
∴ n = 13

সুতরাং, ধারাটির 13 তম পদ হবে 32√2

আমরা জানি, সমষ্টি = গড় × পদ সংখ্যা
={( ১ম পদ + শেষ পদ)/২} × {((শেষ পদ - ১ম পদ)/সাধারণ অন্তর) + ১}
= (1 + 73)/2 × {((73 - 1)/3) + 1)}
= 37 × 75/3
= 37 × 25
= 925

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ............. এই ধারাটির কোন পদের মান 1024? 

সমাধান: 
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।  
ধারাটির ১ম পদ, a = 2 
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2 

∴ n তম পদ = ar^{n - 1} 
⇒ 2.2^{n - 1} = 1024
⇒ 2^{1 + n - 1} = 1024 
⇒ 2ⁿ = 1024 
⇒ 2ⁿ = 2¹⁰ 
∴ n = 10 

∴ ধারাটির 10 তম পদের মান 1024.

প্রশ্ন: 5 + 10 + 20 + ...... + 640 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 10 ÷ 5 = 2 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 640
⇒ ar^{n - 1} = 640
⇒ 5 × 2^{n - 1} = 640
⇒ 2^{n - 1} = 640/5 
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^n-1 = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n = a × (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 5 × (2⁸ - 1)/(2 - 1)
= 5 × (256 - 1)/1
= 5 × 255
= 1275

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 10 + u + v + 640 +.................. গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, v এর মান কত?

সমাধান:
এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, a = 10
ধরি, সাধারণ অনুপাত, r
ধারাটির চতুর্থ পদ = 640

আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
∴ চতুর্থ পদ = ar^{(4 - 1)} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 640
বা, 10r³ = 640
বা, r³ = 640/10
বা, r³ = 64
বা, r³ = 4³
∴ r = 4

এখন, v হলো ধারাটির তৃতীয় পদ।
∴ v = ar^{(3 - 1)} = ar²
বা, v = 10 × 4²
বা, v = 10 × 16
∴ v = 160

প্রশ্ন:  2 + x + y + 128 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 2

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
ar^4-1 = 128
⇒ ar³ = 128
⇒ 2 . r³ = 128
⇒ r³ = 64
⇒ r³ = 4³
∴ r = 4

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ,
x = ar^{2 - 1}
= 2 × 4^{2 - 1}
= 2 × 4¹
∴ x = 8

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ,
y = ar^{3 - 1}
= 2 × 4^{3 - 1}
= 2 × 4²
= 2 × 16
∴ y = 32

∴ xy = 8 × 32
= 256

a = 4,
r = 8/4 = 2
∴ সমষ্টি = a.{(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 4.{(2ⁿ - 1)/(2 - 1)
= 4(2ⁿ - 1)
∴ 4(2ⁿ - 1) = 252
বা, 2ⁿ - 1 = 63
বা, 2ⁿ = 64 = 2⁶
∴ n = 6

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদ 3√3 এবং অষ্টম পদ - 27 হলে, ধারাটির 10 তম পদ কোনটি?

সমাধান:
মনে করি, গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r
আমরা জানি,
n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
পঞ্চম পদ, ar⁴ = 3√3 ......... (i)
অষ্টম পদ, ar⁷ = - 27 ......... (ii)

এখন, (ii) নং সমীকরণকে (i) নং দ্বারা ভাগ করলে পাই,
ar⁷/ar⁴ = - 27/(3√3)
⇒ r³ = - 9/√3
⇒ r³ = - (3 × 3)/√3 
⇒ r³ = - 3√3
⇒ r³ = (- √3)³
∴ r = - √3

এখন,
10 তম পদ = ar⁹ = ar⁷ × r²
= (- 27) × ( - √3 )² [যেহেতু ar⁷ = - 27]
= (- 27) × 3 
= - 81

∴ ধারাটির 10ম পদ = - 81

প্রশ্ন: 5 + (5/6) + (5/36) + .............................. ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 5
২য় পদ = 5/6

সুতরাং, ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ
= (5/6)/5
= (5/6) × (1/5)
= 1/6

১ম পদ a = 1 সাধারন অনুপাত r = 1/3<1
∴ ১ম সাতটি পদের সমষ্টি = 1 × 1-(1/3)⁷ / 1-1/3 = 1 - 1/2187 / 2/3 = 2186/2187 × 3/2 = 1093/729

প্রশ্ন: 2, 2√2, 4, ... প্রদত্ত অনুক্রমটির কততম পদ 64?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 2
​∴ সাধারণ অনুপাত, r = (2√2)/2 = √2

আমরা জানি,
​ n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 64
⇒ 2 × (√2)^{n - 1} = 64
⇒ ​(√2)^{n - 1} = 64/2
⇒ (√2)^{n - 1} = 32
⇒ (√2)^{n - 1} = 2⁵
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)^{2 × 5}
​⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1
∴ n = 11

অতএব, প্রদত্ত অনুক্রমটির 11তম পদ হলো 64.

প্রথমপদ (a) = 4
সাধারণ অনুপাত (r) = 8/4 = 2
∴ n পদের সমষ্টি = a.{(rⁿ - 1)/(r - 1)}
= 4.{(2ⁿ - 1)/(2 - 1)}
= 4.(2ⁿ - 1)

এখন 4.(2ⁿ - 1) = 252
বা, 2ⁿ - 1 = 63
বা, 2ⁿ = 64 = 2⁶
∴ n = 6

প্রশ্ন:

সমাধান:

২য় পদ = ar^(2-1) = ar = 40 ........(1)
৪র্থ পদ = ar^(4-1) = ar³ = 160 .......(2)
(2)÷(1) করে পাই,
r² = 4
⇒ r = 2
(1) নং এ মান বসিয়ে পাই,
a = 40/2 = 20
∴ প্রথম পদ = 20

ar² = 20 ..... (1)
ar⁵ = 160 ...... (2)
(2) divided by (1)
r³ = 8
r = 2
So, from (1) we get,
a(2)² = 20
4a = 20
a = 5

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে চতুর্থ পদটি 128 এবং অষ্টম পদটি 2048 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
মনেকরি, ধারাটির প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r
চতুর্থ পদ = 128
∴ ar^{(4 - 1)} = 128
⇒ ar³ = 128 ......(1)
অষ্টম পদ = 2048
∴ ar^{(8 - 1)} = 2048
⇒ ar⁷ = 2048 ......(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁷/ar³ = 2048/128
⇒ r^{(7 - 3)} = 16
⇒ r⁴ = 2⁴
∴ r = 2

এখন, r এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
a × 2³ = 128
⇒ a × 8 = 128
⇒ a = 128/8
∴ a = 16

সুতরাং, প্রথম পদটি হলো 16।

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার চতুর্থ পদ 32 এবং অষ্টম পদ 512 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

চতুর্থ পদ, ar^{4 - 1} = ar³ = 32 .....(1)
অষ্টম পদ, ar^{8 - 1} = ar⁷ = 512 .....(2)

(2) ÷ (1) করে পাই,
⇒ ar⁷/ar³ = 512/32
⇒ r^{7 - 3} = 16
⇒ r⁴ = 16
⇒ r⁴ = 2⁴
∴ r = 2

সুতরাং, সাধারণ অনুপাত 2

প্রশ্ন: 2, 2√2, 4, ... প্রদত্ত অনুক্রমটির কততম পদ 64?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 2
​∴ সাধারণ অনুপাত, r = (2√2)/2 = √2

আমরা জানি,
​ n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 64
⇒ 2 × (√2)^{n - 1} = 64
⇒ ​(√2)^{n - 1} = 64/2
⇒ (√2)^{n - 1} = 32
⇒ (√2)^{n - 1} = 2⁵
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)^{2 × 5}
​⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1
∴ n = 11

অতএব, প্রদত্ত অনুক্রমটির 11তম পদ হলো 64.

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ......... ধারাটির 10 তম পদ কত?

সমাধান: 
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2
∴ প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ হলো ar^{n - 1}

∴ ধারাটির 10-তম পদ = 2 × 2^{10 - 1}
= 2 × 2⁹ 
= 2 × 512
= 1024

a = 1/2, r = 1/6 / 1/2 = 1/3
∴ পরবর্তী পদ = 1/54 × 1/3 = 1/162

প্রশ্ন: 3 + x + y + 192 গুনোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এবং y এর মান নির্ণয় করুন।

সমাধান: 
একটি গুণোত্তর ধারা
ধারাটির ১ম পদ a = 5

আমরা জানি,
n-তম পদ = ar^{n - 1}
∴ চতুর্থ পদ = ar^{4 - 1}
= 3 × r³
প্রশ্নমতে,
3 × r³ = 192
⇒ r³ = 192/3
⇒ r³ = 64 = 4³
∴ r = 4

দ্বিতীয় পদ, x = ar = 3 × 4 = 12
তৃতীয় পদ, y = ar² = 3 × 4² = 48

∴ x = 12, y = 48​ 

প্রশ্ন: .3 + .03 + .003 + .0003+ …….. অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a = .3 = 3/10
অনুপাত r = .03/.3 = 1/10

যেহেতু, 1/10 < 1
∴  অসীম পদের সমষ্টি S∞ = a/(1 - r) 
= (3/10)/{1 - (1/10)}
= (3/10)/(9/10)
= (3/10) × (10/9)
= 1/3

দেওয়া আছে, ধারাটির প্রথম পদ, a = .8 = 8/10
সাধারণত অনুপাত, q = 0.08/0.8
= .08/.8
= 1/10
সুতরাং অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - q)
= 8/10 ÷ (1 - 1/10)
= 8/10 ÷ 9/10
= 8/9

১ম পদ (a) = 2, 
সাধারণ অনুপাত (r) = 6/2 = 3
∴ সপ্তম পদ = ar^7-1 = 2.3⁶ = 1458

প্রশ্ন: 0.3 + 0.03 + 0.003 + .................  ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.3 = 3/10
সাধারণ অনুপাত, r = 0.03/0.3
= 3/30
= 1/10

∴ গুণোত্তর ধারার অসীম পদের সমষ্টি = a/(1 - r) 
= (3/10)/{1 - (1/10} 
= (3/10)/{(10 - 1)/10}
= (3/10)/(10/9)
 = (3/10)/(9/10)
= 1/3

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদটি 6 এবং পঞ্চম পদটি 48 হলে, সধারণ অনুপাত কত?

সমাধান: 
ধরি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r 

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = a × r^{n - 1} 
∴ ২য় পদ = a × r^{2 - 1} = 6
বা, ar = 6 .......... (i)

আবার, 
৫ম পদ = a × r^{5 - 1} = 48
∴ ar⁴ = 48 ...........(¡¡)

(ii) ÷ (i) নং হতে পাই, 
ar⁴/ar = 48/6
বা, r³ = 8 
বা, r³ = 2³
∴ r = 2 

∴ সাধারণ অনুপাত = 2 

মনে করি,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ ar^2-1 = ar = x
৩য় পদ = ar² = y
৪র্থ পদ = ar³ = z
৫ম পদ = ar⁴ = 243

প্রশ্নমতে, ar⁴ = 243
r⁴ = 243/3 = 81
∴ r = 3
∴ x = ar = 3 × 3 = 9
∴ y = ar² = 3 × 3² = 27 
∴ z = ar³ =  3 × 3³ = 81

∴ x, y, z এর সমষ্টি = 9 + 27 + 81 = 117

১ম পদ = a,
সাধারণ অন্তর = r,
∴ ৫ম পদ = ar⁴ = 40 ..... (1)
ষষ্ঠ পদ = ar⁵ = 80 ...... (2)
(2) নং ÷ (1) নং করে পাই,
⇒ r = 2

এখন,
(1) নং থেকে পাই,
a.2⁴ = 40
বা, 16a = 40
∴ a = 2.5