গুণোত্তর ধারা

১ম পদ (a) = 1,
সাধারণ অনুপাত (r) = 2/1 = 2
∴ n-তম পদ = ar^n-1,
বা, 256 = 1.2^n-1
বা, 2⁸ = 2^n-1
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. ধারার প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত? 

সমাধান: 
ধারাটির- 
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 এখানে, r এর মান 1 থেকে বড় তাই

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ - 1)/r - 1
= 1. (2⁸ - 1)/2 - 1
= (256 - 1)/1 
= 255

∴ 8টি পদের সমষ্টি = 255 ।

প্রশ্ন: 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 + ........... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান: 
এখানে, 
১ম পদ, a = 1

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 0.5 ÷ 1 
= (5/10)/1 
= (1/2)/1 
= 1/2 
= 0.5 < 1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার অসীমতক পদের সমষ্টি = a/(1 - r) [যখন r < 1]
= 1/(1 - 0.5) 
= 1/(0.5)
= 1/(1/2)
= 2

এখানে প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার সাধারণ অনুপাত, r = ১২৮/২৫৬ = ১/২
প্রথম পদ, a = ২৫৬ এবং n-তম পদ = ar^(n-1)
শর্তমতে,
ar^(n-১) = ১/২
বা, ২৫৬ × (১/২)^{(n - ১)} = ১/২
বা, (১/২)^{(n - ১)} = ১/(২৫৬ × ২)
বা, (১/২)^{(n - ১)} = ১/৫১২
বা, (১/২)^{(n - ১)} = (১/২)^৯
বা, n - ১ = ৯
বা, n = ৯ + ১
বা, n = ১০

২য় পদ = ar^(2-1) = ar = 40 ........(1)
৪র্থ পদ = ar^(4-1) = ar³ = 160 .......(2)
সমীকরণ (2) কে (1) দ্বারা ভাগ করে পাই,
r² = 4
⇒ r = 2
(1) নং এ r এর মান বসিয়ে পাই,
a = 40/2 = 20
∴ প্রথম পদ = 20

১ম পদ a, এবং সাধারণ অনুপাত r হলে,
২য় পদ ar = -3 .... (1)
৪র্থ পদ ar³ = - 3/16 .... (2)
∴ (2) নং ÷ (1) নং দ্বারা পাই,
ar³/ar = (-3/16)/(-3/1)
বা, r² = (-3/16) × {-(1/3)}
বা, r²  = 1/16
∴ r = ±(1/4)

(1)নং থেকে পাই,
a(±1/4) = -3
∴ a = ±12

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 9 এবং সাধারণ অনুপাত 1/3 হলে ধারাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, 
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 9 
সাধারণ অনুপাত, r = 1/3

আমরা জানি, 
a + ar + ar² + ar³ + .......
= 9 + 9 × (1/3) + 9 × (1/3)² + 9 × (1/3)³ + ....
= 9 + 3 + 1 + 1/3 + .....

∴ গুণোত্তর ধারা 9 + 3 + 1 + 1/3 + .....

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদটি 80 এবং অষ্টম পদটি 640 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি, ধারাটির ১ম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
একটি গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a × r^{n - 1}

∴ পঞ্চম পদ = a × r^{5 - 1} = a × r⁴ = 80 .............(1)
অষ্টম পদ = a × r^{8 - 1} = a × r⁷ = 640  ............(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) নং সমীকরণ দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁷/ar⁴ = 640/80
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

∴ সাধারণ অনুপাত হলো 2

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 +................ ধারাটির 6তম পদ কত?

সমধান:
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3
= 2

আমরা জানি 
nতম পদ = ar^{n - 1}
6তম পদ = a × r ^{6 - 1}
= 3 × 2⁵
= 96

প্রশ্ন: কোনো ধারার n তম পদ n . 3^{n - 1} হলে ধারাটির ১ম পাচটি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
দেয়া আছে,
n তম পদ = n . 3^{n - 1} 

সুতরাং,
⇒ ১ম পদ = 1 . 3^{1 - 1}
= 1 × 3⁰ = 1
⇒ ২য় পদ = 2 . 3^{2 - 1}
= 2 × 3 = 6
⇒৩য় পদ = 3 . 3^{3 - 1}
= 3 × 3² = 27
⇒৪র্থ পদ = 4 . 3^{4 - 1}
= 4 × 3³ = 108
⇒৫ম পদ = 5 . 3^{5 - 1}
= 5 × 3⁴ = 405

১ম পাচটি পদের সমষ্টি = (1 + 6 + 27 + 108 + 405) = 547

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে n তম পদ = arⁿ⁻¹
∴ তৃতীয় পদ ar³⁻¹ = ar² = 20 ...... (i)
∴ ষষ্ঠ পদ ar⁶⁻¹ = ar⁵ = 160 ...... (ii)
এখন, (ii) ÷ (i)
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই -
a.2² = 20
∴ a = 5
সুতরাং, প্রথম পদ = 5

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 16 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে, ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 16
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
পদ সংখ্যা, n = 5

যেহেতু |r| < 1,
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)
∴ প্রথম 5টি পদের সমষ্টি = 16{1 - (1/2)⁵}/{1 - (1/2)}
= 16{1 - (1/32)}/(1/2)
= 16(31/32)/(1/2)
= (16 × 31/32) × 2
= (31/2) × 2
= 31

∴ প্রথম 5টি পদের সমষ্টি 31

১ম পদ (a) = -3
সাধারণ অনুপাত (r) = 6/-3 = -2
∴ (১ম আটটি পদের) সমষ্টি (s) = a.{(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= (-3){(1 - (-2)⁸)/(1 - (-2))}
= (-3){(1 - 256)/3}
= - (-255)
= 255

প্রশ্ন: log2+ log4 + log8 + .............. ধারাটির প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি
= log2 + log4 + log8 + ............... + প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি
= log2¹ + log2² + log2³ +............... + প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি
= 1log2 + 2log2 + 3log2 +  ............... + প্রথম বারোটি পদের সমষ্টি
= log2(1 + 2 + 3 + 4 + ............... + 12)
= log2{12(12 + 1)/2}
= log2(6 × 13)
= log2 × 78
= 78log2

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের ৩য় পদটি 45 এবং ষষ্ঠ পদটি 1215 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = arⁿ⁻¹

প্রশ্ন অনুসারে,
৩য় পদ, ar² = 45..........(১)
৬ষ্ঠ পদ,  ar⁵= 1215..........(২)

এখন,
(২) ÷ (১)
⇒ ar⁵/ar² = 1215/45
⇒ r³ = 27
⇒ r³ = 3³
∴ r = 3
প্রথম পদ, ar²=45
⇒ a × 9 = 45
⇒ a = 45/9​ = 5

সুতরাং ১ম পদ 5

ধরি,
১ম পদ = a,
সাধারন অনুপাত = r
∴ ২য় পদ = ar = 48 ...... (1) এবং
৫ম পদ = ar⁴ = 3/4 …… (2)
(2)নং ÷ (1) নং থেকে পাই,
r³ = 3/4 × 1/48 = 1/64
বা, r = 1/4

প্রশ্ন: 8 + 4√2 + 4 + 2√2+..................... ধারাটির কততম পদ √2?

সমাধান:
 এটি একটি গুণোত্তর ধারা। যার 
১ম পদ, a = 8
এবং সাধারণ অনুপাত, r = 4√2/8 = √2/2 = 1/√2

আমরা জানি, 
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে, 
ar^{n - 1} = √2
⇒ 8 × (1/√2)^{n - 1} = √2
⇒ (1/√2)^{n - 1} = √2/8
⇒ (1/√2)^{n - 1} = √2/(√2)⁶     ; [(√2)⁶ = 8]
⇒ (√2)^{- (n - 1)} = (√2)^{1 - 6}
⇒ - (n - 1) = - 5
⇒ - n + 1 = - 5
⇒ n = 1 + 5
∴ n = 6

অর্থাৎ ৬ষ্ঠ পদটি √2

১ম পদ a = ১
সাধারন অনুপাত r = (১/৩)/১ = ১/৩ < ১
পদ সংখ্যা = ৫
ধারাটির প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি = ‍a(1-rⁿ)/(1-r)
= 1(1-(1/3)⁵)/(1-1/3)
= (1-1/243)/(2/3)
= 121/81

৪, ৩৬, ১০০ ....
= ২^২, ৬^২, ১০^২, ১৪^২ .....
∴ ১৪^২ = ১৯৬

প্রশ্ন:

সমাধান:

প্রশ্ন: 128 + 512 + 2048 + ...... ধারাটির পরবর্তী পদটি কত?

সমাধান:
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 128
দ্বিতীয় পদ = 512
সাধারণ অনুপাত, r = 512 ÷ 128 = 4

∴ চতুর্থ পদ = a × r³
= 128 × 4³
= 128 × 64
= 8192

∴ ধারাটির পরবর্তী পদ হবে 8192

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ............. এই ধারাটির কোন পদের মান 256? 

সমাধান: 
2 + 4 + 8 + 16 + .............
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

∴ n তম পদ = ar^{n - 1}
বা, 2 . 2^{n - 1} = 256
বা, 2^{1 + n - 1} = 256
বা, 2ⁿ = 256
বা, 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

∴ ধারাটির 8তম পদের মান 256.

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9, তাহলে ধারাটির দশম পদ কত? 

সমাধান:
দেওয়া আছে
ধারাটির প্রথম পদ, a = 27
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 9

অতএব সাধারণ অনুপাত, r = 9/27 = 1/3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ দশম পদ, ar^{10 - 1} = 27(1/3)⁹
= (3³ × 1)/(3³ × 3⁶)
= 1/3⁶
= 1/729

সুতরাং, ধারাটির দশম পদ 1/729

প্রশ্ন: 9 + p + q + 72 + ................. একটি গুণোত্তর ধারা হলে, p এর মান কত?

সমাধান:
এখানে ৪র্থ পদ, ar^{4 - 1} = 72
⇒ ar³ = 72 ...........(1)
১ম পদ ,a = 9 .........(2)
(1) ÷ (2) ⇒
ar³/a = 72/9
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
সাধারণ অনুপাত r = 2
২য় পদ, p = 9 × 2 = 18

5 + x + y + 135
ধারাটির ১ম পদ a = 5
সাধারন অনুপাত r = x/5 = y/x -----------------(1)
তাহলে, চতুর্থ পদ = ar^4-1
= 5.(x/5)³
প্রশ্নমতে, 5.(x/5)³ = 135
5x³/5³ = 135
x³ = 135 . 5³/5
x = 15
সমীকরণ ১ থেকে পাই, y = 45

a = 1/3,
r = (1/12)/(1/3)
= 1/12 × 3
= 1/4 < 1
∴ সমষ্টি = a.(1 - rⁿ)/(1 - r)
= 1/3.{1 - (1/4)⁶}/(1 - 1/4)
= (1/3){(1 - 1/4096)/(1 - 1/4)}
= 1/3 × (4095/4096)/(3/4)
= 1/3 × 4095/4096 × 4/3
= 455/1024

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + …………… ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত,
r = 6 ÷ 3 = 2

এখানে r এর মান 1 থেকে বড়, তাই সমষ্টির সূত্র প্রযোজ্য,
প্রথম n টি পদের সমষ্টি,
S_n = a(rⁿ - 1) ÷ (r - 1)

এখন,
S₅ = 3(2⁵ - 1) ÷ (2 - 1)
= 3(32 - 1)
= 3 × 31
= 93

∴ ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি = 93

প্রশ্ন: একজন ছাত্র প্রথম দিনে 1 টি, দ্বিতীয় দিনে 2 টি, তৃতীয় দিনে 4 টি এবং চতুর্থ দিনে 8 টি গাছ রোপণ করে। এভাবে গাছ রোপণ করলে ছাত্রটি 10 দিনে মোট কতটি গাছ রোপণ করবে?

সমাধান:
উপর্যুক্ত শর্তে প্রদত্ত ধারাটি হবে, 1, 2, 4, 8, ......... , 10 
যেখানে,
প্রথম পদ, a = 1 
সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2

n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1) [ যেহেতু r > 1]
∴ ধারাটির 10 টি পদের সমষ্টি,
=1(2¹⁰ - 1)/(2 - 1)
= (2¹⁰ - 1)/1
= 1024 - 1
= 1023

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 24 এবং ষষ্ঠ পদটি 192 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r

তৃতীয় পদ = 24
∴ ar^{3 - 1} = 24
⇒ ar² = 24 ......(1)

ষষ্ঠ পদ = 192
∴ ar^{6 - 1} = 192
⇒ ar⁵ = 192 ......(2)

(2) নং সমীকরণকে (1) দ্বারা ভাগ করলে,
ar⁵/ar² = 192/24
⇒ r^{5 - 2} = 8
⇒ r³ = 2³
⇒ r = 2

(1) নং সমীকরণে r এর মান বসিয়ে পাই,
a × 2² = 24
⇒ a = 24/4
⇒ a = 6

∴ প্রথম পদ হলো 6

প্রশ্ন: 1 + 2 + 3 + 4 + ........... এর ৩য় আংশিক সমষ্টি কত?

সমাধান: 
1 + 2 + 3 + 4 + ........... এর ৩য় আংশিক সমষ্টি = ১ম ৩টি পদের যোগফল 
=  1 + 2 + 3
= 6

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদ 12 এবং ষষ্ঠ পদ 96 হলে, সাধারণ অনুপাত এর মান কত?

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমের n তম পদ = aq^{(n - 1)}
তৃতীয় পদ = aq² = 12......(1)
ষষ্ঠ পদ = aq⁵ = 96...........(2)

(2) নং ÷ (1) নং দ্বারা পাই,
aq⁵/aq² = 96/12
⇒ q³ = 8
⇒ q³ = 2³
⇒ q = 2

এখানে, ৪র্থ পদ aq^4-1 = 135 বা aq³ = 135 ----------- (i)
এবং, প্রথম পদ a = 5 ----------- (ii)
(i) ÷ (ii)⇒
aq³/a = 135/5
q³ = 27
∴ q = 3
অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, q = 3
সুতরাং, x = 5×3 = 15
y = 15×3 = 45

গুণোত্তর অনুক্রমে প্রথম পদ, a
সাধারণ অনুপাত, r হলে অনুক্রমটি হয়-
a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, .......
এখানে, তৃতীয় পদ, ar^২ = ২০ ----(১) এবং
ষষ্ঠ পদ, ar^৫ = ১৬০ ----(২)
এখন, (২)÷(১) করে পাই,
ar^৫/ar^২ = ১৬০/২০
বা, r^৩ = ৮
বা, r^৩ = ২^৩
বা, r = ২
এখন r এর মান (১) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,
ar^২ = ২০
বা, a × ২^২ = ২০
বা, a × ৪ = ২০
বা, a = ৫

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ......... ধারাটির 10তম পদ কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = arn - 1

∴ 10 তম পদ = 2 × 210 - 1 
= 2 × 29
= (2 × 512)
= 1024