গুণোত্তর ধারা

PrepBank · পাতা ২ / ১০ · ১০১–২০০ / ৯৮৩

১০১.

7 + p + q + 448 + .......... একটি গুণোত্তর ধারা হলে (p, q) = কত?

ক
(21, 110)
খ
(28, 112)
গ
(20, 196)
ঘ
(16, 108)

সঠিক উত্তর: খ

(28, 112)

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

(28, 112)

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + p + q + 448 + .......... একটি গুণোত্তর ধারা হলে (p, q) = কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ ৪র্থ পদ, ar^{4 - 1} = 448
⇒ 7 · r³ = 448
⇒ r³ = 448/7
⇒ r³ = 64
⇒ r³ = 4³
∴ r = 4

২য় পদ, p = ar^{2 - 1} = ar = 7 × 4 = 28
৩য় পদ, q = ar^{3 - 1} = ar² = 7 × 4²= 7 × 16 = 112
∴ (p, q) = (28, 112)

১০২.

5 + 5√3 + 15 + 15√3 + .......... ধারাটির কোন পদটি 135 হবে?

ক
৭ম
খ
৮ম
গ
৯ম
ঘ
১০ম

সঠিক উত্তর: ক

৭ম

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৭ম

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 5√3 + 15 + 15√3 + .......... ধারাটির কোন পদটি 135 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ = 5√3/5 = √3
১ম পদ a = 5
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 135
⇒ 5 × (√3)^{n - 1} = 135
⇒ (√3)^{n - 1} = 27
⇒ (3^1/2)^{n - 1} = 3³
⇒ 3^{(n - 1)/2} = 3³
⇒ (n - 1)/2 = 3
⇒ n - 1 = 6
∴ n = 7
অতএব, ধারাটির ৭ম পদটি 135 হবে।

১০৩.

25 + 50 + 100 + ...... + 3200 ধারাটির সমষ্টি কত?

ক
6525
খ
6375
গ
6890
ঘ
7100

সঠিক উত্তর: খ

6375

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

6375

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 25 + 50 + 100 + ...... + 3200 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 25
সাধারণ অনুপাত, r = 50/25 = 2

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 3200
⇒ 25 × 2^{n - 1} = 3200
⇒ 2^{n - 1} = 3200/25
⇒ 2^{n - 1} = 128
⇒ 2^{n - 1} = 2⁷
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির সমষ্টি Sn = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= {25 × (2⁸ - 1)}/(2 - 1)
= 25 × (256 - 1)
= 25 × 255
= 6375

১০৪.

2 + 6 + 18 + ............. ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

ক
3⁸ - 1
খ
3⁹ - 1
গ
3¹⁰ - 1
ঘ
3¹¹ - 1

সঠিক উত্তর: গ

3¹⁰ - 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

3¹⁰ - 1

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + ............. ধারাটির প্রথম 10টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3 > 1
ধারাটির পদ সংখ্যা, n = 10

আমরা জানি,
প্রথম 10টি পদের সমষ্টি ‍S₁₀ = a (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 2 × (3¹⁰- 1)/(3 - 1)
= 2 × (3¹⁰ - 1)/2
= 3¹⁰ - 1

১০৫.

27, - 9, 3, - 1........... সপ্তম তম পদ কত?

ক
1/27
খ
27
গ
- 1/27
ঘ
1/9

সঠিক উত্তর: ক

1/27

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

1/27

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 27, - 9, 3, - 1........... সপ্তম তম পদ কত?

সমাধান:
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা,
যার ১ম পদ, a = 27
সাধারণ অনুপাত, r = - 9/27 = - 1/3
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
গুণোত্তর ধারার 7 তম পদ = 27 × (- 1/3)⁷^-¹
= 27 × (- 1/3)⁶
= 3³ × (1/3⁶)
= 1/3³
= 1/27

১০৬.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমের তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 6
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 8

সঠিক উত্তর: ক

ক) 5

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 5

ক

ব্যাখ্যা

১ম পদ = a,
সাধারন অনুপাত r হলে,
৩য় পদ = ar^{3 - 1}= ar² = 20.....(1)
ষষ্ঠ পদ =ar^{6 - 1}= ar⁵ = 160.....(2)

(2)নং ÷ (1) নং দ্বারা পাই,
r³ = 8
r³ = 2³
∴ r = 2

(1)নং এ r এর মান বসিয়ে পাই,
ar² = 20
a2² = 20
a. 4 = 20
a = 20/4
a = 5

১০৭.

একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা এবং x = 3/2 হলে ধারাটির অষ্টম পদ কত?

ক
ক) 1/4⁷
খ
খ) 1/2⁸
গ
গ) 1/4⁸
ঘ
ঘ) 1/4⁹

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1/4⁸

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1/4⁸

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা এবং x = 3/2 হলে ধারাটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান:

ধারাটির ১ম পদ, a = 1/4
সাধারণ অনুপাত, r = (1/4²)/(1/4) = 1/4

ধারাটির ৮ম পদ = ar^{8 - 1} = ar⁷
= 1/4 × (1/4)⁷
= 1/4⁸

১০৮.

3 + 6 + 12 + 24 +....... ধারাটির 12 তম পদ কত?

ক
6144
খ
12288
গ
4096
ঘ
7168

সঠিক উত্তর: ক

6144

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

6144

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 +....... ধারাটির 12 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে, এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2
আমরা জানি, n তম পদ = ar^{(n - 1)}
∴ 12 তম পদ = 3 × 2^{(12 - 1)}
= 3 × 2¹¹
= 3 × 2048
= 6144

১০৯.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 10

সঠিক উত্তর: গ

গ) 5

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 5

গ

ব্যাখ্যা

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে
n তম পদ = ar^n-1
∴ তৃতীয় পদ, ar^3-1 = ar² = 20 ............ (i)
∴ ষষ্ঠ পদ, ar^6-1 = ar⁵ = 160 ......... (ii)
এখন, (ii) নং সমীকরণকে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই প্রথম পদ-
a.2² = 20
∴ a = 5

১১০.

3 + 6 + 12 + ..................... ধারাটির কোন পদ 384 ?

ক
ক) 6
খ
খ) 7
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 9

সঠিক উত্তর: গ

গ) 8

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 8

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + ..................... ধারাটির কোন পদ 384 ?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 3
সাধারণ অনুপাত r= 6/3 = 2

n-তম পদ = ar^{n -1}
384 = 3.2^{n -1}
384/3 = 2^{n -1}
128 = 2^{n -1}
2^{n - 1} = 2⁷
n - 1 = 7
n = 7 + 1
n = 8

১১১.

20, 25, 30,….140 ধারাটিতে মোট কতগুলো পদ আছে?

ক
ক) ২৫ টি
খ
খ) ২৪ টি
গ
গ) ২৩ টি
ঘ
ঘ) ২২ টি

সঠিক উত্তর: ক

ক) ২৫ টি

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) ২৫ টি

ক

ব্যাখ্যা

আমরা জানি,
n তম পদ = a + (n-1)d
20 +(n-1)5 = 140
n = 25

১১২.

1/2, 1/√2, 1, √2 ধারাটির কোন পদ 16 হবে?

ক
9
খ
10
গ
11
ঘ
12

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

a = 1/2,
r = 1/√2 ÷ 1/2
= 1/√2 × 2
= √2
∴ n তম পদ = ar^n-1= 16
বা, 1/2 × (√2)^n-1 = 16
বা, (2^1/2)^{(n - 1)} = 32
বা, 2^{(n - 1)/2} = 2⁵
বা, (n - 1)/2 = 5
বা, n - 1 = 10
∴ n = 11

১১৩.

একটি গুণোত্তর ধারার ২য় পদ 25 এবং ষষ্ঠ পদ 1/25 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 1/5
গ
গ) -5
ঘ
ঘ) -1/5

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1/5

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1/5

খ

ব্যাখ্যা

ধরি, গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a
সাধারণ অনুপাত r
∴ ২য় পদ = ar^(2-1) = ar = 25 ........(1)
ষষ্ঠ পদ = ar^(6-1) = ar⁵ = 1/25 .......(2)
(2)÷(1) করে পাই,
r⁴ = (1/5)⁴
⇒ r = 1/5
∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 1/5

১১৪.

7 + a + b + 189 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে b এর মান কত ?

ক
ক) 56
খ
খ) 57
গ
গ) 61
ঘ
ঘ) 63

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 63

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 63

ঘ

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারার প্রথম পদ, a₁ = 7
দ্বিতীয় পদ = a
তৃতীয় পদ = b
এবং চতুর্থ পদ = 189

মনে করি,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r

ধারাটির চতুর্থ পদ = a₁r^{4 -1}
7r³ = 189
বা, r³ = 189/7
বা, r³ = 27
বা, r³ = 3³
বা, r = 3

তৃতীয় পদ, b = a₁r^{3 - 1}
= a₁r²
= 7.3²
= 7.9
= 63

১১৫.

3 + 6 + 12 + 24 + ......... ধারাটির 9তম পদ কত?

ক
566
খ
458
গ
788
ঘ
768

সঠিক উত্তর: ঘ

768

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

768

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 + ......... ধারাটির 9তম পদ কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির,
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = a r^{(n - 1)}
∴ 9 - তম পদ = 3 × 2^{(9 - 1)}
= 3 × 2⁸
= 3 × 256
= 768

১১৬.

০.৬ + ০.০০৬ + ০.০০০০৬ +.................. ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল:

ক
২০/৩৩
খ
২/৩৭
গ
৫/৮৮
ঘ
২/১০৯

সঠিক উত্তর: ক

২০/৩৩

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

২০/৩৩

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০.৬ + ০.০০৬ + ০.০০০০৬ +.................. ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-

সমাধান:
০.৬ + ০.০০৬+০.০০০০৬ +.................
= ০.৬ + ০.৬ × ০.০১ + ০.৬ × (০.০১)^২....................

এখানে,
a = ০.৬, r = ০.০১ < ১

অসীম পদের সমষ্টি S_∞ = a/(১ - r)
= ০.৬/(১ - ০.০১)
= ০.৬/০.৯৯
= ৬০/৯৯
= ২০/৩৩

১১৭.

1 + (1/2) + (1/4) +...... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 31/16 হলে n এর মান কত?

ক
4
খ
5
গ
7
ঘ
8

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) +...... ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি 31/16 হলে n এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1 = 1/2 যা 1 থেকে ছোট

ধরি,
n-তম পদের সমষ্টি = 31/16
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a{(1 - rⁿ)/(1 - r)} [ r < 1]

প্রশ্নমতে,
a{(1 - rⁿ)/(1 - r)} = 31/16
⇒ 1 × {1 - (1/2)ⁿ}/{1 - (1/2)} = 31/16
⇒ {1 - (1/2)ⁿ}/{(2 - 1)/2} = 31/16
⇒ {1 - (1/2)ⁿ}/(1/2) = 31/16
⇒ {1 - (1/2)ⁿ} = (31/16) × (1/2)
⇒ {1 - (1/2)ⁿ} = 31/32
⇒ (1/2)ⁿ= 1 - (31/32)
⇒ (1/2)ⁿ = (32 - 31)/32
⇒ (1/2)ⁿ = 1/32
⇒ (1/2)ⁿ = (1/2)⁵
⇒ n = 5

১১৮.

84 + 42 + 21 +....... ধারাটির অষ্টম পদ কত?

ক
11/32
খ
21/32
গ
21/35
ঘ
21/39

সঠিক উত্তর: খ

21/32

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

21/32

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 84 + 42 + 21 +....... ধারাটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ a = 84
সাধারণ অন্তর d = 42/84 = 1/2

অষ্টম পদ = arn - 1
= 84 (1/2)8 - 1
= 84 (1/2)7
= 84/128
= 21/32

১১৯.

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …………. গুণোত্তর ধারাটির ৮ম পদ কত?

ক
ক) 1/32
খ
খ) 1/64
গ
গ) 0.016
ঘ
ঘ) 1/128

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 1/128

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 1/128

ঘ

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
আমরা জানি,
৮ম পদ = ar^{(8 - 1)}
= ar⁷
= 1 × (1/2)⁷
= 1 / 128

১২০.

5 - 10 + 20 - 40 + ................ ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

ক
55
খ
65
গ
25
ঘ
64

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 - 10 + 20 - 40 + ................ ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = (- 10)/5 = - 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n টি পদের সমষ্টি,
S_n = {a (1 - rⁿ)}/(1 - r)

∴ S₅ = [5{1 - (- 2)⁵ }]/{1 - (- 2)}
= {5 × (1 + 32)}/3
= 165/3
= 55

১২১.

ক
১
খ
৩/৪
গ
০.৬
ঘ
অসীমতক সমষ্টি নেই

সঠিক উত্তর: ক

১

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

১

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন:

সমাধান:

১২২.

7 + x + y + 2401 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

ক
115
খ
49
গ
249
ঘ
343

সঠিক উত্তর: ঘ

343

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

343

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + x + y + 2401 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
২য় পদ = ar^{2 - 1}= 7r = x
৩য় পদ = ar^{3 - 1} = 7r² = y
৪র্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 2401
বা, 7r³ = 2401
বা, r³ = 2401/7
বা, r³ = 343
বা, r³ = 7³
বা, r = 7

∴ y = 7 × 7² = 343

১২৩.

2 - 4 + 8 - 16 +.................. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

ক
86
খ
- 452
গ
540
ঘ
− 682

সঠিক উত্তর: ঘ

− 682

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

− 682

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 +.................. ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 4/2 = - 2
পদ সংখ্যা, n = 10

∴ প্রথম 10 পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)
= 2{1 - (- 2)¹⁰}/{1 - (- 2)}
= {2 × (1 - 1024)}/3
= {2 × (- 1023)}/3
= − 682

১২৪.

গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং চতুর্থ পদ 40 হয়, তবে সাধারণ অনুপাত কত?

ক
2
খ
3
গ
4
ঘ
5

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 5 এবং চতুর্থ পদ 40 হয়, তবে সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত, r

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ, a_n = a × r^{n - 1}
চতুর্থ পদ a₄= 40 এর মান বসিয়ে পাই,
a₄ = a × r^{4 - 1}⇒ 40 = a × r^{4 - 1}⇒ 40 = 5 × r³
⇒ r³= 40/5
⇒ r³= 8 = 2³
∴ r = 2

∴ সাধারণ অনুপাত হলো = 2

১২৫.

0.5 + 0.05 + 0.005 + .......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
2/9
খ
5/7
গ
3/5
ঘ
5/9

সঠিক উত্তর: ঘ

5/9

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

5/9

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.5 + 0.05 + 0.005 + .......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.5 = 5/10 =1/2
সাধারণত অনুপাত, r = 0.05/0.5
= 1/10 < 1

সুতরাং অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/2) ÷ (1 - 1/10)
= (1/2) ÷ 9/10
= (1/2) × (10/9)
= 5/9

১২৬.

(1/√2) + 1 + √2 + .................. ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

ক
9 তম পদ
খ
10 তম পদ
গ
11 তম পদ
ঘ
12 তম পদ

সঠিক উত্তর: ক

9 তম পদ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

9 তম পদ

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/√2) + 1 + √2 + .................. ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা, কারণ এদের সাধারণ অনুপাত, r = ২য় পদ/১ম পদ = 1/(1/√2) = √2
১ম পদ a = 1/√2
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/√2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2^{- 1}) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2)^{- 1 + n - 1} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 2} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 2} = 2³ × √2
⇒ (√2)^{n - 2} = {(√2)²}³ × √2
⇒ (√2)^{n - 2} = (√2)⁶ × √2¹
⇒ (√2)^{n - 2} = (√2)^{6 + 1}
⇒ (√2)^{n - 2} = (√2)⁷
⇒ n - 2 = 7
∴ n = 9

১২৭.

3 + x + y + z + 243 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এবং z এর সমষ্টি নির্ণয় করুন।

ক
108
খ
98
গ
124
ঘ
117

সঠিক উত্তর: ক

108

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

108

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + x + y + z + 243 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এবং z এর সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 3
ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r
∴ ২য় পদ ar^2-1 = ar = x
৩য় পদ = ar² = y
৪র্থ পদ = ar³ = z
৫ম পদ = ar⁴ = 243

প্রশ্নমতে,
ar⁴ = 243
⇒ r⁴ = 243/3 = 81
∴ r = 3

এখন,
∴ x = ar = 3 × 3 = 9
∴ y = ar² = 3 × 3² = 27
∴ z = ar³ = 3 × 3³ = 81

∴ y, z এর সমষ্টি = 27 + 81 = 108

১২৮.

1/√2, 1, √2,............... ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

ক
৯তম পদ
খ
১০তম পদ
গ
১১তম পদ
ঘ
১২তম পদ

সঠিক উত্তর: ক

৯তম পদ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

৯তম পদ

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/√2, 1, √2,............... ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

সমাধান:
এখানে,
প্রথমপদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = √2

ধরি,
r তম পদ হবে = 8√2

প্রশ্নমতে,
ar^{n -1} = 8√2
বা, (1/√2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
বা, (√2)^{n - 1} = 8√2 × √2
বা, (√2)^{n - 1} = (√2)⁶ × √2 × √2
বা, (√2)^{n - 1} = (√2)⁸
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9

৯ তম পদ = 8√2

১২৯.

২ - ৫ - ১২ - ১৯ …… ধারাটির ১২ তম পদ কত?

ক
ক) -৬০
খ
খ) -৬৫
গ
গ) -৭০
ঘ
ঘ) -৭৫

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) -৭৫

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) -৭৫

ঘ

ব্যাখ্যা

ধারাটির প্রথম পদ a = ২
সাধারণ অন্তর d = -৫ - ২ = -৭
∴ ১২ তম পদ
= a+(n-1)d
= ২ +(১২ -১)(-৭)
= -৭৫

১৩০.

0.75 + 0.0075 + 0.000075 +......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

ক
25/33
খ
9/11
গ
13/11
ঘ
28/33

সঠিক উত্তর: ক

25/33

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

25/33

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.75 + 0.0075 + 0.000075 +......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে, এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.75
সাধারণ অনুপাত, r = 0.0075 / 0.75 = 0.01
যেহেতু |r| < 1, তাই ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল নির্ণয় করা সম্ভব।
অসীম ধারার সমষ্টির সূত্র, S = a/(1 - r)
= 0.75/(1 - 0.01)
= 0.75/0.99
= 75/99
= 25/33
সুতরাং, ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল হলো 25/33।

১৩১.

4 + 8 + 16 + ----------- ধারাটির সাধারণ পদ কত?

ক
2^n-1
খ
2ⁿ⁺¹
গ
4^n-1
ঘ
8^n-1

সঠিক উত্তর: খ

2ⁿ⁺¹

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

2ⁿ⁺¹

খ

ব্যাখ্যা

4 + 8 + 16 + -----------
ধারাটির প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 2
সুতরাং ধারাটির সাধারণ তথা n তম পদ = ar^n-1
= 4.2^n-1
= 2².2^n-1
= 2^2+n-1
= 2ⁿ⁺¹

১৩২.

64 + 32 + 16 + 8 +.................. ধারাটির অষ্টম পদ কত?

ক
2
খ
1/2
গ
1/4
ঘ
-1/2

সঠিক উত্তর: খ

1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1/2

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + 8 +.................. ধারাটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 = 1/2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - 1}

∴ ধারাটির 8-তম পদ = 64 × (1/2)^{8 - 1}
= 64 × (1/2⁷)
= 2⁶ × (1/2⁷)
= 1/2

১৩৩.

(1/2) + (1/√2) + 1 + ...... ধারাটির কোন পদ 8√2 ?

ক
7
খ
11
গ
10
ঘ
13

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/2) + (1/√2) + 1 + ...... ধারাটির কোন পদ 8√2 ?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1/2
সাধারণ অনুপাত, r = (1/√2) ÷ (1/2) = √2
∴ n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 8√2
⇒ ar^{n - 1} = 8√2
⇒ (1/2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 1} = 16√2
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)⁹
⇒ n - 1 = 9
∴ n = 10

∴ 10 তম পদ = 8√2

১৩৪.

3 + 3√2 + 6 + 6√2 + ......... ধারাটির কোন পদ 384 হবে?

ক
13 তম
খ
14 তম
গ
15 তম
ঘ
16 তম

সঠিক উত্তর: গ

15 তম

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

15 তম

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 3√2 + 6 + 6√2 + ......... ধারাটির কোন পদ 384 হবে?

সমাধান:
১ম পদ a = 3
সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ
= 3√2/3 = √2
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1}= 384
⇒ 3 × (√2)^{n - 1} = 384
⇒ (√2)^{n - 1} = 128
⇒ (2^1/2)^{n - 1} = 2⁷
⇒ 2^{(n - 1)/2} = 2⁷
⇒ (n - 1)/2 = 7
⇒ n - 1 = 14
∴ n = 15

১৩৫.

1³ + 2³ + 3³ + ...........+ n³ = 225, n এর মান কত?

ক
ক) 5
খ
খ) 6
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 8

সঠিক উত্তর: ক

ক) 5

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 5

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1³ + 2³ + 3³ + ...........+ n³ = 225, n এর মান কত?

সমাধান:
1³+ 2³+ 3³ +...........+n³ = 225
{n(n + 1)/2}² = 225
n(n + 1)/2 = 15
n(n + 1) = 30
n² + n - 30 = 0
n² + 6n - 5n - 30= 0
n(n + 6) - 5(n + 6) = 0
(n - 5)(n + 6) = 0

হয় অথবা
n - 5 = 0 n + 6 = 0
n = 5 n = - 6 [গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

১৩৬.

১২৮, ৬৪, ৩২ ... ধারাটির নবম পদ কত?

ক
ক) ১/২
খ
খ) ১/৩
গ
গ) ১/৪
ঘ
ঘ) ১/৫

সঠিক উত্তর: ক

ক) ১/২

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) ১/২

ক

ব্যাখ্যা

১ম পদ (a) = ১২৮,
সাধারণ অনুপাত (r) = ৬৪/১২৮ = ১/২
∴ নবম পদ = a.r^{n - 1}
= ১২৮ × (১/২)^{৯ - ১}
= ১২৮ × (১/২)^৮
= ১২৮/২৫৬
= ১/২

১৩৭.

2 + 4 + 8 + 16 + .............. ধারাটির কততম পদের মান 512 হবে?

ক
7
খ
8
গ
9
ঘ
5

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + .............. ধারাটির কততম পদের মান 512 হবে?

সমাধান:
2 + 4 + 8 + 16 +..............
এখানে,
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4\2 = 2
∴ n তম পদ = ar^{n- 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n- 1} = 512
বা, 2 × 2^{n- 1} = 512
বা, 2^{n - 1} = 256
বা, 2^{n - 1} = 2⁸
বা, n - 1 = 8
বা, n = 8 + 1
∴ n = 9

∴ ধারাটির 9ম পদের মান 512 হবে।

১৩৮.

1 + 1/2 + 1/4 + .................. ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 23/16
খ
খ) 21/16
গ
গ) 33/16
ঘ
ঘ) 31/16

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 31/16

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 31/16

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 1/2 + 1/4 + .................. ধারাটির প্রথম 5টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে
১ম পদ a = 1
সাধারণ অনুপাত r = (1/2) ÷ 1
= 1/2

প্রথম ৫টি পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r )
= 1{1 - (1/2)5}/{1 - 1/2}
= 1{(32 - 1)/32}/(1/2)
= (31/32)/(1/2)
= (31/32) × (2/1)
= 31/16

১৩৯.

5 + (5/3) + (5/9) + ....................ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক
1/3
খ
1/5
গ
1
ঘ
1/2

সঠিক উত্তর: ক

1/3

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

1/3

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + (5/3) + (5/9) + .....................ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ = 5
২য় পদ = 5/3

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ
= (5/3)/5
= (5/3) × (1/5)
= 1/3

১৪০.

কোনো গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ 36 এবং ৪র্থ পদ 108 হলে, ধারাটির প্রথম পদ কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 4
ঘ
ঘ) 6

সঠিক উত্তর: গ

গ) 4

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 4

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার ৩য় পদ 36 এবং ৪র্থ পদ 108 হলে, ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
এখানে
৩য় পদ = 36 এবং
৪র্থ পদ = 108

সাধারণ অনুপাত, r = 108/36 = 3
ধারাটির প্রথম পদ = a
৩য় পদ = ar^{3 -1} = 36
a3² = 36
9a = 36
a = 36/9
a = 4

১৪১.

128 + 64 + 32 +........... ধারাটির কোন পদ 1/8 হবে?

ক
10
খ
12
গ
9
ঘ
11

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 +........... ধারাটির কোন পদ 1/8 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 128
সাধারণ অনুপাত, r = 64/128 = 1/2
n-তম পদ = 1/8

আমরা জানি,
n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^{n - 1} = 1/8
⇒ 128 × (1/2)^{n - 1} = 1/8
⇒ (1/2)^{n - 1} = 1/(8 × 128)
⇒ (1/2)^{n - 1} = 1/1024
⇒ (1/2)^{n - 1} = (1/2)¹⁰
⇒ n - 1 = 10
⇒ n = 10 + 1
⇒ n = 11

সুতরাং, ধারাটির 11 তম পদ = 1/8

১৪২.

12 + 24 + 48 + .............ধারাটির কোন পদ 384?

ক
8
খ
7
গ
6
ঘ
9

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

ধারাটির প্রথম পদ a = 12
সাধারণ অনুপাত r= 2

ধরি
n-তম পদ = 384

n-তম পদ = ar^n-1
384 = 12.2^n-1
32 = 2^n-1
2^{n - 1}= 2⁵
n - 1 = 5
n = 1 + 5
n = 6

১৪৩.

(1/4) - (1/6) + (1/9) - (2/7) + ………. ধারাটির সাধারণ অনুপাতের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক হবে?

ক
সাধারণ অনুপাত ০ অপেক্ষা ছোট হবে
খ
সাধারণ অনুপাত ০ অপেক্ষা বড় হবে
গ
সাধারণ অনুপাত ধনাত্মক হবে
ঘ
সাধারণ অনুপাত 1 অপেক্ষা বড় হবে

সঠিক উত্তর: ক

সাধারণ অনুপাত ০ অপেক্ষা ছোট হবে

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

সাধারণ অনুপাত ০ অপেক্ষা ছোট হবে

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/4) - (1/6) + (1/9) - (2/7) + ………. ধারাটির সাধারণ অনুপাতের ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক হবে?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/4
এবং সাধারণ অনুপাত, r = (- 1/6)/(1/4) = - 2/3 < 0

সুতরাং, সাধারণ অনুপাত ০ অপেক্ষা ছোট হবে।

১৪৪.

প্রথম দিনে 1 টাকা, দ্বিতীয় দিনে 2 টাকা, তৃতীয় দিনে 4 টাকা, চতুর্থ দিনে 8 টাকা, এরূপে প্রতিদিন ব্যাংকে জমা রাখলে 10 দিনে মোট কত টাকা হবে?

ক
1023 টাকা
খ
1029 টাকা
গ
1114 টাকা
ঘ
1131 টাকা

সঠিক উত্তর: ক

1023 টাকা

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

1023 টাকা

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রথম দিনে 1 টাকা, দ্বিতীয় দিনে 2 টাকা, তৃতীয় দিনে 4 টাকা, চতুর্থ দিনে 8 টাকা, এরূপে প্রতিদিন ব্যাংকে জমা রাখলে 10 দিনে মোট কত টাকা হবে?

সমাধান:
1 + 2 + 4 + 8 + ...... 10টি পদের সমষ্টি।
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা যার,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, q = 2/1 = 2
পদসংখ্যা, n = 10

10-টি পদের সমষ্টি = a · {(qn - 1)/(q - 1)}
= 1 · {(210 - 1)/(2 - 1)}
= 210 - 1
= 1024 - 1
= 1023

১৪৫.

0.1 + 0.01 + 0.001 + ..................... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

ক
1/10
খ
1/9
গ
1/6
ঘ
1/5

সঠিক উত্তর: খ

1/9

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1/9

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.1 + 0.01 + 0.001 + ..................... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 0.1 = 1/10
সাধারণ অনুপাত, r = 0.01/0.1 = 1/10

গুণোত্তর ধারার অসীম পদের সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/10)/{1 - (1/10)}
= (1/10)/{(10 - 1)/10}
= (1/10)/(9/10)
= (1/10) × (10/9)
= 1/9

১৪৬.

64 + 32 + 16 + .............. ধারাটির কোন পদ 1/2?

ক
ক) 6ষ্ঠ
খ
খ) 7ম
গ
গ) 8ম
ঘ
ঘ) 9ম

সঠিক উত্তর: গ

গ) 8ম

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 8ম

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + .............. ধারাটির কোন পদ 1/2?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 32/64 = 1/2
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধরি, ধারাটির n তম পদ = 1/2

∴ ar^{n - 1} = 1/2
⇒ 64 × (1/2)^{n - 1} = 1/2
⇒ (1/2)^{n - 1} = 1/(2 × 64)
⇒ (1/2)^{n - 1} = 1/128
⇒ (1/2)^{n - 1} = (1/2)⁷
⇒ n - 1 = 7
∴ n = 8

∴ ধারাটির 8ম পদ 1/2

১৪৭.

2 + 4 + 8 + 16 +................... ধারাটির প্রথম নয়টি পদের সমষ্টি কত?

ক
824
খ
982
গ
1022
ঘ
1024

সঠিক উত্তর: গ

1022

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

1022

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +................... ধারাটির প্রথম নয়টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ a = 2
সাধারণ অনুপাত r = 4/2 = 2

9 টি পদের সমষ্টি = a · {(r⁹- 1)/(r - 1)}
= 2 · {(2⁹- 1)/(2 - 1)}
= 2 · {(512 - 1)/1}
= 1022

১৪৮.

7, p, q, 189 একটি গুণোত্তর ধারা হলে p ও q এর মান কত?

ক
21, 42
খ
42, 63
গ
21, 63
ঘ
21, 84

সঠিক উত্তর: গ

21, 63

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

21, 63

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7, p, q, 189 একটি গুণোত্তর ধারা হলে p ও q এর মান কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
ধারাটির ৪র্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³
⇒ ar³ = 189
⇒ 7r³ = 189
⇒ r³ = 189/7 = 27
∴ r = 3
ধারাটির দ্বিতীয় পদ, p = ar¹ = 7 × 3 = 21
ধারাটির তৃতীয় পদ, q = ar² = 7 × 3² = 63

১৪৯.

64 + 32 + 16 + 8 + ..... ধারাটির ৮ম পদ কত?

ক
1
খ
2
গ
1/2
ঘ
3/2

সঠিক উত্তর: গ

1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

1/2

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + 8 + ..... ধারাটির ৮ম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
32 ÷ 64 = 1/2
16 ÷ 32 = 1/2
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা।

ধারাটির প্রথম পদ, a = 64
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
পদ, n = 8

আমরা জানি,
n তম পদ, ar^{n -1}
∴ ৮ম পদ = 64 × (1/2)^{8 - 1}
= 64 × (1/2)⁷
= 64 × 1/128
= 64/128
= 1/2

১৫০.

128 + 64 + 32 + ............ ধারাটির কোন পদ 1/4 ?

ক
ক) 9
খ
খ) 10
গ
গ) 11
ঘ
ঘ) 12

সঠিক উত্তর: খ

খ) 10

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 10

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 128 + 64 + 32 + ............ ধারাটির কোন পদ 1/4 ?

সমাধান:
এখানে
a = 128
r = 64/128 = 1/2

ধরি,
n তম পদ = 1/4

প্রশ্নমতে,
ar^n-1 = 1/4
বা, 128 × (1/2)^{n - 1} = 1/4
বা, (1/2)^{n -1} = 1/512
বা, (1/2)^{n -1} = (1/2)⁹
বা, n - 1 = 9
বা, n = 9 + 1
∴ n = 10

১৫১.

1 + (-1/2)ⁿ সাধারণ পদটির অনুক্রম কি হবে?

ক
1/2, 5/4, 7/8, 17/16,------
খ
3/2, 3/4, 10/9,15/16,-----
গ
1/2, 5/4, 7/8, 15/16,------
ঘ
3/2, 5/4, 7/8. 17/16,------

সঠিক উত্তর: ক

1/2, 5/4, 7/8, 17/16,------

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

1/2, 5/4, 7/8, 17/16,------

ক

ব্যাখ্যা

1 + (-1/2)ⁿ সাধারণ পদটিতে,
n = 1 হলে, প্রথম পদটি = 1/2
n = 2 হলে, প্রথম পদটি = 5/4
n = 3 হলে, প্রথম পদটি = 7/8
n = 4 হলে, প্রথম পদটি = 17/16
-------------------------------
-------------------------------
অনুক্রমটি ঃ 1/2, 5/4, 7/8, 17/16, --------------------

১৫২.

2 + x + y + 16 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, xy এর মান কত?

ক
32
খ
40
গ
56
ঘ
24

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + x + y + 16 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, xy এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 2

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
ar^4-1 = 16
⇒ ar³ = 16
⇒ 2 . r³ = 16
⇒ r³ = 8 = 2³
∴ r = 2

∴ ধারাটির দ্বিতীয় পদ,
x = ar^{2 - 1}
= 2 × 2^{2 - 1}
∴ x = 4

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ,
y = 2 × 2^{3 - 1}
= 2 × 2²
∴ y = 8

∴ xy = 4 × 8
= 32

১৫৩.

4 + 8 + 16 + 32 + .... ধারাটির n পদের সমষ্টি 508 হলে n = ?

ক
ক) 7
খ
খ) 8
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 10

সঠিক উত্তর: ক

ক) 7

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 7

ক

ব্যাখ্যা

ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
১ম পদ (a) = 4,
সাধারন অনুপাত r = 2
∴ n পদের সমষ্টি = a.{(rⁿ - 1)/(r - 1)} = 508
বা, 4 × {(2ⁿ - 1)/(2 - 1)} = 508
বা, 4(2ⁿ - 1) = 508
বা, 2ⁿ-1 = 127
বা, 2ⁿ = 128 = 2⁷
∴ n = 7

১৫৪.

গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a, সাধারণ অনুপাত r এবং পদ সংখ্যা n হলে, n সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 1 + ar + ar² + ar³ + --- --- --- + ar^{n - 1}
খ
খ) a + ar + ar² + ar³ + --- --- --- + ar^{n + 1}
গ
গ) a + ar + ar² + ar³ + --- --- --- + arⁿ
ঘ
ঘ) a + ar + ar² + ar³ + --- --- --- + ar^{n - 1}

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) a + ar + ar² + ar³ + --- --- --- + ar^{n - 1}

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) a + ar + ar² + ar³ + --- --- --- + ar^{n - 1}

ঘ

ব্যাখ্যা

গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a, সাধারণ অনুপাত r এবং পদ সংখ্যা n হলে, n সংখ্যক পদের সমষ্টি
= a + ar + ar² + ar³ + --- --- --- + ar^{n - 1}

১৫৫.

একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 12 এবং পঞ্চম পদ 324 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক
9
খ
5
গ
27
ঘ
3

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার দ্বিতীয় পদ 12 এবং পঞ্চম পদ 324 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

∴ ২য় পদ, ar^{2 - 1} = ar = 12 ........ (1)
পঞ্চম পদ = ar^{5 - 1} = ar⁴ = 324 ....... (2)

(2) ÷ (1) করে পাই,
⇒ ar⁴/ar = 324/12
⇒ r³ = 27 = 3³
∴ r = 3

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 3

১৫৬.

3 + 6 + 12 + 24 +................ ধারাটির নবম পদ কত?

ক
640
খ
384
গ
512
ঘ
768

সঠিক উত্তর: ঘ

768

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

768

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + 24 +................ ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ a = 3
সাধারণ অনুপাত r = 6/3 = 2

আমরা জানি,
গুণত্তর ধারার n তম পদ = ar^n-1

∴ ধারাটির নবম পদ = 3 × 2^9-1
= 3 × 2⁸
= 3 × 256
= 768

১৫৭.

2 - 4 + 8 - 16 + ......... ধারাটির প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

ক
- 42
খ
- 44
গ
- 541
ঘ
- 542

সঠিক উত্তর: ক

- 42

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

- 42

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 + ......... ধারাটির প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 4/2 = - 2
পদ সংখ্যা, n = 6

∴ প্রথম 6টি পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ) / (1 - r)
= 2 {1 - (- 2)⁶} / {1 - (- 2)}
= {2 × (1 - 64)} / 3
= {2 × (- 63)} / 3
= - 42

১৫৮.

6 + 12 + 24 + ................. ধারাটির কততম পদ 384?

ক
ক) 8
খ
খ) 6
গ
গ) 7
ঘ
ঘ) 9

সঠিক উত্তর: গ

গ) 7

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 7

গ

ব্যাখ্যা

দেওয়া আছে,
প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ, a = 6
সাধারণ অনুপাত, r = 12/6 =2
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^n-1

সুতরাং ar^n-1 = 384
বা, 6 × 2^n-1 = 384
বা, 2^n-1 = 384/6
বা, 2^n-1 = 64
বা, 2^n-1 = 2⁶
বা, n -1 = 6
বা, n = 6 + 1
n = 7

১৫৯.

256 + 128 + 64 + …… ধারাটির দশম পদ কত?

ক
-2
খ
2
গ
-(1/2)
ঘ
1/2

সঠিক উত্তর: ঘ

1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

1/2

ঘ

ব্যাখ্যা

a = 256,
r = 128/ 256
= 1/2
∴ দশম পদ = ar⁹
= 256 × (1/2)⁹
= 256/512
= 1/2

১৬০.

3 - 6 + 12 - 24 +…............ প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

ক
63
খ
66
গ
- 63
ঘ
- 66

সঠিক উত্তর: গ

- 63

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

- 63

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 - 6 + 12 - 24 +…............ প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 3,
সাধারণ অনুপাত r = -2,
পদসংখ্যা n = 6

S_n = a × [1 - (r)ⁿ/ 1 - r]
S₆ = 3 × [1 - (- 2)⁶ / 1 - (-2)]
= 3 × [1 - 64 / 3]
= 3 × [-63/3]
= 3 × (- 21)
= - 63

∴6টি পদের সমষ্টি - 63

১৬১.

(1/√2), 1, √2... প্রদত্ত অনুক্রমটির কততম পদ 8√2?

ক
6
খ
7
গ
9
ঘ
11
ঙ
12

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/√2), 1, √2... প্রদত্ত অনুক্রমটির কততম পদ 8√2?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
অনুক্রমটির প্রথম পদ, a = 1/√2
সাধারন অনুপাত, r = 1/(1/√2 ) = √2
n-তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
ar^n-1 = 8√2
⇒ (1/√2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
⇒ (√2)^{n - 1} = 8√2 × √2
⇒ (√2)^{n - 1} = 16
⇒ (√2)^{n - 1} = {(√2)²}⁴
⇒ (√2)^{n - 1} = (√2)⁸
⇒ n - 1 = 8
⇒ n = 8 + 1 = 9

অর্থাৎ অনুক্রমটির 9-তম পদ হলো 8√2

১৬২.

3x + 1, 14, 28 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে x = কত?

ক
6
খ
4
গ
2
ঘ
8

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3x + 1, 14, 28 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে x = কত?

সমাধান:
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ 14/(3x + 1) = 28/14
⇒ 14/(3x + 1) = 2
⇒ 14 = {2 × (3x + 1)}
⇒ 6x + 2 = 14
⇒ 6x = 14 - 2
⇒ 6x = 12
⇒ x = 12/6
∴ x = 2

১৬৩.

০.০৩, ০.১২, ০.৪৮, ____ শূন্যস্থানে সংখ্যাটি কত হবে?

ক
০.৯৬
খ
১.৪৮
গ
১.৯২
ঘ
১.৫০

সঠিক উত্তর: গ

১.৯২

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

১.৯২

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০.০৩, ০.১২, ০.৪৮ - শূন্যস্থানে সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধান:
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা এবং এর সাধারণ অনুপাত ৪
১ম পদ = ০.০৩
২য় পদ = ০.০৩ × ৪ = ০.১২
৩য় পদ = ০.১২ × ৪ = ০.৪৮
৪র্থ পদ = ০.৪৮ × ৪ = ১.৯২

১৬৪.

13 + 39 + k + 351............ একটি গুণোত্তর ধারা হলে k এর মান কত?

ক
118
খ
121
গ
117
ঘ
154

সঠিক উত্তর: গ

117

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

117

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 13 + 39 + k + 351............ একটি গুণোত্তর ধারা হলে k এর মান কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 13
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
= 39/13
= 3
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^n-1

ধারাটির তৃতীয় পদ, k = ar²
= 13 × 3²
= 13 × 9
= 117

১৬৫.

(1/7) - (2/7²) + (4/7³) - (8/7⁴) + ........ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
2/7
খ
1/9
গ
2/49
ঘ
1/7

সঠিক উত্তর: খ

1/9

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1/9

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/7) - (2/7²) + (4/7³) - (8/7⁴) + ........ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির, প্রথম পদ, a = 1/7
সধারণ অনুপাত, r = (- 2/7²)/(1/7)
= (- 2/49) × (7/1)
= (- 2/7)

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/7)/{1 - (- 2/7)}
= (1/7)/{7/(7 + 2)}
= (1/7)/(7/9)
= 1/9

১৬৬.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

ক
1/3
খ
1/9
গ
1/27
ঘ
1/81

সঠিক উত্তর: গ

1/27

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

1/27

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 27
দ্বিতীয় পদ = 9
অনুপাত, r = 9/27 = 1/3

∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1} = ar⁶
= 27 × (1/3)⁶
= 27/729
= 1/27

১৬৭.

একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ এবং ২য় পদ যথাক্রমে 9 এবং 3 হলে নবম পদ কত?

ক
1/243
খ
1/234
গ
1/729
ঘ
1/749

সঠিক উত্তর: গ

1/729

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

1/729

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ এবং ২য় পদ যথাক্রমে 9 এবং 3 হলে নবম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির ১ম পদ = 9
সাধারাণ অনুপাত = 3/9 = 1/3

∴ নবম পদ = ar^{9 - 1}
= ar⁸
= 9 × (1/3)⁸
= 9 × (1/3⁸)
= 3² × {1/(3² × 3⁶)
= 1/3⁶
= 1/729

১৬৮.

(1/5) + (1/5²) + (1/5³) + ........ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
1/5
খ
1/4
গ
4/5
ঘ
1/2

সঠিক উত্তর: খ

1/4

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1/4

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/5) + (1/5²) + (1/5³) + ........ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে, ১ম পদ, a = 1/5
সাধারণ অনুপাত, r = (1/5²) ÷ (1/5)
= (1/5²) × (5/1)
= 1/5

∴ S_∞= a/(1 - r) [যেহেতু r < 1]
= (1/5)/{1 - (1/5)}
= (1/5)/(4/5)
= (1/5) × (5/4)
= 1/4

১৬৯.

২৪৩, ৮১, ......, ৯, ৩, ১ অনুক্রমের বিলুপ্ত সংখ্যাটি কত?

ক
১২
খ
১৫
গ
২৪
ঘ
২৭

সঠিক উত্তর: ঘ

২৭

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

২৭

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২৪৩, ৮১, ......, ৯, ৩, ১ অনুক্রমের বিলুপ্ত সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ = ৩^৫ = ৩৪৩
দ্বিতীয় পদ = ৩^৪ = ৮১
তৃতীয় পদ = ৩^৩ = ২৭
চতুর্থ পদ = ৩^২ = ৯
পঞ্চম পদ = ৩^১ = ৩
ষষ্ঠ পদ = ৩^০ = ১

∴ অনুক্রমের বিলুপ্ত সংখ্যাটি = ২৭ ।

১৭০.

4 + 8 + 16 + 32 +..... এই ধারাটির কততম পদ 256?

ক
6
খ
7
গ
8
ঘ
9

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 8 + 16 + 32 +..... এই ধারাটির কততম পদ 256?

সমাধান:
ইহ একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির ১ম পদ, a = 4
এবং ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

প্রশ্নমতে,
⇒ ar^{n - 1} = 256
⇒ 2^{n - 1} = 256/4
⇒ 2^{n - 1} = 64
⇒ 2^{n - 1} = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
∴ n = 7

১৭১.

4 + 44 + 444 + --- --- --- ধারাটির n তম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

ক
(4/9){(10(10ⁿ - 1)/9 - n}
খ
(4/9){(10ⁿ - 1)/9 - n}
গ
4{(10(10ⁿ - 1)/9 - n}
ঘ
(4/9){(10(10ⁿ - 1)/9 - 10}

সঠিক উত্তর: ক

(4/9){(10(10ⁿ - 1)/9 - n}

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

(4/9){(10(10ⁿ - 1)/9 - n}

ক

১৭২.

12 + 24 + 48 + ....... + 768 = ?

ক
ক) 1536
খ
খ) 1425
গ
গ) 1522
ঘ
ঘ) 1524

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 1524

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 1524

ঘ

ব্যাখ্যা

a = 12,
r = 24/12 = 2
∴ n তম পদ = ar^n-1
বা, 768 = 12.2^n-1
বা, 2^n-1 = 64 = 2⁶
বা, n - 1 = 6
∴ n = 7
∴ সমষ্টি = a.(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 12 × (2⁷ - 1)/(2 - 1)
= 12 × 127
= 1524

১৭৩.

1/√5, - 1, √5, ......... ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

ক
- √5
খ
5√5
গ
- 25√5
ঘ
25

সঠিক উত্তর: খ

5√5

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

5√5

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1/√5, - 1, √5, ......... ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 1/√5
সাধারণ অনুপাত, r = - 1/(1/√5)
= - √5

আমরা জানি
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}
∴ পঞ্চম পদ = ar^{5 - 1}
= (1/√5)(- √5)⁴
= (1/√5){(- √5)²}²
= 25/√5
= (5√5 × √5)/√5
= 5√5

১৭৪.

3 + 9 + x + 81............ একটি গুণোত্তর ধারা হলে x এর মান কত?

ক
18
খ
24
গ
27
ঘ
33

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 9 + x + 81............ একটি গুণোত্তর ধারা হলে x এর মান কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
= 9/3
= 3
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ, x = ar²
= 3 × 3²
= 27

১৭৫.

1² + 2² + 3² + ........... + 42² = ?

ক
24585
খ
26355
গ
25585
ঘ
23465

সঠিক উত্তর: গ

25585

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

25585

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + ........... + 42² = ?

সমাধান:
আমরা জানি,
স্বাভাবিক সংখ্যা বর্গের সমষ্টি,
1² + 2² + 3² + 4² + ...... + n² = n(n + 1)(2n + 1)/6

∴ 1² + 2² + 3² + ........ + 42² = [42(42 + 1){(2 × 42) + 1}]/6
= (42 × 43 × 85)/6
= 25585

১৭৬.

2 + 1 + 1/2 + 1/4 + ..... ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 64/255
খ
খ) 255/65
গ
গ) 65/255
ঘ
ঘ) 255/64

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 255/64

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 255/64

ঘ

ব্যাখ্যা

a = 2, r = 1/2, n = 8
∴ সমষ্টি = a.{(1 - r⁸)/(1 - r)
= 2.{(1 - (1/2)⁸}/(1 - 1/2)
= 2.{1 - (1/256)}/(1/2)
= 2 × 2 × (255/256)
= 255/64

১৭৭.

(1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + ............... ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত?

ক
1/6
খ
1/3
গ
1/2
ঘ
1

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/2) + (1/4) + (1/8) + (1/16) + ............... ধারাটির অসমীতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/2
এবং ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = (1/4)/(1/2) = (1/4) × (2/1) = 1/2 < 1

∴ ধারাটির অসমীতক সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r)
= (1/2)/{1 - (1/2)}
= (1/2)/{1 - (1/2)}
= (1/2)/{(2 - 1)/2}
= (1/2)/(1/2)
= (1/2) × (2/1)
= 1

১৭৮.

0.18 + 0.0018 + 0.000018 +.......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

ক
2/11
খ
3/11
গ
4/11
ঘ
5/11

সঠিক উত্তর: ক

2/11

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

2/11

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.18 + 0.0018 + 0.000018 +.......... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 0.18
সাধারণ অনুপাত, r = 0.0018/0.18
= 0.01

সুতরাং, ধারাটির অসমীতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= 0.18/(1 - 0.01)
= 0.18/0.99
= 18/99
= 2/11

১৭৯.

একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং সপ্তম পদটি 55 হলে, দশম পদটি কত?

ক
60
খ
64
গ
70
ঘ
75

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 5 এবং সপ্তম পদটি 55 হলে, দশম পদটি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
সমান্তর ধারার প্রথম পদ, a
এবং সাধারণ অন্তর, d হলে
n তম পদ = a + (n - 1)d

এখানে,
পঞ্চম পদ = 55
∴ a + (7 - 1)5 = 55
⇒ a + 30 = 55
⇒ a = 55 - 30
⇒ a = 25

∴ নবম পদ = 25 + (10 - 1) × 5
= 25 + 45
= 70

১৮০.

1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... + n সংখ্যক পদের যোগফল হবে -

ক
0
খ
1
গ
[1 + (- 1)ⁿ]
ঘ
(1/2)[1 - (- 1)ⁿ]

সঠিক উত্তর: ঘ

(1/2)[1 - (- 1)ⁿ]

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

(1/2)[1 - (- 1)ⁿ]

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... + n সংখ্যক পদের যোগফল হবে -

সমাধান:
এখানে ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (- 1)/1 = -1 < 1
আমরা জানি, r < 1 হলে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - rⁿ)/(1 - r)}

∴ n সংখ্যক পদের সমষ্টি = {a(1 - rⁿ)} / (1 - r)
= {1 × (1 - (-1)ⁿ) / {1 - (- 1)}
= {1 - (-1)ⁿ} / (1 + 1)
= {1 - (-1)ⁿ} / 2
= (1/2)[1 - (- 1)ⁿ]

১৮১.

0.1 + 0.01 + 0.001 + ........ ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

ক
1/3
খ
1/7
গ
1/9
ঘ
1/11

সঠিক উত্তর: গ

1/9

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

1/9

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.1 + 0.01 + 0.001 + ....... ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল কত?

সমাধান:
এখানে,
a = 0.1
r = 0.01/0.1
= 0.1 [0.1 < 1]

আমরা জানি,
অসীম পদের সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 0.1/(1 - 0.1)
= 0.1/0.9
= 1/9

১৮২.

1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + …......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + …......... ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
প্রদত্ত গুণোত্তর ধারাটি হলো:
1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + …......

এখানে,
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 0.1/1 = 0.1

যেহেতু |r| < 1, তাই ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।

আমরা জানি,
অসীমতক সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
⇒ S_∞ = 1/(1 - 0.1)
⇒ S_∞ = 1/0.9
⇒ S_∞ = 1/(9/10)
⇒ S_∞ = 10/9

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি =

১৮৩.

2 + 6 + 18 + 54 + .................... ধারাটির n-সংখ্যক পদের সমষ্টি 728 হলে n-এর মান কত?

ক
4
খ
5
গ
6
ঘ
7

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 6 + 18 + 54 + .................... ধারাটির n-সংখ্যক পদের সমষ্টি 728 হলে n-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 6/2 = 3

ধরি,
n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = 728
⇒ a( rⁿ- 1)/(r - 1) = 728
⇒ 2(3ⁿ - 1)/(3 - 1) = 728
⇒ 2(3ⁿ - 1)/(2) = 728
⇒ 3ⁿ - 1 = 728
⇒ 3ⁿ = 728 + 1
⇒ 3ⁿ = 729
⇒ 3ⁿ = 3⁶
⇒ n = 6

১৮৪.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
2
খ
3
গ
5
ঘ
10

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

১৮৫.

1 + (1/3) + (1/9) + (1/27) + ..... ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল কত?

ক
81/36
খ
121/81
গ
25/16
ঘ
কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: খ

121/81

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

121/81

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + (1/3) + (1/9) + (1/27) + ..... ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের যোগফল কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা, যেখানে-
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 1/3/1 = 1/3 < 1

গুণোত্তর ধারার সমষ্টির, S_n=a(1 − rⁿ)/(1−r)
= 1{1 - (1/3)⁵}/{1 - (1/3)}
= {1 - (1/243)}/(2/3)
= (242/243)/(2/3)
= (242/243) × (3/2)
= 121/81

১৮৬.

5 + 5√2 + 10 + 10√2 + .......... ধারাটির কোন পদ 1280 হবে?

ক
15 তম
খ
11 তম
গ
13 তম
ঘ
17 তম

সঠিক উত্তর: ঘ

17 তম

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

17 তম

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 5√2 + 10 + 10√2 + .......... ধারাটির কোন পদ 1280 হবে?

সমাধান:
১ম পদ a = 5
সাধারণ অনুপাত r = 5√2/5 = √2
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 1280
⇒ 5 × (√2)^{n - 1} = 1280
⇒ (√2)^{n - 1} = 256
⇒ (2^1/2)^{n - 1} = 2⁸
⇒ 2^{(n - 1)/2} = 2⁸
⇒ (n - 1)/2 = 8
⇒ n - 1 = 16
⇒ n = 16 + 1
∴ n = 17

১৮৭.

2 - 7 - 16 - 25 - …………. ধারাটির 12 তম পদ কত?

ক
ক) -75
খ
খ) -97
গ
গ) 95
ঘ
ঘ) 87

সঠিক উত্তর: খ

খ) -97

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) -97

খ

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 2
সাধারণ অন্তর d = -9
n তম পদ = a + (n - 1)d
12 তম পদ = 2+ (12 - 1)(-9)
= 2 - 99 = -97

১৮৮.

3 + 6 + 12 +................. প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত?

ক
750
খ
765
গ
772
ঘ
778

সঠিক উত্তর: খ

765

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

765

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 +................. প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির
১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 6/3 = 2

এখানে,
r এর মান 1 থেকে বড়, তাই
ধারাটির সমষ্টি, S_n = a. (rⁿ - 1)/(r - 1)
= 3 × (2⁸- 1)/(2 - 1)
= 3 × (256 - 1)/1
= 3 × 255
= 765

১৮৯.

১২৮ + ৬৪ + ৩২ + ...... ধারাটির কোন পদ ১/২ হবে?

ক
ক) ৮ তম পদ
খ
খ) ১১ তম পদ
গ
গ) ৯ তম পদ
ঘ
ঘ) ১০ তম পদ

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৯ তম পদ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৯ তম পদ

গ

ব্যাখ্যা

এখানে প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
যার সাধারণ অনুপাত, r = ৬৪/১২৮ = ১/২
প্রথম পদ, a = ১২৮ এবং n-তম পদ = ar^(n-1)
শর্তমতে, ar^(n-১) = ১/২
বা, ১২৮ × (১/২)^(n-১) = ১/২
বা, (১/২)^(n-১) = ১/(১২৮×২)
বা, (১/২)^(n-১) = ১/২৫৬
বা, (১/২)^(n-১) = (১/২)^৮
বা, n-১ = ৮
বা, n = ৯

১৯০.

2 + 4 + 8 + 16 +............. এই ধারাটির কোন পদের মান 256?

ক
6
খ
7
গ
8
ঘ
9

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +............. এই ধারাটির কোন পদের মান 256?

সমাধান:
2 + 4 + 8 + 16 +.............
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

∴ n তম পদ = ar^n-1
বা, 2.2^n-1 = 256
বা, 2^1+n-1 = 256
বা, 2ⁿ = 256
বা, 2ⁿ = 2⁸
∴ n = 8

∴ ধারাটির 8তম পদের মান 256.

১৯১.

4 + 12 + 36 + … গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 972 হবে?

ক
3 তম
খ
4 তম
গ
5 তম
ঘ
6 তম

সঠিক উত্তর: ঘ

6 তম

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

6 তম

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 12 + 36 + … গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 972 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12/4 = 3

ধরি,
n তম পদ = 972
⇒ ar^{n - 1} = 972
⇒ 4 × 3^{n - 1} = 972
⇒ 3^{n - 1} = 243
⇒ 3^{n - 1} = 3⁵
⇒ n - 1 = 5
⇒ n = 5 + 1
⇒ n = 6

∴ ধারাটির 6 তম পদ 972 হবে।

১৯২.

3 + (3/2) + (3/4) + (3/8) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

ক
1/2
খ
1/3
গ
3
ঘ
6

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + (3/2) + (3/4) + (3/8) + ...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = (3/2)/3 = 1/2

∴ ধারাটির অসীমতক পদের সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
= 3/{1 - (1/2)}
= 3/{(2 - 1)/2}
= 3/(1/2)
= 3 × 2
= 6

∴ ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি = 6 ।

১৯৩.

5 + a + b + 135 + .... ধারাটিতে a = ?

ক
ক) 15
খ
খ) 45
গ
গ) 60
ঘ
ঘ) 75

সঠিক উত্তর: ক

ক) 15

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 15

ক

ব্যাখ্যা

১ম পদ, a = 5,
সাধারন অনুপাত r হলে,
৪র্থ পদ = ar^4-1 = 135
বা, 5r³ = 135
বা, r³ = 27 = 3³
∴ r = 3
∴ a = ২য় পদ
= ar
= 5.3
= 15

১৯৪.

কোনো অনুক্রমের n তম পদ = {1 - (- 1)ⁿ}/2 হলে 20তম পদ কত?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 2

সঠিক উত্তর: ক

ক) 0

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 0

ক

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
n তম পদ = {1 - (- 1)ⁿ}/2
20তম পদ = {1 - (- 1)²⁰}/2
= (1- 1)/2
= 0/2
= 0

১৯৫.

1 + (1/2) + (1/4) + . . . . . . ধারাটির প্রথম 5 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
31/16
খ
21/13
গ
25/18
ঘ
32/13

সঠিক উত্তর: ক

31/16

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

31/16

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + . . . . . . ধারাটির প্রথম 5 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n = 5
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1
= 1/2 ;যা 1 থেকে ছোট

∴ 5 টি পদের সমষ্টি = a × {(1 - rⁿ)/(1 - r)}
= 1 × [{1 - (1/2)⁵}/{1 - (1/2)}]
= {1 - (1/32)}/{1 - (1/2)}
= {(32 - 1)/32}/{(2 - 1)/2}
= (31/32)/(1/2)
= (31/32) × (2/1)
= 31/16

১৯৬.

(√3/9) + (√3/3) + √3 + (3√3) + ..............ধারাটির কোন পদটি 243√3 হবে?

ক
6তম পদ
খ
7তম পদ
গ
8তম পদ
ঘ
9তম পদ

সঠিক উত্তর: গ

8তম পদ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

8তম পদ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (√3/9) + (√3/3) + √3 + (3√3) + ..............ধারাটির কোন পদটি 243√3 হবে?

সমধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা।
প্রথম পদ, a = √3/9
সাধারণ অনুপাত, r = (√3/3) / (√3/9) = 3

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
⇒ ar^{n - 1}= 243√3
⇒ √3/9 × 3^{n - 1} = 243√3
⇒ 3^{n - 1} = 243 × 9
⇒ 3^{n - 1} = 2187
⇒ 3^{n - 1} = 3⁷
⇒ n -1 = 7
n = 8

১৯৭.

log₃ 243 + log₃ 27 - log₃ 81 এর মান কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 4
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 6

সঠিক উত্তর: খ

খ) 4

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 4

খ

ব্যাখ্যা

log₃ 243 + log₃ 27 - log₃ 81
= log₃ 3⁵ + log₃ 3³ - log₃ 3⁴
= 5 log₃ 3 + 3 log₃ 3 - 4 log₃ 3
= 5 × 1 + 3 × 1 - 4 × 1 [log_a a = 1]
= 5 + 3 - 4
= 4

১৯৮.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
ক) 2
খ
খ) 3
গ
গ) 5
ঘ
ঘ) 10

সঠিক উত্তর: গ

গ) 5

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 5

গ

ব্যাখ্যা

প্রথম পদ a এবং সাধারণ অনুপাত r হলে
n তম পদ = ar^n-1
∴ তৃতীয় পদ ar^3-1 = ar² = 20 ------- (i)
∴ ষষ্ঠ পদ ar^6-1 = ar⁵ = 160 ------- (ii)
এখন, (ii) ÷ (i) ⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই প্রথম পদ-
a.2² = 20
∴ a = 5

১৯৯.

একটি গুণোত্তর ধারার ১ম ও ২য় পদ যথাক্রমে 25 এবং 5 হলে ধারাটির ষষ্ঠ পদ কত?

ক
ক) 1/125
খ
খ) 1/120
গ
গ) 1/115
ঘ
ঘ) 1/110

সঠিক উত্তর: ক

ক) 1/125

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 1/125

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম ও ২য় পদ যথাক্রমে 25 এবং 5 হলে ধারাটির ষষ্ঠ পদ কত?

সমাধান:
ধারার ১ম পদ a = 25
সাধারণ অনুপাত = 5/25 = 1/5

ষষ্ঠ পদ:
ar^6-1= ar⁵
= 25 × (1/5)⁵
= 5² × (1/5⁵)
=5² × 1/5³ × 5²)
= 1/125

২০০.

3 + 9 + x + 81 +............ একটি গুণোত্তর ধারা হলে x এর মান কত?

ক
21
খ
27
গ
34
ঘ
49

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 9 + x + 81............ একটি গুণোত্তর ধারা হলে x এর মান কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 3
ধরি, সাধারণ অনুপাত = r
= 9/3
= 3
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

ধারাটির তৃতীয় পদ, x = ar²
= 3 × 3²
= 27