গুণোত্তর ধারা

PrepBank · পাতা ১ / ১০ · ১–১০০ / ৯৮৩

১.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r(r < 1) এবং পদসংখ্যা n হলে, n সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

ক
a(rⁿ - 1)/(r - 1)
খ
a(a + 1)
গ
a(1 - rⁿ)/(1 - r)
ঘ
a + (n - 1)d

সঠিক উত্তর: গ

a(1 - rⁿ)/(1 - r)

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

a(1 - rⁿ)/(1 - r)

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r(r < 1) এবং পদসংখ্যা n হলে, n সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
একটি গুণোত্তর ধারা প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r(r < 1) এবং পদসংখ্যা n হলে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

আবার,
একটি গুণোত্তর ধারা প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত r(r > 1) এবং পদসংখ্যা n হলে,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1)

২.

1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + .... ধারাটির প্রথম আটটি পদের সমষ্টি-

ক
ক) 127/64
খ
খ) 64/127
গ
গ) 128/255
ঘ
ঘ) 255/128

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 255/128

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 255/128

ঘ

ব্যাখ্যা

r = 1/2 < 1
∴ সমষ্টি = 1× {1-(1/2)⁸} / {1-(1/2)}
= {1-(1/256)} / {1/2}
= 2 (255/256)
= 255/128

৩.

2 - 4 + 8 - 16 + ...... ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি কত?

ক
342
খ
356
গ
412
ঘ
489

সঠিক উত্তর: ক

342

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

342

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 + ...... ধারাটির প্রথম 9টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
১মপদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, d = (- 4)/2 = - 2

∴ প্রথম 9টি পদের সমষ্টি, S₉ = {a(1 - rⁿ)/(1 - r)
= {2(1 - (- 2)⁹}/{1 - (- 2)}
= {2(1 - (- 512)}/(1 + 2)
= {2(1 + 512)}/3
= (2 × 513)/3
= 1026/3
= 342

৪.

1/3 + 1/3² + 1/3³ + …. ∞ = ?

ক
ক) 4/3
খ
খ) 1/2
গ
গ) 2/3
ঘ
ঘ) 3/2

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1/2

খ

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 1/3
সাধারণ অনুপাত r = 1/3
∴ সমষ্টি = a/(1-r)
= (1/3) / (1 - 1/3)
= (1/3) / (2/3)
= 1/3 × 3/2
= 1/2

৫.

1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + .... ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি-

ক
ক) 1023/768
খ
খ) 255/768
গ
গ) 768/1023
ঘ
ঘ) 768/255

সঠিক উত্তর: ক

ক) 1023/768

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 1023/768

ক

ব্যাখ্যা

1 + 1/4 + 1/16 + 1/64 + ....
= 1× {1-(1/4)⁵} / {1-(1/4)}
= {1023/1024} / {3/4}
= {1023/1024} × {4/3}
= 1023/768

৬.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 10 এবং প্রথম 4টি পদের যোগ 850। সাধারণ অনুপাত কত?

ক
3
খ
4
গ
5
ঘ
6

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ 10 এবং প্রথম 4টি পদের যোগ 850। সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম n পদের সমষ্টি, S_n = a[rⁿ- 1/ r - 1]
প্রথম পদ, a = 10,
পদসংখ্যা, n = 4,
4টি পদের যোগফল, S₄ = 850,

প্রশ্নমতে,
⇒ 850 = 10[r⁴- 1/r - 1]
⇒ 85 = [r⁴ - 1/r - 1]
⇒ 85 = [(r - 1)(r³ + r² + r + 1)/(r - 1)]
⇒ 85 = r³+ r²+ r + 1
⇒ 84 = r³ + r² + r ..... (1)

(1) নং সমীকরণে r = 4 বসালে, সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
⇒ 4³+ 4²+ 4
= 64 + 16 + 4
= 84

সুতরাং r = 4

৭.

3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

ক
9
খ
6
গ
2
ঘ
4

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3, 2a + 1, 27 গুণোত্তর প্রগতিতে থাকলে a = ?

সমাধান:
অনুপাত = ২য় পদ/১ম পদ = ৩য় পদ/২য় পদ
⇒ (2a + 1)/3 = 27/(2a + 1)
⇒ (2a + 1)²= 81
⇒ 2a + 1 = 9
⇒ 2a = 8
∴ a = 4

৮.

1 + (1/2) + (1/4) + . . . . . . ধারাটির প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
23/19
খ
23/38
গ
63/32
ঘ
34/27

সঠিক উত্তর: গ

63/32

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

63/32

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + . . . . . . ধারাটির প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
n = 6
প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1
= 1/2 ;যা 1 থেকে ছোট

∴ 6 টি পদের সমষ্টি = a × {(1 - rn)/(1 - r)}
= 1 × [{1 - (1/2)6}/{1 - (1/2)}]
= {1 - (1/64)}/{1 - (1/2)}
= {(64 - 1)/64}/{(2 - 1)/2}
= (63/64)/(1/2)
= (63/64) × (2/1)
= 63/32

৯.

3 + 6 + 12 + .................. ধারারটির কোন পদ 192?

ক
ক) 6
খ
খ) 7
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 9

সঠিক উত্তর: খ

খ) 7

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 7

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 6 + 12 + .................. ধারারটির কোন পদ 192?

সমাধান:
ধারার ১ম পদ a = 3
সাধারণ অনুপাত r = 6/3 = 2

ধরি,
n তম পদ = 192
ar^{n -1}= 192
বা, 3 × 2^{n -1} = 192
বা, 2^{n - 1} = 192/3
বা, 2^{n - 1} = 64
বা, 2^{n - 1} = 2⁶
বা, n - 1 = 6
বা, n = 6 + 1
n = 7

১০.

4 + 2 + 1 +...... ধারাটির অসীমতক সমষ্টির মান কত?

ক
4
খ
8
গ
16
ঘ
অসীমতক সমষ্টি নেই

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 2 + 1 + ...... ধারাটির অসীমতক সমষ্টির মান কত?

সমাধান:
২য় পদ/ ১ম পদ = 2/4 = 1/2
৩য় পদ/ ২য় পদ = 1/2
∴ ইহা একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারার প্রথম পদ, a = 4
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
এখানে, । r। < 1
∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি রয়েছে।

S_∞ = a/(1 - r)
= 4/(1 - 1/2)
= 4/(1/2)
= 8

১১.

কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

ক
4
খ
8
গ
12
ঘ
16

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
n-তম পদ = ar^{n - 1}

দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
এবং
তৃতীয় পদ = 4

প্রশ্নমতে,
a × (1/2)^{3 -1} = 4
⇒ a × (1/2)² = 4
⇒ a × (1/4) = 4
⇒ a = 4 × 4
⇒ a = 16

১২.

প্রদত্ত ধারাটির 9 পদ কত?

ক
8√2
খ
4√2
গ
2√2
ঘ
√2

সঠিক উত্তর: ক

8√2

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

8√2

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: প্রদত্ত ধারাটির 9 পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথমপদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = দ্বিতীয় পদ ÷ প্রথম পদ
= 1 ÷ 1/√2
= √2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারা n তমপদ = ar^n-1

১৩.

(1/2) - (1/4) + (1/8) - (1/16) + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

ক
1/2
খ
1/3
গ
1/5
ঘ
1/6

সঠিক উত্তর: খ

1/3

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1/3

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/2) - (1/4) + (1/8) - (1/16) + ………. ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?

সমাধান
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/2
এবং সাধারণ অনুপাত, r = (- 1/4) ÷ (1/2) = - 1/2 < 0

সুতরাং ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r)
= (1/2)/{1 - (-1/2)}
= (1/2)/(1 + 1/2)
= (1/2)/(3/2)
= 1/3

১৪.

12 + 24 + 48 + ........... + 384 = কত?

ক
1524
খ
378
গ
756
ঘ
596

সঠিক উত্তর: গ

756

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

756

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12 + 24 + 48 + ........... + 384 = কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 12
সাধারণ অনুপাত, r = 24/12 = 2
ধরি, n তম পদ = 384
∴ ar^n-1 = 384
or, 12 × 2^(n-1) = 384
or, 2^(n-1) = 384/12
or, 2^(n-1) = 32
or, 2^(n-1) = 2⁵
or, n - 1 = 5
∴ n = 6

সমষ্টি, S = a × {(rⁿ - 1)/ r - 1}
= 12 × {(2⁶ - 1)/ 2 - 1}
= 12 × 63
= 756

১৫.

5 + m + n + 135 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে n এর মান কত?

ক
25
খ
45
গ
105
ঘ
75

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + m + n + 135 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে n এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
ধরি, সাধারণ অনুপাত, r
চতুর্থ পদ = 135
ar^{4 - 1}= 135
বা, r³ = 135/5 = 27
∴ r = 3

এখানে, n হলো তৃতীয় পদ
∴ n = ar^{n - 1}
= 5 × 3^{3 - 1}
= 45

১৬.

(1/3) + (1/9) + (1/27) + (1/81) + .......... গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
1
খ
1/3
গ
1/2
ঘ
1/7

সঠিক উত্তর: গ

1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

1/2

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/3) + (1/9) + (1/27) + (1/81) + .......... গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
১ম পদ, a = 1/3

সাধারণ অনুপাত, r = (1/9) ÷ (1/3)
= (1/9) × (3/1)
= 1/3 < 1

∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= (1/3) ÷ (1 - 1/3)
= (1/3) ÷ (2/3)
= (1/3) × (3/2)
= 1/2

১৭.

1² + 2² + 3² + .......... + 30² = কত?

ক
2550
খ
9455
গ
5050
ঘ
8060

সঠিক উত্তর: খ

9455

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

9455

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1² + 2² + 3² + .......... + 30² = কত?

সমাধান:
ধারারটির যোগফল = {n(n + 1)(2n + 1)}/6
= {30(30 + 1)(2 ⋅ 30 + 1)}/6 [দেওয়া আছে, n = 30]
= (30 · 31 · 61)/6
= 9455

∴ ধারাটির সমষ্টি 9455

১৮.

3 + x + y + 375 একটি গুণোত্তর ধারা ভুক্ত হলে y এর মান কত?

ক
ক) 45
খ
খ) 75
গ
গ) 105
ঘ
ঘ) 125

সঠিক উত্তর: খ

খ) 75

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 75

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + x + y + 375 একটি গুণোত্তর ধারা ভুক্ত হলে y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
৪র্থ পদ ar^{4 - 1} = 375
বা, ar³ = 375 ....... (i)

এবং প্রথম পদ, a = 3........ (ii)

⇒ (i) ÷ (ii)
⇒ ar³/a = 375/3
⇒ r³ = 125
⇒ r³ = 5³
⇒ r = 5

অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত, r = 5

3য় পদ, y =ar^{3 - 1}
= ar²
= 3 × 5²
= 75

১৯.

7 + 14 + 28 + p + q + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে 2p + q এর মান কত?

ক
224
খ
120
গ
156
ঘ
280

সঠিক উত্তর: ক

224

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

224

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + 14 + 28 + p + q + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে 2p + q এর মান কত?

সমাধান:

দেওয়া আছে,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত, r = 14/7 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির চতুর্থ পদ, p = ar^4-1
= ar³
= 7 × 2³
= 7 × 8
= 56

ধারাটির পঞ্চম পদ, q = ar^{5 - 1}
= ar⁴
= 7 × 2⁴
= 7 × 16
= 112

∴ 2p + q = 2 × 56 + 112 = 224

২০.

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
ক) 1/5
খ
খ) 1/7
গ
গ) 3/7
ঘ
ঘ) 5/7

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1/7

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1/7

খ

ব্যাখ্যা

ধারাটির প্রথম পদ, a = 1/5
সাধারণ অনুপাত,
r = (- 2/5²) ÷ (1/5)
= - 2/5 < 1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,
S_∞ = a/(1 - r)
= (1/5)/(1 + 2/5)
= 1/7

২১.

a + b + c + d + . . . . একটি গুণোত্তর ধারা হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
c/b = a/b
খ
a = (b + c)/2
গ
b/a = d/c
ঘ
r = (a + b)/2

সঠিক উত্তর: গ

b/a = d/c

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

b/a = d/c

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: a + b + c + d + . . . . একটি গুণোত্তর ধারা হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
a + b + c + d + . . . . একটি গুণোত্তর ধারা হলে,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ = ৩য় পদ/২য় পদ = চতুর্থ পদ/৩য় পদ
∴ b/a = c/b = d/c

∴ b/a = d/c সম্পর্কটি সঠিক।

২২.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

ক
1/9
খ
1/12
গ
1/27
ঘ
1/81

সঠিক উত্তর: গ

1/27

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

1/27

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 ও 9 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 27
দ্বিতীয় পদ = 9
∴ অনুপাত, r = 9/27 = 1/3

∴ সপ্তম পদ = ar⁷ ^{- 1} = ar⁶
= 27 × (1/3)⁶
= 27/729
= 1/27

২৩.

0.9 + 0.81 + 0.729 + ............... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত?

ক
9.900
খ
8.990
গ
8.999
ঘ
9.000

সঠিক উত্তর: ঘ

9.000

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

9.000

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 0.9 + 0.81 + 0.729 + ............... অসীম ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
এখানে,
ধারাটি = 0.9 + 0.81 + 0.729 + ...............

এখানে, a = 0.9
r = 0.81/0.9 = 0.729/0.81 = 0.9

∴ অসীম ধারাটির সমষ্টি = S = a/(1 - r)
= 0.9/(1 - 0.9)
= 9 = 9.000

২৪.

(1/√2) + 1 + √2 +................ ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

ক
8 তম পদ
খ
9 তম পদ
গ
10 তম পদ
ঘ
7 তম পদ

সঠিক উত্তর: খ

9 তম পদ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

9 তম পদ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/√2) + 1 + √2 +................ ধারাটির কোন পদ 8√2 হবে?

সমাধান:
এখানে,
প্রথমপদ, a = 1/√2
সাধারণ অনুপাত, r = √2

ধরি,
r তম পদ হবে = 8√2

প্রশ্নমতে,
ar^{n -1} = 8√2
বা, (1/√2) × (√2)^{n - 1} = 8√2
বা, (√2)^{n - 1} = 8√2 × √2
বা, (√2)^{n - 1} = (√2)⁶ × √2 × √2
বা, (√2)^{n - 1} = (√2)⁸
বা, n - 1 = 8
∴ n = 9

৯ তম পদ = 8√2

২৫.

- 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - ............ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক
ক) 2
খ
খ) - 2
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) - 1/2

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 1/2

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: - 1/2 - 1/4 - 1/8 - 1/16 - ............ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
এখানে, ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
সাধারণ অনুপাত = (- 1/8)/(- 1/4)
= (- 1/8) × (- 4/1)
= 1/2

২৬.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির অষ্টম পদ কত?

ক
2
খ
1/4
গ
1/8
ঘ
1/16

সঠিক উত্তর: গ

1/8

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

1/8

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির অষ্টম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = 8

∴ অনুপাত, r = 8/16
= 1/2

∴ অষ্টম পদ = ar^{8 - 1} = ar⁷
= 16 × (1/2)⁷
= 16/128
= 1/8

২৭.

log2 + log4 + log8 + ........... ধারাটির সপ্তম পদ কত?

ক
log128
খ
log64
গ
log512
ঘ
log256

সঠিক উত্তর: ক

log128

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

log128

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log2 + log4 + log8 + ........... ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
log2 + log4 + log8 + ........... ধারাটির সপ্তম পদ কত?
= log2 + log2² + log2³ + ...................
= log2 + 2log2 + 3log2 + ..................

এখানে
১ম পদ a = log2
সাধারণ অন্তর d = 2log2 - log2
= log2

সপ্তম পদ= a +(7 - 1)d
= log2 + 6 log2
= 7log2
= log2⁷
= log128

২৮.

4, 4/3, 4/9,.............. ধারাটির ১ম ৫টি পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 1/81
খ
খ) 121/81
গ
গ) 484/81
ঘ
ঘ) 242/81

সঠিক উত্তর: গ

গ) 484/81

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 484/81

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4, 4/3, 4/9,.............. ধারাটির ১ম ৫টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রথম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = (4/3)/4
= (4/3) × (1/4)
= 1/3

S_n = a(1- rⁿ)/(1 - r)
= 4{1 - (1/3)⁵}/{1 - (1/3)}
= 4{1 - (1/243)}/{(3 - 1)/3}
= 4{(243 - 1)/243}/{(3 - 1)/3}
= 4 × (242/243) × (3/2)
= 484/81

২৯.

32, 16, 8, 4, …. ধারাটির ৮ম পদ কোনটি?

ক
ক) 2
খ
খ) 1
গ
গ) 1/2
ঘ
ঘ) 1/4

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 1/4

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 1/4

ঘ

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 32
সাধারণ অনুপাত r = 16/32 = 1/2
∴ ৮ম পদ = ar⁷ = 32×(1/2)⁷
= 32×(1/128)
= 1/4

৩০.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি - 48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

ক
1/2
খ
- 1/2
গ
1/4
ঘ
- 1/4

সঠিক উত্তর: ঘ

- 1/4

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

- 1/4

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি - 48 এবং পঞ্চম পদটি 3/4 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোন গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অনুপাত q হলে n তম পদ = aq^{n -1}
দ্বিতীয় পদ = aq^{2 - 1}= - 48
aq = - 48
∴ a = - 48/q .................. (i)

আবার
পঞ্চম পদ= aq^{5 - 1}
= aq⁴
=(- 48/q)q⁴ [(i) এর মান বসিয়ে]
= - 48q³

প্রশ্নমতে,
- 48q³= 3/4
বা, q³= - 3/192
বা, q³= - 1/64
বা, q³= (- 1/4)³
∴ q = - 1/4

অর্থাৎ, সাধারণ অনুপাত = - 1/4.

৩১.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে প্রথম পদটি কত?

ক
5
খ
8
গ
12
ঘ
10

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি 20 এবং ষষ্ঠ পদটি 160 হলে প্রথম পদটি কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর অনুক্রমে ১ম পদ = a
এবং সাধারণ অনুপাত = r

দেওয়া আছে,
তৃতীয় পদ = 20
ar² = 20 ............ (1)
এবং ষষ্ঠ পদ = 160
ar⁵ = 160 ............ (2)

(2) ÷ (1)নং হতে পাই,
ar⁵/ar² = 160/20
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 2³
∴ r = 2

(1) নং হতে পাই,
a(2)² = 20
⇒ 4a = 20
∴ a = 5

∴ গুণোত্তর অনুক্রমে ১ম পদ = 5 ।

৩২.

3 + x + y + 192 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

ক
48
খ
32
গ
81
ঘ
25

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + x + y + 192 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 3

ধরি,
সাধারণ অনুপাত = r

প্রশ্নমতে,
ar^4-1 = 192
⇒ ar³ = 192
⇒ 3 . r³ = 64
⇒ r³ = 4³
∴ r = 4

∴ ধারাটির তৃতীয় পদ,
y = 3 × 4^{3 - 1}
= 3 × 16
∴ y = 48

৩৩.

কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

ক
1224
খ
1024
গ
1000
ঘ
2024

সঠিক উত্তর: খ

1024

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1024

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 হলে, প্রথম পাঁচ পদের গুণফল কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
তৃতীয় পদ, ar² = 4

প্রথম পাঁচ পদের গুণফল S হলে,
S = a × ar × ar² × ar³ × ar⁴
= a⁵r¹⁰
= (ar²)⁵
= 4⁵
= 1024
∴ প্রথম পাঁচ পদের গুণফল 1024

৩৪.

2, 6, 18, 54 প্রগতিটির কতগুলি পদের সমষ্টি 728?

ক
5
খ
4
গ
6
ঘ
7

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2, 6, 18, 54 প্রগতিটির কতগুলি পদের সমষ্টি 728?

সমাধান:
প্রগতিটির প্রথম পদ = 2,
সাধারণ অনুপাত = 3,

ধরা যাক,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = 728
∴ {2(3ⁿ - 1)}/(3 - 1) = 728
⇒ 3ⁿ - 1 = 728
⇒ 3ⁿ = 728 + 1
⇒ 3ⁿ = 729
⇒ 3ⁿ = 3⁶
∴ n = 6

∴ প্রগতিটির 6 টি পদের সমষ্টি 728 ।

৩৫.

ক
ক) 1/3
খ
খ) √3
গ
গ) 3
ঘ
ঘ) 1/√3

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 1/√3

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 1/√3

ঘ

ব্যাখ্যা

পঞ্চম পদ, ar⁴ = 2√3/9 --- (1)
দশম পদ, ar⁹ = 8√2/81 --- (2)
∴ r^{10 - 5} = (8√2/81) ÷ (2√3/9) = √(2/3)⁵
r = √2/√3
সমীকরণ (1) হতে, a = (2√3/9)/(√2/√3)⁴ = √3/2
এখন,ar² = √3/2 × (√2/√3)² = 1/√3

৩৬.

2 - 4 + 8 - 16 + ........ ধারাটির প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত?

ক
- 128
খ
170
গ
128
ঘ
- 170

সঠিক উত্তর: ঘ

- 170

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

- 170

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 - 4 + 8 - 16 + ........ ধারাটির প্রথম 8টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 4/2 = - 2 [r < 1]
পদসংখ্যা, n = 8

প্রথম 8টি পদের সমষ্টি = {a(1 - r⁸)}/(1 - r)
= {2(1 - (- 2)⁸}/{(1 - (-2)}
= {2(1 - 256)}/(1 + 2)
= {2(- 255)}/3
= - (2 × 255)/3
= - 510/3
= - 170

৩৭.

7 + 14 + 28 +.................. ধারাটির কোন পদ 896?

ক
ক) 6
খ
খ) 7
গ
গ) 8
ঘ
ঘ) 9

সঠিক উত্তর: গ

গ) 8

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 8

গ

ব্যাখ্যা

7 + 14 + 24+..................
ধারাটির প্রথম পদ a = 7
সাধারণ অনুপাত r= 14/7 = 2

n-তম পদ = ar^n-1
896 = 7.2^{n -1}
128 = 2^n-1
2^{n - 1} = 2⁷
n - 1 = 7
n = 7 +1
n = 8

৩৮.

কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

ক
ক) ১/৫, ১/২৫, ১/১২৫
খ
খ) ৩, ৯, ২৭
গ
গ) ৭, ৪২, ৮৪
ঘ
ঘ) ১/২, ১/৪ ১/৮

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৭, ৪২, ৮৪

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৭, ৪২, ৮৪

গ

ব্যাখ্যা

গুণোত্তর ধারা
যে ধারার যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় অর্থাৎ যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে।

যেমন:
১/৫, ১/২৫, ১/১২৫ ............, একটি গুণোত্তর ধারা।
৩, ৯, ২৭...............
১/২, ১/৪ ১/৮................

৩৯.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 128 ও 64 হলে, ধারাটির নবম পদ কত?

ক
1/2
খ
2
গ
1/4
ঘ
1

সঠিক উত্তর: ক

1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

1/2

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 128 ও 64 হলে, ধারাটির নবম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 128
দ্বিতীয় পদ = 64

∴ অনুপাত, r = 128/64
= 1/2

∴ অষ্টম পদ = ar^{9 - 1}
= ar⁸
= 128 × (1/2)⁸
= 128/256
= 1/2

৪০.

০.০৩, ০.১২, ০.৪৮ - শূন্যস্থানে সংখ্যাটি কত হবে?

ক
০.৯৬
খ
১.৪৮
গ
১.৯২
ঘ
১.৫০

সঠিক উত্তর: গ

১.৯২

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

১.৯২

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০.০৩, ০.১২, ০.৪৮ - শূন্যস্থানে সংখ্যাটি কত হবে?

সমাধান:
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা এবং এর সাধারণ অনুপাত ৪
১ম পদ = ০.০৩
২য় পদ = ০.০৩ × ৪ = ০.১২
৩য় পদ = ০.১২ × ৪ = ০.৪৮
৪র্থ পদ = ০.৪৮ × ৪ = ১.৯২

৪১.

5 - 5 + 5 - 5 + ............. ধারাটির (2n + 4) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) - 1
খ
খ) 5
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) - 5

সঠিক উত্তর: গ

গ) 0

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 0

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 - 5 + 5 - 5 + ............. ধারাটির (2n + 4) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি
১ম পদ = 5
সাধারণ অনুপাত r = - 5/5 = - 1

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি a(1 - rⁿ)/(1- r)
গুণোত্তর ধারার (2n + 4) সংখ্যক পদের সমষ্টি
= 5{1 - (- 1)^{(2n + 4)}}/{1 - (- 1)}
= 5{1 - 1}/{1 + 1}
= 5 × 0/2
= 0/2
= 0

৪২.

r এর কোন মানের জন্য a + ar + ar² + ... অসীম গুণােত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে?

ক
ক) r ≤ 1
খ
খ) r = 1
গ
গ) | r | ≥ 1
ঘ
ঘ) | r | < 1

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) | r | < 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) | r | < 1

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: r এর কোন মানের জন্য a + ar + ar² + ... অসীম গুণােত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে?

সমাধান:
|r| < 1 অর্থাৎ, -1 < r < 1 হলে, a + ar + ar² + ar³... অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, S∞ = a / (1-r).
r এর অন্য সকল মানের জন্য অসীম ধারাটির সমষ্টি থাকবে না।

৪৩.

2 + 4 + 8 + 16 +............. এই ধারাটির কততম পদের মান 128?

ক
5
খ
6
গ
7
ঘ
8

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 +............. এই ধারাটির কততম পদের মান 128?

সমাধান:
2 + 4 + 8 + 16 +.............
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2
∴ n তম পদ = ar^n-1
বা, 2.2^n-1 = 128
বা, 2^n-1+1 = 128
বা, 2ⁿ = 128
বা, 2ⁿ = 2⁷
∴ n = 7

∴ ধারাটির 7 তম পদের মান 128.

৪৪.

2 - 2 + 2 - 2 +....................... ধারাটির (2n + 5) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

ক
0
খ
1
গ
2
ঘ
3

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 - 2 + 2 - 2 +....................... ধারাটির (2n + 5) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = - 2/2 = - 1

nসংখ্যক পদের সমষ্টি = a(1 - rⁿ)/(1 - r)

∴ (2n + 5) সংখ্যক পদের সমষ্টি:
= 2{1 - (- 1)²ⁿ⁺⁵}/{1 - (- 1)}
= 2{1 - (- 1)}/ 2 [যেহেতু 2n + 5 বিজোড় সংখ্যা, তাই (- 1)^{2n + 5} = - 1]
= 2(1 + 1)/2
= 2 × 2/2
= 4/2
= 2

৪৫.

১ + ৩ + ৩^২ + ৩^৩ + ৩^৪ + ............... + n সংখ্যক পদের যোগফল কত?

ক
৩ⁿ/২
খ
(৩ⁿ - ১)/২
গ
৩^{(n - ১)}
ঘ
(৩ⁿ + ১)/২

সঠিক উত্তর: খ

(৩ⁿ - ১)/২

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

(৩ⁿ - ১)/২

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ১ + ৩ + ৩^২ + ৩^৩ + ৩^৪ + ............... + n সংখ্যক পদের যোগফল কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির প্রথম পদ a = ১
সাধারণ অনুপাত r = ৩/১ = ৩
আমরা জানি
n তম পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= ১(৩ⁿ - ১)/(৩ - ১)
= (৩ⁿ - ১)/২

৪৬.

1 + 2 + 4 +................. ধারার প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
63
খ
27
গ
36
ঘ
72

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. ধারার প্রথম 6 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2 [এখানে, r এর মান 1 থেকে বড় তাই]

∴ ধারাটির সমষ্টি, S_n = a.(rⁿ- 1)/r - 1
= 1. (2⁶ - 1)/2 - 1
= (64 - 1)/1
= 63

∴ 6 টি পদের সমষ্টি = 63 ।

৪৭.

০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + ........ ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-

ক
ক) 8/৩৩
খ
খ) ৪/৯৯
গ
গ) ১১২/৯৯
ঘ
ঘ) ১৪/৯৯

সঠিক উত্তর: ক

ক) 8/৩৩

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 8/৩৩

ক

ব্যাখ্যা

০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ + ......
= ০.১২ + ০.১২×০.০১ + ০.১২×(০.০১)^২ + ......
এখানে,
a = ০.১২, r = ০.০১ < ১
∴ n পদের সমষ্টি, s = a . {(১-rⁿ)/(১-r)}
= ০.১২ × {(১-(০.০১)ⁿ)/(১-০.০১)}
= ০.১২ × {(১-(১/১০০)ⁿ)/০.৯৯)}
= (০.১২/০.৯৯) × {১-(১/১০^২)ⁿ}
= (১২/৯৯) × {১-(১/১০^২n)}
n অসীম হলে, s = (১২/৯৯) × {১-(১/১০^∞)}
= (৪/৩৩)(১-০)
= ৪/৩৩

৪৮.

একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ √2 এবং অষ্টম পদ 8 হলে, ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক
ক) 1
খ
খ) √2
গ
গ) 0
ঘ
ঘ) 1/√2

সঠিক উত্তর: খ

খ) √2

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) √2

খ

ব্যাখ্যা

ধরি
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ a
গুণোত্তর ধারার সাধারণ অনুপাত r

দেয়া আছে,
তৃতীয় পদ = √2
অষ্টম পদ = 8

ar^{3 - 1} = ar² = √2 ...............(1)
ar^{8 - 1} = ar⁷ = 8...........(2)

(2) ÷ (1)
ar⁷/ar² = 8/√2
r⁵= 4√2
r⁵ = (√2)⁵
r = √2

৪৯.

১+০.১+০.০১+০.০০১+ ……………………. এই ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় করুন?

ক
ক) ১৯/১০
খ
খ) ১/১০
গ
গ) ১০/৮
ঘ
ঘ) ১০/৯

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ১০/৯

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) ১০/৯

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রথম পদ a = ১,
সাধারন অনুপাত d = ০.১/১ = ১/১০ < ১
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/1-r
= ১/১-(১/১০)
= ১০/৯

৫০.

5 + 15 + 45 + ............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 1215 হবে?

ক
6
খ
12
গ
3
ঘ
9

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 15 + 45 + ............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 1215 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3

ধরি,
n তম পদ = 1215
⇒ ar^{n - 1} = 1215
⇒ 5 × 3^{n - 1} = 1215
⇒ 3^{n - 1} = 1215/5 = 243
⇒ 3^{n - 1} = 3⁵
⇒ n - 1 = 5
∴ n = 5 + 1 = 6
∴ ধারাটির 6 তম পদ 1215 হবে।

৫১.

০.২ + ০.০৪ + ০.০০৮ + ০.০০১৬ + ............. ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

ক
০.৩২
খ
০.০৩২
গ
০.০০৩২
ঘ
০.০০০৩২

সঠিক উত্তর: ঘ

০.০০০৩২

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

০.০০০৩২

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ০.২ + ০.০৪ + ০.০০৮ + ০.০০১৬ + ............. ধারাটির পঞ্চম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = ০.২
সাধারণ অনুপাত, r = ০.০৪/০.২ = ০.২

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদ = ar^{n - ১}

∴ গুণোত্তর ধারাটির,
৫ম পদ = ar^{৫ - ১}
= ০.২ × (০.২)^{৫ - ১}
= ০.২ × (০.২)^৪
= ০.২ × ০.২ × ০.২ × ০.২ × ০.২
= ০.০০০৩২

৫২.

81 + 27 + 9 + … ধারাটির সপ্তম পদ কত?

ক
1/9
খ
1/27
গ
1/81
ঘ
1/243

সঠিক উত্তর: ক

1/9

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

1/9

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 81 + 27 + 9 + … ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
প্রথম পদ, a = 81
সাধারণ অনুপাত, r = 27/81 = 1/3

আমরা জানি,
গুনোত্তর ধারার n তম পদ, a_n= a × r^{n - 1}
⇒ a₇ = a × r^{7 - 1}
⇒ a₇ = 81 × (1/3)⁶
⇒ a₇ = 81 × (1/729)
⇒ a₇ = 81/729
∴ a₇= 1/9

∴ সপ্তম পদ = 1/9

৫৩.

কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

ক
২ + ৫ + ৮ + .....................
খ
১/২ + ১/৪ + ১/৮ + ................
গ
৩ + ৯ + ২৭ +...............
ঘ
২ + ৪ + ৮ + ...........

সঠিক উত্তর: ক

২ + ৫ + ৮ + .....................

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

২ + ৫ + ৮ + .....................

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

সমাধান:
গুণোত্তর ধারা
যে ধারার যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় অর্থাৎ যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে।

যেমন:
২ + ৪ + ৮ + ........... একটি গুণোত্তর ধারা।
৩, ৯, ২৭...............
১/২, ১/৪ ১/৮................

৫৪.

একজন ব্যক্তি প্রথম দিন 3 টাকা দান করে এবং প্রতিদিন তার দানের পরিমাণ আগের দিনের দ্বিগুণ হয়। 10 দিন পর্যন্ত সে মোট কত টাকা দান করেছে?

ক
1023
খ
3069
গ
2046
ঘ
4095

সঠিক উত্তর: খ

3069

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

3069

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একজন ব্যক্তি প্রথম দিন 3 টাকা দান করে এবং প্রতিদিন তার দানের পরিমাণ আগের দিনের দ্বিগুণ হয়। 10 দিন পর্যন্ত সে মোট কত টাকা দান করেছে?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারা। যার,
প্রথম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 2
এবং মোট দিন, n = 10

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারা সমষ্টি, Sn = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) ; [r > 1]
S₁₀ = 3 × (2¹⁰ - 1)/(2 - 1)
= 3 × (1024 - 1)
= 3 × 1023
= 3069 টাকা

সুতরাং, ঐ ব্যক্তি 10 দিনে মোট 3069 টাকা দান করেছেন।

৫৫.

5 + x + y + 135 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে y এর মান কত?

ক
ক) 25
খ
খ) 49
গ
গ) 35
ঘ
ঘ) 45

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 45

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 45

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + x + y + 135 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে y এর মান কত?

সমাধান:
এখানে,
প্রথম পদ, a = 5
ধরি, সাধারণ অনুপাত, r
চতুর্থ পদ = 135
ar^4-1= 135
r³ = 135/5 = 27
r = 3

এখানে, y হলো তৃতীয় পদ
∴ y = ar^n-1
= 5 × 3^3-1
= 45

৫৬.

1/2 + 1/4 + 1/8 + ……. ধারাটির ১ম পাঁচটি পদের সমষ্টি-

ক
32/31
খ
31/32
গ
29/31
ঘ
31/33

সঠিক উত্তর: খ

31/32

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

31/32

খ

ব্যাখ্যা

১ম পদ a = 1/2
সাধারণ অনুপাত r = 1/2 < 1
এবং, n = 5

∴ সমষ্টি = a × {1 - (1/2)⁵}/(1 - 1/2)
= {1/2 × (1 - 1/32)}/(1/2)
= 1 - 1/32
= (32 - 1)/32
= 31/32

৫৭.

৮১, ২৭, ___, ৩, ১ ... ধারার লুপ্ত পদটি কত?

ক
ক) ১৫
খ
খ) ২১
গ
গ) ৯
ঘ
ঘ) ৬

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৯

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) ৯

গ

ব্যাখ্যা

৮১, ২৭, ___, ৩, ১ ...
= ৩^৪, ৩^৩, ৩^২, ৩^১, ৩^০ .....
∴ ৩^২ = ৯, পদটি লুপ্ত।

৫৮.

একটি ধারার n-তম পদ m^{(2n - 1)} + 5 এবং ২য় পদ 32 হলে, m-এর মান কত?

ক
3
খ
5
গ
7
ঘ
2

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি ধারার n-তম পদ m^{(2n - 1)} + 5 এবং ২য় পদ 32 হলে, m-এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারার n-তম পদ = m^{(2n - 1)} + 5
এবং
২য় পদ = 32 ; অর্থাৎ, n = 2
⇒ m^{(2 × 2 - 1)} + 5 = 32
⇒ m^{(4 - 1)} + 5 = 32
⇒ m³ = 32 - 5
⇒ m³ = 27
⇒ m³ = 3³
∴ m = 3

৫৯.

2 + 4 + 8 + --- --- ---- ধারাটির দশম পদ কত?

ক
ক) 2⁸
খ
খ) 2⁹
গ
গ) 2¹⁰
ঘ
ঘ) 2¹¹

সঠিক উত্তর: গ

গ) 2¹⁰

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ) 2¹⁰

গ

ব্যাখ্যা

ধারাটির দশম পদ = ar^{10 -1} = ar⁹ = 2 × 2⁹ = 2¹⁰
---------------------------------------------------
সংক্ষেপে,
2 + 4 + 8 + --- --- ----
= 2¹ + 2² + 2³ + --- --- ---
১ম পদ = 2¹
২য় পদ = 2²
৩য় পদ = 2³
-----------------------
অতএব, দশম পদ = 2¹⁰

৬০.

(1³ + 2³ + 3³ + .............. + n³)/(1 + 2 + 3 + ............... + n) = 66 হলে, n এর মান কত?

ক
ক) 10
খ
খ) 11
গ
গ) 12
ঘ
ঘ) 13

সঠিক উত্তর: খ

খ) 11

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 11

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1³ + 2³ + 3³ + .............. + n³)/(1 + 2 + 3 + ............... + n) = 66 হলে, n এর মান কত?

সমাধান:
(1³ + 2³ + 3³ + .............. + n³)/(1 + 2 + 3 + ............... + n) = 66
{n(n + 1)/2}²/{n(n + 1)/2} = 66
n(n + 1)/2 = 66
n(n + 1) = 132
n² + n - 132 = 0
n² + 12n - 11n - 132 = 0
n(n + 12) - 11 (n + 12 )= 0
(n + 12)(n - 11) = 0
হয়
n + 12 = 0
n = - 12 [গ্রহণযোগ্য নয়]
অথবা
n - 11 = 0
n = 11

৬১.

1 + 3 + 3² + 3³ + ......+ 3⁵ = ?

ক
324
খ
360
গ
364
ঘ
396

সঠিক উত্তর: গ

364

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

364

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 3 + 3² + 3³ + ......+ 3⁵ = ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারাটির প্রথম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 3/1 = 3
পদসংখ্যা, n = 6 টি

গুণোত্তর ধারার n-সংখ্যক পদের সমষ্টি = a × (rⁿ - 1)/(r - 1) [যেখানে, r > 1]

∴ ধারাটির 6 টি পদের সমষ্টি = 1 × {(3⁶ - 1)/(3 -1)}
= (729 - 1)/2
= 728/2
= 364

৬২.

4 + 8 + 16 +32 ........ ধারাটির 8 তম পদ কত?

ক
512
খ
524
গ
610
ঘ
643

সঠিক উত্তর: ক

512

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

512

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 8 +16 +32 ........ ধারাটির 8 তম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
১ম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 8/4 = 2

∴ 8 তম পদ = ar^8-1 = ar⁷
= 4 × (2)⁷
= 4 × 128
= 512

৬৩.

5 + 15 + m + n + 405 + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে m + n এর মান কত?

ক
170
খ
180
গ
190
ঘ
200

সঠিক উত্তর: খ

180

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

180

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 15 + m + n + 405 + ........ একটি গুণোত্তর ধারা হলে m + n এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = ar^{n - 1}

তাহলে,
ধারাটির তৃতীয় পদ, m = ar²
= 5 × 3²
= 5 × 9
= 45

ধারাটির চতুর্থ পদ, n = ar³
= 5 × 3³
= 5 × 27
= 135

∴ m + n = 45 + 135 = 180

৬৪.

২ - ৪ + ৮ - ১৬ + .................. ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত?

ক
১৬৮
খ
- ১৭০
গ
১৭২
ঘ
- ১৭৪

সঠিক উত্তর: খ

- ১৭০

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

- ১৭০

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: ২ - ৪ + ৮ - ১৬ + .................. ধারাটির প্রথম ৮টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম পদ, a = ২
সাধারন অনুপাত, r = - ৪/২ = - ২
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এবং পদ সংখ্যা, n = ৮

আমরা জানি,
n সংখ্যক পদের সমষ্টি = a . (১ - rⁿ)/(১ - r)
∴ ৮টি পদের সমষ্টি = ২ . {১ - (- ২)^৮}/(১ + ২)
= ২ (১ - ২৫৬)/৩
= ২ × (- ২৫৫)/৩
= ২ × (- ৮৫)
= - ১৭০

৬৫.

3 - 3 + 3 - 3 + ............. ধারাটির (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি কত?

ক
ক) 3
খ
খ) 1
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 0

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 0

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ) 0

ঘ

ব্যাখ্যা

ধরি
১ম পদ = 3
সাধারণ অনুপাত r = - 3/3 = - 1

গুণোত্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি a(1 - rⁿ)/(1- r)
গুণোত্তর ধারার (2n + 2) সংখ্যক পদের সমষ্টি
= 3{1 - (- 1)^{(2n + 2)}}/{1 - (- 1)}
= 3{1 - 1}/{1 + 1}
= 3 × 0/2
= 0/2
= 0

৬৬.

2 + 4 + 8 + 16 + ............. এই ধারাটির কোন পদের মান 512?

ক
7
খ
8
গ
9
ঘ
6

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 2 + 4 + 8 + 16 + ............. এই ধারাটির কোন পদের মান 512?

সমাধান:
2 + 4 + 8 + 16 + .............
ধারাটির ১ম পদ, a = 2
সাধারণ অনুপাত, r = 4/2 = 2

∴ n তম পদ = ar^{n - 1}
বা, 2.2^{n - 1} = 512
বা, 2^{1 + n - 1} = 512
বা, 2ⁿ = 512
বা, 2ⁿ = 2⁹
∴ n = 9

∴ ধারাটির 9 তম পদের মান 512.

৬৭.

1³ + 2³ + 3³ + ...........+ n³ = 225, n এর মান কত?

ক
ক) 7
খ
খ) 5
গ
গ) 9
ঘ
ঘ) 11

সঠিক উত্তর: খ

খ) 5

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 5

খ

ব্যাখ্যা

1³ + 2³ + 3³+...........+n³ = 225
{n(n + 1)/2}²= 225
n(n + 1)/2 = 15
n(n + 1) = 30
n² + n - 30 = 0
n² + 6n - 5n - 30 = 0
n(n+6) - 5(n+6) = 0
(n - 5)(n + 6) = 0

হয় অথবা
n - 5 = 0 n + 6 = 0
n = 5 n = - 6 [গ্রহণযোগ্য নয়, কেননা n এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না]

৬৮.

3 + 3√2 + 6 + 6√2 + .......... ধারাটির কোন পদ 192 হবে?

ক
10 তম
খ
12 তম
গ
13 তম
ঘ
17 তম

সঠিক উত্তর: গ

13 তম

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

13 তম

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 3√2 + 6 + 6√2 + .......... ধারাটির কোন পদ 192 হবে?

সমাধান:
ধারাটি গুণোত্তর ধারা।
কারণ এদের সাধারণ অনুপাত r = ২য় পদ/১ম পদ = 3√2/3 = √2
১ম পদ a = 3
∴ n তম পদ = ar^{n - 1}

শর্তমতে,
ar^{n - 1} = 192
⇒ 3 × (√2)^{n - 1} = 192
⇒ (√2)^{n - 1} = 64
⇒ (2^1/2)^{n - 1} = 2⁶
⇒ 2^{(n - 1)/2} = 2⁶
⇒ (n - 1)/2 = 6
⇒ n - 1 = 12
∴ n = 13

৬৯.

1 + (1/3) + (1/9) + (1/27) + ..... ধারাটির প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

ক
364/729
খ
364/243
গ
243/364
ঘ
729/364

সঠিক উত্তর: খ

364/243

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

364/243

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + (1/3) + (1/9) + (1/27) + ..... ধারাটির প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা,
যার ১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = 1/3 ÷ 1 = 1/3 ; r < 1

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদের সমষ্টি
S_n = a(1 - rⁿ)/( 1 - r)
S₆ = 1 × {1 - (1/3)⁶}/ (1 - 1/3)
= (1 - 1/3⁶) / 2/3
= (1 - 1/729) / (2/3)
= 728/729 × 3/2
= 364/243

৭০.

কোনো অনুক্রমের n তম পদ n + 2^{n + 1} এর চতুর্থ পদ ও পঞ্চম পদের পার্থক্য কত?

ক
ক) 30
খ
খ) 33
গ
গ) 36
ঘ
ঘ) 39

সঠিক উত্তর: খ

খ) 33

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 33

খ

ব্যাখ্যা

দেয়া আছে,
n তম পদ n + 2^{n + 1}
চতুর্থ পদ = 4 + 2^{4 + 1}
= 4 + 2⁵
= 4 + 32
= 36
পঞ্চম পদ = 5 + 2^{5 + 1}
= 5 + 2⁶
= 5 + 64
= 69

চতুর্থ পদ ও পঞ্চম পদের পার্থক্য = 69 - 36
= 33

৭১.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি ২০ এবং ষষ্ঠ (6-তম) পদটি 160 হলে প্রথম পদটি-

ক
5
খ
10
গ
12
ঘ
8

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি ২০ এবং ষষ্ঠ (6-তম) পদটি 160 হলে প্রথম পদটি-

সমাধান:
গুণোত্তর অনুক্রমে ১ম পদ a
সাধারণ অনুপাত r

তৃতীয় পদ = 20
ar² = 20 ............ (1)

ষষ্ঠ পদ = 160
ar⁵ = 160 ............ (2)

(2) নং কে (1) দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁵/ar² = 160/20
বা, r³ = 8
∴ r = 2

(1) নং হতে পাই,
a (2)² = 20
বা, 4a = 20
∴ a = 5

৭২.

একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদ 20 এবং ষষ্ঠ পদ 160 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

ক
2
খ
5
গ
1
ঘ
3

সঠিক উত্তর: ক

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদ 20 এবং ষষ্ঠ পদ 160 হলে, সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
ধরি,
গুণোত্তর অনুক্রমে ১ম পদ= a
সাধারণ অনুপাত = r

∴ তৃতীয় পদ = 20
ar² = 20................(1)

∴ ষষ্ঠ পদ = 160
ar⁵ = 160 ............(2)

(2) নং কে (1) দ্বারা ভাগ করে পাই,
ar⁵/ar² = 160/20
⇒ r³ = 8
∴ r = 2

৭৩.

5 + 15 + 45 + …............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 3645 হবে?

ক
6 তম
খ
7 তম
গ
8 তম
ঘ
10 তম

সঠিক উত্তর: খ

7 তম

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

7 তম

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 15 + 45 + …............ গুণোত্তর ধারাটির কত তম পদ 3645 হবে?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15/5 = 3
ধরি, n তম পদ = 3645

ধরি,
n তম পদ = 3645
⇒ ar^{n - 1} = 3645
⇒ 5 × 3^{n - 1} = 3645
⇒ 3^{n - 1} = 729
⇒ 3^{n - 1} = 3⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
⇒ n = 7

∴ ধারাটির 7 তম পদ 3645 হবে।

৭৪.

(1/2) + (1/4) + (1/8) +................. ধারাটির 7 তম পদ কত?

ক
1/64
খ
1/128
গ
1/256
ঘ
1/32

সঠিক উত্তর: খ

1/128

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1/128

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/2) + (1/4) + (1/8) +................. ধারাটির 7 তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
প্রথম পদ a = 1/2
সাধারণ অনুপাত r = 1/2

গুণোত্তর ধারার n তম পদ সূত্র,
a_n = a × r^n-1
⇒ a₇ = (1/2) × (1/2)^7-1
⇒ a₇ = (1/2) × (1/2)⁶
⇒ a₇ = (1/2)⁷
⇒ a₇ = 1/128

∴ 7 তম পদ 1/128

৭৫.

একটি গুণোত্তর ধারার ৪র্থ পদ 54 এবং ৭ম পদ 1458। ধারাটির প্রথম পদ কত?

ক
4
খ
3
গ
6
ঘ
2

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ৪র্থ পদ 54 এবং ৭ম পদ 1458। ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = a × r^{(n - 1)}

∴ ৪র্থ পদ = a × r^{(4 - 1)}
⇒ ar³ = 54 ...... (১)
এবং
৭ম পদ = a × r^{(7 - 1)}
⇒ ar⁶ = 1458 ...... (২)

এখন,
(২) ÷ (১) করে পাই,
⇒ (ar⁶)/(ar³) = 1458/54
⇒ r³ = 27 = 3³
⇒ r = 3

(১) নং এ r = 3 বসিয়ে পাই,
⇒ a × 3³ = 54
⇒ a × 27 = 54
⇒ a = 54/27
⇒ a = 2

অতএব, প্রথম পদ, a = 2

৭৬.

4 - 4 + 4 - 4 + ............ ধারাটির (2n + 2) টি পদের সমষ্টি কত ?

ক
4
খ
0
গ
1
ঘ
কোনটি নয়

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 - 4 + 4 - 4 + ............... ধারাটির (2n + 2) টি পদের সমষ্টি কত ?

সমাধান:
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা ।
যার ১ম পদ, a = 4
এবং সাধারণ অনুপাত, r = - 4/4 = -1 ; r < 1

n তম পদের সমষ্টি, S_n = a( 1 - rⁿ )/( 1 -r )
(2n + 2 ) তম পদের সমষ্টি,S_n
= 4{ 1 - (- 1 )^{2n + 2}}/{ 1 - ( - 1 )}
= 4( 1 - 1 )/ ( 1 + 1 )
=( 4 × 0)/2
= 0

অথবা,
যেহেতু , ধারাটির ১ম দুটি পদের যোগফল = (4 - 4) = 0 এবং ধারাটি এই ভাবে অগ্রসর হচ্ছে । তাই ধারাটি যেকোনো সংখ্যক জোড়া পদের সমষ্টি = 0 হবে। এখানে (2n + 2 ) দ্বারা জড়া পদ বুঝানো হয়েছে । তাই ধারাটির (2n + 2 ) সংখ্যক জোড়া পদের সমষ্টি = 0

৭৭.

4 + 12 + 36 + ...... + 972 ধারাটির সমষ্টি কত?

ক
1456
খ
1510
গ
1484
ঘ
1612

সঠিক উত্তর: ক

1456

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

1456

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 12 + 36 + ...... + 972 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
প্রদত্ত ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা।
এখানে,
প্রথম পদ, a = 4
সাধারণ অনুপাত, r = 12 ÷ 4 = 3 (r > 1)

প্রশ্নমতে,
n-তম পদ = 972
⇒ ar^{n - 1} = 972
⇒ 4 × 3^{n - 1} = 972
⇒ 3^{n - 1} = 243
⇒ 3^{n - 1} = 3⁵
⇒ n - 1 = 5
∴ n = 6

∴ ধারাটির সমষ্টি S_n = a(rⁿ - 1)/(r - 1)
= 4 × (3⁶ - 1)/(3 - 1)
= 4 × (729 - 1)/2
= 4 × 364
= 1456

∴ ধারাটির সমষ্টি হলো 1456

৭৮.

4 + 8 + 16 + .......... + 256 ধারাটি একটি-

ক
গুণোত্তর ধারা
খ
ফিবোনাচ্চি ধারা
গ
অনন্ত ধারা
ঘ
সমান্তর ধারা

সঠিক উত্তর: ক

গুণোত্তর ধারা

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

গুণোত্তর ধারা

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 8 + 16 + .......... + 256 ধারাটি একটি-

সমাধান:
গুণোত্তর ধারা: কোনো ধারার যেকোনো পদ ও এর পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সব সময় সমান হলে অর্থাৎ, যেকোনো পদকে এর পূর্ববর্তী পদ দ্বারা ভাগ করে ভাগফল সর্বদা সমান পাওয়া গেলে, সে ধারাটিকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে।
গুণোত্তর ধারার ক্ষেত্রে,
প্রথম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r হলে,
n তম পদ (সাধারণ পদ) = ar^n-1

উক্ত ধরাটির ক্ষেত্রে,
8/4 = 2
16/8 = 2
যা গুণোত্তর ধারা নির্দেশ করে।

৭৯.

কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

ক
4
খ
8
গ
16
ঘ
কোনটিই নয়

সঠিক উত্তর: গ

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ 4 এবং সাধারণ অনুপাত 1/2 হলে ধারাটির প্রথম পদ কত?

সমাধান:
ধরি,
ধারাটির প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r

দেওয়া আছে,
ধারার সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
এবং তৃতীয় পদ = 4

প্রশ্নমতে,
a(1/2)^{3 -1} = 4
⇒ a × (1/2)² = 4
⇒ a × (1/4) = 4
⇒ a = 4 × 4
⇒ a = 16

৮০.

চলকের উপর কী শর্ত আরোপ করলে 1/(a + 1) + 1/(a + 1)² + 1/(a + 1)³ + --- --- --- ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে?

ক
ক) ।1/(a + 1)। < 1
খ
খ) ।1/(a + 1)। > 1
গ
গ) ।(a + 1)। < 1
ঘ
ঘ) ।(a + 1)। > 1

সঠিক উত্তর: ক

ক) ।1/(a + 1)। < 1

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) ।1/(a + 1)। < 1

ক

ব্যাখ্যা

১ম পদ = 1/(a + 1)
সাধারণ অনুপাত = 1/(a + 1) ÷ 1/(a + 1)² = 1/(a + 1)
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ।1/(a + 1)। < 1 হয়।

৮১.

একটি গুণোত্তর ধারা। যদি x = 1 হয়, তবে ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক
2/3
খ
1/3
গ
4/3
ঘ
5/3

সঠিক উত্তর: খ

1/3

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1/3

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারা। যদি x = 1 হয়, তবে ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
{1/(2x + 1)} + {1/(2x + 1)²} + {1/(2x + 1)³} + .............
যদি x = 1 হয়
{1/(2 × 1 + 1)} + {1/(2 × 1 + 1)²} + {1/(2 × 1 + 1)³} + .............
(1/3) + (1/3²) (1/3³) + ..................

এখানে
১ম পদ a = 1/3
সাধারণ অনুপাত r = (1/32) ÷ (1/3)
= (1/9) × (3/1)
= 1/3

৮২.

নিচের কোনটি গুণোত্তর ধারা নয়?

ক
১/৫, ১/২৫, ১/১২৫
খ
৯, ১৮, ২৭
গ
১৭, ৩৪, ৬৮
ঘ
৩, ৯, ২৭

সঠিক উত্তর: খ

৯, ১৮, ২৭

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

৯, ১৮, ২৭

খ

ব্যাখ্যা

গুণোত্তর ধারা:
যে ধারার যেকোনো পদের সাথে তার পূর্ববর্তী পদের অনুপাত সর্বদা সমান হয় অর্থাৎ যেকোনো পদকে তার পূর্ববর্তী পদ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল সব সময় সমান হয়, সে ধারাকে গুণোত্তর ধারা বলে এবং ভাগফলকে সাধারণ অনুপাত বলে।

এখানে,
১/৫, ১/২৫, ১/১২৫ ধারায়
(১/২৫) ÷ (১/৫) = (১/২৫) × ৫ = ১/৫
(১/১২৫) ÷ (১/২৫) = (১/১২৫) × ২৫ = ১/৫

∴ ধারাটি গুণোত্তর ধারা

৯, ১৮, ২৭ ধারায়
১৮ ÷ ৯ = ২
২৭ ÷ ১৮ = ৩/২

∴ ধারাটি গুণোত্তর ধারা নয়

১৭, ৩৪, ৬৮ ধারায়
৩৪ ÷ ১৭ = ২
৬৮ ÷ ৩৪ = ২

∴ ধারাটি গুণোত্তর ধারা

৩, ৯, ২৭ ধারায়
৯ ÷ ৩= ৩
২৭ ÷ ৯ = ৩

∴ ধারাটি গুণোত্তর ধারা

৮৩.

1 + (1/2) + (1/4) + ......... প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

ক
64/31
খ
63/32
গ
64/33
ঘ
16/13

সঠিক উত্তর: খ

63/32

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

63/32

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + (1/2) + (1/4) + ......... প্রথম 6টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ, a = 1
সাধারণ অনুপাত, r = (1/2)/1
= 1/2

∴ S₆ = {1 × (1 - rⁿ)/(1 - r)}
= [1 × {1 - (1/2)⁶}/{1 - (1/2)}]
= {1 - (1/64)}/{1 - (1/2)}
= {(64 - 1)/64}/{(2 - 1)/2}
= (63/64)/(1/2)
= (63/64) × (2/1)
= 63/32

৮৪.

(1/3) + (1/9) + (1/27) + (1/81) + .......... অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
1/2
খ
1/3
গ
1/7
ঘ
1

সঠিক উত্তর: ক

1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

1/2

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: (1/3) + (1/9) + (1/27) + (1/81) + .......... অসীম গুণোত্তর ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
মনে করি,
১ম পদ, a = 1/3

সাধারণ অনুপাত, r = (1/9) ÷ (1/3)
= (1/9) × (3/1)
= 1/3 < 1

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
= a/(1 - r)
= (1/3) ÷ (1 - 1/3)
= (1/3) ÷ (2/3)
= (1/3) × (3/2)
= 1/2

৮৫.

27, -9, 3, -1 ........ অনুক্রমের পরবর্তী সংখ্যাটি কত?

ক
ক) ১/৩
খ
খ) -১/৩
গ
গ) -৩
ঘ
ঘ) ১

সঠিক উত্তর: ক

ক) ১/৩

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) ১/৩

ক

ব্যাখ্যা

ধারার প্রতিটি পদের মান আগের পদকে -৩ দ্বারা ভাগ করলে পাওয়া যায় পরের পদটি। সে মোতাবেক অনুক্রমের পরের পদ হবে ১/৩।

৮৬.

একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 1/5 এবং অসমীতক সমষ্টি 1/7 হলে ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক
2/5
খ
1/5
গ
- 2/5
ঘ
- 1/5

সঠিক উত্তর: গ

- 2/5

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

- 2/5

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার ১ম পদ 1/5 এবং অসমীতক সমষ্টি 1/7 হলে ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
গুণোত্তর ধারার ১ম পদ, a = 1/5
গুণোত্তর ধারার অসমীতক সমষ্টি, S_∞ = 1/7

আমরা জানি,
অসীম পদের সমষ্টি, S_∞ = a/(1 - r)
বা, S_∞ = a/(1 - r)
বা, S_∞ - S_∞r = a
বা, S_∞r = S_∞ - a
বা, r = (S_∞ - a)/S_∞
বা, r = {(1/7) - (1/5)}/(1/7)
বা, r = {(5 - 7)/35}/(1/7)
বা, r = (- 2/35)/(1/7)
বা, r = -2/35 × 7/1
∴ r = - 2/5

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = - 2/5 ।

৮৭.

64 + 32 + 16 + 8 + ..... ধারাটির ৮ম পদ কত?

ক
ক) 1
খ
খ) 1/2
গ
গ) 3/2
ঘ
ঘ) 2

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1/2

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ) 1/2

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 64 + 32 + 16 + 8 + ..... ধারাটির ৮ম পদ কত?

সমাধান:
এখানে,
32 ÷ 64 = 1/2
16 ÷ 32 = 1/2
ইহা একটি গুণোত্তর ধারা।

প্রথম পদ, a = 64
সাধারণ অনুপাত, r = 1/2
n = 8

আমরা জানি,
n তম পদ, ar^{n -1}∴৮ম পদ = 64 × (1/2)^{8 - 1}
= 64 × (1/2⁷)
= 64/128
= 1/2

৮৮.

12 + 24 + 48 + ............. + 768 ধারাটির সমষ্টি কত?

ক
1475
খ
1920
গ
1771
ঘ
1524

সঠিক উত্তর: ঘ

1524

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

1524

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 12 + 24 + 48 + ............. + 768 ধারাটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
12 + 24 + 48 + ............. + 768
ধারাটির প্রথম পদ, a = 12
সাধারন অনুপাত, r = 24/12 = 2
∴ n-তম পদ = ar^n-1
⇒ 768 = 12.2^n-1
⇒ 64 = 2^n-1
⇒ 2^n-1 = 2⁶
⇒ n - 1 = 6
⇒ n = 6 + 1
∴ n = 7

∴ ধারাটির সমষ্টি = a(rⁿ- 1)/(r - 1)
= 12 × (2⁷- 1)/(2 - 1)
= 12 × (128 - 1)
= 12 × 127
= 1524

৮৯.

3 + 9 + 27 + ......... ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি নির্ণয় করুন।

ক
(3¹⁴ - 1)
খ
(3/2) × (3¹⁴ - 1)
গ
3/2
ঘ
(3/2) × 3¹⁴

সঠিক উত্তর: খ

(3/2) × (3¹⁴ - 1)

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

(3/2) × (3¹⁴ - 1)

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 3 + 9 + 27 + ......... ধারাটির প্রথম চৌদ্দটি পদের সমষ্টি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 3
সাধারণ অনুপাত, r = 9/3 = 3 > 1
পদ সংখ্যা, n = 14

আমরা জানি,
n তম পদের সমষ্টি = a(rⁿ - 1) / (r - 1) ; [যখন r > 1]

∴ প্রথম 14টি পদের সমষ্টি = 3(3¹⁴ - 1) / (3 - 1)
= (3/2) × (3¹⁴ - 1)

৯০.

একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

ক
1/2
খ
1/4
গ
1/8
ঘ
1/16

সঠিক উত্তর: খ

1/4

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

1/4

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 16 ও 8 হলে, ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 16
দ্বিতীয় পদ = 8

∴ সাধারণ অনুপাত, r = 8/16 = 1/2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n-তম পদ হলো ar^{n - 1}

∴ সপ্তম পদ = ar^{7 - 1}
= 16 × (1/2)⁶
= 16 × (1/64)
= 16/64
= 1/4

৯১.

7 + x + y + 2401 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এর মান কত?

ক
14
খ
49
গ
27
ঘ
343

সঠিক উত্তর: খ

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 7 + x + y + 2401 গুণোত্তর ধারাভুক্ত হলে, x এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
১ম পদ, a = 7
সাধারণ অনুপাত = r

আমরা জানি,
n তম পদ = ar^{n - 1}
২য় পদ = ar^{2 - 1} = ar = x
৩য় পদ = ar^{3 - 1} = 7r² = y
৪র্থ পদ = ar^{4 - 1} = ar³

প্রশ্নমতে,
ar³ = 2401
বা, 7r³ = 2401
বা, r³ = 2401/7
বা, r³ = 343
বা, r³ = 7³
বা, r = 7

∴ x = ar
= 7 × 7
= 49

∴ x এর মান 49.

৯২.

1 + 2 + 4 +................. 7 টি পদের সমষ্টি কত?

ক
63
খ
89
গ
115
ঘ
127

সঠিক উত্তর: ঘ

127

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

127

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 1 + 2 + 4 +................. 7 টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
ধারাটির ১ম পদ, a = 1
ধারাটির সাধারণ অনুপাত, r = 2/1 = 2
এখানে, r এর মান 1 থেকে বড় তাই,

∴ সমষ্টি, S_n = a(rⁿ - 1)/r - 1
= 1 × (2⁷ - 1)/2 - 1
= (128 - 1)/1
= 127

∴ 7 টি পদের সমষ্টি = 127 ।

৯৩.

4 + (4/7) + (4/49) + ....... ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

ক
1/6
খ
2/3
গ
1/7
ঘ
2/5

সঠিক উত্তর: গ

1/7

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

1/7

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + (4/7) + (4/49) + ....... ধারাটির সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ধারাটির ১ম পদ, a = 4
২য় পদ = 4/7

∴ সাধারণ অনুপাত, r = ২য় পদ / ১ম পদ
= (4/7) / 4
= (4/7) × (1/4)
= 1/7

৯৪.

কোনো অনুক্রমের n তম পদ = {1 - (- 1)ⁿ}/2 হলে, 100 তম পদ কত হবে?

ক
ক) 0
খ
খ) 1
গ
গ) - 1
ঘ
ঘ) 1/2

সঠিক উত্তর: ক

ক) 0

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

ক) 0

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: কোনো অনুক্রমের n তম পদ = {1 - (- 1)ⁿ}/2 হলে, 100 তম পদ কত হবে?

সমাধান:
দেয়া আছে
n তম পদ = {1 - (- 1)ⁿ}/2
100 তম পদ = {1 - (- 1)¹⁰⁰}/2
= (1 - 1)/2
= 0/2
= 0

৯৫.

p + q + r + s + ................ একটি গুণোত্তর ধারা হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক
p = (q + r)/2
খ
r/q = p/q
গ
s/p = r/q
ঘ
q/p = s/r

সঠিক উত্তর: ঘ

q/p = s/r

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

q/p = s/r

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: p + q + r + s + ................ একটি গুণোত্তর ধারা হলে নিচের কোনটি সঠিক?

সমাধান:
p + q + r + s + . . . . একটি গুণোত্তর ধারা হলে,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত = ২য় পদ/১মপদ = ৩য় পদ/২য় পদ = চতুর্থ পদ/৩য় পদ
∴ q/p = r/q = s/r

∴ q/p = s/r সম্পর্কটি সঠিক।

৯৬.

5 + 15 + 45 + 135 +............ ধারাটির সপ্তম পদ কত?

ক
3200
খ
3645
গ
4500
ঘ
6438

সঠিক উত্তর: খ

3645

উত্তর

সঠিক উত্তর: খ

3645

খ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 15 + 45 + 135 +............ ধারাটির সপ্তম পদ কত?

সমাধান:
ধারাটি হলো একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 15 ÷ 5 = 3

আমরা জানি, গুণোত্তর ধারার n-তম পদের সূত্র হলো,
n-তম পদ = a × r^{(n - 1)}
সুতরাং, ধারাটির সপ্তম পদ হবে:
7- তম পদ = 5 × 3^{(7 - 1)}
= 5 × 3⁶
= 5 × 729
= 3645
অতএব, ধারাটির সপ্তম পদ 3645।

৯৭.

log8 + log64 + log512 + ………. ধারাটির ১ম নয়টি পদের সমষ্টি কত?

ক
55log8
খ
5log6
গ
45log8
ঘ
log8

সঠিক উত্তর: গ

45log8

উত্তর

সঠিক উত্তর: গ

45log8

গ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: log8 + log64 + log512 + ………. ধারাটির ১ম নয়টি পদের সমষ্টি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
= log8 + log64 + log512 + ……….
= log8 + log8² + log8³ + ……….
= log8 + 2log8 + 3log8 + ……….
= (1 + 2 + 3 +.....)log8

এখন,
1 + 2 + 3 +..... ধারাটির 9 টি পদের সমষ্টি = n(n + 1)/2
= 9(9 + 1)/2
= 45

সুতরাং প্রদত্ত ধারাটির সমষ্টি = 45log8

৯৮.

একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ ২০ এবং ষষ্ঠ পদ ১৬০ হলে সাধারণ অনুপাত কত?

ক
২
খ
৩
গ
৫
ঘ
৭

সঠিক উত্তর: ক

২

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

২

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: একটি গুণোত্তর ধারার তৃতীয় পদ ২০ এবং ষষ্ঠ পদ ১৬০ হলে সাধারণ অনুপাত কত?

সমাধান:
মনে করি,
গুণোত্তর ধারার প্রথম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
৩য় পদ = ar^{3 - 1} = 20
⇒ ar² = 20 ------------ (1)

৬ষ্ঠ পদ = ar^{6 - 1} = 160
⇒ ar⁵ = 160 ----------- (2)

(2) ÷ (1) হতে পাই,
ar⁵/ar² = 160/20
⇒ r³ = 8
⇒ r³ = 23
∴ r = 2

∴ ধারাটির সাধারণ অনুপাত = 2

৯৯.

5 + 10 + 20 + 40 + .......... ধারাটির 10 তম পদ কত?

ক
2560
খ
1530
গ
2250
ঘ
2660

সঠিক উত্তর: ক

2560

উত্তর

সঠিক উত্তর: ক

2560

ক

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 5 + 10 + 20 + 40 + .......... ধারাটির 10 তম পদ কত?

সমাধান:
এটি একটি গুণোত্তর ধারার যার,
প্রথম পদ, a = 5
সাধারণ অনুপাত, r = 10/5 = 2

আমরা জানি,
গুণোত্তর ধারার n তম পদ = a × r^{(n - 1)}
গুণোত্তর ধারার 10 তম পদ = 5 × 2^{(10 - 1)}
= 5 × 2⁹
= 5 × 512
= 2560

অতএব, 10 ম পদ 2560

১০০.

4 + (4/3) + (4/9) + ............ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

ক
0
খ
1/4
গ
7
ঘ
6

সঠিক উত্তর: ঘ

উত্তর

সঠিক উত্তর: ঘ

ঘ

ব্যাখ্যা

প্রশ্ন: 4 + 4/3 + 4/9 + ............ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?

সমাধান:
১ম পদ a = 4
সাধারণ অনুপাত r = (4/3)/4
= (4/3) × (1/4)
= 1/3

অসীমতক সমষ্টি = a/(1 - r)
= 4/{1 - (1/3)}
= 4/{(3 - 1)/3}
= 4/(2/3)
= 4 × 3/2
= 6