পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

ধরি সংখ্যাটি “ক”
প্রশ্নমতে,
৬ + ৮ + ১০ = ৭ + ৯ + ক
বা, ২৪ = ১৬ + ক
∴ক = ৮

প্রান্তিক রাশিদ্বয়কে গণনা করে ৫০ হতে ৭০ পর্যন্ত মোট ২১টি সংখ্যা আছে।
অতএব, n(S) = ২১
২১টি সংখ্যার মধ্যে ৫৩, ৫৯, ৬১, ৬৭ এই চারটি মৌলিক সংখ্যা।
অতএব, n(A) = ৪
অতএব, প্রতিটানে মৌলিক সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাব্যতা, P(A) = ৪/২১

প্রশ্ন: 10 থেকে 20 পর্যন্ত সংখ্যাগুলি থেকে একটি সংখ্যা দৈবভাবে পছন্দ করা হলে, সেই সংখ্যাটির মৌলিক সংখ্যা হবার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
10 থেকে 20 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = 11,13,17,19
অনূকুলে মোট ফলাফল = 4
10 থেকে 20 পর্যন্ত সংখ্যা = 11টি 
নির্ণেয় সম্ভাবনা = 4/11

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৫টি সাদা এবং ৩টি কালো বল রয়েছে। যদি ২টি বল একসাথে নেওয়া হয়, দুটি কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল = ৫ + ৩ = ৮

২টি বল একত্র বাছাই করলে ফলাফল, 
= (৮ × ৭)/২ 
= ৫৬/২
= ২৮

৩টি কালো বলের মাঝে ২টি কালো বল বাছাইয়ের উপায়, 
= (৩ × ২)/২
= ৬/২
= ৩

তাহলে,
২টি কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা = ৩/২৮

∴ ২টি কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা = ৩/২৮

প্রশ্ন: ১৬, ২৪, ১৯, ১৩, ১১, ২৯ উপাত্তগুলোর জন্য কোন তথ্যটি সত্য?

সমাধান:
উপাত্তগুলো ক্রমে সাজাই,
১১, ১৩, ১৬, ১৯, ২৪, ২৯

উপাত্ত সংখা জোড় হলে,
মধ্যক = (১৬ + ১৯)/২ 
= ৩৫/২
= ১৭.৫ 

সর্বনিম্ন মান = ১১ (অপশনে দেওয়া ১৩)
প্রচুরক = নেই (অপশনে দেওয়া ১৬, প্রত্যেক সংখ্যা একবার করে আছে)
গড় = (১৬, ২৪, ১৯, ১৩, ১১, ২৯)/৬ = ১৮.৬৭ 

∴সত্য তথ্যটি মধ্যক ১৭.৫

প্রশ্ন:
একজন ছাত্রের পরীক্ষায় অংশগ্রহণ করার সম্ভাবনা ৫/৬ এবং পরীক্ষায় পাস করার সম্ভাবনা ৩/৪। তাহলে, সে পরীক্ষায় অংশ না নেওয়ার এবং পাস না করার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
পরীক্ষায় অংশগ্রহণ করার সম্ভাবনা = ৫/৬
∴ পরীক্ষায় অংশ না নেওয়ার সম্ভাবনা
= ১ - (৫/৬)
= (৬ - ৫)/৬
= ১/৬

আবার,
পরীক্ষায় পাস করার সম্ভাবনা = ৩/৪
∴ পাস না করার সম্ভাবনা
= ১ - (৩/৪)
= (৪ - ৩)/৪
= ১/৪

∴ পরীক্ষায় অংশ না নেওয়ার এবং পাস না করার সম্ভাবনা
= (১/৬) × (১/৪)
= ১/২৪

৬ জনের মোট ওজন = (৭৫ × ৬) = ৪৫০ কেজি
৫০ কেজির ১ জন চলে যাওয়ার ফলে মোট ওজনের সমষ্টি = ৪৫০ - ৫০ = ৪০০ কেজি
∴ বাকি ৫ জনের গড় ওজন = ৪০০/৫ = ৮০ কেজি।

প্রশ্ন: একটি ছক্কা কে একবার নিক্ষেপ করা হলে 2 থেকে বড় সংখ্যা না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে মোট নমুনা ক্ষেত্র হবে = 6¹ = 6 টি

নমুনা ক্ষেত্র গুলো হবে = 1, 2, 3, 4, 5, 6

এখন, সংখ্যা গুলোর মধ্যে 2 থেকে বড় সংখ্যা গুলো হলো = 3, 4, 5, 6 অর্থাৎ 4 টি ।

∴ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে 2 থেকে বড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ঘটনার সংখ্যা/মোট ঘটনা সংখ্যা = 4/6 = 2/3

∴ 2 থেকে বড় সংখ্যা না পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (2/3) = (3 - 2)/3 = 1/3 

বিকল্প:
ছক্কায় 2 থেকে বড় নয় এমন সংখ্যা হলো- 1, 2 অর্থাৎ 2 টি। 

∴ ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে 2 থেকে বড় সংখ্যা না আসার সম্ভাবনা = 2/6 = 1/3

x এর এমন কোন মান নাই যা উভয় সমীকরনকে সিদ্ধ করে
∴ A = ∅

প্রশ্ন: নিচের উপাত্ত গুলোর প্রচুরক নির্ণয় করুন:
৩০, ১২, ২২, ১৭, ২৫, ২০, ২৩, ২৪, ১৯, ২, ২৩, ২৬, ২৯, ১৯, ৩৫, ২১, ১১, ২৮, এবং ১৯

সমাধান: 
প্রচুরক (Mode): কোনো তথ্য-উপাত্তের সেটে যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার আসে, সেই সংখ্যাকে প্রচুরক (Mode) বলা হয়. 

এখানে, 
১৯ সংখ্যাটি তিনবার এসেছে। এবং অন্যান্য সংখ্যাগুলো মধ্যে ২৩ দুইবার আর বাকি গুলো একবার করে এসেছে।

যেহেতু ১৯ সংখ্যাটি অন্য সব সংখ্যার চেয়ে বেশিবার (তিনবার) এসেছে, তাই প্রচুরক হলো ১৯. 

মোট নমুনাবিন্দু = {HH, HT, TH, TT}
= ৪টি
দু'টি হেড অথবা দু'টি টেইলের অনুকূলে নমুনাবিন্দু = ২টি
∴ সম্ভাবনা = ২/৪
= ১/২

প্রশ্ন: ইংরেজি বর্ণমালা থেকে যেমন খুশি টেনে একটি স্বরবর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
ইংরেজি বর্ণমালায় বর্ণ সংখ্যা = 26 টি
ইংরেজি বর্ণমালায় স্বরবর্ণের সংখ্যা = 5 টি

∴ একটি স্বরবর্ণ পাওয়ার সম্ভাবনা = 5/26

∴ একটি স্বরবর্ণ না পাওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (5/26)
= (26 - 5)/26
= 21/26

মোট তাস = ৫২, হরতন = ১৩
∴ সম্ভাবনা = ^১৩C_২/^৫২C_২
= ৭৮/১৩২৬
= ১/১৭

প্রশ্ন: ১৫, ৮, ২২, ১৭, ৩০, ১২, ২৫, ১৯ উপাত্তগুলোর মধ্যক কত?

সমাধান:
প্রথমে উপাত্তগুলোকে ক্রমান্বয়ে (ঊর্ধ্বক্রমে) সাজাই, 
৮, ১২, ১৫, ১৭, ১৯, ২২, ২৫, ৩০

মোট উপাত্ত সংখ্যা = ৮ (জোড় সংখ্যক)
জোড় সংখ্যক উপাত্তের মধ্যক = ৪র্থ এবং ৫ম উপাত্তের গাণিতিক গড়
= (১৭ + ১৯)/২
= ৩৬/২
= ১৮
∴ মধ্যক = ১৮

প্রশ্ন: একজন লোকের সিলেট হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা ৫/৯ এবং ঢাকা থেকে বরিশালে ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা ৩/৮। লোকটি ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং বরিশালে ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা কত?

 সমাধান:
সিলেট হতে ঢাকায় বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা = ৫/৯
সিলেট হতে ঢাকায় বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৫/৯)
= ৪/৯

 ঢাকা থেকে বরিশাল ট্রেনে যাওয়ার সম্ভবনা = ৩/৮

 ∴ ঢাকায় বাসে না যাওয়ার এবং বরিশাল ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা = (৪/৯) × (৩/৮)
= ১২/৭২
= ১/৬

প্রশ্ন: একটি থলিতে 8 টি নীল বল, 10 টি সাদা বল এবং 6 টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তুললে সেটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
বলটি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 10/(8 + 10 + 6)
= 10/24
= 5/12

∴ বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = {1 - (5/12)}
= (12 - 5)/12
= 7/12

১১ থেকে ৪০ এর মধ্যে মৌলিক সংখ্যাগুলো = {১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭}
এখানে, ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ১১ এবং বৃহত্তম সংখ্যাটি = ৩৭
∴ পরিসর = বৃহত্তম সংখ্যা - ক্ষুদ্রতম সংখ্যা
= ৩৭ - ১১
= ২৬

প্রশ্ন: একটি নিরপেক্ষ ছক্কা ও একটি মুদ্রা একবার নিক্ষেপ করা হলে ছক্কায় 4 এবং মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
একটি ছক্কা ও একটি মুদ্রা নিক্ষেপ পরীক্ষাকে দুইধাপ হিসেবে বিবেচনা করি।
প্রথম ধাপে ছক্কা নিক্ষেপে 6টি ফলাফল (1, 2, 3, 4, 5, 6) আসতে পারে।

আবার, 
দ্বিতীয় ধাপে মুদ্রা নিক্ষেপে 2টি ফলাফল (H অথবা T) আসতে পারে।
∴ নমুনা ক্ষেত্রটি হবে [1H, IT, 2H , 2T, 3H, 3T, 4H, 4T, 5H, 5T, 6H, 6T ]
এখানে মোট নমুনা বিন্দু 12টি।

সুতরাং ছক্কায় 4 এবং মুদ্রায় T আসার সম্ভাবনা P(4T) = 1/12

প্রশ্ন: 5, 6 ও 7 এর গড় ব্যবধান কত? 

সমাধান:
এখানে, 
5, 6 ও 7 এই তিনটি সংখ্যার গড় হচ্ছে = (5 + 6 + 7)/3
= 18/3 
= 6

∴ 5, 6 ও 7 এর গড় ব্যবধান = {|5 - 6| + |6 - 6| + |7 - 6|}/3
= {|- 1| + |0| + |1|}/3
= {1 + 0 + 1}/3
= 2/3

প্রশ্ন: একটি ছক্কা দুইবার নিক্ষেপ করা হল। প্রথম নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা এবং দ্বিতীয় নিক্ষেপে বিজোড় সংখ্যা আসার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
প্রথম নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা

ছক্কা = 1, 2, 3, 4, 5, 6
জোড় সংখ্যা = 2, 4, 6 = 3 টি

∴ P(প্রথম নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা) = 3/6 ​= 1/2

আবার,
দ্বিতীয় নিক্ষেপে বিজোড় সংখ্যা
বিজোড় সংখ্যা = 1, 3, 5 = 3 টি 

∴ P(দ্বিতীয় নিক্ষেপে বিজোড় সংখ্যা) = 3/6 = 1/2

∴ P(প্রথম নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা এবং দ্বিতীয় নিক্ষেপে বিজোড় সংখ্যা) = (1/2) × (1/2) = 1/4

লাল অথবা টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা
= লাল পাওয়ার সম্ভাব্যতা + টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা – লাল টেক্কা পাওয়ার সম্ভাব্যতা [∵ অবর্জনশীল]
= 1/2 + 1/13 – 1/26
= 14/26
= 7/13

মোট বল ২২ টি 
৩ টি বল লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ^৭C_৩/^২২C_৩ = ১/৪৪
৩ টি বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = ^৬C_৩/^২২C_৩ = ১/৭৭
বল গুলো লাল বা সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = ১/৪৪ + ১/৭৭ = ১১/৩০৮ = ১/২৮

প্রশ্ন: ২০০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
২০০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলো হল = ২ × ২ × ২ × ৫ × ৫  
এখানে,২ আছে ৩ বার এবং ৫ আছে ২ বার

∴ ২০০ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক = ২

মত মার্বেল আছে = (১০ +১২ + ১৮) টি = ৪০ টি
একটি বাগে ১৮ টি সবুজ মার্বেল আছে।
সুতরাং দৈবভাবে একটি মার্বেল তোলা হলে সেটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ১৮/৪০
সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - ১৮/৪০ = ২২/৪০ = ১১/২০

প্রশ্ন: একটি প্যাকেটে ৬টি কালো এবং ৮ টি লাল এবং ১০ টি সবুজ কলম আছে, দৈবভাবে একটি কলম তুলে নিলে সেটি কালো না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
প্যাকেটে মোট কলম সংখ্যা = (৬ + ৮ + ১০) টি
= ২৪ টি 

কলমটি কালো হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/২৪
= ১/৪ 

∴ কালো না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৪) 
= (৪ - ১)/৪
= ৩/৪ 

7 টি লাল বল থেকে 2 টি লাল বল পাওয়ার সম্ভাবনা = ⁷C₂ = 21 
5 টি সাদা বল থেকে 2 টি সাদা বল পাওয়ার সম্ভাবনা = ⁵C₂ = 10
∴2 টি লাল এবং 2 টি সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = (21 × 10) ÷ ¹²C₄ = 14/33

মোট ঘটনা সংখ্যা = 24
2 টি হেড ও জোড় সংখ্যা পাবার ঘটনা {HH2, HH4, HH6} = 3 টি
∴2 টি হেড ও জোড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা = 3/24 = 1/8

প্রশ্ন: আবহাওয়া অফিসের রিপোর্ট অনুযায়ী 2025 সালের জুলাই মাসের ৩য় সপ্তাহে বৃষ্টি হয়েছে মোট 5 দিন। ঐ সপ্তাহে বৃহস্পতিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
2025 সালের জুলাই মাসের ৩য় সপ্তাহে মোট 7 দিন।
যার মধ্যে বৃষ্টি হয়েছিল 5 দিন।

বৃহস্পতিবার বৃষ্টি হওয়ার সম্ভাবনা = 5/7
বৃহস্পতিবার বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা = (1 - 5/7)
= (7 - 5)/7
= 2/7

প্রশ্ন: ২০২৫ সালের ফেব্রুয়ারি মাসে কোনো শহরে ১৯ দিন বৃষ্টিপাত হয়েছে। ৪ ফেব্রুয়ারি বৃষ্টি না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
২০২৫ সাল অধিবর্ষ না হওয়ায় ফেব্রুয়ারী মাস = ২৮ দিন 

বৃষ্টিপাত হয়েছে = ১৯ দিন
∴ বৃষ্টিপাত হয়নি = ২৮ - ১৯ = ৯ দিন

∴ ৪ ফেব্রুয়ারী বৃষ্টিপাত না হওয়ার সম্ভাবনা = ৯/২৮ 

মাহির অংকটি না পারার সম্ভাব্যতা = ১- ১/৩ = ২/৩
কথার অংকটি না পারার সম্ভাব্যতা = ১ - ১/৪ = ৩/৪
মাহি ও কথার একত্রে অংকটি না পারার সম্ভাব্যতা = ২/৩ × ৩/৪ = ১/২
মাহি ও কথার একত্রে অংকটি পারার সম্ভাব্যতা = ১ - ১/২ = ১/২