পরিসংখ্যান ও সম্ভাব্যতা

প্রশ্ন: ৮, ১৬ এবং ৩২ এর জ্যামিতিক গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার গুণোত্তর গড় বা জ্যামিতিক গড় =

∴ ৮, ১৬ এবং ৩২ এর জ্যামিতিক গড় = (৮ × ১৬ × ৩২)^১/৩
= (২^৩ × ২^৪ × ২^৫)^১/৩
= (২^১২)^১/৩
= ২^৪
= ১৬

মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6টি
জোড় অথবা মৌলিক সংখ্যার অনুকূলে নমূনাবিন্দুর সংখ্যা = {2, 3, 4, 5, 6} = 5টি
∴ সম্ভাবনা = 5/6

প্রশ্ন: ৯৬ এর মৌলিক উৎপাদকগুলোর মধ্যে প্রচুরক কত?

সমাধান:
৯৬ এর মৌলিক উৎপাদকে ভাংলে, 
৯৬ = ২ × ২ × ২ × ২ × ২ × ৩

এখানে মৌলিক উৎপাদক ২ মোট ৫ বার এসেছে এবং ৩ মাত্র ১ বার।

তাহলে প্রচুরক = ২ 

∴ প্রচুরক = ২ 

প্রশ্ন: তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একসাথে নিক্ষেপ করা হল। কমপক্ষে ২টি হেড পাওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান: 
মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ২ × ২ × ২ = ৮ টি 

∴ সম্ভাব্য ফলাফলগুলো = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

আবার,
কমপক্ষে ২টি হেড এর অর্থ 
২টি হেড বা ৩টি হেড

 অনুকূল ফলাফল,
৩টি হেড = HHH = ১টি
২টি হেড, HHT, HTH, THH = ৩টি
∴ মোট অনুকূল = ১ + ৩ = ৪টি

P(কমপক্ষে ২টি হেড) = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
= ৪/৮ 
= ১/২ 

এখানে জোড়ের অনুকূল ফলাফল = ৩ টি
মোট ফলাফল = ৬ টি
জোড় আসার সম্ভাবনা = ৩/৬ = ১/২

প্রশ্ন: একট ছোঁকা নিপেক্ষ করলে ৪ উঠার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
ছক্কায় (ছোঁকা) ৬টি মুখ আছে।
সুতরাং, মোট সম্ভাব্য ঘটনা সংখ্যা = ৬

আবার,
৪ উঠার ঘটনা মাত্র ১টি (কারণ শুধুমাত্র একটি মুখে ৪ লেখা থাকে)।
অতএব, অনুকূল ঘটনা সংখ্যা = ১

∴ P(৪ উঠার সম্ভাবনা) = অনুকূল ঘটনা সংখ্যা​/মোট ঘটনা সংখ্যা
= ১/৬

প্রশ্ন: তথ্য সারির মোট উপাত্তের সংখ্যা m টি এবং তা বিজোড় হলে, মধ্যমা কত?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
উপাত্তের সংখ্যা বিজোড় হলে, 

m সংখ্যক উপাত্তের জন্য মধ্যমা = (m + 1)/2 তম পদ

প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত সংখ্যা থেকে দৈবচয়নে একটি নিলে সংখ্যাটি বিজোড় অথবা ৩-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট সংখ্যা (১ থেকে ১৫ পর্যন্ত): {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০, ১১, ১২, ১৩, ১৪, ১৫}
∴ মোট সম্ভাব্য ফলাফল = ১৫টি
বিজোড় সংখ্যা- ১, ৩, ৫, ৭, ৯, ১১, ১৩, ১৫ = ৮টি
এবং ৩-এর গুণিতক-  ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫ = ৫টি

এখানে,
উভয় শর্ত পূরণ করে এমন সংখ্যা (বিজোড় এবং ৩-এর গুণিতক)-  ৩, ৯, ১৫ = ৩টি

∴ বিজোড় অথবা ৩-এর গুণিতক সংখ্যার মোট সংখ্যা = বিজোড় + ৩-এর গুণিতক - উভয়
= ৮ + ৫ - ৩
= ১০টি

∴ সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল/মোট ফলাফল
= ১০/১৫
= ২/৩

সুতরাং, বিজোড় অথবা ৩-এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = ২/৩

মোট বল = ৫+৭+৩ = ১৫
পুনঃস্থাপন করা হলে মোট বলের সংখ্যা অপরিবর্তিত থাকবে,
∴ নির্ণেয় সম্ভাব্যতা = (৫/১৫)×(৭/১৫)×(৩/১৫) = ৭/২২৫

ছক্কা নিক্ষেপ মোট নমুনা বিন্দু = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}
= মোট ৬ টি
১২ এর গুণনিয়ক যা ছক্কায় বিদ্যমান = {১, ২, ৩, ৪, ৬}
= মোট ৫ টি
∴ সম্ভাবনা = ৫/৬

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে ৮ টি নীল বল, ১২ টি সাদা বল এবং ৪ টি কালো বল আছে। দৈবভাবে একটি বল তোলা হলে বলটি নীল না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বল সংখ্যা = ৮ + ১২ + ৪ = ২৪

নীল বলের সংখ্যা = ৮
∴ নীল হওয়ার সম্ভাবনা = ৮/২৪ = ১/৩

∴ নীল না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (১/৩)
= (৩ - ১)/৩
= ২/৩

ধরা যাক,
A = প্রথম সংস্থা থেকে সহায়তা পাবার ঘটনা
B = দ্বিতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা পাবার ঘটনা
C = তৃতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা পাবার ঘটনা

তাহলে,
P(A) = 1/3
P(B) = 1/4
P(C) = 1/2

অর্থাৎ,
প্রথম সংস্থা থেকে সহায়তা না পাবার সম্ভাবনা = ২/৩
দ্বিতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা না পাবার সম্ভাবনা = ৩/৪
তৃতীয় সংস্থা থেকে সহায়তা না পাবার সম্ভাবনা = ১/২

অতএব, প্রকল্পটির কোন সংস্থা থেকেই সাহায্য না পাবার সম্ভাবনা = ২/৩ X ৩/৪ X ১/২ = ১/৪
সুতরাং, যে কোন একটি থেকে সহায়তা পাবার সম্ভাব্যতা =১ - ১/৪ = ৩/৪

প্রশ্ন: ২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো হতে ইচ্ছেমত ১টি সংখ্যা নির্বাচন করা হলে সংখ্যাটি মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা কত? 

সমাধান: 
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মোট সংখ্যা = ২১ 
২০ থেকে ৪০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা = ২৩, ২৯, ৩১, ৩৭
∴ মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা = ৪/২১

∴ মৌলিক না হওয়ার সম্ভাবনা = {১ - (৪/২১)}
= {(২১ - ৪)/২১}
= ১৭/২১ । 

প্রশ্ন: পরিসংখ্যানের অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জিভূত হয়। উপাত্তের এই প্রবণতাকে কী বলা হয়?

সমাধান:
উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার প্রবণতাকে বলা হয় কেন্দ্রীয় প্রবণতা।

অনুসন্ধানাধীন অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ মানের ক্রমানুসারে সাজালে, উপাত্তসমূহ মাঝামাঝি কোনো মানের কাছাকাছি পুঞ্জীভূত হয়।
আবার অবিন্যস্ত উপাত্তসমূহ গণসংখ্যা নিবেশন সারণিতে উপস্থাপন করা হলে মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যার প্রাচুর্য দেখা যায়।
অর্থাৎ, মাঝামাঝি একটি শ্রেণিতে গণসংখ্যা খুব বেশি হয়। বস্তুত উপাত্তসমূহের কেন্দ্রীয় মানের দিকে পুঞ্জীভূত হওয়ার এই প্রবণতাই হলো কেন্দ্রীয় প্রবণতা।
কেন্দ্রীয় মান একটি সংখ্যা এবং এই সংখ্যা উপাত্তসমূহের প্রতিনিধিত্ব করে। এই সংখ্যা দ্বারা কেন্দ্রীয় প্রবণতা পরিমাপ করা হয়।

সাধারণত কেন্দ্রীয় প্রবণতার পরিমাপ হলো:
- গাণিতিক গড়, মধ্যক, প্রচুরক।

প্রশ্ন: ১ থেকে ২০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলো থেকে দৈবভাবে একটি সংখ্যা নেওয়া হলে, সংখ্যাটি ঘন হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১ থেকে ২০০ পর্যন্ত সংখ্যাগুলোর মধ্যে মোট সংখ্যা = ২০০

এখন, ঘন সংখ্যা (Perfect Cube) হবে-
১^৩, ২^৩, ৩^৩, ৪^৩, ৫^৩, ৬^৩ .......- এভাবে যতক্ষণ না ঘনফল ≤ ২০০ হয়।

এখন, 
১^৩ = ১, ২^৩ = ৮, ৩^৩ = ২৭, ৪^৩ = ৬৪, ৫^৩ = ১২৫
কিন্তু ৬৩ = ২১৬ > ২০০ ; শর্ত বিরোধী 

অতএব, ঘন সংখ্যা আছে মোট ৫টি

অতএব, সংখ্যাটি ঘন হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল / সম্ভাব্য মোট ফলাফল
= ৫/২০০
= ১/৪০

সুতরাং, সংখ্যাটি ঘন হওয়ার সম্ভাবনা ১/৪০.

১ থেকে ২০ এর মধ্যে ৩ এর গুনিতক সংখ্যাগুলো- ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮।
১ থেকে ২০ এর মধ্যে ৫ এর গুনিতক সংখ্যা ৫, ১০, ১৫, ২০।
২০ টি সংখ্যার মধ্যে ৩ বা ৫ এর গুণিতক মোট সংখ্যা = ৯ টি। কারণ ৩‌‌ ও ৫ উভয়ের গুণিতক = ১৫
অতএব, ৩ অথবা ৫ এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা = ৯/২০

প্রশ্ন: যদি P(A) = 2/5, P(B) = 3/8 এবং A ও B স্বাধীন হয়, তাহলে P(B|A) এর মান কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P(A) = 2/5
P(B) = 3/8
A ও B স্বাধীন ঘটনা।

P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
= (2/5) × (3/8)
= 3/20

P(B|A) = P(A ∩ B)/P(A)
= (3/20)/(2/5)
= (3/20) × (5/2)
= 3/8
∴ P(B|A) এর মান = 3/8

Shortcut:
যেহেতু A ও B স্বাধীন ঘটনা, তাই একটি ঘটনার সম্ভাবনা অন্যটি ঘটার উপর নির্ভরশীল নয়।
তাই, A ঘটনা ঘটার সাপেক্ষে B ঘটনার সম্ভাবনা P(B|A) হলো শুধুমাত্র P(B) এর সমান।
∴ P(B|A) = P(B) = 3/8

প্রশ্ন: একটি ব্যাগে 3টি সাদা, 3টি লাল এবং 4টি নীল বল আছে। ব্যাগটি থেকে দৈবভাবে 2টি বল তুলে নেওয়া হলো। সবগুলো বল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:

প্রদত্ত:
মোট বলের সংখ্যা = 3 + 3 + 4 = 10টি

মোট সম্ভাব্য ফলাফল:
10টি বল থেকে 2টি বল নির্বাচন করার উপায়:
= ¹⁰C₂
= 10!/(2! × 8!)
= (10 × 9)/(2 × 1)
= 45

3টি সাদা বল থেকে 2টি সাদা বল নির্বাচন করার উপায়:
= ³C₂
= 3!/(2! × 1!)
= (3 × 2!)/(2! × 1)
= 3

P(দুইটি বলই সাদা) = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা/মোট সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= 3/45
= 1/15 

প্রশ্ন: একটি থলিতে ৪টি লাল, ৬টি সবুজ এবং ১২টি নীল বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
থলিতে মোট বল আছে (৪ + ৬ + ১২)টি = ২২টি।

∴ বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = ৬/২২ = ৩/১১

∴ বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = ১ - (৩/১১)
= (১১ - ৩)/১১ = ৮/১১

প্রশ্ন: দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করা হলে তাদের যোগফল 9 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা কত?

 সমাধান:
আমরা জানি, দুইটি ছক্কা একত্রে নিক্ষেপ করলে,
মোট সম্ভাব্য ঘটনা = 6 × 6 = 36

9 এর চেয়ে বড় হওয়ার অনুকূল ঘটনা = {(4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)}
= 6 টি

∴ যোগফল 9 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফলের সংখ্যা/সম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা
= 6/36
= 1/6

প্রশ্ন: ১, ২, ৫ অংকগুলো একবার ব্যবহার করে গঠিত তিন অঙ্কের সংখাসমূহ থেকে ইচ্ছেমতো যেকোনো একটি সংখ্যা নিলে, সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
১, ২, ৫ তিনটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত মোট সংখ্যা = ৩! = ৬ টি
সেগুলো হল- ১২৫, ১৫২, ২১৫, ২৫১, ৫১২, ৫২১

এখন, একটি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার শর্ত হল, সংখ্যাটির শেষ দুই অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।
৪ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো হল- ১৫২ এবং ৫১২।
∴ মোট ২টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

∴ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ার সম্ভাবনা = ২/৬ = ১/৩

প্রশ্ন: একটি তাসের প্যাকেট থেকে দৈবভাবে একটি তাস নিলে তা রুইতন বা রাজা না হওয়ার সম্ভাব্যতা কত?

সমাধান:
একটি প্যাকেটে মোট তাসের সংখ্যা = 52 টি
রুইতন তাসের সংখ্যা = 13 টি
রাজার সংখ্যা = 4 টি
অনুকূল ঘটনা = 13 + (4 - 1) টি [1টি রাজা রুইতনে গণনা করা হয়েছে তাই]
= 16

∴ তাসটি রুইতন বা রাজা হওয়ার সম্ভাব্যতা = 16/52 = 4/13

∴ তাসটি রুইতন বা রাজা না হওয়ার সম্ভাব্যতা = 1 - (4/13)
= 9/13

নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৪৪০ থেকে ৬৫০ এর মধ্যবর্তী সংখ্যা অর্থাৎ তাদের গড়।
সুতরাং গড় = (৪৪০+৬৫০)/২
= ১০৯০
= ৫৪৫

প্রশ্ন: একটি বাক্সে 4টি লাল, 6টি সবুজ, এবং 10টি হলুদ বল আছে। দৈব চয়নের মাধ্যমে একটি বল তুললে সেটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
বাক্সে মোট বল আছে = (4 + 6 + 10)টি = 20টি

বলটি সবুজ হওয়ার সম্ভাবনা = 6/20 = 3/10
বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা = 1 - (3/10)
= (10 - 3)/10
 = 7/10

∴ বলটি সবুজ না হওয়ার সম্ভাবনা 7/10

প্রশ্ন: ৮, ২৭, ৬৪ এর গুণোত্তর গড় কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
n সংখ্যক সংখ্যার জ্যামিতিক বা গুণোত্তর গড় (GM) = (x_১ . x_২ . x_৩.........x_n)^১/n

সুতরাং, ৮, ২৭, ৬৪ এর গুণোত্তর গড় = (৮ × ২৭ × ৬৪)^১/৩
= (২^৩ × ৩^৩ × ৪^৩)^১/৩
= (২ × ৩ × ৪)^{৩ × ১/৩}
= ২৪

৩ দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা = ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০
মোট ১০ টি সংখ্যা
∴ মধ্যক = ১০/২ এবং (১০/২ + ১) তম পদের গড়
= ৫ম ও ৬ষ্ঠ পদের গড়
= (১৫ + ১৮)/২
= ৩৩/২
= ১৬.৫

প্রশ্ন: একটি বাক্সে ৯টি কালো বল, ৭টি সাদা বল এবং ৪টি লাল বল আছে। একটি বল দৈবভাবে নেওয়া হলে বলটি কালো বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা কত?

সমাধান:
মোট বলের সংখ্যা = ৯ + ৭ + ৪ = ২০টি
কালো বা লাল বলের সংখ্যা = ৯ + ৪ = ১৩টি
কালো বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা = অনুকূল ফলাফল / মোট ফলাফল
= ১৩/২০

সুতরাং, কালো বা লাল হওয়ার সম্ভাবনা = ১৩/২০