বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y-1)²
= (x+y-1) (x-y+1)

a² + 6a + 8 - y² + 2y 

= a² + 2 × a × 3 + 3²  - y² + 2 × y × 1 - 1²

= (a + 3 )² - ( y² - 2y + 1 ) 

= (a + 3 )² -( y - 1)² 

= { (a + 3 ) + ( y - 1)} { (a + 3 ) - ( y - 1)} 

= (a + 3 + y - 1) (a + 3 - y + 1)

= ( a + y + 2 ) ( a - y + 4 )

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 12p² - 38p + 20 এর একটি উৎপাদক নয়?

সমাধান:
12p² - 38p + 20
= 2(6p² - 19p + 10)
= 2(6p² - 15p - 4p + 10)
= 2{3p(2p - 5) - 2(2p - 5)}
= 2(2p - 5)(3p - 2)

∴12p² - 38p + 20 এর উৎপাদকগুলি হলো 2, (2p - 5) এবং (3p - 2)।

4x² - 13x - 12
= 4x² - 16x + 3x - 12
= 4x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(4x + 3)

x⁶ - 1
= (x³)² - 1²
= (x³ + 1)(x³ - 1)
= (x + 1)(x² - x + 1)(x - 1)(x² + x + 1)

x² - y² + 4y - 4
= x² - (y² - 4y + 4)
= x² - (y - 2)²
= (x + y - 2)(x - y + 2)

x = -4 হলে x³ - 21x - 20 = 0 হবে।

প্রশ্ন: 3a³ + 2a² - 21a - 20 রাশিটির একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?

সমাধান:
ধরি, f(a) = 3a³ + 2a² - 21a - 20
f(- 1) = 3.(-1)³ + 2.(-1)² - 21.(- 1) - 20
= - 3 + 2 + 21 - 20
= 0

∴ (a + 1) হলো f(a) এর একটি উৎপাদক।

4x⁴ - x²
= x²(4x² - 1)
= x²{(2x)² - 1}
= x²(2x + 1)(2x - 1)

প্রশ্ন: x² - y² + 4y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - y² + 4y - 4
= x² - (y² - 4y + 4)
= x² - {(y)² - 2 . y . 2 + (2)²}
= x² - (y - 2)²
= {x + (y - 2)}{x - (y - 2)}
= (x + y - 2)(x - y + 2)

4x² - 13x - 12
= 4x² - 16x + 3x - 12
= 4x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x - 4)(4x + 3)

প্রশ্ন: x² - x - 2 এর একটি উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x² - x - 2 
= x² - 2x + x - 2 
= x (x - 2) + 1 (x - 2) 
= (x - 2) (x + 1) 

x + 1 দ্বারা f(x) কে ভাগ করলে ভাগশেষ হবে
f(-1) = 7(-1)² - (-1) - 8
= 7 + 1 - 8
= 8 - 8
= 0

9x² - ax + 1
= (3x)² + 6x + 1
= (3x)² + 2.3x.1 + 1²
= (3x + 1)²
∴ a = -6 হলে সংখ্যাটি পূর্ণ বর্গ হবে।

প্রশ্ন: 3x³ - 4x² - 17x + 6 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = 3x³ - 4x² - 17x + 6
∴ f(3) = 3 × 3³ - 4  ×3² - 17 × 3 + 6
= 81 - 36 - 51 + 6
= 0

∴ x = 3 বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়।
∴ (x - 3), f(x) এর একটি উৎপাদক। 

a² + 3a - x² - x + 2
= a² - x² + 2a – 2x + a + x + 2
= (a + x)(a – x) + 2(a - x) + (a + x +2)
= (a - x) (a + x + 2) + (a + x +2)
= (a + x + 2) (a – x + 1)

প্রশ্ন: - 4a² + 23a + 6 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
- 4a² + 23a + 6 
= - 4a² + 24a - a + 6
= - 4a(a - 6) - 1(a - 6)
= (a - 6)(- 4a - 1)
= {- (6 - a)}{- (4a + 1)}
= (6 - a)(4a + 1)

প্রশ্ন: x³ + 27 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x³ + 27
= x³ + 3³
= (x + 3)(x² - 3x + 3²) [∵ a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)]
= (x + 3)(x² - 3x + 9)

প্রশ্ন: 49x² + 64y² এর সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
(7x + 8y)² 
= 49x² + 64y² + 112xy
49x² + 64y² + 112xy থেকে প্রদত্ত রাশি
⇒ 49x² + 64y²  থেকে বিয়োগ করে পাই -
∴ 112xy যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।

x - 8, f(x) = x² - ax - 48 এর একটি উৎপাদক হলে
f(8) = 0
বা, 8² - a.8 - 48 = 0
বা, 16 - a.8 = 0
বা, a.8 = 16
∴ a = 2

প্রশ্ন: x³ + 6x² + 11x + 6 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি? 

সমাধান: 
ধরি, f(x) = x³ + 6x² + 11x + 6

এখন, x = - 1 বসিয়ে পাই, 
 f(- 1) = (- 1)³ + 6(- 1)² + 11(- 1) + 6
= - 1 + 6 - 11 + 6
= 12 - 12
= 0

যেহেতু  f(- 1) = 0 তাই (x + 1) প্রদত্ত রাশিটির একটি উৎপাদক।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি  64 - 144y + 108y² - 27y³ এর একটি উৎপাদক?

সমাধান:
64 - 144y + 108y² - 27y³
= 4³ - 3 × 4² × 3y + 3 × 4 × (3y)² - (3y)³
= (4 - 3y)³
= (4 - 3y) (4 - 3y) (4 - 3y)

প্রশ্ন: 9x² + 18x - 40 কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি? 

সমাধান: 
9x² + 18x - 40
= 9x² + 30x - 12x - 40
= 3x(3x + 10) - 4(3x + 10)
= (3x + 10)(3x - 4)

2x² - 5xy + 2y²
= 2x² - 4xy - xy + 2y²
= 2x(x - 2y) - y(x - 2y)
= (x - 2y)(2x - y)

এখানে ,
- 4x² + 23x + 6 
= - 4x² + 24x - x + 6 
= - 4x(x - 6) - 1(x - 6) 
= (x - 6)(- 4x - 1) 
= (x - 6){-(4x + 1)}
= -(x - 6)(4x + 1)

প্রশ্ন: x² − 4x + 3 রাশিটির একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:  
প্রদত্ত রাশি,
= x² - 4x + 3
= x² - 3x -x +3 
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

প্রশ্ন: 1 - x² - 2xy - y² এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
 

প্রশ্ন: x³ - 9x² + 27x - 28 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
x³ - 9x² + 27x - 28
= x³ - (3 . x². 3) + (3 . x . 3²) - 3³ - 1
= (x - 3)³ - 1³
= (x - 3 - 1){(x - 3)² + (x - 3). 1 + 1²}
= (x - 4)(x² - 6x + 9 + x - 3 + 1)
= (x - 4)(x² - 5x + 7)

প্রশ্ন: a² - 8a - 8b + 16 + b² এর সঙ্গে কত যোগ করলে যোগফল একটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
a² - 8a - 8b + 16 + b²
= a² + b² + (- 4)² + 2 . a .( - 4) + 2 . b . (- 4) + 2 . a . b - 2ab
= (a + b - 4)² - 2ab

∴ a² - 8a - 8b + 16 + b² এর সাথে 2ab যোগ করলে যোগফল পূর্ণবর্গ হবে।

xy + 2ay + 3ax + 6a²
= y(x + 2a) + 3a(x + 2a)
= (x + 2a)(y + 3a)

প্রশ্ন: (x + 7)(x - 3) + 9 এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
(x + 7)(x - 3) + 9
= x² - 3x + 7x - 21 + 9
= x² + 4x - 12
= x² + 6x - 2x - 12
= x(x + 6) - 2(x + 6)
= (x + 6)(x - 2)

8x³ - 27
= (2x)³ - 3³
= (2x - 3){(2x)² + 2x.3 + 3²}
= (2x - 3)(4x² + 6x + 9)

x²+x-(a+1)(a+2)
= x²+(a+2)x-(a+1)x-(a+1)(a+2)
= x(x+a+2) - (a+1)(x+a+2)
= (x+a+2)(x-a-1)

9x² - 9x - 4
= 9x² - 12x + 3x - 4
= 3x(3x - 4) + 1(3x - 4)
= (3x - 4)(3x + 1)