বহুপদী উৎপাদক ও এর বিশ্লেষণ

প্রশ্ন: f(x) = a³ + 4a² + a - 6 হলে, নিচের কোনটি f(a) এর সঠিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ?

সমাধান:
ধরি,
a = 1

∴ f(1) = 1³ + 4 .1² + 1 - 6 
= 1 + 4 + 1 - 6
= 6 - 6 
= 0
∴ (a - 1) হলে f(a) এর একটি উৎপাদক 

f(a) = a³ + 4a² + a - 6
= a³ - a² + 5a² - 5a + 6a - 6
= a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 6(a - 1)
= (a - 1)(a² + 5a + 6)
= (a - 1)(a² + 2a + 3a + 6)
= (a - 1){a(a + 2) + 3(a + 2)}
= (a - 1)(a + 2)(a + 3)

a³ - 9 + (a + 1)³
= a³ - 9 + a³ + 3a² + 3a + 1
= 2a³ - 2a² + 5a² - 5a + 8a - 8
= 2a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1)(2a² + 5a + 8)

(x+2) (x+3) (x+4) (x+5) - 48
= (x+2) (x+5) (x+3) (x+4) - 48
= (x² + 7x + 10) (x² + 7x + 12) - 48

ধরি,
x² + 7x = a

তাহলে,
(a + 10) (a + 12) - 48
= a² + 12a + 10a +120 - 48
= a² + 22a +72
= a² + 18a + aa + 72
= a(a+18) + a(a+18)
= (a+4) (a+18)
= (x² + 7x + 4) (x² + 7x + 18)

প্রশ্ন: x² - 3x, x² - 9, x² - 4x + 3 এর ল.সা.গু কত?

সমাধান:

১ম রাশি = x² - 3x
= x(x - 3)

২য় রাশি = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3)(x - 3)
               
৩য় রাশি = x² - 4x + 3
= x² - 3x - x + 3
= x(x - 3) - 1(x - 3)
= (x - 3)(x - 1)

নির্ণেয় ল.সা.গু = x(x - 3)(x - 1)(x + 3)
= x(x² - 9) (x - 1)

প্রশ্ন: a² + 4b² + 4b - 4ab - 2a - 8 এর উৎপাদক কত?

সমাধান:
a² + 4b² + 4b - 4ab - 2a - 8
= a² - 4ab + 4b² - 2a + 4b - 8
= {a² - 2 . a . 2b + (2b)²} - 2(a - 2b) - 8
= (a - 2b)² - 2(a - 2b) - 8

ধরি,
a - 2b = x
এখন, 
x² - 2x - 8
= x² - 4x + 2x - 8
= x(x - 4) + 2(x - 4)
= (x - 4)(x + 2)
= (a - 2b - 4)(a - 2b + 2) [x এর মান বসিয়ে]

36 - 12x + x²
= x² - 12x + 36
= x² - 6x - 6x + 36
= x(x - 6) - 6(x - 6)
= (x - 6) (x - 6)
= (x - 6)²

প্রশ্ন: b³ - b এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ কোনটি?

সমাধান:
b³ - b
= b(b² - 1)
= b(b + 1) (b - 1)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি 3p³ + 2p - 5 এর একটি উৎপাদক হতে পারে?

সমাধান:
ধরি,
f(p) = 3p³ + 2p - 5
∴ f(1) = 3(1)³ + 2 × 1 - 5
= 3 + 2 - 5
= 0
অতএব (p - 1), 3p³ + 2p -5 এর একটি উৎপাদক।

এখন,
3p³ + 2p - 5
= 3p³ - 3p² + 3p² - 3p + 5p - 5
= 3p²(p - 1) + 3p(p - 1) + 5(p - 1)
= (p - 1)(3p² + 3p + 5) 

প্রশ্ন: x² - x - 12 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান:
x² - x - 12
= x² - 4x + 3x - 12
= x(x - 4) + 3(x - 4)
= (x + 3)(x - 4)

প্রশ্ন: a² - 2a + 1 = 0 হলে a⁸ - 1/a⁸ এর মান কত?

সমাধান:
a² - 2a + 1 = 0
⇒ (a - 1)² = 0
⇒ a = 1

তাহলে,
a⁸ - 1/a⁸ ​
= 1⁸ - 1/1⁸
​= 1 - 1
= 0

∴ a⁸ - 1/a⁸ এর মান = 0

প্রশ্ন: a⁴ + 4 এর উৎপাদক কত? 

সমাধান: 
a⁴ + 4
= a⁴ + 4 + 4a² - 4a²
= (a²)² + 2. a². 2 + (2)² - (2a)²
= (a² + 2)² - (2a)²
= (a² + 2 + 2a) (a² + 2 - 2a)
= (a² + 2a + 2) (a² - 2a + 2)

প্রশ্ন: 2x³ + x² - qx + 6 বহুপদীর একটি উৎপাদক (x + 3) হলে, q এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x³ + x² - qx + 6

যেহেতু (x + 3), f(x) এর একটি উৎপাদক,
∴ x + 3 = 0
⇒ x = - 3 হলে f(x) = 0 হবে।

এখন,
f(- 3) = 2(- 3)³ + (- 3)² - q(- 3) + 6
= 2(- 27) + 9 + 3q + 6
= - 54 + 9 + 3q + 6
= - 39 + 3q

শর্তমতে, f(- 3) = 0
⇒ - 39 + 3q = 0
⇒ 3q = 39
⇒ q = 39/3
⇒ q = 13

∴ q এর মান = 13

2x² + x - 3
= 2x² + 3x - 2x - 3
= x(2x + 3) - 1(2x + 3)
= (2x + 3)(x - 1)
= (x - 1)(2x + 3)

∴ f(x) = 2x² - ax - 3 এর একটি উৎপাদক x + 1
∴ f(-1) = 0
বা, 2 + a - 3 = 0
বা, a - 1 = 0
∴ a = 1

এখানে, f(x) = x³ - 21x -20
∴ f(-1) = 0
∴ x + 1, f(x) এর একটি উৎপাদক

x⁶ - 1
= (x³)² - 1²
= (x³ + 1)(x³ - 1)
= (x + 1)(x² - x + 1)(x - 1)(x² + x + 1)

প্রশ্ন: 4x⁴ - 13x² + 9 এর উৎপাদক নির্ণয় করুন। 
সমাধান: 
ধরি, y = x²
তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়, 4y² - 13y + 9

4y² - 13y + 9
= 4y² - 4y - 9y + 9
= 4y (y - 1) - 9 (y - 1)
= (y - 1) (4y - 9) 

y = x² বসিয়ে পাই, 
(x² - 1) (4x² - 9) 

প্রশ্ন: উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন: p² - 23p + 132

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
p² - 23p + 132
= p² - 12p - 11p + 132
= p(p - 12) - 11(p - 12)
= (p - 12)(p - 11)

প্রশ্ন: f(x) = 5x² + kx + 6 এর একটি উৎপাদক যদি (x + 2) হয়, তবে k-এর মান কত?

সমাধান:
যেহেতু (x + 2) একটি উৎপাদক,
তাই x = - 2 হলে f(- 2) = 0 হবে।

এখন,
f(x) = 5x² + kx + 6
∴ f(- 2) = 5 × (- 2)² + k × (- 2) + 6 = 0
⇒ 20 - 2k + 6 = 0
⇒ 26 - 2k = 0
⇒ 2k = 26
∴ k = 13

x² − x - 2
= x² - 2x + x - 2
= x(x-2) + 1 (x-2)
= (x-2)(x+1)

প্রশ্ন: 2x² - x - 3 এর উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
2x² - x - 3
= 2x² - 3x + 2x - 3
= x (2x - 3) + 1 (2x - 3)
= (2x - 3) (x + 1)

প্রশ্ন: a² + 9a + x যদি a - 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, তবে x এর মান কত? 

সমাধান: 
প্রদত্ত রাশিটি a - 3 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে a - 3 রাশিটির একটি উৎপাদক এবং a = 3 এর জন্য রাশিটির মান শূন্য হবে। 
অর্থাৎ, a² + 9a + x = 0 

∴ f(3) = (3)² + 9 × 3 + x = 0 
বা, 9 + 27 + x = 0 
বা, 36 + x = 0 
∴ x = - 36 

প্রশ্ন: a³ - 9 + (a + 1)³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন।

সমাধান:
ধরি,
f(a) = a³ - 9 + (a + 1)³
f(a) একটি বহুপদী, a = 1 বসালে বহুপদীটির মান শূন্য হয়। ফলে (a – 1) বহুপদীটির একটি উৎপাদক
∴ f(a) = a³ - 9 + a³ + 3a² + 3a + 1
= 2a³ + 3a² + 3a - 8
= 2a³ - 2a² + 5a² - 5a + 8a - 8
= 2a²(a - 1) + 5a(a - 1) + 8(a - 1)
= (a - 1)(2a² + 5a + 8)

∴ a³ - 9 + (a + 1)³ = (a - 1)(2a² + 5a + 8)

প্রশ্ন: (a + b)³ + (a - b)³ কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করুন:

সমাধান:
আমরা জানি,
(x + y)³ = x³ + y³ +3xy(x + y)
এখন,
(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
(a - b)³ = a³ - b³ - 3ab(a - b)

প্রদত্ত রাশি, 
(a + b)³ + (a - b)³
= a³ + b³ + 3ab(a + b) + a³ - b³ - 3ab(a - b)
= 2a³ + 3ab{(a + b) - (a - b)}
= 2a³ + 3ab(a + b - a + b)
= 2a³ + 3ab(2b)
= 2a³ + 6ab²
= 2a(a² + 3b²)

প্রশ্ন: 16x² - 25y² - 20y - 4 এর একটি উৎপাদক কোনটি?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
16x² - 25y² - 20y - 4
= 16x² - (25y² + 20y + 4)
= 16x² - {(5y)² + 2 × 5y × 2 + 2²}
= (4x)² - (5y + 2)²
= {4x - (5y + 2)}{4x + (5y + 2)}
= (4x - 5y - 2)(4x + 5y + 2)

x² + 2y(x - 1) - 1
= x² + 2xy - 2y - 1
= x² + 2xy + y² - y² - 2y - 1
= (x² + 2xy + y² ) - (y² + 2y + 1)
= (x + y)² - (y + 1)²
= (x + y + y + 1)(x + y - y - 1)
= (x + 2y + 1)(x - 1)
∴ x² + 2y(x - 1) - 1 এর উৎপাদক হচ্ছে (x + 2y + 1) এবং (x - 1)

প্রশ্ন: যদি f(x) = 2x³ - 7x² + kx - 3 এর একটি উৎপাদক (x - 3) হয়, তবে k এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = 2x³ - 7x² + kx - 3
যেহেতু (x - 3) রাশিটি f(x) এর একটি উৎপাদক, সেহেতু উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী f(3) = 0 হবে।

এখন,
f(3) = 2(3)³ - 7(3)² + k(3) - 3
= 2(27) - 7(9) + 3k - 3
= 54 - 63 + 3k - 3
= 3k - 12

শর্তমতে, f(3) = 0
⇒ 3k - 12 = 0
⇒ 3k = 12
∴ k = 4

প্রশ্ন: x² + qx - 21 রাশিটির একটি উৎপাদক x + 7 হলে, q এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, f(x) = x² + qx - 21
x + 7, f(x) এর একটি উৎপাদক বলে উৎপাদকের উপপাদ্য অনুযায়ী, f(- 7) = 0 হবে।

∴ f(- 7) = (- 7)² + q(- 7) - 21
= 49 - 7q - 21
= 28 - 7q

শর্তমতে, 28 - 7q = 0
⇒ 28 = 7q
⇒ q = 28/7
∴ q = 4

প্রশ্ন: a² - c² - 2ab + b² এর সঠিক উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
a² - c² - 2ab + b²
= a² - 2ab + b² - c²
= (a - b)² - c²
= (a - b + c) (a - b - c)

প্রশ্ন: x⁴ - 6x³ + 9x² - b বহুপদটির একটি উৎপাদক যদি x - 3 হয়, তবে b এর মান কত?

সমাধান:
ধরি,
f(x) = x⁴ - 6x³ + 9x² - b

যেহেতু, (x - 3), f(x) এর একটি উৎপাদক। 
∴ x - 3 = 0 
অর্থাৎ, x = 3 হলে, f(x) এর মান শূণ্য হবে।

এখন,
f(x) = x⁴ - 6x³ + 9x² - b
∴ f(3) = (3)⁴ - 6(3)³ + 9(3)² - b
= 81 - 162 + 81 - b
= 0 - b

শর্তমতে,
f(3) = 0
⇒ 0 - b = 0
∴ b = 0

3x - 5, f(x) = ax² - x - 15 এর একটি উৎপাদক
∴ f(5/3) = 0
বা, a.(25/9) - 5/3 - 135 = 0
বা, 25a - 15 - 135 = 0
বা, 25a - 150 = 0
বা, 25a = 150
∴ a = 6

প্রশ্ন: 6x³ - 5x² - 17x + 6 রাশিটির একটি উৎপাদক- 

সমাধান:

প্রশ্ন: x³ - 7x - 6 এর উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
x³ - 7x - 6
= x³ + x² - x² - x - 6x - 6
= x² (x + 1) -x (x + 1) -6 (x + 1)
= (x + 1) (x² - x - 6)
= (x + 1) (x² - 3x + 2x - 6)
= (x + 1) {x (x - 3) + 2 (x -3)}
= (x + 1) (x - 3) (x + 2)

∴ নির্ণেয় উৎপাদক = (x + 1) (x + 2) (x - 3) ।

x² - y² + 2y - 1
= x² - (y² - 2y + 1)
= x² - (y - 1)²
=(x + y - 1) (x - y + 1)

প্রশ্ন: (3a - 2)(a + 6) কোন রাশির উৎপাদক? 

সমাধান: 
(3a - 2)(a + 6)
= 3a × a + 3a × 6 - 2 × a - 2 × 6 
= 3a² + 18a - 2a - 12
= 3a² + 16a - 12

f(x) = x² - 4x + 3
∴ f(a) = a² - 4a + 3
f(a) = 0 হলে,
a² - 4a + 3 = 0
বা, a² - 3a - a + 3 = 0
বা, a(a - 3) - 1(a - 3) = 0
বা, (a - 3)(a - 1) = 0
∴ a = 3, 1

প্রশ্ন: a³ - 21a - 20 রাশিটির উৎপাদক কোনটি? 

সমাধান: 
a³ - 21a - 20
= a³ + a² - a² - a - 20a - 20
= a²(a + 1) - a (a + 1) - 20 (a + 1)
= (a + 1) (a² - a - 20)
= (a + 1) (a² - 5a + 4a - 20)
= (a + 1) {a(a - 5) + 4 (a - 5)}
= (a + 1) (a - 5) (a + 4)

প্রশ্ন: নিচের কোনটি (a² - 11a + 30) এবং (a² - 8a + 15) এর একটি সাধারণ উৎপাদক?

সমাধান:
(a² - 11a + 30)
= a² - 5a -6a +30
= a(a - 5) - 6(a - 5)
= (a - 5)(a - 6)

আবার, 
(a² - 8a + 15)
= a² - 3a - 5a + 15
= a(a - 3) - 5(a - 3)
= (a - 3)(a - 5)

∴  সাধারণ উৎপাদক (a - 5).

প্রশ্ন: a² + a - 20 এর একটি উৎপাদক নয় কোনটি?

সমাধান:
a² + a - 20 
= a² + 5a - 4a - 20
= a(a + 5) - 4(a + 5)
= (a + 5)(a - 4)

একটি সমীকরণ এর নিশ্চায়কের মান শূন্য হলে, ইহা পূর্ণবর্গ হয়।এখানে নিশ্চয়াক =b² - 4ac = (-12)² - 4.a.9 = 0 বা, 36a = 144 বা, a = 4

y² - x(x - 2) - 1
= y² - x² + 2x - 1
= y² - (x² - 2x + 1)
= y² - (x - 1)²
= (y + x - 1)(y - x + 1)
= (x + y - 1)(y - x + 1)