ত্রিভুজ সংক্রান্ত সমস্যা ও সমাধান

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি কোণের অনুপাত 2 : 3 : 5 হলে ত্রিভুজটি কোন ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
ধরি, তিনটি কোণ = 2x, 3x এবং 5x
অতএব,
2x + 3x + 5x = 180°
⇒ 10x = 180°
⇒ x = 18°

∴ কোণগুলো হলো:
2x = 36°, 3x = 54°, 5x = 90°

যেহেতু ত্রিভুজটির একটি কোণ 90°, তাই এটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের একটি বাহুর দৈর্ঘ্য ২৪ মিটার হলে, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত বর্গমিটার?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য, a = ২৪ মিটার।
আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = (√৩/৪)  ×  (a)^২ বর্গমিটার।

∴ ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = (√৩/৪) × (২৪)^২ বর্গমিটার
= (√৩/৪) × ৫৭৬ বর্গমিটার
= ১৪৪√৩ বর্গমিটার।

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = ১৪৪√৩ বর্গমিটার।

প্রশ্ন: ABC -এ ∠B এক সমকোণ। যদি অতিভুজ AC, লম্ব AB এর 2/√3 গুণ হয় তবে, ∠C এর মান কত?

সমাধান:
ধরি, লম্ব AB = x
অতিভুজ AC = (2/√3)x

sin(C) = লম্ব/অতিভুজ 
⇒ sin(C) =  x/{(2/√3)x}
⇒ sin(C) = √3/2 
⇒ sin(C) = sin60° 
⇒ C = 60°  

∴ ∠C এর মান 60° 

ধরি, ভূমির দৈর্ঘ্য 4x মিটার
∴ লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = 3x মিটার
এখন, লম্ব² + ভূমি ²= অতিভুজ²
⇒ (3x)² + (4x)² = (25)²
⇒ 25x² = 625
⇒ x = 5
ভূমির দৈর্ঘ্য (4×5) = 20 মিটার
লম্বের দৈর্ঘ্য (4x × 3/4) = (3 × 5) = 15মিটার
∴অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যর অনুপাত = 15:20 = 3:4

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মিটার বাড়ালে এর ক্ষেত্রফল 2√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়। ত্রিভুজটির বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
মনে করি, সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য = a মি. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল = √3/4 x a² বর্গ মি.
বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মি. বাড়ালে নতুন বাহুর দৈর্ঘ্য = (a + 2) মি.
নতুন ক্ষেত্রফল = √3/4 x (a + 2)² বর্গ মি.

প্রশ্নমতে, 
√3/4 x (a + 2)² - √3/4 x a² = 2√3
বা, √3/4 { (a + 2)² - a² } = 2√3
বা, √3/4 (a² + 4a + 4 - a²) = 2√3
বা, √3/4 (4a + 4) = 2√3
বা, 4a + 4 = 2√3 × 4/√3
বা, 4a = 8 - 4
∴ a = 1

ধরি, ভূমি = x
লম্ব = (x-২)
অতিভুজ = ( x+২)
(অতিভুজ)² = (লম্ব) ²+ (ভূমি)²
(x+২)² = (x-২)²+x²
-x²+৮x = ০
x = ৮
অতএব, অতিভুজ = (৮+২) = ১০ সেমিঃ

প্রশ্ন: ΔABC এর ∠A = 37°, ∠C = 53° হলে এটি কি ধরনের ত্রিভুজ?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ΔABC এর ∠A = 37°, ∠C = 53°

∴ অপর কোণটি, ∠B = 180° - (37° + 53°)
= 180° - 90°
= 90°

এখানে, ∠B কোণ 90° হওয়ায়,
তাই, ΔABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ।

আমরা জানি,
সমবাহু ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য a হলে ক্ষেত্রফল (√3/4)a²
প্রশ্নমতে,
(√3/4)a² = 50
⇒ √3a² = 50 × 4
⇒ a² = (50 × 4)/√3
⇒ a² = 115.47
∴ a = 10.74

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের কোণের অনুপাত ৩ : ৪ : ৫ হলে বৃহত্তম কোণের মান কত?

সমাধান:
ত্রিভুজের কোণগুলোর যোগফল = ১৮০°
ধরা যাক, কোণগুলো ৩ক, ৪ক, ৫ক 
প্রশ্নমতে, 
৩ক + ৪ক + ৫ক = ১২ক = ১৮০°
ক = ১৮০°/১২
ক = ১৫° 

তাহলে,
বৃহত্তম কোণ = ৫ক = ৫ × ১৫° = ৭৫°
 
∴বৃহত্তম কোণ = ৭৫°

প্রশ্ন: একটি সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা 24y হলে, এর ক্ষেত্রফল কত?

সমাধান:
সমবাহু ত্রিভুজের পরিসীমা P = 3a
⇒ a = P/3 = 24y/3 = 8y মিটার

ক্ষেত্রফল সূত্র:
A = √3/4a²
⇒ A = (√3/4) × (8y)²
⇒ A = (√3/4) × 64y²
⇒ A = 16√3​y² বর্গমিটার

∴ ক্ষেত্রফল = 16√3​y² বর্গমিটার

সমকোণী ত্রিভুজের লম্ব a, ভূমি b এবং অতিভুজ c = 13 সেমি হলে,
a+b+13 = 30
⇒ a+b = 17 ------------ (i)
আবার,
a² + b² = 13²
⇒ (a+b)² - 2ab = 169
⇒ (17)² - 2ab = 169
⇒ 2ab = 289 - 169
⇒ ab = 120/2
∴ ab = 60 -------------- (ii)
এখন, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 × ab
= 1/2 × 60
= 30 বর্গসেমি

- ত্রিভুজের কোণত্রয়ের সমদ্বিখণ্ডকের ছেদবিন্দুকে অন্তঃকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয়ের ছেদবিন্দুকে ভরকেন্দ্র বলে।
- ত্রিভুজের তিন বাহুর লম্বদ্বিখণ্ডকগুলোর ছেদবিন্দুকে পরিকেন্দ্র বলে।

প্রশ্ন: ABC ত্রিভুজের AD একটি মধ্যমা এবং G ভরকেন্দ্র। যদি মধ্যমা AD-এর দৈর্ঘ্য 24 সে.মি. হয়, তাহলে AG-এর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
কোনো ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র তার মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।

এখানে, AD মধ্যমা এবং G ভরকেন্দ্র।
∴ AG : GD = 2 : 1

মোট অনুপাত = 2 + 1 = 3
মধ্যমা AD-এর দৈর্ঘ্য = 24 সে.মি.
ভরকেন্দ্র G, মধ্যমা AD-কে দুটি অংশে বিভক্ত করেছে: AG এবং GD।

∴ AG-এর দৈর্ঘ্য = 24 এর (2/3) অংশ
= 24 × (2/3) সে.মি.
= 8 × 2 সে.মি.
= 16 সে.মি.

সুতরাং, AG-এর দৈর্ঘ্য 16 সে.মি.

ধরি, ভূমি = লম্ব = a
∴ ১/২ × a × a = ২৫ বা, a^২ = ৫০ বা, ২a^২ = ১০০
∴ √২a = ১০ সে. মি.
∴ অতিভূজ a√২ = ১০ সে. মি.

ΔABC - এ,
AB = AC
∴ ∠ABC = ∠ACB
এখন,
∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°
বা, ∠ABC + 80° + ∠ACB = 180°
বা, 2∠ACB = 100°
বা, ∠ACB = 50°
∴ ∠ACD = 180° - ∠ACB
= 180° - 50°
= 130°

ΔABC এর ∠BAC + ∠BCA + ∠CBA = 180°
⇒∠CBA +105° + 30° =180°
⇒ ∠CBA = 45°
এখন, ΔABD এর BD = AD
∴ ∠DBA = ∠DAB = ∠CBA = ∠DAB = 45°
∴ ∠DAC = 105° - 45°= 60°

∠ABD + ∠ABC = 180°
∴∠ABD = 180° - 60° = 120°
অনুরূপ ভাবে, ∠ACE + ∠ACB =  180°
∴∠ACE = 180° - 60° = 120°
∴ দুটি বহিঃকোণের সমষ্টি = ∠ABD +∠ACE = 120° + 120° = 240°

সমকোণী ত্রিভুজ পীথাগোরিয়ান টাপুল সমর্থন করে।
অর্থ্যাৎ,
অতিভুজ^২ = লম্ব^২ + ভূমি^২
এখানে, ১৩^২ = ১২^২ + ৫^২
সুতরাং, খ) সঠিক উত্তর।

প্রশ্ন: একটি সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি ও লম্বের দৈর্ঘ্য সমান হলে এর অতিভুজ হবে লম্বের-

সমাধান:
দেয়া আছে,
সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি = লম্ব
ধরি, ভূমি = লম্ব = a

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
অতিভুজ^২ = ভূমি^২ + লম্ব^২
⇒ অতিভুজ^২ = a^২ + a^২
⇒ অতিভুজ^২ = ২a^২
⇒ অতিভুজ = √(২a^২)
⇒ অতিভুজ = a√২
∴ অতিভুজ = √২ × লম্ব

অর্থাৎ, অতিভুজ হবে লম্বের √২ গুণ

একটি ত্রিভুজ আঁকতে হলে কমপক্ষে ১টি কোণ ও ১টি বাহু থাকতে হবে।
আমরা জানি, সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রে একটি কোণ ৯০ ডিগ্রি।
তাই শুধু অতিভুজ দেওয়া থাকলেও ত্রিভুজ আঁকা সম্ভব।
এক্ষেত্রে, লম্ব ও ভূমির বাহুকে ছোট ও বড় করে অনেকগুলো ত্রিভুজ আঁকা যাবে।

ধরি,
তিন বাহুর দৈর্ঘ্য a = 3cm, b = 4.5cm ও c = 5.5cm
অর্ধপরিসীমা, s = (a+b+c)/2 = (3+4.5+5.5)/2 = 6.5
ক্ষেত্রফল = √(s(s-a)(s-b)(s-c))
= √[6.5(6.5-3)(6.5-4.5)(6.5-5.5)]
= 6.75

প্রশ্ন: কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি কত?

সমাধান:
 

ত্রিভুজের যেকোন বাহুকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ যে কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ দুই কোণের সমষ্টির সমান।
∠CBD = ∠A + ∠C
∠BAF = ∠B + ∠C
∠ACE = ∠A + ∠B

বহিঃস্থ কোণ তিনটির সমষ্টি = ∠CBD + ∠BAF + ∠ACE 
= ∠A + ∠C + ∠B + ∠C + ∠A + ∠B
= ২(∠A + ∠B + ∠C)
= ২ × ১৮০° [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০°]
= ৩৬০° 

সমান কোণদ্বয়ের সমষ্টি = 50° + 50°
= 100°
∴ অপর কোণ = 180° - 100°
= 80°

প্রশ্ন: একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে x + 1, 2x - 1 এবং 3x + 1 ত্রিভুজটির পরিসীমা 31cm হলে ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে x + 1, 2x - 1 এবং 3x + 1

যেহেতু, ত্রিভুজের পরিসীমা হলো ত্রিভুজের তিন বাহুর সমষ্টি।
∴ x + 1 + 2x - 1 + 3x + 1 = 31
⇒ 6x + 1 = 31
⇒ 6x = 31 - 1 = 30
⇒ x = 30/6
∴ x = 5

অতএব ১ম বাহু = x + 1 = 5 + 1 = 6cm
২য় বাহু = 2x - 1 = 2 × 5 - 1 = 10 - 1 = 9cm
এবং
৩য় বাহু = 3x + 1 = 3 × 5 + 1 = 15 + 1 = 16

সুতরাং, ক্ষুদ্রতম বাহুর দৈর্ঘ্য 6 cm। 

আমরা জানি,
কোন ত্রিভুজের তিনটি বাহু a, b, c সে. মি হলে
এর অর্ধ পরিসীমা, s = (a + b + c)/2
= (৯ + ১০ + ১১)/২
= ৩০/২
= ১৫ সে.মি

ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল =

আমরা জানি, একটি সমকোণী ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = ১/২ × সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল
= ১/২ × ০.২ × ০.৩
= ০.০৩ বর্গমিটার