ঐকিক নিয়ম

Let the son's age 18 years ago be x years,
Then man's age 18 years ago = 3x years
(3x+18) = 2(x+18)
⇒ 3x+18 = 2x+36
⇒ x = 18
Sum of their present ages
⇒ (3x+18+x+18) years
⇒ (4x+36) years
⇒ (4×18+36) years
⇒ 108 years

মনির ১ দিনে করতে পারে ১/৬ অংশ
জহির ১ দিনে করতে পারে ১/১২ অংশ
সুতরাং সে, ৩ দিনে করতে পারে = ৩/১২ = ১/৪ অংশ
অর্থাৎ, কাজ বাকি থাকে = ১ - ১/৪ = ৩/৪ অংশ
মনির এবং জহির দুজন মিলে ১ দিনে করতে পারে = ১/৬ + ১/১২ = (২ + ১)/১২ = ১/৪ অংশ।
∴ দুজনে ৩/৪ অংশ করতে পারে ৩ দিনে ।
কাজটি শেষ হতে মোট সময় লাগে = ৩ + ৩ = ৬ দিন।

৬০ জন ছাত্রের মধ্যে ৪২ জন ফেল করলে পাশ করে (৬০-৪২) = ১৮ জন।
৬০ জনের মধ্যে পাশ করে ১৮ জন
∴ ১০০ 〃 〃 〃 〃 (১৮×১০০)/৬০〃
= ৩০ জন অর্থ্যাৎ ৩০%।

প্রশ্ন: ৩০ জন শ্রমিক কোনো কাজ ২৪ দিনে করতে পারে। কাজটি শুরুর ১২ দিন পর ১৫ জন শ্রমিক চলে গেলে বাকি শ্রমিক কত দিনে অবশিষ্ট কাজ সমাধান করতে পারবে?

সমাধান:
৩০ জন শ্রমিক ২৪ দিনে করে ১ অংশ
∴ ৩০ জন শ্রমিক ১ দিনে করে ১/২৪ অংশ
∴ ৩০ জন শ্রমিক ১২ দিনে করে ১২/২৪ অংশ
 = ১/২ অংশ

এখন,
বাকি লোক = (৩০ - ১৫) = ১৫ জন
বাকি দিন = (২৪ - ১২) = ১২ দিন
বাকি কাজ = (১ - ১/২) = ১/২ অংশ

৩০ জনের ১/২ অংশ করতে লাগে ১২ দিন
∴ ১ জনের ১/২ অংশ করতে লাগে (১২ × ৩০) দিন
∴ ১৫ জনের ১/২ অংশ করতে লাগে (১২ × ৩০)/১৫ দিন
= ২৪ দিন।

১/২৭ অংশ কাজ শেষ হয় ৩ দিনে।
১ অংশ কাজ শেষ হয় ৩ X ২৭ দিনে।
= ৮১ দিনে।
কাজটির ৩ গুন শেষ হয় = ৩ X ৮১ = ২৪৩ দিনে।

প্রশ্ন: যদি ৮টি ছাগল ৫ দিনে ২০ কেজি ঘাস খায়, তবে ১০টি ছাগল ৭ দিনে কত কেজি ঘাস খাবে?

সমাধান:
৮টি ছাগল ৫ দিনে ঘাস খায় ২০ কেজি
∴ ১টি ছাগল ১ দিনে ঘাস খায় ২০/(৮ × ৫) = ২০/৪০ = ০.৫ কেজি

∴ ১০টি ছাগল ৭ দিনে ঘাস খাবে = ০.৫ × ১০ × ৭ 
 = ৩৫ কেজি

রহিম ১ দিনে করে ১/৫ অংশ
সে ২০ দিনে করবে ১/৫ × ২০ = ৪ অংশ

প্রশ্ন: একটি কাজ করতে A, B এর থেকে ৫ দিন বেশি সময় নেয় এবং  C এর থেকে ৯ দিন বেশি সময় নেয়, A এবং B একসাথে C এর সমান কাজ করতে পারে। A এর কাজটি করতে কত দিন সময় লাগবে? 

ধরি 
A কাজটি করতে পারে x দিনে 
B কাজটি করতে পারে x - 5 দিনে 
C  কাজটি করতে পারে x - 9 দিনে 

A 1 দিনে করতে পারে কাজটির 1/x অংশ 
B 1 দিনে করতে পারে কাজটির 1/(x - 5) অংশ 
C 1 দিনে করতে পারে কাজটির 1/(x - 9) অংশ

প্রশ্নমতে 
1/x + 1/(x - 5) = 1/(x - 9)
(x - 5 + x)/{x(x - 5)} = 1/(x - 9)
2x - 5/x² - 5x = 1/(x - 9)
x² - 5x = (2x - 5)(x - 9)
x² - 5x= 2x² - 5x - 18x + 45
x² - 18x + 45 = 0
x²  - 3x - 15x + 45 = 0
x(x - 3) - 15(x - 3) = 0
(x - 3)(x - 15 ) = 0
x = 3, 15 

A কাজটি করতে পারে 15 দিনে 
3 গ্রহণ যোগ্য নয়, কারণ 3 গ্রহণ করলে B ও C এর কাজের দিন ঋণাত্মক চলে আসে। 

প্রশ্ন: একটি ফটোকপি মেশিন ১/৩ সেকেন্ডে ২টি ফটোকপি করে। একই হারে ইহা ২ মিনিটে কতগুলো ফটোকপি করতে পারে?

সমাধান: 
এখানে, ২ মিনিট = ২ × ৬০ সেকেন্ড
= ১২০ সেকেন্ড

১/৩ সেকেন্ডে করে ২টি ফটোকপি
∴ ১ সেকেন্ডে করে {(২ × ৩)/১} টি ফটোকপি
∴ ১২০ সেকেন্ডে করে (২ × ৩ × ১২০) টি ফটোকপি
= ৭২০ টি ফটোকপি

প্রশ্ন: যদি ৩ জন পুরুষ বা ৫ জন মহিলা একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে তবে ৬ জন পুরুষ এবং ১০ জন মহিলা ঐ কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:
৫ জন মহিলা = ৩ জন পুরুষ
∴ ১ জন মহিলা = ৩/৫ জন পুরুষ
∴ ১০ জন মহিলা = (৩/৫) × ১০ = ৬ জন পুরুষ

সুতরাং ৬ জন পুরুষ এবং ১০ জন মহিলা = (৬ + ৬) = ১২ জন পুরুষ

এখন,
৩ জন পুরুষ কাজটি করে ২০ দিনে
∴ ১ জন পুরুষ কাজটি করে ৩ × ২০ = ৬০ দিনে
∴ ১২ জন পুরুষ কাজটি করে ৬০/১২ = ৫ দিনে

∴ ৬ জন পুরুষ এবং ১০ জন মহিলা ঐ কাজটি ৫ দিনে করতে পারবে।

মোটর গাড়িটির ১০০ কিলোমিটার যেতে ডিজেল প্রয়োজন ১০ লিটার
মোটর গাড়িটির ১ কিলোমিটার যেতে ডিজেল প্রয়োজন ১০/১০০ লিটার
∴ মোটর গাড়িটির ১৫ কিলোমিটার যেতে ডিজেল প্রয়োজন = (১৫×১০)/১০০
= ৩/২ লিটার = ১.৫  লিটার

প্রশ্ন: যদি তিনজন টাইপিষ্ট তিনমিনিটে তিন পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে, তবে কতজন টাইপিষ্ট ৬ মিনিটে ২৪ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে?

সমাধান:
৩ মিনিটে ৩ পৃষ্ঠা টাইপ করে ৩ জন টাইপিষ্ট
১ মিনিটে ৩ পৃষ্ঠা টাইপ করে (৩ × ৩) জন টাইপিষ্ট
১ মিনিটে ১ পৃষ্ঠা টাইপ করে (৩ × ৩)/৩ জন টাইপিষ্ট
৬ মিনিটে ১ পৃষ্ঠা টাইপ করে (৩ × ৩)/(৬ × ৩) জন টাইপিষ্ট
৬ মিনিটে ২৪ পৃষ্ঠা টাইপ করে (৩ × ৩ × ২৪)/(৬ × ৩) জন টাইপিষ্ট
= ১২ জন

সুতরাং, ১২ জন টাইপিষ্ট ৬ মিনিটে ২৪ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে। 

মোট অতিক্রান্ত দূরত্ব = ৪০০ + ১০০ = ৫০০ মিটার
৬০০০০ মিটার যায় = ৩৬০০ সেকেন্ডে
১ '' '' = ৩৬০০/৬০০০০ ''
∴ ৫০০ মিটার যায় = (৩৬০০×৫০০)/৬০০০০ = ৩০ সেকেন্ডে

১ম সেকেন্ডে উঠে ৩ মিটার
২য় সেকেন্ডে নামে ১ মিটার
∴ ২ মিটার উঠে ২ সেকেন্ডে
১০ মিটার উঠে ১০ সেকেন্ডে
∴ ১১ তম সেকেন্ডে আরো ৩ মিটার উঠে বাঁশটির চূড়ায় উঠবে অর্থ্যাৎ ১৩ মিটার উঠবে
∴ মোট সময় ১১ সেকেন্ড।

৩/৫ অংশ পূরণ হয় ৯০০ মিনিটে
১ অংশ পূরণ হয় = ১৫০০ মিনিটে = ২৫ ঘন্টায়।

প্রশ্ন: একটি হোস্টেলে ৬০ জন ছাত্রের ৪৫ দিনের খাবার মজুদ আছে। ১৫ দিন পর যদি আরও ৩০ জন নতুন ছাত্র আসে, তবে অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের কত দিন চলবে?

সমাধান:
অবশিষ্ট দিন = ৪৫ − ১৫ = ৩০ দিন
মোট ছাত্র = ৬০ + ৩০ = ৯০ জন

৬০ জন ছাত্রের খাবার আছে ৩০ দিনের 
∴ ১ জন ছাত্রের খাবার আছে = (৬০ × ৩০) দিনের
∴ ৯০ জন ছাত্রের খাবার আছে = (৬০ × ৩০)/৯০ দিনের
       = ১৮০০/৯০ = ২০ দিন

∴ অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ২০ দিন চলবে।

প্রশ্ন: ১২ জন শ্রমিক ৬ দিনে ২৪০০ টাকা আয় করেন। ৮ জন শ্রমিক কত দিনে সমপরিমাণ অর্থ আয় করবেন?

সমাধান:
১২ জন শ্রমিক ২৪০০ টাকা আয় করেন ৬ দিনে
∴ ১ জন শ্রমিক ২৪০০ টাকা আয় করেন (১২ × ৬) দিনে
∴ ৮ জন শ্রমিক ২৪০০ টাকা আয় করেন (১২ × ৬)/৮ দিনে
                                                       = ৯ দিনে

∴ ৮ জন শ্রমিক ২৪০০ টাকা আয় করতে ৯ দিন সময় লাগবে।

সেপ্টেম্বর মাস = ৩০ দিন
ধরি, কাজ করেছিল = x দিন
শর্তমতে, 2x - 0.5(30 - x) = 40
⇒ 2x - 15 + 0.5x = 40
∴ x = 22
∴ উপস্থিত ছিল = 22 দিন

প্রশ্ন: ২০ জন পুরুষ একটি পুকুর ১৫ দিনে খনন করতে পারে। কত জন পুরুষ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পারবে? 

সমাধান: 
১৫ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০ জন
∴ ১ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = ২০×১৫ জন 
∴ ২০ দিনে পুকুরটি খনন করতে পুরুষ লাগে = (২০×১৫)/২০ জন 
= ১৫ জন। 

∴ নির্ণেয় লোক সংখ্যা = ১৫ জন।

৯ ঘণ্টায় খালি হয় ১ টি চৌবাচ্চা
৩ ঘণ্টায় খালি হয় ৩//৯= ১/৩ টি চৌবাচ্চা

প্রশ্ন: ৫ জন শ্রমিক ৬ দিনে ৮ বিঘা জমির ফসল উঠাতে পারে। ২০ বিঘা জমির ফসল উঠাতে ২৫ জন শ্রমিকের কত দিন লাগবে?

সমাধান:
৮ বিঘা জমির ফসল উঠাতে ৫ জনের লাগে ৬ দিন
৮ বিঘা জমির ফসল উঠাতে ১ জনের লাগে   (৫ × ৬) দিন
১  বিঘা জমির ফসল উঠাতে ১ জনের লাগে (৫ × ৬)/৮ দিন
২০  বিঘা জমির ফসল উঠাতে  ২৫  জনের লাগে (৫ × ৬ × ২০)/(৮ × ২৫) দিন
= ৩ দিন।

নির্ণেয় পরিমাপকটি হবে ৫০ এবং ৬০ এর গসাগু।
৫০ এবং ৬০ এর গসাগু = ১০।
তাই ১০ লিটার পরিমাপক দিয়ে ৫০ এবং ৬০ লিটার পাত্রের দুধ মাপা যাবে।

প্রশ্ন: ৩ জন পুরুষ ৪ জন বালকের সমান কাজ করতে পারে। কতজন পুরুষ ২৮ জন বালকের সমান কাজ করতে পারবে? 

সমাধান: 
৪ জন বালক = ৩ জন পুরুষ
∴ ১ জন বালক = ৩/৪ জন পুরুষ
∴ ২৮ জন বালক = (৩ × ২৮)/৪ জন পুরুষ
= ২১ জন পুরুষ

যেহেতু ট্রেনটি ১৫০ মিটার লম্বা সেহেতু ট্রেনটি ৬ সেকেন্ডে ১৫০ মিটার পথ অতিক্রম করবে।
∴ ১ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = ১৫০/৬ = ২৫ মিটার
সুতরাং, ১ ঘণ্টা বা ৩৬০০ সেকেন্ডে ট্রেনটি অতিক্রম করে = (২৫×৩৬০০) মিটার = ৯০০০০ মিটার = ৯০ কি.মি.

অতএব, ট্রেনটির গতিবেগ ঘণ্টায় = ৯০ কি.মি.

প্রশ্ন: ক ও খ একত্রে একটি কাজ ৯ দিনে করতে পারে। ক একা কাজটি ১২ দিনে করতে পারে। খ একা কাজটি কত দিনে করতে পারবে?

সমাধান:

ক ও খ একত্রে ৯ দিনে করে = ১ অংশ
ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে = ১/৯ অংশ

আবার,
ক একা ১২ দিনে করে ১ অংশ
ক একা ১ দিনে করে ১/১২ অংশ

সুতরাং,
 খ একা ১ দিনে করে = (১/৯) - (১/১২) অংশ
= (৪ - ৩)/৩৬ অংশ [৯ ও ১২ এর লসাগু ৩৬]
= ১/৩৬ অংশ

যেহেতু,
খ ১ দিনে করে ১/৩৬ অংশ কাজ,
∴ খ সম্পূর্ণ কাজটি একা করতে পারবে (৩৬ × ১) = ৩৬ দিনে।

চৌবাচ্চাটি বর্গাকৃতির, যার গভীরতা ২.৫ মিটার
মনে করি,
বর্গাকৃতি চৌবাচ্চার পৃষ্ঠের দৈর্ঘ্য ক মিটার
∴ বর্গাকৃতি চৌবাচ্চার আয়তন = ক × ক × ২.৫ ঘ.মি. = ২.৫ × ক^২ ঘনমিটার

চৌবাচ্চাটিতে পানি ধরে ২৮,৯০০ লিটার

= ২৮৯০০ × ১০০০ ঘন সে.মি. [যেহেতু, ১ লিটার = ১০০০ ঘন সে.মি.]
= ২৮৯০০০০০ ঘন সে.মি.
= ২৮.৯ ঘনমিটার [যেহেতু, ১০০০০০০ ঘন সে.মি. = ১ ঘন মিটার]

প্রশ্নমতে, ২.৫ × ক^২ = ২৮.৯
বা, ক^২ = ১১.৫৬
বা, ক = ৩.৪

বর্গাকৃতি চৌবাচ্চার পৃষ্ঠের দৈর্ঘ্য ৩.৪ মিটার
∴ বর্গাকৃতি চৌবাচ্চার তলের ক্ষেত্রফল = ক^২ বর্গমিটার = (৩.৪)^২ বর্গমিটার
= ১১.৫৬ বর্গমিটার
সুতরাং, বর্গাকৃতি চৌবাচ্চার ভেতরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = ৪ × (৩.৪ × ২.৫) বর্গমিটার।
= ৩৪ বর্গমিটার

∴ চৌবাচ্চাটির তলা ও ভেতরের চার দেয়ালের ক্ষেত্রফল = (১১.৫৬ + ৩৪) বর্গমিটার
= ৪৫.৫৬ বর্গমিটার

প্রতি বর্গমিটার ৫ টাকা খরচে এলুমিনিয়ামের পাত লাগাতে মোট খরচ হবে = ৫ × ৪৫.৫৬ = ২২৭.৮০ টাকা 

মনে করি,
দুরত্ব ক মিটার

প্রশ্নমতে,
(ক/২)/২১ + (ক/২)/২৪ = ১০

সমাধান করে পাই,
ক = ২২৪কিমি

১৫ জন লোকের ১/২ অংশ করতে সময় লাগে ২০ দিন
১৫ জন লোকের ১ অংশ করতে সময় লাগে ২০×২ দিন
= ৪০ দিন।
এখন, ১৫ জন লোকে কাজটি করে ৪০ দিনে
সুতরাং, ১ জন লোকে কাজটি করে ৪০×১৫ দিনে
সুতরাং, ২০ জন লোকে কাজটি করে ৪০×১৫/২০ দিনে
= ৩০ দিনে।

প্রশ্ন: কোনো আশ্রমে ৬৪০ জন লোকের ২০ দিনের খাবার মজুদ আছ। ১০ দিন পর কিছু নতুন লোক আসায় অবশিষ্ট খাদ্যে তাদের ৮ দিন চললে কত জন লোক এসেছিল?

সমাধান:
অবশিষ্ট = (২০ - ১০) দিন = ১০ দিন 

∴ ১০ দিনের খাবার আছে ৬৪০ জন সৈন্যের 
∴ ১  দিনের খাবার আছে  ১০ × ৬৪০ 
∴ ৮  দিনের খাবার আছে (১০ × ৬৪০) /৮
 = ৮০০ জন 

∴ নতুন লোক এসেছিলো = (৮০০ - ৬৪০) জন 
= ১৬০ জন

শৃগাল ১ মিনিটে যায় ১০০ মি.
কুকুর ১ মিনিটে  ''   ১০০০/৬ মি.
কুকুর ১ মিনিটে শৃগাল থেকে বেশি দৌড়ায় (১০০০/৬ - ১০০) মি. বা ৪০০/৬ মিটার
কুকুর শৃগালকে ধরবে ৫০০/(৪০০/৬) মিনিট পর
= ৫০০× ৬/৪০০ = ৭.৫ মিনিট পর।

প্রশ্ন: কোন কর্মচারী মূল বেতনের (১/৪০) ভাগের সমপরিমাণ বিশেষ ভাতা পান। তার বিশেষ ভাতা ৪০ টাকা হলে, মূল বেতন কত টাকা?

সমাধান:
মূল বেতন = ৪০ টাকা

বিশেষ ভাতা = (৪০ এর ১/৪০) টাকা
= ১ টাকা

বিশেষ ভাতা ১ টাকা হলে মূল বেতন ৪০ টাকা
বিশেষ ভাতা ৪০ টাকা হলে মূল বেতন (৪০ × ৪০) টাকা
= ১৬০০ টাকা