ঐকিক নিয়ম

প্রশ্ন: একটি নৌকা ১০ মিটার/সেকেন্ড বেগে গতিশীল স্রোতের অনুকূলে যে দূরত্ব অতিক্রম করতে ২০ সেকেন্ড লাগে, স্রোতের প্রতিকূলে সে দূরত্ব অতিক্রম করতে ১০ সেকেন্ড সময় বেশি লাগে। স্রোতের বেগ কত?

সমাধান:
ধরি,
স্রোতের বেগ = x মিটার/সেকেন্ড

স্রোতের অনুকূলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = (১০ + x) × ২০ মিটার
স্রোতের প্রতিকূলে অতিক্রান্ত দূরত্ব = (১০ - x) × ৩০ মিটার

প্রশ্নমতে,
(১০ + x) × ২০ = (১০ - x) × ৩০
বা, ২০ + ২x = ৩০ - ৩x
বা, ৫x = ১০
∴ x = ২

∴ স্রোতের বেগ ২ মিটার/সেকেন্ড।

দুটি নল একত্রে,
৮ মিনিটে পূর্ণ করে ১টি চৌবাচ্চা
৪মিনিটে পূর্ণ করে = (৪/৮ X ১) অংশ
= ১/২ অংশ
চৌবাচ্চাটির (১-১/২) অংশ খালি থাকে।

দ্বিতীয় নল দ্বারা,
১/২ অংশ পূর্ণ হয় ৬ মিনিটে
১(সম্পূর্ণ) অংশ পূর্ণ হয় = (৬ X ২) = ১২ মিনিটেে

আবার দ্বিতীয় নল দ্বারা,
৬ মিনিটে পূর্ণ হয় ১/২ অংশ
৪ মিনিটে পূর্ণ হয় = ১ X ৪/২ X ৬ = ১/৩ অংশ
প্রথম নল দ্বারা ৪ মিনিটে পূর্ণ হয় = (১/২-১/৩) অংশ
= (৩-২)/৬
= ১/৬ অংশ

প্রথম নল দ্বারা ১/৬ অংশ পূর্ণ হয় ৪ মিনিটে
প্রথম নল দ্বারা ১(সম্পূর্ণ) অংশ পূর্ণ হয় (৪ X ৬) মিনিটে
= ২৪ মিনিটে

৯ জনে আয় করে ৪ দিনে
∴ ১ জনে আয় করে ৯ × ৪ দিনে
∴ ১২ জনে আয় করে (৪ × ৯) / ১২
= ৩ দিনে

১০ জন পুরুষ কাজ করে = ১২ জন বালকের
∴ ১৫ জন পুরুষ কাজ করে = (১২/১০) × ১৫ = ১৮ জন বালকের
∴ মোট বালক = ১৮ + ৬ = ২৪ জন
প্রশ্নমতে,
১২ জন বালক একটি কাজ করে = ২৪ দিনে
∴ ২৪ জন বালক ঐ কাজটি করে (১০×১২)/২৪ = ৫ দিনে

Let the required time = T years
Then, (500×4×6.25)/100 = (400×5×T)/100
⇒ T = (500×4×6.25)/(400×5) years = 6(1/4) years

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ১২ দিনে করতে পারে। দু’জন লোক কমিয়ে দিলে কাজটি সমাধান করতে শতকরা কত দিন বেশী লাগবে?

সমাধান: 
২ জন লোক কমে যাওয়ায় মোট লোক হয় =(৮ - ২)= ৬জন।

৮ জন লোক একটি কাজ করে = ১২ দিনে
১ জন লোক একটি কাজ করে = ৮ × ১২ দিনে
৬ জন লোক একটি কাজ করে = (৮ × ১২)/৬ দিনে
= ১৬

পূর্বের চেয়ে সময় বেশি লাগে =(১৬ - ১২) = ৪দিন

শতকরা সময় বেশি লাগে = {(৪/১২) × ১০০}% = (১০০/৩)% 

৩০ জন শ্রমিকের প্রয়োজন = ২০ দিন
১ জন শ্রমিকের প্রয়োজন = ২০×৩০ দিন
∴ ২০ জন শ্রমিকের প্রয়োজন = (২০×৩০)/২০
= ৩০ দিন

৩০ সের ছোলা খায় ৬ টি ঘোড়া
∴ ২৫ সের ছোলা খায় ৬ × ২৫ / ৩০ = ৫ টি ঘোড়া

প্রশ্ন: ৮ জন লোক একটি কাজ ২০ দিনে করতে পারে। ৫ দিন পরে ৩ জন চলে গেলে কাজটি শেষ করতে বাকি লোকের কতদিন লাগবে?

সমাধান:
মনে করি ,
সম্পূর্ন কাজটি = ৮০ একক।

দেয়া আছে,
৮ জনের
২০ দিনে শেষ হয় = ৮০ একক।
∴ ৫ দিনে শেষ হয় = ৮০×৫/২০ একক।
= ২০ একক।

কাজ বাকি থাকে = ৮০ - ২০ একক
= ৬০ একক, যা (৮-৩) বা ৫ জন লোক শেষ করে। 

এখন,
৮ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০ দিনে
∴ ১ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০×৮ দিনে
∴ ৫ জন লোক ৮০ একক কাজ করে = ২০×৮/৫ দিনে
∴ ৫ জন লোক ১ একক কাজ করে = (২০×৮)/(৫×৮০) দিনে
∴ ৫ জন লোক ৬০ একক কাজ করে = (২০×৮×৬০)/(৫×৮০) দিনে
= ২৪ দিনে

উত্তর: ২৪ দিনে

খ ১ দিনে করে কাজটির ১/১৪ অংশ
∴ খ ১০〃  〃      〃      ১০/১৪ 〃= ৫/৭ অংশ
∴ ক ১০ দিনে করে কাজটির (১ - ৫/৭) বা ২/৭ অংশ
ক  ২/৭ অংশ কাজ করে ১০ দিনে
∴ ১ বা সম্পূর্ণ 〃 〃 (১০×৭)/২ = ৩৫ দিনে।

মনে করি, রবি x দিনে কাজটি শেষ করতে পারবে
প্রশ্নমতে, মাহির কাজ শেষ করতে সময় লাগে ( ২ ✕ ৩/৪x) = ৩x/২
মাহি ও রবি ১ দিনে করে কাজের ১/১৮ অংশ
এখন, ১/x + ২/৩x = ১/১৮
⟹ x = ( ৫ ✕ ১৮)/৩ = ৩০ দিন

প্রশ্ন: ১ ডজন ডিমের দাম ৫৪ টাকা হলে ৪৫ টাকায় কয়টি ডিম পাওয়া যায়?

সমাধান:
১ ডজন = ১২টি ডিম।

১২টি ডিমের দাম = ৫৪ টাকা
১টি ডিমের দাম = ৫৪/১২ টাকা = ৪.৫ টাকা 
৪৫ টাকায় ডিমের সংখ্যা = ৪৫/৪.৫ = ১০ টি

∴ ৪৫ টাকায় পাওয়া যাবে ১০ টি ডিম। 

লোকটি প্রথম ২ ঘন্টায় যায়(৩০ × ২)মাইল = ৬০ মাইল এবং
দ্বিতীয় ৩ ঘন্টায় যায় ৬০ মাইল।
∴ লোকটি ৫ ঘন্টায়(৩ + ২) যায় ১২০ মাইল
∴ লোকটির গড় গতিবেগ ১২০/৫ = ২৪ মাইল

Speed = 60×(5/18) m/sec = 50/3 m/sec
Length of the train = (Speed×Time)
∴ Length of the train = (50/3)×9 m = 150 m

৬ জন ছাত্র ৬ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে ৬ মিনিটে
১ জন ছাত্র ১ পৃষ্ঠা টাইপ করতে পারে ৬×৬/৬ মিনিটে
= ৬ মিনিটে।

স্রোতের অনুকূলে লঞ্চের বেগ ঘন্টায় = লঞ্চের বেগ + স্রোতের বেগ
= ১৮ + ৬ কিমি
= ২৪ কিমি

∴ ৪৮ কিমি যেতে সময় লাগবে = ৪৮/২৪ ঘন্টা
= ২ ঘন্টা।

স্রোতের প্রতিকূলে লঞ্চের বেগ ঘন্টায় = লঞ্চের বেগ - স্রোতের বেগ
= ১৮ - ৬ কিমি
= ১২ কিমি

∴ ৪৮ কিমি যেতে সময় লাগবে ৪৮/১২ = ৪ ঘন্টা।
∴ মোট সময় লাগবে = ২ + ৪ ঘন্টা।
= ৬ ঘন্টা।

সবাই ১৩ দিন খেয়েছে তাই বাকি আছে = ৪০ - ১৩ = ২৭ দিন
২৭ দিনের খাবার আছে = ১৫০০ জন সৈনিকের
১ দিনের খাবার আছে = ১৫০০ × ২৭ জন সৈনিকের
৩০ দিনের খাবার আছে = (১৫০০×২৭)/৩০ জন সৈনিকের = ১৩৫০
তাহলে অন্য জায়গায় গিয়েছে = ১৫০০-১৩৫০ = ১৫০জন

ক -
১৫ দিনে করে ১ অংশ
১ দিনে করে ১/১৫ অংশ

খ -
২০ দিনে করে ১ অংশ
১ দিনে করে ১/২০ অংশ

ক ও খ একত্রে ১ দিনে করে = (১/১৫ + ১/২০) = ৭/৬০ অংশ
ক ও খ একত্রে ৪ দিনে করে = ৭/১৫ অংশ।

অর্থাৎ, বাকী থাকে (১ - ৭/১৫) = ৮/১৫ অংশ।

প্রথম শর্তটি সবগুলো অপশনই পূর্ণ করে।
দ্বিতীয় শর্তের ক্ষেত্রে কেবল 93 এর অংকদ্বয় স্থান পরিবর্তন করলে 39 হয় অর্থাৎ (93-39) = 54 হ্রাস পায়।
অর্থাৎ, সংখ্যাটি 54।
বিকল্প পদ্ধতিঃ
ধরি,
একক স্থানিয় অংক = x
দশক স্থানীয় অংক = y
∴ সংখ্যাটি = 10y + x
এবং x + y = 12 -------- (1)
প্রশ্নমতে,
10x + y = (10y+x) - 54
⇒ 10x + y - 10y - x = -54
⇒ 9x - 9y = -54
∴ x - y = -6 ----------- (2)
এখন,
(1)+(2) ⇒ (x+y) + (x-y) = 12 - 6
⇒ 2x = 6
⇒ x = 3
আবার, (1) - (2) ⇒ (x+y) - (x-y) = 12 - (-6)
⇒ 2y = 18
⇒ y = 9
∴ সংখ্যাটি = 10y + x = 10(9) + 3 = 93

প্রশ্ন: ১ জন লোক ১ টা কলা ১ মিনিটে খেতে পারে। তাহলে ৫ জন লোকের ৫ টা কলা খেতে কত মিনিট সময় লাগবে?

৪৯তম স্পেশাল বিসিএস।
সমাধান:
১ জন লোক ১ টা কলা = ১ মিনিট
১ জন লোক ৫ টা কলা = ৫ মিনিট

৫ জন লোক ১ টা করে কলা = ১ মিনিট (সবাই একসাথে খায়)
৫ জন লোক ৫ টা কলা = ১ মিনিট (প্রতিটি লোক ১ টা কলা খায়)

কারণ: যখন ৫ জন লোক একসাথে খায়, তারা একই সময়ে কলা খাওয়া শুরু করে এবং শেষ করে। প্রতিটি লোক ১ টা কলা খেতে ১ মিনিট সময় নেয়।

প্রশ্ন: ১৬ জন শ্রমিক ১০ দিনে ৩৬০০ টাকা আয় করেন। ৮ জন শ্রমিক কত দিনে সমপরিমাণ অর্থ আয় করবেন?

সমাধান:
১৬ জন শ্রমিক ৩৬০০ টাকা আয় করেন ১০ দিনে 
∴ ১ জন শ্রমিক ৩৬০০ টাকা আয় করবেন (১৬ × ১০) দিনে
∴ ৮ জন শ্রমিক ৩৬০০ টাকা আয় করবেন (১৬ × ১০)/৮ দিনে
 = ২০ দিনে

∴ ৮ জন শ্রমিক ২০ দিনে সমপরিমাণ অর্থ আয় করবে।

প্রশ্ন: ৩৩ জনের ২৪ দিনের খাদ্য আছে। ৪ দিন পর ২৭ জন লোক আসলে ঐ খাদ্যে কতদিন চলবে?

সমাধান:
দিন বাকি আছে = (২৪ - ৪) = ২০ দিন
মোট লোক সংখ্যা হলো = (৩৩ + ২৭) = ৬০ জন

এখন,
৩৩ জন লোকের চলে ২০ দিন
১ জন লোকের চলে (৩৩ × ২০) দিন
∴ ৬০ জন লোকের চলে = (৩৩ × ২০)/৬০ দিন
= ১১ দিন

আমরা জানি, বেগ = সরণ/সময়
সময় = ১৮০/২০ = ৯ সেকেন্ড

প্রশ্ন: ৫০ মিটার দীর্ঘ একটি ট্রেন ঘণ্টায় ৩৬ কি.মি বেগে চলে। রাস্তার পাশের একটি খুঁটিকে ট্রেনটি কত সেকেন্ডে অতিক্রম করবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
১ কি.মি = ১০০০ মিটার 
∴ ৩৬ কি.মি = (৩৬ × ১০০০) মিটার 
= ৩৬০০০ মিটার 

খুঁটিকে অতিক্রম করতে ট্রেনটিকে নিজের দৈর্ঘ্য অতিক্রম করতে হবে।

এখন, 
ট্রেনটি ৩৬০০০ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০ সেকেন্ডে 
∴ ট্রেনটি ১ মিটার অতিক্রম করে = ৩৬০০/৩৬০০০ সেকেন্ডে 
∴ ৫০ মিটার অতিক্রম করে = (৩৬০০ × ৫০)/৩৬০০০ সেকেন্ডে 
= ৫ সেকেন্ডে 

∴ খুঁটিকে ট্রেনটি ৫ সেকেন্ডে অতিক্রম করবে।

ধরি, স্রোতের অনুকূলে ঐ ব্যক্তির বেগ x কি.মি./ঘণ্টা
আমরা জানি,
স্থির পানিতে বেগ = ১/২ ✕( স্রোতের অনুকূলে বেগ + স্রোতের প্রতিকূলে বেগ)
প্রশ্নমতে,
1/2✕(x + ৩.৫) = ৫
⇒ x = ৬.৫