বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার গ.সা.গু., বিয়োগফল এবং ল.সা.গু যথাক্রমে ১৫, ৭৫ এবং ৩৫১০। সংখ্যা দুইটি কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যা দুটি = ১৫x ও ১৫y

তাহলে,
১৫x - ১৫y = ৭৫
∴ ১৫(x - y) = ৭৫
⇒ x - y = ৫ .......... (১)

এবং,
সংখ্যা দুটির ল.সা.গু = ১৫xy
∴ ১৫xy = ৩৫১০
⇒ xy = ৩৫১০/১৫
⇒ xy = ২৩৪

আমরা জানি,
(x + y)^২ = (x - y)^২ + ৪xy

∴ (x + y)^২ = ৫^২ + ৪ × ২৩৪
= ২৫ + ৯৩৬
= ৯৬১

⇒ x + y = ৩১ .......... (২)

এখন, (১) + (২) করলে পাই,
২x = ৩৬
⇒ x = ১৮

এবং, (২) - (১) করলে পাই,
২y = ২৬
⇒ y = ১৩

অতএব,
সংখ্যা দুটি = ১৫ × ১৮ এবং ১৫ × ১৩
= ২৭০ ও ১৯৫

প্রশ্ন: কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যার সাথে ৭ যোগ করলে যোগফল ১৫, ২০ ও ২৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান:
নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি হবে ১৫, ২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু. থেকে ৭ কম।
এখন,
১৫ = ৩ × ৫
২০ = ২ × ২ × ৫
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ১৫, ২০ ও ২৪ এর ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫
= ১২০

∴ নির্ণেয় ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১২০ - ৭
= ১১৩

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ. সা. গু. ও ল. সা. গু. যথাক্রমে ৩ ও ৪৮০। একটি সংখ্যা ১৫ হলে অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুটি সংখ্যার গ.সা.গু. = ৩
দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. = ৪৮০
একটি সংখ্যা = ১৫

​আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ প্রথম সংখ্যা × দ্বিতীয় সংখ্যা = গ.সা.গু. × ল.সা.গু.
⇒ ১৫ × দ্বিতীয় সংখ্যা = ৩ × ৪৮০
⇒ দ্বিতীয় সংখ্যা = (৩ × ৪৮০) / ১৫
⇒ দ্বিতীয় সংখ্যা = ১৪৪০ / ১৫
∴ দ্বিতীয় সংখ্যা = ৯৬

সুতরাং, অপর সংখ্যাটি হলো ৯৬।

প্রশ্ন: কোনো স্কুলের ছাত্রদেরকে ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ জনের সারিতে দাঁড় করালে প্রতিবারই ৩ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে। স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা কত?

সমাধান: 
স্কুলের ছাত্র সংখ্যা এমন একটি সংখ্যা হবে যাকে ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ দ্বারা ভাগ করলে প্রতিবারই ৩ অবশিষ্ট থাকে।
অর্থাৎ ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ এর লসাগু বের করে সেই লসাগুর সাথে ৩ যোগ করলেই নির্ণেয় ছাত্র সংখ্যা পাওয়া যাবে।

এখন, ৯, ১২, ১৫ এবং ১৮ এর ল.সা.গু = ১৮০ 

যেহেতু প্রতিবারই ৩ জন ছাত্র অবশিষ্ট থাকে, তাই মোট ছাত্র সংখ্যা হবে ল.সা.গু অপেক্ষা ৩ বেশি।
∴ স্কুলের মোট ছাত্র সংখ্যা = (১৮০ + ৩) জন = ১৮৩ জন।

প্রশ্ন: P = x² - 9, Q = x² + 7x + 12, R = 3x + 9 হলে, P, Q ও R এর গ.সা.গু নির্ণয় করুন।

সমাধান:
দেওয়া আছে,
P = x² - 9
Q = x² + 7x + 12
R = 3x + 9

∴ P = x² - 9
= x² - 3²
= (x + 3) (x - 3)

∴ Q = x² + 7x + 12
= x² + 4x + 3x + 12
= x(x + 4) + 3(x + 4)
= (x + 4) (x + 3)

∴ R = 3x + 9
= 3(x + 3)

∴ P, Q ও R এর গ.সা.গু = (x + 3)

আমরা জানি,
১ম সংখ্যা × ২য় সংখ্যা = সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু × সংখ্যাদ্বয়ের গ.সা.গু
বা, ৫৪ = ১৮ × গ.সা.গু
বা, গ.সা.গু = ৩
সুতরাং ল.সা.গুঃগ.সা.গু = ১৮ঃ৩ = ৬ঃ১

প্রশ্ন: ৯৬ টি লাড্ডু এবং ১৪৪ টি সন্দেশ এমনভাবে বাক্সে রাখতে হবে যাতে প্রতিটি বাক্সে সমান সংখ্যক লাড্ডু ও সন্দেশ থাকে এবং কোনোটিই অবশিষ্ট না থাকে। সর্বাধিক কতটি বাক্স তৈরি করা যাবে?

সমাধান:
৯৬ এবং ১৪৪ এর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক (গ.সা.গু) নির্ণয় করতে হবে।

এখন,
৯৬ এর গুণনীয়ক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ১২, ১৬, ২৪, ৩২, ৪৮, ৯৬
১৪৪ এর গুণনীয়ক = ১, ২, ৩, ৪, ৬, ৮, ৯, ১২, ১৬, ১৮, ২৪, ৩৬, ৪৮, ৭২, ১৪৪

এদের মধ্যে সর্বোচ্চ সাধারণ গুণনীয়ক = ৪৮

সুতরাং সর্বাধিক ৪৮ টি বাক্স তৈরি করা যাবে।

প্রশ্ন: a² + 2a - 3 এবং a² - 2a - 3 এর গ.সা.গু. কত?

সমাধান:
প্রথমে প্রতিটি বহুপদকে গুণনীয়কে ভাগ করি:
a² + 2a - 3
= a² + 3a - a - 3
= (a + 3)(a - 1)
a² - 2a - 3
= a² - 3a + a - 3
= (a - 3)(a + 1) 

সাধারণ গুণনীয়ক খুঁজে বের করি:
প্রথমের গুণনীয়ক: (a + 3), (a - 1)
দ্বিতীয়ের গুণনীয়ক: (a - 3), (a + 1)
এখানে কোনো সাধারণ গুণনীয়ক নেই, সাধারণ গুণনীয়ক না থাকলে গ.সা.গু. = 1

∴ গ.সা.গু. = 1

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বৃহত্তম?

সমাধান:
ক) ৭/১২ = ০.৫৮৩৩
খ) ৪/৭ = ০.৫৭১৪
গ) ৫/৯ = ০.৫৫৫৬
ঘ) ৩/৫ = ০.৬

সুতরাং, বৃহত্তম ভগ্নাংশটি হলো ৩/৫।

প্রশ্ন: নিচের কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটিকে ৫, ৬ এবং ৭ দ্বারা ভাগ করলে যথাক্রমে ৪, ৫ এবং ৬ অবশিষ্ট থাকে?

সমাধান:
এখানে,
৫ - ৪ = ১ 
৬ - ৫ = ১ 
৭ - ৬ = ১ 
∴ নির্ণেয় সংখ্যাটি হবে ৫, ৬ এবং ৭ - এর ল.সা.গু অপেক্ষা ১ কম।
৫, ৬ এবং ৭ - এর ল.সা.গু = ২১০

∴ নির্ণেয় সংখ্যা = ২১০ - ১ = ২০৯ 

প্রশ্ন: ২/৩, ১/২, ৫/৯, এবং ১/১৮ ভগ্নাংশগুলোর গড় কত?

সমাধান:
ভগ্নাংশগুলোর সমষ্টি = (২/৩) +( ১/২) + (৫/৯) + (১/১৮)
= (১২ + ৯ + ১০ + ১)/১৮  ;  [৩, ২, ৯ এবং ১৮ এর ল.সা.গু = ১৮]
= ৩২/১৮
= ১৬/৯

এখানে মোট ৪টি ভগ্নাংশ আছে।
∴ ভগ্নাংশগুলোর গড় = (১৬/৯)/৪
= (১৬/৯) × (১/৪)
= ৪/৯

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫: ৬ এবং তাদের ল.সা.গু. ১২০। সংখ্যা দুটির গ.সা.গু. হবে-

সমাধান:
ধরি, সংখ্যার দুটি যথাক্রমে ৫ক ও ৬ক
গ.সা.গু = ক এবং ল.সা.গু = ৩০ক

প্রশ্নমতে,
৩০ক = ১২০
⇒ ক = ৪
সুতরাং, গ.সা.গু. = ৪

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৯ দিয়ে বিভাজ্য?

সমাধান:
আমরা জানি, 
৯-এর নিয়ম: অঙ্কগুলোর যোগফল ৯ দিয়ে বিভাজ্য হলে সংখ্যাটিও বিভাজ্য হবে। 

অপশন যাচাই করে পাই, 
ক) ৩৪৫৬
৩ + ৪ + ৫ + ৬ = ১৮ ; ৯ দিয়ে বিভাজ্য (৩৪৫৬ ÷ ৯ = ৩৮৪, অবশিষ্ট ০)

খ) ৫৬৭৩
৫ + ৬ + ৭ + ৩ = ২১ ;  ৯ দিয়ে বিভাজ্য নয় (অবশিষ্ট ৩)

গ) ৮৯০৪
৮ + ৯ + ০ + ৪ = ২১ ;  ৯ দিয়ে বিভাজ্য নয় (অবশিষ্ট ৩)

ঘ) ৭৯০১
৭ + ৯ + ০ + ১ = ১৭ ;  ৯ দিয়ে বিভাজ্য নয় (অবশিষ্ট ৮)

সুতরাং, সঠিক উত্তর: ক) ৩৪৫৬

প্রশ্ন: ১৯৮০ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে?

সমাধান:
১৯৮০ এর মৌলিক গুণনীয়ক বিশ্লেষণ করলে পাই,

১৯৮০ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৫ × ১১
= ২^২ × ৩^২ × ৫ × ১১

জোড়া গঠন করে পাই = (২ × ২) × (৩ × ৩) × ৫ × ১১

এখানে, জোড়া বিহীন সংখ্যা = ৫ × ১১ = ৫৫

সুতরাং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা পেতে, ১৯৮০ কে ৫৫ দ্বারা গুণ করতে হবে।

∴ ৫৫ দ্বারা গুণ করলে গুণফলটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হবে।

সমাধান:
১০ ঘন্টা কাজ করলে প্রথম ৮ ঘন্টার জন্য ১০ টাকা হারে = ৮ × ১০ = ৮০ এবং
পরের ২ ঘন্টা ১৫ টাকা হারে মোট = ১৫ × ২ = ৩০ টাকা
∴ মোট আয় = ৮০ + ৩০ = ১১০ টাকা

∴ ১০ ঘন্টায় গড় আয় = ১১০ ÷ ১০ = ১১ টাকা।

প্রশ্ন: একটি ঝুড়ি ভর্তি লিচুকে ১৫, ২০ এবং ৩০ দিয়ে ভাগ করলে যথাক্রমে ৬, ১১ এবং ২১ অবশিষ্ট থাকে। তাহলে ঝুড়িতে কমপক্ষে কতটি লিচু রয়েছে?

সমাধান:
এখানে,
১৫ - ৬ = ৯
২০ - ১১ = ৯
৩০ - ২১ = ৯
প্রত্যেক ক্ষেত্রেই অবশিষ্টের সাথে ভাজকের পার্থক্য ৯

এখন,
১৫ = ৩ × ৫ 
২০ = ২ × ২ × ৫
৩০ = ২ × ৩ × ৫

∴ তাদের ল.সা.গু = ৩ × ৫ × ২ × ২ = ৬০
∴ লিচুর সর্বনিম্ন সংখ্যা হবে = (৬০ - ৯) = ৫১

প্রশ্ন: সর্বনিম্ন কত সংখ্যক ছাত্রকে ৮, ১২, ১৬ এবং ২৪ জনের দলে ভাগ করে এবং তাদেরকে বর্গাকৃতিতে সাজানো সম্ভব?

সমাধান:
৮ = ২ × ২ × ২
১২ = ২ × ২ × ৩
১৬ = ২ × ২ × ২ × ২
২৪ = ২ × ২ × ২ × ৩

∴ ৮, ১২, ১৬ এবং ২৪ এর ল.সা.গু = ২^৪ × ৩ = ৪৮

এখানে ২ এর ঘাত জোড় (৪), কিন্তু ৩ এর ঘাত বিজোড় (১)। এটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে আমাদের আরও একটি ৩ দিয়ে গুণ করতে হবে।

∴ ছাত্রসংখ্যা = ৪৮ × ৩ = ১৪৪ জন

ধরি সংখ্যাটি ক
শর্তমতে, ৩ক + ২ক = ৯০
বা, ৫ক = ৯০
বা, ক = ১৮

আমরা জানি,
দুইটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যাদ্বয়ের ল.সা.গু × গ.সা.গু
বা, ১৬৮০ = ল.সা.গু × ৩০
বা, ল.সা.গু = ১৬৮০ ÷ ৩০
বা, ল.সা.গু = ৫৬

প্রশ্ন: p ও q উভয়ে বিজোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি জোড় সংখ্যা?

সমাধান:
মনে করি, p = 1 এবং q = 3 (উভয়েই বিজোড় সংখ্যা)।

অপশন ক) p + q = 1 + 3 = 4 ⇒ জোড়

অপশন খ) pq + 1 = (1 × 3) + 1 = 3 + 1 = 4 ⇒ জোড়

অপশন গ) p² + q² = 1² + 3² = 1 + 9 = 10 ⇒ জোড়

অতএব, সঠিক উত্তর: ঘ) উপরের সবগুলো 

প্রশ্ন: তিনটি ভিন্ন মৌলিক সংখ্যার সমষ্টি 40। এই মৌলিক সংখ্যা গুলোর গুণফল কত? 

সমাধান:
যেহেতু 2 একমাত্র জোড়া মৌলিক সংখ্যা, যদি 2 অন্তর্ভুক্ত করি, বাকি দুটি সংখ্যার যোগ হবে 40 - 2 = 38।
38 কে দুটি বিজোড় মৌলিক সংখ্যা এর যোগে লেখা যায়,
7 + 31 (অন্য কোনো জোড়া সম্ভব নয় - যেমন: ৫ + ৩৩ = ৩৮, কিন্তু ৩৩ মৌলিক নয়)
সুতরাং তিনটি সংখ্যা হলো-  2, 7, 31

সুতরাং মৌলিক সংখ্যা গুলোর গুণফল = 2 × 7 × 31 = 434

ধরি, ছোট সংখ্যাটি = x
∴ বড় সংখ্যাটি = x+1
প্রশ্নমতে,
(x+1)² - x² = 49
⇒ x²+2x+1-x² = 49
⇒ 2x = 48
∴ x = 24

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার বর্গমূলের সাথে ৫ যোগ করলে যোগফল ১২ হলে সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, সংখ্যাটি = x

প্রশ্নমতে,
√x + ৫ = ১২
⇒ √x = ১২ − ৫
⇒ √x = ৭
⇒ x = ৭^২ [বর্গ করে]
∴ x = ৪৯

অতএব, সংখ্যাটি = ৪৯।

প্রশ্ন: ছয়টি সংখ্যার গড় ৭। যদি তাদের মধ্যে থেকে দুটি সংখ্যা সরিয়ে নেওয়া হয়, তবে অবশিষ্ট সংখ্যাগুলোর গড় ৮ হয়। সরানো সংখ্যা দুটির যোগফল কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
ছয়টি সংখ্যার গড় ৭
সুতরাং, ছয়টি সংখ্যার যোগফল = গড় × মোট সংখ্যা = ৭ × ৬ = ৪২

দুটি সংখ্যা সরিয়ে নেওয়ার পর বাকি থাকে = ৬ - ২ = ৪ টি সংখ্যা।

সুতরাং, বাকি চারটি সংখ্যার যোগফল = গড় × মোট সংখ্যা = ৮ × ৪  = ৩২ 

∴ অপসারণ করা দুটি সংখ্যার যোগফল = (প্রথম ছয়টি সংখ্যার যোগফল) - (বাকি চারটি সংখ্যার যোগফল)
= ৪২ - ৩২ = ১০ 

সুতরাং, যে দুটি সংখ্যা সরিয়ে নেওয়া হয়েছিল তাদের যোগফল হলো ১০। 

(x-3)/(x-2) - 1/(2-x)
= (x-3)/(x-2) + 1/(x-2)
= x - 3 + 1/(x-2)
= (x-2)/(x-2)
= 1

∴ (x-3)/(x-2) = 1 + 1/(2-x)
অর্থ্যাৎ, প্রদত্ত রাশিটির সাথে 1 যোগ করতে হবে।

আধুলি = ০.৫০ × ৫ = ২.৫ টাকা
সিকি = ০.২৫ × ৮ = ২ টাকা
৬ টাকা হতে ১০ পয়সা লাগবে = {৬ - (২.৫+২)}/০.১০ = ১৫ টি

প্রশ্ন: ১২টি সংখ্যার গড় ৪৫, ১৮টি সংখ্যার গড় ৩৫ এবং ১০টি সংখ্যার গড় ৫০। মোট ৪০টি সংখ্যার গড় কত?

সমাধান:
১২টি সংখ্যার গড় ৪৫
∴ ১২টি সংখ্যার সমষ্টি = ১২ × ৪৫ = ৫৪০

১৮টি সংখ্যার গড় ৩৫
∴ ১৮টি সংখ্যার সমষ্টি = ১৮ × ৩৫ = ৬৩০

১০টি সংখ্যার গড় ৫০
∴ ১০টি সংখ্যার সমষ্টি = ১০ × ৫০ = ৫০০

∴ ৪০টি সংখ্যার সমষ্টি = (৫৪০ + ৬৩০ + ৫০০) = ১৬৭০

∴ ৪০টি সংখ্যার গড় = ১৬৭০ ÷ ৪০ = ৪১.৭৫

প্রশ্ন: ১০টি সংখ্যার গড় ৫৬০। প্রথম চারটি সংখ্যার গড় ৫২০ এবং শেষ পাঁচটি সংখ্যার গড় ৫১২। পঞ্চম সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,  
১০টি সংখ্যার গড় = ৫৬০  
∴ ১০টি সংখ্যার সমষ্টি = ৫৬০ × ১০ = ৫৬০০

প্রথম ৪টি সংখ্যার গড় = ৫২০  
∴ প্রথম ৪টি সংখ্যার সমষ্টি = ৫২০ × ৪ = ২০৮০

শেষ ৫টি সংখ্যার গড় = ৫১২  
∴ শেষ ৫টি সংখ্যার সমষ্টি = ৫১২ × ৫ = ২৫৬০

এখন,  
১০টি সংখ্যার মোট সমষ্টি = (প্রথম ৪টির সমষ্টি) + পঞ্চম সংখ্যা + (শেষ ৫টির সমষ্টি)
∴ পঞ্চম সংখ্যা = মোট সমষ্টি - প্রথম ৪টির সমষ্টি - শেষ ৫টির সমষ্টি  
= ৫৬০০ - ২০৮০ - ২৫৬০  
= ৫৬০০ - ৪৬৪০  
= ৯৬০

অতএব, পঞ্চম সংখ্যাটি হলো ৯৬০।

প্রশ্ন: একটি সংখ্যার এক-ষষ্ঠাংশের এক-চতুর্থাংশ ১২ হলে, সংখ্যাটির অর্ধেকের তিন-অষ্টমাংশ কত?

সমাধান:
ধরি,
সংখ্যাটি ক

প্রশ্নমতে,
(১/৬) × (১/৪) × ক = ১২
⇒ ক/২৪ = ১২
⇒ ক = ১২ × ২৪
∴ ক = ২৮৮

∴ সংখ্যাটি = ২৮৮
∴ সংখ্যাটির অর্ধেক = ২৮৮/২ = ১৪৪

∴ ১৪৪ এর তিন-অষ্টমাংশ = ১৪৪ × (৩/৮)= ৫৪

 ∴ সংখ্যাটির অর্ধেকের তিন-অষ্টমাংশ = ৫৪

প্রশ্ন: তিনটি বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ৯৯ হলে, বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
প্রথম বিজোড় সংখ্যা = ক
দ্বিতীয় সংখ্যা = ক + ২
তৃতীয় সংখ্যা = ক + ৪

∴ তিনটি সংখ্যার যোগফল 
= ক + (ক + ২) + (ক + ৪)
= ৩ক + ৬

প্রশ্নমতে,
৩ক + ৬ = ৯৯
⇒ ৩ক = ৯৯ - ৬
⇒ ৩ক = ৯৩
⇒ ক = ৯৩/৩
∴ ক = ৩১

∴ প্রথম সংখ্যা = ৩১
দ্বিতীয় সংখ্যা = ৩১ + ২ = ৩৩
তৃতীয় সংখ্যা = ৩১ + ৪ = ৩৫
অতএব, বড় সংখ্যাটি হলো ৩৫।

গড় = (শেষ সংখ্যা + প্রথম সংখ্যা)/২
= (৫৯ + ১)/২
= ৩০

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ৬০ এর মধ্যবর্তী বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা দুটির গড় কত?

সমাধান:
৪০ থেকে ৬০ এর মধ্যে সর্বনিম্ন ও সর্বোচ্চ মৌলিক সংখ্যা হচ্ছে যথাক্রমে ৪১  ও ৫৯।

∴ সংখ্যা দুটির গড় = (৪১ + ৫৯)/২ = ১০০/২ = ৫০ ।

৩, ৬, ৯ এর ল.সা.গু. = ১৮

১৮)৫১০(২৮
     ৫০৪
    -------
         ৬

∴ ৬ টি অন্যত্র সরিয়ে নিতে হবে।

প্রশ্ন:

সমাধান: