বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় ৩১ বছর। দুই সন্তানের বয়সের গড় ২১ বছর হলে, পিতার বয়স কত? 

সমাধান: 
দেওয়া আছে, 
পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের গড় = ৩১ বছর
∴ পিতা ও দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (৩১ × ৩) বছর
= ৯৩ বছর 

আবার, 
দুই সন্তানের বয়সের গড় = ২১ বছর
∴ দুই সন্তানের বয়সের সমষ্টি = (২১ × ২) বছর 
= ৪২ বছর 

∴ পিতার বয়স = (৯৩ - ৪২) বছর 
= ৫১ বছর। 

প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা?

সমাধান:
আমরা জানি,
দুই বা ততোধিক সংখ্যার সাধারণ গুণনীয়ক কেবল ১ হলে, ঐ সংখ্যাগুলো পরস্পর সহমৌলিক।

এখানে,
ক) ১২ এবং ১৫: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৩ এবং ১।
তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

খ) ২১ এবং ৩৫: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৭ এবং ১।
তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

গ) ২৫ এবং ৩২:
২৫ = ৫×৫
৩২ = ২×২×২×২×২
২৫ এবং ৩২ এর মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ মৌলিক গুণনীয়ক নেই।
∴ ২৫, ৩২ সংখ্যা দুটি সহমৌলিক সংখ্যা।

ঘ) ১২ এবং ২৭: এদের সাধারণ গুণনীয়ক হলো ৩ এবং ১।
তাই, এটি সহমৌলিক নয়।

অতএব, সঠিক উত্তর হলো ২৫, ৩২।

প্রশ্ন: y একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। y কে 4 দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে এবং y কে 9 দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে। r² + R এর সর্বোচ্চ সম্ভাব্য মান কত হতে পারে?

সমাধান:
y একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা
আমরা জানি,
ভাগশেষ সবসময় ভাজকের চেয়ে ছোট হয়।

y কে 4 দ্বারা ভাগ করা হলে r অবশিষ্ট থাকে 
∴ r এর মান 1, 2, 3 হতে পারবে।

y কে 9 দ্বারা ভাগ করা হলে R অবশিষ্ট থাকে
∴ R এর মান 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 হতে পারবে

r² + R এর সর্বোচ্চ হবে যদি r ও R সর্বোচ্চ হয়
∴ r² + R = 3² + 8 = 9 + 8 = 17

যদি ƒ (x) এর মাত্রা ধনাত্মক হয় এবং a ≠ 0 হয়, তবে ƒ (x) কে ( ax + b ) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হয় ƒ ( - b/a )। [ গণিত বই নবম-দশম শ্রেণি পৃঃ ৬০; প্রতিজ্ঞা ১২ ]

প্রশ্ন: ১ থেকে ১০০ পর্যন্ত লিখতে '৯' সংখ্যাটি কতবার আসে?

সমাধান:
এককের স্থানে ৯ আছে: ৯, ১৯, ২৯, ৩৯, ৪৯, ৫৯, ৬৯, ৭৯, ৮৯, ৯৯ (১০টি)
দশকের স্থানে ৯ আছে: ৯০, ৯১, ৯২, ৯৩, ৯৪, ৯৫, ৯৬, ৯৭, ৯৮, ৯৯ (১০টি)

৯৯ সংখ্যাটিতে ৯ অংকটি দুইবার (একক ও দশক উভয় স্থানে) ব্যবহৃত হয়েছে। উপরের দুটি তালিকায় ৯৯ সংখ্যাটিকে অন্তর্ভুক্ত করার মাধ্যমে এর দুটি ৯-কেই গণনা করা হয়েছে।

∴ মোট ৯ আসার সংখ্যা = ১০ + ১০ = ২০ বার।

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর কত ?

সমাধান:
আমরা জানি, 
ছয় অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯

∴ ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ও পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যার অন্তর = ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯ = ১

a, a², a³(a+b) এর লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণিতক (ল.সা.গু) = a³(a + b)

প্রশ্ন: ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা থেকে পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা বিয়োগ করলে বিয়োগফল কত হয়?

সমাধান:
ছয় অঙ্কের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = ১০০০০০
পাঁচ অঙ্কের বৃহত্তম সংখ্যা = ৯৯৯৯৯

∴ ১০০০০০ - ৯৯৯৯৯
= ১

প্রশ্ন: ৭, ১০, ১২, ১৪ সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু কত?

সমাধান:
প্রত্যেক সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,
৭ = ১ × ৭
১০ = ২ × ৫
১২ = ২ × ২ × ৩
১৪ = ২ × ৭

∴ ল.সা.গু = ২ × ২ × ৩ × ৫ × ৭
= ৬০ × ৭
= ৪২০

প্রশ্ন: ০.০০০১ এর বর্গমূল কত? 

সমাধান: 
০.০০০১ এর বর্গমূল = √(০.০০০১) 
= ০.০১ । 

প্রশ্নানুসারে,
a, b এর মধ্য 1 ব্যাতিত আর কোন সাধারণ উৎপাদক নাই।
∴ গ.সা.গু = 1

২|৪, ৫, ৬, ৮, ১২
 ২|২, ৫, ৩, ৪, ৬
  ৩|১, ৫, ১, ২, ১
       ১, ৫, ১, ২, ১
∴ ল.সা.গু. = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৫ = ১২০
∴ সংখ্যাটি = ১২০ + ৩ = ১২৩

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি বৃহত্তম?

সমাধান:
ক) ২/৫ = ০.৪
খ) ৩/৮ = ০.৩৭৫
গ) ৪/১১ = ০.৩৬৩৬
ঘ) ৫/১৩ = ০.৩৮৪৬

∴ ২/৫ ভগ্নাংশটি হলো বৃহত্তম।

প্রশ্ন: কোন স্থানে যত লোক আছে তত ছয় পয়সা জমা করায় মোট ৩৭.৫০ টাকা জমা হল। ঐ স্থানে কত লোক ছিল?
​
​সমাধান:
​ধরি,
​ঐ স্থানে ক জন লোক ছিল।
​
​শর্তমতে,
৬ক × ক = ৩৭.৫০ × ১০০
​⇒ ৬ক^২ = ৩৭৫০
​∴ ক^২ = ৬২৫
​ক = ২৫
​সুতরাং, ঐ স্থানে ২৫ জন লোক ছিল।

প্রশ্ন: একটি লাঠি ৪৮ ইঞ্চি লম্বা, এটি দুটি অংশে ভাগ করা হয়েছে যাতে ছোট অংশটি বড় অংশের ১/৩ হয়। ছোট অংশের দৈর্ঘ্য কত?

সমাধান:
ধরি,
ছোট অংশটি = ক ইঞ্চি
তাহলে, বড় অংশটি = ৩ক ইঞ্চি

শর্তমতে,
ক + ৩ক = ৪৮ ইঞ্চি
⇒ ৪ক = ৪৮ ইঞ্চি
⇒ ক  = ৪৮/৪ ইঞ্চি
∴ ক = ১২ ইঞ্চি

অতএব, ছোট অংশটি ১২ ইঞ্চি লম্বা।

আমরা জানি,
১ ইঞ্চি = ২.৫৪ সে.মি.
∴ ১২ ইঞ্চি = ১২ × ২.৫৪ = ৩০.৪৮ সে.মি.

অতএব, ছোট অংশটি ৩০.৪৮ সে.মি. লম্বা।

সরল করুন: ১ - [১ - {২ + (- ৫ + ৬ - ২) × ২}]

সমাধান:
১ - [১ - {২ + (- ৫ + ৬ - ২) × ২}]
= ১ - [১ - {২ + (- ১) × ২}]
= ১ - [১ - {২ - ২}]
= ১ - [১ - ০]
= ১ - ১
= ০

প্রশ্ন: ৯৯৯৯৯ এর সঙ্গে কোন ক্ষুদ্রতম সংখ্যা যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে?

সমাধান: 
এখানে ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ এর ল.সা.গু = ৬০।
এখন,
৬০ দ্বারা ৯৯৯৯৯ কে ভাগ করতে হবে।
৯৯৯৯৯ কে ৬০ দ্বারা ভাগ করলে ৩৯ অবশিষ্ট থাকে।
এবার ৬০ - ৩৯ = ২১ ।
সুতরাং ৯৯৯৯৯ এর সঙ্গে ২১ যোগ করলে যোগফল ২, ৩, ৪, ৫ এবং ৬ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হবে।

প্রশ্ন: কোন সংখ্যার তিনগুণের সঙ্গে ৫ যোগ করলে ফলাফল সংখ্যাটির দ্বিগুণের চেয়ে ১১ বেশি হবে?

সমাধান: 
ধরি,
সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে, 
বা, ৩ক + ৫ = ২ক + ১১
বা, ৩ক - ২ক = ১১ - ৫
∴  ক = ৬

∴ সংখ্যাটি = ৬ ।

১ম রাশি,
x² - 2x -3
= x² - 3x + x - 3
= ( x - 3 ) ( x + 1 )
২য় রাশি,
x² + 2x - 3
= x² + 3x - x -3
= ( x + 3 ) ( x - 1 )
এখানে রাশিদ্বের উৎপাদক গুলো এর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই গ.সা.গু. = 1

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার যোগফল ৫৪ এবং তাদের বিয়োগফল ১২। বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
মনে করি, বড় সংখ্যাটি x এবং ছোট সংখ্যাটি y।

শর্তমতে,
x + y = ৫৪ .......... (১)
x - y = ১২ .......... (২)

এখন, সমীকরণ (১) ও (২) যোগ করি,
(x + y) + (x - y) = ৫৪ + ১২
⇒ ২x = ৬৬
⇒ x = ৬৬/২
∴ x = ৩৩

∴ বড় সংখ্যাটি ৩৩

৯১=১ × ৭ × ১৩
১৪৩=১ × ১১ × ১৩
৪৭=১ × ৪৭
৮৭=১ × ৩ × ২৯
এখানে ৪৭ সংখ্যাটি ১ এবং ৪৭ সংখ্যা ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য নয়।
 সুতরাং, ৪৭ মৌলিক সংখ্যা।

প্রশ্ন: একটি বাঁশের ১/৩ অংশ কাদায়, ৩/৫ অংশ পানিতে এবং ৬ হাত পানির উপরে আছে। বাঁশটি কত হাত লম্বা?

সমাধান:
ধরি,
বাঁশটির দৈর্ঘ্য ক মিটার।

প্রশ্নমতে,
∴ ক - (ক/৩) - (৩ক/৫) = ৬
(১৫ক - ৫ক - ৯ক)/১৫ = ৬
⇒ (১৫ক - ১৪ক)/১৫ = ৬
⇒ ক/১৫ = ৬

∴ ক = ৯০ হাত

৭/৯ = ০.৭৮
৩/৪ = ০.৭৫
৪/৭ = ০.৫৭
৯/১৩ = ০.৬৯
সুতরাং, ক্ষুদ্রতম ভগ্নাংশ = ৪/৭

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যা যথাক্রমে ৯৬ এবং ৬৪। এই দুটি সংখ্যার ল.সা.গু. এবং গ.সা.গু. -এর গুণফল কত?

সমাধান: 
৯৬ এবং ৬৪ ল.সা.গু. = ১৯২ 
এবং 
৯৬ এবং ৬৪ গ.সা.গু. = ৩২  

∴ ল.সা.গু. × গ.সা.গু. = ১৯২ × ৩২ = ৬১৪৪

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং গ.সা.গু ৮ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু = সংখ্যা দুইটির অনুপাতের গুণফল × গ.সা.গু 
= (৫ × ৬) × ৮ 
= ৩০ × ৮ 
= ২৪০ 

∴ নির্ণেয় ল.সা.গু = ২৪০ ।

প্রশ্ন: ২৫২ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ হবে?

সমাধান:
২৫২ = ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^২ × ৩^২ × ৭^১

পূর্ণবর্গ হওয়ার জন্য প্রত্যেক মৌলিক গুণনীয়কের ঘাত জোড় সংখ্যা হতে হবে।

এখানে ২ এর ঘাত ২ (জোড়), ৩ এর ঘাত ২ (জোড়) এবং ৭ এর ঘাত ১ (বিজোড়)।
তাই ৭ দ্বারা আরও গুণ করতে হবে।

অর্থাৎ, ২৫২ × ৭ পূর্ণবর্গ হবে।

∴ সংখ্যাটি ৭ দ্বারা গুণ করতে হবে।

প্রশ্ন: √3 এবং 5 এর মাঝে কয়টি পূর্ণসংখ্যা আছে?

সমাধান:
আমরা জানি,
√3 ≈ 1.732

অতএব √3 ও 5 এর মাঝখানে যে পূর্ণসংখ্যাগুলো আছে, সেগুলো হলো- 2, 3, 4

∴ মোট পূর্ণসংখ্যা = 3টি

প্রশ্ন: এক ব্যক্তি তার মোট সম্পত্তির ২/৫ অংশ তার স্ত্রীকে দেন। অবশিষ্ট সম্পত্তি তিনি ৩ পুত্রের মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেন। যদি তার স্ত্রী ও দুই পুত্রের প্রাপ্ত সম্পত্তির মোট পরিমাণ ৪,৮০,০০০ টাকা হয় তাহলে ঐ ব্যক্তির মোট সম্পত্তির পরিমাণ কত টাকা?

সমাধান:
ধরি,
ঐ ব্যক্তির মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ক টাকা
∴ তার স্ত্রী পান = ২ক/৫ টাকা

অবশিষ্ট সম্পত্তি = ক - (২ক/৫) টাকা
= (৫ক - ২ক)/৫ = ৩ক/৫ টাকা

∴ প্রত্যেক পুত্র পায় = (৩ক/৫) ÷ ৩ = ক/৫ টাকা

প্রশ্নমতে,
স্ত্রী + ২ পুত্রের প্রাপ্ত অর্থ = ৪,৮০,০০০ টাকা
⇒ (২ক/৫) + ২ × (ক/৫) = ৪,৮০,০০০
⇒ (২ক/৫) + (২ক/৫) = ৪,৮০,০০০
⇒ ৪ক/৫ = ৪,৮০,০০০
⇒ ৪ক = ৪,৮০,০০০ × ৫
⇒ ক = (৪,৮০,০০০ × ৫) ÷ ৪
⇒ ক = ৬,০০,০০০

∴ ঐ ব্যক্তির মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ৬,০০,০০০ টাকা।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার ল,সা, গু 4x² + 12x² - 16x - 48, গ,সা,গু 2x+4। একটি সংখ্যা 4x² + 20x + 24 হলে অপরটি-

সমাধান:

[মূল প্রশ্নে 4x² + 12x² - 16x - 48 অংশটি ভুল দেওয়া আছে, এটি: 4x³ + 12x² - 16x - 48 হবে, তাই ল,সা, গু 4x³ + 12x² - 16x - 48 ধরে সমাধান করা হয়েছে] 

ল,সা, গু = 4x³ + 12x² - 16x - 48
গ,সা,গু = 2x + 4

একটি সংখ্যা = 4x² + 20x + 24
অপর সংখ্যা = ?

আমরা জানি, 
প্রথম সংখ্যা ​× দ্বিতীয় সংখ্যা​ = ল.সা.গু × গ.সা.গু

গ,সা,গু = 2x + 4 = 2(x + 2)

একটি সংখ্যা =  4x² + 20x + 24 
= 4(x² + 5x + 6)
= 4(x + 2)(x + 3)

ল,সা, গু = 4x³ + 12x² - 16x - 48 
= 4(x³ + 3x² - 4x - 12)
= 4[x²(x + 3) - 4(x + 3)]
= 4(x + 3)(x² - 4)
= 4(x + 3)(x - 2)(x + 2)

প্রথম সংখ্যা ​× দ্বিতীয় সংখ্যা​ = ল.সা.গু × গ.সা.গু
দ্বিতীয় সংখ্যা = [4(x + 3)(x - 2)(x + 2) × 2(x + 2)] / [4(x + 2)(x + 3)]
= [8(x + 3)(x - 2)(x + 2)2] / [4(x + 2)(x + 3)]
= 2(x - 2)(x + 2)
= 2(x² - 4)

প্রশ্ন: ৫টি ক্রমিক সংখ্যার যোগফল ১৪৫ হলে, শেষ সংখ্যা দুইটির গুণফল কত?

সমাধান: 
ধরি,
প্রথম সংখ্যা = ক 
তাহলে সংখ্যাগুলো হলো ক, (ক + ১), (ক + ২), (ক + ৩) এবং (ক + ৪)

প্রশ্নমতে, 
⇒ ক + (ক + ১) + (ক + ২) + (ক + ৩) + (ক + ৪) = ১৪৫
⇒ ৫ক + ১০ = ১৪৫
⇒ ৫ক = ১৩৫
⇒ ক = ১৩৫/৫
∴ ক = ২৭

সুতরাং সংখ্যাগুলো হলো ২৭, ২৮, ২৯, ৩০, ৩১
∴ শেষ দুইটি সংখ্যা = ৩০ এবং ৩১

∴ তাদের গুণফল = ৩০ × ৩১ = ৯৩০

প্রশ্ন: নিম্নে উল্লিখিত ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটির মান সবচেয়ে বেশি?

সমাধান:
৩/১০ = ০.৩
৭/১০ = ০.৭
২/৫ = ০.৪
৪/২৫ = ০.১৬

উপরিউক্ত দশমিক মানগুলো তুলনা করলে দেখা যায় যে, ০.৭ এর মান সবচেয়ে বেশি।
সুতরাং, ৭/১০ ভগ্নাংশটির মান সবচেয়ে বেশি।

প্রশ্ন: ৩/৭ এর লব এবং হরের সাথে কোন একই সংখ্যা যোগ করলে ভগ্নাংশটির মান ২/৩ হয়?

সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,
(৩ + x)/(৭ + x) = ২/৩
⇒ ৩x + ৯ = ২x + ১৪
⇒ ৩x - ২x = ১৪ - ৯
∴ x = ৫

∴ সংখ্যাটি ৫

প্রশ্ন: ১৪৩ মিটার, ৭৮ মিটার এবং ১১৭ মিটার দীর্ঘ তিনটি কাঠের টুকরোকে সমান দৈর্ঘ্যের তক্তায় কাটতে হবে। প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য কত হতে পারে?

সমাধান:
প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য = ১৪৩, ৭৮ এবং ১১৭ এর গ.সা.গু
এখন, 
১৪৩ = ১৩ × ১১
৭৮ = ১৩ × ২ × ৩
১১৭ = ১৩ × ৩ × ৩ 

∴ গ.সা.গু হল = ১৩

∴ প্রতিটি তক্তার সর্বাধিক সম্ভাব্য দৈর্ঘ্য হবে ১৩ মিটার।

১৮, ২৫ এর গ.সা.গু. = ১

প্রশ্ন: ৫/১১ ভগ্নাংশটির হর এবং লবের সাথে কোন সংখ্যাটি যোগ করলে ভগ্নাংশটি ৩/৫ হবে?

সমাধান:
মনে করি, সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(৫ + ক)/(১১ + ক) = ৩/৫
⇒ ৫ × (৫ + ক) = ৩ × (১১ + ক)
⇒ ২৫ + ৫ক = ৩৩ + ৩ক
⇒ ৫ক - ৩ক = ৩৩ - ২৫
⇒ ২ক = ৮
⇒ ক = ৮/২
∴ ক = ৪

প্রশ্ন: ৫৫, ৮০ ও ১০০ এর গ.সা.গু কত?

সমাধান:
৫৫ = ৫ × ১১
৮০ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৫
১০০ =  ২ × ২ × ৫ × ৫

∴ নির্ণেয় গ.সা.গু = ৫