PrepBank · বিষয়ভিত্তিক প্রশ্ন
PrepBank · পাতা ৫৪ / ৬৪ · ৫,৩০১–৫,৪০০ / ৬,৪০৪
- পূর্ণবর্গ সংখ্যার বর্গমূল মূলদ সংখ্যা হয়।
- যেহেতু √১৬ = ৪, √৩৬ = ৬, √৬৪ = ৮ সুতরাং সংখ্যা গুলো মূলদ সংখ্যা।
- অপরদিকে, √২৭ সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ নয় বলে এটি একটি অমূলদ সংখ্যা।
সংখ্যাটি = (১০২ X ১) + ২৩ = ১২৫
এখন, ১২৫ কে ১৭ দিয়ে ভাগ করলে ভাগফল ৭ এবং ভাগশেষ ৬ হবে।
প্রশ্ন: (৩ + √৫) কোন ধরনের সংখ্যা?
সমাধান:
(৩ + √৫) একটি অমূলদ সংখ্যা।
কারণ, এখানে ৩ একটি মূলদ সংখ্যা।
এবং √৫ একটি অমূলদ সংখ্যা, কারণ ৫ পূর্ণবর্গ সংখ্যা নয়।
গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী,
একটি মূলদ সংখ্যার সাথে একটি অমূলদ সংখ্যা যোগ করলে যোগফল সবসময় একটি অমূলদ সংখ্যা হয়।
যেহেতু √৫-এর মান একটি অসীম অনাবৃত দশমিক (২.২৩৬০৬৭৯...), তাই (৩ + √৫)-এর মানও হবে একটি অসীম দশমিক, যা ভগ্নাংশ আকারে প্রকাশ করা সম্ভব নয়। তাই এটি অমূলদ সংখ্যা।
প্রশ্ন: ৭টি সংখ্যার গড় ৪০। এর সাথে ৩টি সংখ্যা যোগ করা হলো। সংখ্যা ৩টির গড় ২১। সমষ্টিগত ভাবে ১০টি সংখ্যার গড় কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
৭টি সংখ্যার গড় ৪০
∴ ৭ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৭ × ৪০ = ২৮০
এবং
৩ টি সংখ্যার সমষ্টি = ৩ × ২১ = ৬৩
∴ ১০ টি সংখ্যার সমষ্টি = ২৮০ + ৬৩ = ৩৪৩
∴ ১০ টি সংখ্যার গড় = ৩৪৩/১০ = ৩৪.৩
৬ জন পুরুষ, ৮ জন স্ত্রীলোক এবং ১ জন বালকের বয়সের সমষ্টি = (৩৫ x ১৫) বছর।
= ৫২৫ বছর।
৬ জন পুরুষ এবং ৮ জন স্ত্রীলোকের বয়সের সমষ্টি = {(৬ x ৪০) + (৮ x ৩৪)} বছর।
= ৫১২ বছর।
বালকের বয়স = (৫২৫ - ৫১২) বছর।
= ১৩ বছর।
প্রশ্ন: করিম তার স্ত্রীকে সম্পত্তির ১/৩ অংশ এবং ৩ পুত্রের প্রত্যেককে ১/৩ অংশ করে দান করেন। যদি তার স্ত্রী ও দুই পুত্রের প্রাপ্ত সম্পত্তির মোট পরিমাণ ৩৫০০০০ টাকা হয় তাহলে করিমের মোট সম্পত্তির পরিমাণ কত টাকা?
সমাধান:
ধরি,
করিমের মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ক টাকা
তার স্ত্রী পান = ক/৩ টাকা
অবশিষ্ট সম্পত্তি = ক - (ক/৩) = (৩ক - ক)/৩ = ২ক/৩ টাকা
প্রত্যেক পুত্র পায় = (২ক/৩) এর (১/৩) অংশ
= ২ক/৯ টাকা
প্রশ্নমতে,
(ক/৩) + ২(২ক/৯) = ৩৫০০০০
⇒ (ক/৩) + (৪ক/৯) = ৩৫০০০০
⇒ (৩ক + ৪ক)/৯ = ৩৫০০০০
⇒ ৭ক/৯ = ৩৫০০০০
⇒ ৭ক = (৩৫০০০০ × ৯)
⇒ ক = (৩৫০০০০ × ৯)/৭
⇒ ক = ৪৫০০০০
∴ করিমের মোট সম্পত্তির পরিমাণ = ৪৫০০০০ টাকা।
১ম রাশি,
x2 - 2x - 3
= x2 - 3x + x - 3
= ( x - 3 ) ( x + 1 )
২য় রাশি,
x2 + 2x - 3
= x2 + 3x - x -3
= ( x + 3 ) ( x - 1 )
এখানে রাশিদ্বয়ের উৎপাদকগুলোর মধ্যে ১ ছাড়া অন্য কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। তাই গ.সা.গু. = 1
প্রশ্ন: ভাজক ভাগফলের এক পঞ্চমাংশ এবং ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক। ভাগফল ১৪০ হলে, ভাজ্য কত?
সমাধান:
দেওয়া আছে,
ভাগফল = ১৪০
ভাজক ভাগফলের এক পঞ্চমাংশ
∴ ভাজক = ভাগফল × (১/৫) = ১৪০ × (১/৫) = ২৮
ভাগশেষ ভাজকের অর্ধেক
∴ ভাগশেষ = ভাজক × (১/২) = ২৮ × (১/২) = ১৪
আমরা জানি,
ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ
= (২৮ × ১৪০) + ১৪
= ৩৯২০ + ১৪
= ৩৯৩৪
∴ ভাজ্য = ৩৯৩৪
১০০ জন শিক্ষার্থীর মোট নম্বর = ৮০০০
৫৫ জন ছাত্রীর মোট নম্বর = ৪২৯০
∴ ৪৫ জন ছাত্রের মোট নম্বর = ৮০০০ - ৪২৯০
= ৩৭১০
∴ গড় নম্বর = ৩৭১০/৪৫
= ৮২.৪৪
ছয় অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা = 100000
পাঁচ অংকের বৃহত্তম সংখ্যা = (-)99999
= 1
প্রশ্ন: ১ থেকে ১৫ পর্যন্ত যে মৌলিক সংখ্যাগুলো আছে তাদের গুণফল কত?
সমাধান:
১ থেকে ১৫ পর্যন্ত সংখ্যার মধ্যে মৌলিক সংখ্যা হলো ২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩
∴ মৌলিক সংখ্যাগুলোর গুণফল = ২ × ৩ × ৫ × ৭ × ১১ × ১৩
= ৬ × ৩৫ × ১৪৩
= ২১০ × ১৪৩
= ৩০০৩০ ।
মনেকরি,
সংখ্যাদ্বয় ৫a, ৬a
∴ ল.সা.গু. = ৩০a = ৭৮০
∴ a = ২৬
∴ বৃহত্তম সংখ্যা = ৬a
= ৬ × ২৬
= ১৫৬
100a + 10b + c সংখ্যাটিতে c একক স্থানে, b দশক স্থানে এবং a শতক স্থানে আছে।
৫, ১০, ১৫, ২০ ও ২৫ এর ল.সা.গু. = ৩০০
∴ ৩০০ সেকেন্ড বা ৫ মিনিট পর আবার ঘন্টাগুলো একত্রে বাজবে।
প্রশ্ন: ৭, ৮ ও ৯ এর গাণিতিক গড় ৬, ১০ ও নিচের কোন সংখ্যার গাণিতিক গড়ের সমান?
সমাধান:
মনে করি,
সংখ্যাটি = x
প্রশ্নমতে,
(৭ + ৮ + ৯)/৩ = (৬ + ১০ + x)/৩
বা, ২৪/৩ = (১৬ + x)/৩
বা, ৮ = (১৬ + x)/৩
বা, ১৬ + x = ২৪
বা, x = ২৪ - ১৬
∴ x = ৮
∴ ৭, ৮ ও ৯ এর গাণিতিক গড় = ৬, ৮ ও ১০ এর গাণিতিক গড়
প্রশ্ন: ৬০টি আপেল ও ৯০টি কমলা সর্বাধিক কতজন বালকের মধ্যে সমান ভাগ করা যাবে?
সমাধান:
বালকের সংখ্যা হবে ৬০ ও ৯০ এর গ.সা.গু।
∴ ৬০ ও ৯০ এর গ.সা.গু = ৩০
∴ নির্ণেয় বালকের সংখ্যা = ৩০ জন।
প্রশ্ন: একজন ওয়েটার প্রতিদিন প্রথম ৮ ঘণ্টা কাজের জন্য ঘণ্টায় ১০ টাকা করে এবং পরবর্তী সময়ের ঘণ্টায় ১২ টাকা করে মজুরি পায়। দৈনিক ১০ ঘন্টা কাজ করলে তার ঘণ্টাপ্রতি গড় মজুরি কত?
সমাধান:
প্রথম ৮ ঘণ্টায় পায় = ৮ × ১০ = ৮০ টাকা।
পরবর্তী ২ ঘণ্টায় পায় = ২ × ১২= ২৪ টাকা।
১০ ঘণ্টায় মোট মজুরি পায়= ৮০ + ২৪ = ১০৪ টাকা
∴ ঘণ্টা প্রতি গড় মজুরি = ১০৪/১০ = ১০.৪ টাকা।
আমরা জানি, সরল মুনাফার ক্ষেত্রে
সময় = (মুনাফা×১০০)/(আসল×সুদের হার)
= (১২০×১০০)/(৪০০×৬)
= ৫ বছর
প্রশ্ন: কোন বৃহত্তম সংখ্যা দ্বারা ৫৭, ৯৩ এবং ১৮৩ কে ভাগ করলে কোনো ভাগশেষ থাকবে না?
সমাধান:
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি হবে ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু.।
এখন,
৫৭ = ৩ × ১৯
৯৩ = ৩ × ৩১
এবং ১৮৩ = ৩ × ৬১
∴ ৫৭, ৯৩ ও ১৮৩ এর গ.সা.গু. ৩
নির্ণেয় বৃহত্তম সংখ্যাটি ৩
প্রশ্ন: নিচের কোন সংখ্যাটি ৮ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্যা নয়?
সমাধান:
৮ দ্বারা বিভাজ্যতার নিয়ম:
কোনো সংখ্যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে যদি তার শেষের তিনটি অঙ্ক মিলে গঠিত সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য হয়।
এখন,
৭৪৪ = (২ × ২ × ২) × ৩ × ৩১ = ৮ × ৩ × ৩১ ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য]
৬৪৮ = (২ × ২ × ২) × ৩ × ৩ × ৩ × ৩ = ৮ × ৩ × ৩ × ৩ × ৩ ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য]
৪৭২ = (২ × ২ × ২) × ৫৯ = ৮ × ৫৯ ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য]
১৫৬ = ২ × ২ × ৩ × ১৩ ; [যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য নয়]
প্রশ্ন: ২৮৮ সংখ্যাটিকে কত দ্বারা গুণ করলে সংখ্যাটি পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে?
সমাধান:
কোনো সংখ্যা পূর্ণবর্গ হতে হলে, তার মৌলিক উৎপাদকে সবগুলোর সূচক জোড় সংখ্যা হতে হবে।
২৮৮-এর মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই:
২৮৮ = ২ × ১৪৪
= ২ × ১২ × ১২
= ২ × (২ × ২ × ৩) × (২ × ২ × ৩)
= ২৫ × ৩২
এখানে, ৩ এর সূচক ২, যা জোড় সংখ্যা। কিন্তু ২ এর সূচক ৫, যা বিজোড়।
সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ করতে হলে ২ এর সূচককেও জোড় সংখ্যা হতে হবে। এর জন্য সংখ্যাটিকে আরও একটি ২ দিয়ে গুণ করতে হবে।
সুতরাং, ২৮৮ সংখ্যাটিকে ২ দিয়ে গুণ করলে তা পূর্ণবর্গ সংখ্যা হবে।
(যেমন: ২৮৮ × ২ = ৫৭৬, যা ২৪-এর বর্গ।)
১৮, ২৪, ৩৬ এর ল.সা.গু. = ৬ × ৩ × ২ × ২ = ৭২
∴ নির্নেয় লঘিষ্ঠ সংখ্যা = ৭২ - ৭ = ৬৫
কোন অঙ্কের সাথে যদি অন্য কোন জিনিস সংযুক্ত থাকে তাহলে তাকে আর অংক বলা যায় না। তা সংখ্যায় পরিণত হয়ে যায়।
যেহেতু ৫ এর সাথে টি যুক্ত আছে তাই তা অংক নয়।