বাস্তব সংখ্যা, গড়, ভগ্নাংশ, ল.সা.গু ও গ.সা.গু

প্রশ্ন: দুটি সংখ্যার গ.সা.গু ৮ এবং ল.সা.গু ২৪০। একটি সংখ্যা ৪০ হলে, অপর সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি, অপর সংখ্যাটি হলো ক।

আমরা জানি,
দুটি সংখ্যার গুণফল = সংখ্যা দুটির ল.সা.গু × গ.সা.গু।
⇒ ৪০ × ক = ২৪০ × ৮
⇒ ক = (২৪০ × ৮)/৪০
⇒ ক = ১৯২০/৪০
⇒ ক = ৪৮

অতএব, অপর সংখ্যাটি হলো ৪৮

প্রশ্ন: দুটি ক্রমিক সংখ্যার বর্গের অন্তর ২৩৯ হলে বড় সংখ্যাটি কত?

সমাধান: 
বৃহত্তম  সংখ্যাটি = ক + ১ 
ক্ষুদ্রতম সংখ্যাটি = ক

প্রশ্নমতে,
(ক + ১)^২ - ক^২ = ২৩৯
⇒ ক^২+ ২ক + ১ - ক^২ = ২৩৯
⇒  ২ক = ২৩৯ - ১
⇒  ২ক = ২৩৮
⇒ ক = ২৩৮/২ 
∴ ক = ১১৯

∴  বৃহত্তম সংখ্যাটি = ক + ১ = ১১৯ + ১ = ১২০

সমাধান: 
পিতা ও মাতার বয়সের গড় ৪৫ বছর
পিতা ও মাতার মোট বয়স (৪৫ ✕ ২) = ৯০ বছর

পিতা, মাতা ও এক পুত্রের বয়সের গড় ৩৬ বছর
পিতা, মাতা ও এক পুত্রের মোট বয়স (৩৬ ✕ ৩) = ১০৮ বছর

পুত্রের বয়স = ১০৮ - ৯০ বছর 
= ১৮ বছর

এখানে,
P = ৫০০০
r = ১০
n = ৩
সরল মুনাফা, I = Pnr/১০০
বা, I = (৫০০০×৩×১০)/১০০ = ১৫০০ টাকা
চক্রবৃদ্ধি মূলধন,
C = P (১+(r/১০০))n
= ৫০০০(১+(১০/১০০))৩
= ৫০০০(১+(১/১০০))৩
= ৫০০০(১+০.১)৩
= ৫০০০×(১.১)৩
= ৫০০০×১.৩৩১
= ৬৬৫৫ টাকা
∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা = (৬৬৫৫-৫০০০) = ১৬৫৫ টাকা।
∴ চক্রবৃদ্ধি মুনাফা ও সরল-মুনাফার পার্থক্য = (১৬৫৫-১৫০০) = ১৫৫ টাকা।

ধরি, লব = x এবং হর = y
∴ x + y = 16
x - y = 2
উপরের সমীকরণ দুইটি সমাধান করে পাই,
x = 9 এবং y = 7
∴ ভগ্নাংশটি = 9/7

প্রশ্ন: a এবং b দু’টি ধারাবাহিক জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা?

সমাধান:
ধরি,
a এবং b ধারাবাহিক জোড় সংখ্যা,
তাহলে, b = a + 2

a²: যেহেতু a জোড়, তাই a² জোড় হবে।

b²: যেহেতু b জোড়, তাই b² জোড় হবে।

a² + 1: যেহেতু a² জোড়, a² + 1 বিজোড় হবে।

b² + 2: যেহেতু b² জোড়, b² + 2 জোড় হবে।

∴ বিজোড় সংখ্যা = a² + 1

প্রশ্ন: চারটি ইলেকট্রনিক যন্ত্র যথাক্রমে ১, ৫/৪, ৩/২ এবং ৭/৪ মিনিট অন্তর অন্তর সংকেত দেয়। তারা একত্রে সংকেত দেওয়ার কতক্ষণ পর পুনরায় একত্রে সংকেত দেবে? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু 

এখন, 
লব(১, ৫, ৩, ৭) এর ল.সা.গু = ১ × ৫ × ৩ × ৭ = ১০৫ 
এবং (১, ৪, ২, ৪) এর গ.সা.গু = ১ 

∴ ভগ্নাংশের ল.সা.গু = লবগুলোর ল.সা.গু/হরগুলোর গ.সা.গু = ১০৫/১ = ১০৫ মিনিট
∴ ১০৫ মিনিটকে ঘণ্টায় প্রকাশ করে পাই = (৬০ + ৪৫) মিনিট = ১ ঘণ্টা ৪৫ মিনিট 

অতএব, যন্ত্রগুলো পুনরায় একত্রে ১০৫ মিনিট বা ১ ঘণ্টা ৪৫ মিনিট পর সংকেত দেবে।

প্রশ্ন: ৫ জন সদস্যের একটি পরিবারের গড় বয়স ১৮ বছর। যদি কনিষ্ঠ সদস্যের বয়স ১০ বছর হয়, তবে কনিষ্ঠ সদস্যের জন্মের সময় পরিবারের গড় বয়স কত ছিল?

সমাধান:
৫ জন সদস্যের গড় বয়স ১৮ বছর
৫ জন সদস্যের মোট বয়স = (১৮ × ৫) = ৯০ বছর

 ১০ বছর আগে (কনিষ্ঠ সদস্যের জন্মের সময়), পরিবারের সদসসদের মোট বয়স = {৯০ - ১০ - (১০ × ৪)}
= (৯০ - ৫০) = ৪০ বছর

 যেহেতু তখন কনিষ্ঠ সদস্যের জন্ম হচ্ছে, তাই বাকি ৪ জন সদস্যের গড় বয়স ছিল = (৪০ ÷ ৪) = ১০ বছর

৬/১১ = ০.৫৫
৮/১৪ = ০.৫৭
৩/৫ = ০.৬০
৫/৮ = ০.৬৩

প্রশ্ন: ২/৫, ৩/১০, ৪/১৫, ১/৬ এর গড় কত? 

সমাধান: 
আমরা জানি, 
গড় = ভগ্নাংশগুলোর যোগফল/ভগ্নাংশের সংখ্যা

এখন, 
চারটি ভগ্নাংশ যোগ করে পাই,
(২/৫) + (৩/১০) + (৪/১৫) + (১/৬)
= (১২ + ৯ + ৮ + ৫)/৩০ 
= ৩৪/৩০ 
= ১৭/১৫

∴ গড় = ভগ্নাংশগুলোর যোগফল/ভগ্নাংশের সংখ্যা
= (১৭/১৫)/৪ 
= ১৭/৬০ 

৭০ জনের মধ্যে পাশ করে (৭০-৪২) = ২৮ জন
১০০   〃   〃     〃  〃 (২৮×১০০)/৭০ জন
                            = ৪০ জন

প্রশ্ন: √5/(√15 + 5) = কত?

সমাধান: 
√5/(5 + √15)
= √5/{√5(√5 + √3)}
= 1/(√5 + √3)
= (√5 - √3)/(√5 + √3)(√5 - √3)
= (√5 - √3)/{(√5)² - (√3)²}
= (√3 - √2)/(5 - 3)
= (√5 - √3)/2

ট্রেনটি যেতে মোট সময় লাগে ৮ ঘন্টা।
৮ ঘন্টায় অতিক্রম করে ৩০০ কিমি
∴ ১ 〃 〃 〃 ৩০০/৮ 〃
= ৩৭.৫ কিমি

প্রশ্ন: নিচের কোন জোড়াটি সহ-মৌলিক নয়?

সমাধান: 
সহ-মৌলিক সংখ্যা: হলো এমন দুটি বা ততোধিক সংখ্যার সেট, যাদের মধ্যে ১ ব্যতীত অন্য কোনো সাধারণ গুণনীয়ক বা উৎপাদক নেই। অর্থাৎ, ঐ সংখ্যাগুলোর গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গ.সা.গু সর্বদা ১।  

এখানে, 
প্রথম তিনটি জোড়ার মধ্যে কোনো সাধারণ মৌলিক উৎপাদক নেই। তাই তারা সহ-মৌলিক সংখ্যা। 

অন্য দিকে, 
(ঘ) ৯৪ এবং ১০৪ উভয়ই জোড় সংখ্যা। যা অবশ্যই ২ দিয়ে বিভাজ্য হবে।  তাই ৯৪ এবং ১০৪ সহ-মৌলিক নয়। 

প্রশ্ন: ১০৮০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক আছে?

সমাধান:
১০৮০ = ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৩ × ৫
= ২^৩ × ৩^৩ × ৫^১ 

এখানে,
২ এর সূচক ৩, ৩ এর সূচক ৩, এবং ৫ এর সূচক ১

এখন,
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখায় = (৩ + ১) × (৩ + ১) × (১ + ১)
= ৪ × ৪ × ২
= ৩২

∴ ১০৮০ সংখ্যাটির মোট কতটি ভাজক ৩২ টি।

প্রশ্ন: নিচের ভগ্নাংশগুলোর মধ্যে কোনটি ক্ষুদ্রতম?

সমাধান:
৭/১২ = ০.৫৮৩
১১/১৮ = ০.৬১১
৩/৫ = ০.৬০০
১১/২০ = ০.৫৫০

∴ অপশন (ঘ) ১১/২০ = ০.৫৫০ এর মান সবচেয়ে ক্ষুদ্রতম।

রং দ্বারা বাঁশটির আবৃত অংশ = ২/৫ + ১/৪ + ১/৩ = = (২৪ + ১৫ + ২০)/৬০ = ৫৯/৬০ অংশ।
প্রশ্নমতে,
(১ - ৫৯/৬০) অংশ = ৬ মিটার
বা, ১/৬০ অংশ = ৬ মিটার
বা, ১ মিটার = ৬×৬০ = ৩৬০ মিটার।

প্রশ্ন: 2, 4, 5 এবং 9 সংখ্যাগুলোর গড় বিচ্যুতি কত?

সমাধান:
আমরা জানি,
গড় = উপাত্তগুলোর সমষ্টি/ উপাত্তগুলোর সংখ্যা
= (2 + 4 + 5 + 9)/4 
= 20/4 
= 5

আমরা জানি,
গড় বিচ্যুতি, MD = ∑|Xi - X|/n 
অর্থাৎ, গড় বিচ্যুতি = বিচ্যুতিগুলোর সমষ্টি/সংখ্যার পরিমাণ 
=  (|2 - 5| + |4 - 5| + |5 - 5| + |9 - 5|)/4
= (3 + 1 + 0 + 4) / 4
 = 8/4
= 2

∴ গড় বিচ্যুতি = 2

প্রশ্ন: একটি ভগ্নাংশের লব থেকে 1 বিয়োগ করলে ভগ্নাংশটির মান 1/3​ হয় এবং ভগ্নাংশটির হর-এর সাথে 8 যোগ করলে এর মান 1/4 হয়।  ভগ্নাংশটি নির্ণয় করুন।

সমাধান:
ধরি, ভগ্নাংশটি = a/b

এখন, ১ম শর্তমতে, 
(a - 1)/b = 1/3
⇒ b = 3a - 3 .......(১)

আবার,
a/(b + 8) = 1/4
⇒ b + 8 = 4a
⇒ b = 4a - 8

∴ 3a - 3 = 4a - 8
⇒ 4a - 3a = 8 - 3
∴ a = 5

a এর মান (১) নং এ বসিয়ে পাই,
b = (3 × 5) - 3
= 15 - 3
∴ b = 12

∴ ভগ্নাংশটি = 5/12 

(২১ + ২৭ + ২৯)/৩ = (৩০ + ২১ + ক)/৩
বা, ২১ + ২৭ + ২৯ = ৩০ + ২১ + ক
বা, ৭৭ = ৫১ + ক
বা, ক = ৭৭ - ৫১
বা, ক = ২৬

প্রশ্ন: তিনটি ক্রমিক জোড় সংখ্যার প্রথমটির দ্বিগুণ, তৃতীয় সংখ্যাটির ৩/২ গুণের থেকে ৪ বেশি। দ্বিতীয় সংখ্যাটি কত?

সমাধান:
ধরি,
১ম জোড় সংখ্যা = ক
২য় জোড় সংখ্যা = ক + ২
৩য় জোড় সংখ্যা = ক + ৪

প্রশ্নমতে,
১ম সংখ্যার দ্বিগুণ = ৩/২ × (৩য় সংখ্যা) + ৪
⇒ ২ক = ৩/২ × (ক + ৪) + ৪
⇒ ৪ক  = ৩(ক + ৪) + ৮  [উভয়পক্ষকে ২দ্বারা গুণ]
⇒ ৪ক = ৩ক + ১২ + ৮
⇒ ৪ক - ৩ক = ২০
∴ ক = ২০

সুতরাং,
১ম সংখ্যা = ২০
২য় সংখ্যা = ২০ + ২ = ২২
৩য় সংখ্যা = ২০ + ৪ = ২৪

অতএব, দ্বিতীয় সংখ্যাটি ২২।

ধরি, ১ম সংখ্যা x
১ম ৫ টি সংখ্যার যোগফল
= x + (x+১) + (x+২) + (x+৩) + (x+৪) = ৪৫০
বা, ৫x + ১০ = ৪৫০
বা, x = ৮৮  
২য় ৫ টি সংখ্যার যোগফল
= (x+৫) + (x+৬) +(x+৭) + (x+৮) + (x+৯)
= ৫x + ৩৫
= ৫ × ৮৮ + ৩৫
= ৪৭৫
∴ শেষ ৫ টি সংখ্যার যোগফল ৪৭৫।

প্রশ্ন: দুইটি সংখ্যার অনুপাত ৫ : ৬ এবং তাদের গ.সা.গু ৪ হলে সংখ্যা দুইটির ল.সা.গু কত?

সমাধান:
দেওয়া আছে,
দুইটি সংখ্যার অনুপাত = ৫ : ৬
গ.সা.গু = ৪

আমরা জানি,
অনুপাতদ্বয়ের গুণফল = ল.সা.গু./গ.সা.গু. 
বা, ল.সা.গু. = অনুপাতদ্বয়ের গুনফল × গ.সা.গু 
= (৫ × ৬ × ৪) 
= ১২০

সংখ্যাটি x,
∴ ৩x/৫ × ১/৪ = ৬০
∴ x = ৪০০

১২/১৫ = ০.৮
১১/১৪ = ০.৭৮৫৭
১৭/২১ = ০.৮০৯৫
৫/৬ = ০.৮৩৩৩৩

সুতরাং বৃহত্তম ভগ্নাংশ হচ্ছে ৫/৬

আমরা জানি, প্রথম n সংখ্যক বিজোড় সংখ্যার যোগফল = n²
অতএব, প্রথম ২০ টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = ২০² = ৪০০

৪৭ = ১ × ৪৭,
৬৭ = ১ × ৬৭,
৫৯ = ৫৯ × ১,
কিন্তু ৮৭ = ২৯ × ৩।
সুতরাং ৪৭, ৫৯ ও ৬৭ মৌলিক সংখ্যা এবং ৮৭ মৌলিক সংখ্যা নয়।

প্রশ্ন: একটি জলাধারের তিন পঞ্চমাংশ পানি দ্বারা পূর্ণ এবং এতে আরো ৩০ লিটার পানি ঢাললে জলাধারটি ৮০% পানিপূর্ণ হয়। জলাধারটির পানি ধারণক্ষমতা কত?

সমাধান:
ধরি, জলাধারের ধারণক্ষমতা = x লিটার
শুরুতে পানি ছিল = ৩/৫ অংশ = ৬০% (যেহেতু ৩/৫ × ১০০ = ৬০)
৩০ লিটার পানি যোগ করার পর হয় = ৮০%

শর্তমতে,
(৮০% - ৬০%) = ৩০ লিটার
⇒ ২০% = ৩০ লিটার
⇒ ১০০% = (৩০ × ১০০)/২০ লিটার
∴ ১০০% = ১৫০ লিটার

সুতরাং, জলাধারের ধারণক্ষমতা ১৫০ লিটার।

প্রশ্ন: নিচের কোনটি ১০০৮ সংখ্যাটির মোট ভাজকের সংখ্যা নির্দেশ করে?

সমাধান: 
১০০৮ = ২ × ২ × ২ × ২ × ৩ × ৩ × ৭
= ২^৪ × ৩^২ × ৭^১
এখানে,
২ এর সূচক ৪, ৩ এর সূচক ২ এবং ৭ এর সূচক হলো ১ 

এখন, 
প্রত্যেক সূচকের মানের সাথে ১ যোগ করে তাদের গুণ করলে যে গুণফল পাওয়া যাবে তাই হবে নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা।
∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = (৪ + ১) (২ + ১) (১ + ১) 
= ৫ × ৩ × ২ 
= ৩০

∴ নির্ণেয় ভাজক সংখ্যা = ৩০ ।

এখানে,
√2 = 1·414.....
3/2 = 1·5(যা মূলদ)
√3 = 1·732.....
∴ 3/2, √3 এবং √2 এর মধ্যবর্তী মূলদ সংখ্যা

১৬। ৬৪, ৮০, ৯৬
       -------------
   ২ । ৪, ৫, ৬
       ----------
         ২, ৫, ৩

∴ ল.সা.গু. = ১৬ × ২ × ২ × ৫ × ৩ = ৯৬০
৯৬০ সে.মি. কাপড় = ৯.৬০ মি.

প্রশ্ন: তিন অংকের ক্ষদ্রতম সংখ্যা কত?

সমাধান:
তিন অংকের সংখ্যা মানে এমন সংখ্যা যার তিনটি অঙ্ক আছে এবং প্রথম অঙ্ক শূন্য নয়।

সর্বনিম্ন এমন সংখ্যা হবে:
১০০

কারণ,
০০১ একটি এক অংকের সংখ্যা (১), তিন অংকের নয়।
১০০ এর কম হলে সংখ্যাটি দুই অংকের হয়ে যায়।

∴ তিন অংকের ক্ষুদ্রতম সংখ্যা ১০০।

প্রশ্ন: ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় কত? 

সমাধান: 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে বৃহত্তম মৌলিক সংখ্যা = ৯৭
আবার, 
৪০ থেকে ১০০ এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যা = ৪১
∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার যোগফল = (৯৭ + ৪১)
= ১৩৮

∴ ৪০ থেকে ১০০ পর্যন্ত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম মৌলিক সংখ্যার গড় = ১৩৮/২
= ৬৯ ।

সংখ্যাদ্বয় ৫a, ৬a হলে গুণফল ৩০a² = ১৯২০
বা, a² = ৬৪
∴ a = ৮
∴ ল.সা.গু. = ৫ × ৬ × a
= ৩০ × ৮
= ২৪০

প্রশ্ন: সর্বমোট কত সংখ্যক গাছ হলে একটি বাগানে ৭, ১৪, ২১, ৩৫ ও ৪২ সারিতে গাছ লাগালে একটি ও কম বেশী হবে না?

সমাধান:
প্রদত্ত সংখ্যাগুলোকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই, 
৭ = ৭
১৪ = ২ × ৭
২১ = ৩ × ৭
৩৫ = ৫ × ৭
৪২ = ২ × ৩ × ৭

∴ ল.সা.গু = ২ × ৩ × ৫ × ৭ = ২১০

সুতরাং, সর্বমোট ২১০টি গাছ হলে বাগানে ৭, ১৪, ২১, ৩৫ ও ৪২ সারিতে লাগালে একটিও গাছ কম-বেশি হবে না।

প্রশ্ন: নিচের কোন ভগ্নাংশটি বড়?

সমাধান: 
আমরা জানি, 
ভগ্নাংশগুলো সম-লববিশিষ্ট হলে ক্ষুদ্রতম হরবিশিষ্ট ভগ্নাংশটি বৃহত্তম হবে। 

এখন, 
২/৩ > ২/৭ > ২/১১ > ২/১৩ 

সঠিক উত্তর খ) ২/৩